Курсовая работа - Логико-математический анализ темы Подобие треугольников в школьном курсе геометрии - файл n1.doc

Курсовая работа - Логико-математический анализ темы Подобие треугольников в школьном курсе геометрии
скачать (338 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc338kb.01.06.2012 08:22скачать

n1.doc



Введение.
Тема «Подобные треугольники» в зависимости от выбранного учебно-методического комплекта вводится в 8 или в девятом классе. Данная тема занимает центральное место изучаемого курса геометрии, поскольку наличие подобных фигур есть характерное свойство Евклидовой геометрии. Сведения о подобных треугольниках широко применяются в последующих разделах курса, а также в курсе стереометрии. Поэтому значительное внимание при изучении данной темы должно быть уделено решению задач, в ходе которых отрабатываются умения их применять в учебной и практической деятельности.

Задачи:

  1. Изучить программы, учебники по теме «Подобные треугольники».

  2. Провести логико-математический анализ содержания темы.

  3. Провести методический анализ темы.

  4. Разрабатывать дидактический материал.

Глава 1. Логико-математический анализ темы: «Подобие треугольников»
§1.1. Анализ учебной литературы.
В школьном курсе геометрии тема 'Подобие треугольников' рассматриваются в 8 классе.

В учебнике по “Геометрии 7-9 классЛ.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина данная тема рассматривается после темы “Площади”.

Возьмем этот учебник за основной и проанализируем его:

1. Структурные особенности ученика.

1.1. Учебник одновременно является задачником, каждый параграф состоит из теоретической и задачной части.

1.2. Материал учебника состоит из 14 глав, каждая из которых разбита на параграфы. Весь теоретический материал учебника разбит на 127 пунктов, нумерация пунктов сквозная.

В каждом параграфе задачный материал следует за теоретическим.

1.3. Задачный материал представляет собой: вопросы и задачи, дополнительные задачи, а также в некоторых параграфах отдельным блоком выделены задачи на применение знаний изученных в параграфе при решении конкретных задач (Применение векторов к решению задач, средняя линия трапеции).

1.4. При изложении материала для выделения главного используется жирный шрифт и обособление цветом. Встречаются исторические справки по теме параграфа. На форзаце учебника помещены признаки равенства и подобия треугольников, формулы площадей, теорема синусов и косинусов, простейшие действия с векторами. К каждой формуле представлен чертеж. Также рисунки представлены при объяснении учебного материала.

2. Методические особенности учебника.

2.1. Теоретический материал изложен дедуктивным методом. Новые предложения выводятся логическим путем из ранее известных предложений.

2.2. Важные моменты учебного материала (правила, теоремы, определения) выделены красной полосой над текстом. Каждое понятие сопровождается рисунком для наглядного представления и лучшего понимания данного понятия.

2.3. В конце каждой главы имеется материал для повторения выделенный отдельным блоком.

2.5. В конце учебника имеются приложения содержащие интересную и полезную информацию. Приведены ответы и указания к упражнениям и предметный указатель.

2.5. Нет разбиения материала на работу в классе и домашнюю работу, эта возможность предоставлена учителю.

3. Выводы:

3.1. В учебнике четко выделен теоретический и задачный материал, материал для запоминания.

3.2. Каждое понятие сопровождается рисунком или чертежом.

3.3. Содержание учебника соответствует программе для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.

Проанализируем учебник “Геометрия 7-11Погорелова А.В.

Тема подобие фигур рассматривается после параграфа векторы, что отличает его от предыдущего.

1.Сруктурные особенности учебника.

1.1. Учебник одновременно является и задачником, т.е. все параграфы состоят из теоретической и задачной части.

1.2. Материал учебника разделен на два раздела планиметрия(7,8,9 класс) и стереометрия(10,11 класс) и состоит из 22 параграфов, нумерация параграфов сквозная, каждый из параграфов разделен на пункты, нумерация пунктов также сквозная.

Каждый параграф содержит теоретический материал и примеры или задачи на применение данного материала, после теории отдельными пунктами следуют контрольные вопросы по теме параграфа и задачный материал.

1.3. Задачный материал не разделяется на блоки, задания повышенной трудности помечены знаком "*".

В основном присутствуют текстовые задачи.

1.4 При изложении материала не используются дополнительные цвета, важный материал выделен курсивом или жирным шрифтом.. На форзаце учебника размещены объёмы и поверхности тел, признаки равенства треугольников, признаки параллельности прямых, соотношения в треугольнике, значения тригонометрических величин, буквы греческого и латинского алфавитов.

2. Методические особенности учебника.

2. Методические особенности учебника.

2.1 Теоретический материал рассматривается дедуктивным методом.

2.2. Материал для заучивания формулировки теорем и утверждений выделяются жирным шрифтом, а определяемые понятия курсивом.

2.3. Для наглядности используются рисунки и чертежи, которые сопровождают каждое понятие или теорему, также чертежи используются для представления и пояснения условий задач. Все изображения одноцветны в тон учебника.

