Реферат по дисциплине «Вычислительная математика» - файл

скачать (87.6 kb.)


Министерство науки и высшего образования Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Аэрокосмический институт

Кафедра управления и информатики в технических системах




РЕФЕРАТ

по дисциплине «Вычислительная математика»

Руководитель: И.А. Пищухина
Студент группы З-18САУ(ба)ИТ(д)

Ю.Р. Регушевский

Оренбург 2020
Содержание

1. Погрешности вычислений.

1.1. Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи.
При решении задачи на ЭВМ невозможно получить точное решение. Получаемое решение почти всегда является приближенным.
Причины погрешностей при решении задач на ЭВМ:
1. Математическая модель задачи, это приближенное описанием реального объекта или процесса. Поэтому результат также всегда будет приближенным, а погрешности зависят от реальности моделей объекту или процессу;
2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности. Так как исходные данные получаются в результате экспериментов, наблюдений, измерений или в результате решения вспомогательных задач;
3. Методы решения вычислительных задач являются приближенными, так как аналитическое решение задачи не удается;
4. Использование ЭВМ вносит ошибки, которые появляются при вводе-выводе данных в процессе вычислений.
За счёт данных причин, погрешность решения вычислительной задачи на ЭВМ складывается из трех составляющих:
- неустранимая погрешность;

- погрешность метода;

- вычислительная погрешность.
Неустранимая погрешность соответствует первым двум причинам и способ уменьшить эту погрешность заключается в переходе к более точной модели или в использовании более точных входных данных.
Погрешность метода определяется третьей причиной, причем появление этой погрешности практически неизбежно при любых вычислениях.

Вычислительная погрешность возникает в основном из-за округления чисел при вводе-выводе, а также при выполнении арифметических операций в ЭВМ. Это обусловлено ограниченной разрядностью ЭВМ и особенностями представления данных в памяти машины.

1. 2. Абсолютные и относительные погрешности

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между приближенным числом и его точным значением.


Например, в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу.
Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным.

Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±.

Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу.



Где, а - точное значение некоторой величины;

а * — известное приближение к нему;



- относительная погрешность приближенного значения

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.


Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374. Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%.

Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина.

Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
1.3. Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;

- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;

- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.


Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа.

Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной.

Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

1.4. Вычислительная погрешность.


Проведение численных расчётов на компьютере неизбежно связано с погрешностью округления, иначе говоря, с вычислительной погрешностью. Округления возникают в силу ограниченности разрядной сетки компьютера при представлении в нем вещественных чисел.

Вычислительная погрешность (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

Округления в ЭВМ производятся путём отбрасывания цифр, не помещающихся в разрядную сетку. Следует отметить, что встречаются задачи, которые очень чувствительны к погрешностям исходных данных. Эта чувствительность может быть охарактеризована понятием устойчивости, которое входит как составная часть в понятие корректности.
Задача называется поставленной корректно, если для любых значений входных данных из некоторого класса выполняются следующие условия:
1) решение задачи существует и единственно в рассматриваемом классе решений;
2) решение устойчиво относительно входных данных, т.е. малые изменения во входных данных приводят к малому изменению решения.
Если нарушается одно из условий или сразу оба, то задача называется некорректно поставленной.
Для краткости будем обозначать абсолютную погрешность числа x как ех, относительную погрешность - x.
Погрешность суммирования чисел
• абсолютная погрешность

• относительная погрешность


Погрешность вычитания чисел:


• абсолютная погрешность

• относительная погрешность


Погрешность умножения чисел


• абсолютная погрешность

• относительная погрешность

Погрешность деления чисел
• абсолютная погрешность

• относительная погрешность


Погрешность функции, зависящей от одной переменной:


• абсолютная погрешность

• относительная погрешность

1.5. Погрешность машинных вычислений

Для представления чисел в памяти компьютера применяют два способа.

1. с фиксированной запятой;

2. с плавающей запятой.


Пусть в основу запоминающего устройства положены однотипные физические устройства, имеющие r устойчивых состояний, называемых регистрами.

Причем каждому устройству ставится в соответствие одинаковое количество k регистров и, кроме того, с помощью регистров может фиксироваться знак.

Упорядоченные элементы образуют разрядную сетку машинного слова: в каждом разряде может быть записано одно из базисных чисел

0,1,..., r-1 (одна из r "цифр" r-ой системы счисления)

и в специальном разряде отображен знак "+" или "-".

При записи чисел с фиксированной запятой кроме упомянутых r параметров (основания системы счисления) и k (количество разрядов, отводимых под запись числа) указывается еще общее количество l разрядов, выделяемых под дробную часть числа. Таким образом, положительное вещественное число a, представляющее собой в r-ой системе бесконечную, непериодическую дробь, отображается конечной последовательностью.




Диапазон представляемых таким способом чисел определяется числами с наибольшими цифрами во всех разрядах, т. е. наименьшим числом и наибольшим , а абсолютная точность представления - есть оценка величины, зависящая от способа округления.

Абсолютная точность представления вещественных чисел с фиксированной запятой одинакова в любой части диапазона. В то же время относительная точность представления числа может значительно различаться в зависимости от того, берется ли а близким к нулю или к границе диапазона.

Литература
1. mirznanii.comeasy-physic.ru

2. https://obrazovaka.ru/algebra/absolyutnaya-i-otnositelnaya-pogreshnost.html

3. https://old.math.tsu.ru/EEResources/cm/text/1_6_1.htm

4.







Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации