Кафедра управления и информатики в технических системах
по дисциплине «Вычислительная математика»
Руководитель: И.А. Пищухина
Студент группы З-18САУ(ба)ИТ(д)
Ю.Р. Регушевский
Оренбург 2020
Содержание
1. Погрешности вычислений.
1.1. Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи.
При решении задачи на ЭВМ невозможно получить точное решение. Получаемое решение почти всегда является приближенным.
Причины погрешностей при решении задач на ЭВМ:
1. Математическая модель задачи, это приближенное описанием реального объекта или процесса. Поэтому результат также всегда будет приближенным, а погрешности зависят от реальности моделей объекту или процессу;
2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности. Так как исходные данные получаются в результате экспериментов, наблюдений, измерений или в результате решения вспомогательных задач;
3. Методы решения вычислительных задач являются приближенными, так как аналитическое решение задачи не удается;
4. Использование ЭВМ вносит ошибки, которые появляются при вводе-выводе данных в процессе вычислений.
За счёт данных причин, погрешность решения вычислительной задачи на ЭВМ складывается из трех составляющих:
- неустранимая погрешность;
- погрешность метода;
- вычислительная погрешность.
Неустранимая погрешность соответствует первым двум причинам и способ уменьшить эту погрешность заключается в переходе к более точной модели или в использовании более точных входных данных.
Погрешность метода определяется третьей причиной, причем появление этой погрешности практически неизбежно при любых вычислениях.
Вычислительная погрешность возникает в основном из-за округления чисел при вводе-выводе, а также при выполнении арифметических операций в ЭВМ. Это обусловлено ограниченной разрядностью ЭВМ и особенностями представления данных в памяти машины.
1. 2. Абсолютные и относительные погрешности
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между приближенным числом и его точным значением.
Δа=А-а.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным.
Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±.
Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу.
а * — известное приближение к нему;
Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина.
Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
1.3. Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной.
Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
1.4. Вычислительная погрешность.
Вычислительная погрешность (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.
Округления в ЭВМ производятся путём отбрасывания цифр, не помещающихся в разрядную сетку. Следует отметить, что встречаются задачи, которые очень чувствительны к погрешностям исходных данных. Эта чувствительность может быть охарактеризована понятием устойчивости, которое входит как составная часть в понятие корректности.
Задача называется поставленной корректно, если для любых значений входных данных из некоторого класса выполняются следующие условия:
1) решение задачи существует и единственно в рассматриваемом классе решений;
2) решение устойчиво относительно входных данных, т.е. малые изменения во входных данных приводят к малому изменению решения.
Если нарушается одно из условий или сразу оба, то задача называется некорректно поставленной.
Для краткости будем обозначать абсолютную погрешность числа x как ех, относительную погрешность - x.
Погрешность суммирования чисел
• абсолютная погрешность
• относительная погрешность
Погрешность вычитания чисел:
• относительная погрешность
Погрешность умножения чисел
• относительная погрешность
Погрешность деления чисел
• абсолютная погрешность
• относительная погрешность
Погрешность функции, зависящей от одной переменной:
• относительная погрешность
1.5. Погрешность машинных вычислений
Для представления чисел в памяти компьютера применяют два способа.
1. с фиксированной запятой;
2. с плавающей запятой.
Причем каждому устройству ставится в соответствие одинаковое количество k регистров и, кроме того, с помощью регистров может фиксироваться знак.
Упорядоченные элементы образуют разрядную сетку машинного слова: в каждом разряде может быть записано одно из базисных чисел
0,1,..., r-1 (одна из r "цифр" r-ой системы счисления)
и в специальном разряде отображен знак "+" или "-".
При записи чисел с фиксированной запятой кроме упомянутых r параметров (основания системы счисления) и k (количество разрядов, отводимых под запись числа) указывается еще общее количество l разрядов, выделяемых под дробную часть числа. Таким образом, положительное вещественное число a, представляющее собой в r-ой системе бесконечную, непериодическую дробь, отображается конечной последовательностью.
Абсолютная точность представления вещественных чисел с фиксированной запятой одинакова в любой части диапазона. В то же время относительная точность представления числа может значительно различаться в зависимости от того, берется ли а близким к нулю или к границе диапазона.
Литература
1. mirznanii.comeasy-physic.ru
2. https://obrazovaka.ru/algebra/absolyutnaya-i-otnositelnaya-pogreshnost.html
3. https://old.math.tsu.ru/EEResources/cm/text/1_6_1.htm
4.