2.4. В конце учебника приведены ответы и указания к упражнениям и предметный указатель.

2.5. Нет разбиения материала на работу в классе и домашнюю работу, эта возможность предоставлена учителю.

3. Выводы:

3.1. В учебнике четко выделен теоретический и задачный материал, материал для запоминания.

3.2. Учебник выполнен в черно-белом цвете. Отсутствует познавательный, интересный материал.

3.3. Содержание учебника соответствует программе для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.

Проанализировав данные учебники по геометрии, приходим к выводу, что тема «Подобие треугольников» полностью рассматривается в учебнике Л.С. Атанасяна в 8 классе, а в учебнике А.В. Погорелова в 9 классе. В учебнике А.В. Погорелова первоначально рассматривают преобразования подобия и их свойства, затем переходят к признакам подобия треугольников. А в учебнике Л.С. Атанасяна глава подобные треугольники начинается с определения подобных треугольников. Ход изложения теоретического материала в учебниках различный. За основной учебник принят учебник Л.С. Атанасяна. Выбор обусловлен последовательностью изложения материала.

§ 2. Анализ содержания теоретического материала.

2.1. Математическая карта темы «Подобные треугольники».

2.2 Анализ понятийного аппарата темы «Подобные треугольники»


Формулировка определяемого понятия

Логический анализ структуры определения

Подведение под понятие

Следствия из определения

Возможные ошибки учащихся

Термин

Род

Видовые отличия

Логические связи

Вид определения

Опорные знания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1.Отношением отрезков AB и CD, есть отношение их длин,

т.е.

Отношение отрезков

число



конъюнкция

конструктивное

Длина отрезка, обозначение отрезков

с помощью предложений учеников и помощи учителя

Пропорциональные отрезки

Напомнить учащимся, что длина выражается положительным числом

2.Отрезки AB и CD, пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если

Пропорциональные отрезки

число



конъюнкция

конструктивное

Отношение отрезков, длина отрезков

Учителем


Пропорциональность трех отрезков другим трем отрезкам

Неправильное расположение членов пропорции

3. Если все углы одного треугольника равны углам другого треугольника, то стороны треугольников называются сходственными

Сходственные стороны треугольников

стороны

A=A1 , B=B1

C=C1 , то AB и A1B1,BC и B1C1, AC и A1C1 , сходственные

конъюнкция

конструктивное

Углы, стороны треугольника

с помощью предложений учеников и помощи учителя

Выделение основных элементов подобия треугольников




4. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

подобные треугольники

треугольник

A=A1 , B=B1

C=C1,



конъюнкция

конструктивное

Треугольник, углы треугольника, сходственные стороны треугольника

Понятие дается учителем

Выделение числа k, умение определять подобные треугольники, признаки подобия треугольников

Неправильное определение сходственных сторон и их запись в пропорции

5.Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Средняя линия треугольника

отрезок

ABC,

MNсредняя линия, тогда

AM=MB,

BN=NC.

конъюнкция

конструктивное

треугольник

с помощью предложений учеников и помощи учителя

Решение задач и доказательство теорем




6. Фигуры F и F1 называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры F1 так, что для любых других точек M и N фигуры F и сопоставленных им точек M1 и N1 фигуры F1, выполняется условие , где k одно и тоже положительное число для всех точек

Подобные фигуры

фигуры



конъюнкция

конструктивное

Подобные треугольники

понятие дается учителем

Для практического решения задач

Из-за громоздкости определения, возможно, его не понимание

Понятий в теме 6. Они даются в конструктивном виде. Для их усвоения требуются такие опорные знания как длина отрезка, отношение отрезков, элементы, как произвольного, так и прямоугольного треугольника и их буквенное обозначение.

Подведение под понятие осуществляется с помощью учителя, опираясь на предыдущие знания. В основном ошибки могут быть вызваны при составлении отношений сходственных сторон из-за неумения учеников определять соответственные сходственные стороны.

Для качественного усвоения знаний, учителю необходимо добиться от учеников понимания материала и применение их в практике. Для этого следует проводить работу по карточкам и готовым чертежам. Также проводить устные опросы учащихся.
2.3. Анализ утверждений.


формулировка утверждения

Структура утверждений

форма формулировки утверждения

вид утверждения

достаточное, необходимое условия

Опорные знания

разъяснительная часть

условие

заключение

1

2

3

4

5

6

7

8

1.Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Подобные треугольники

Отношение площадей двух подобных треугольников

Равно квадрату коэффициента подобия

импликативная

простое

достаточное

Площадь, коэффициент подобия, подобные треугольники

2. если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны


два треугольника

если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника

, то такие треугольники подобны

импликативная

простое

необходимое

Углы треугольника, сумма углов треугольника, отношение площадей подобных треугольников

3. Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами , равны, то такие треугольники подобны

две треугольника

Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами , равны

то такие треугольники подобны

импликативная

простое

необходимое

Первый признак равенства треугольников

4. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны


треугольник

. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника

то такие треугольники подобны


Импликативная

простое

необходимое

Первый и второй признак равенства треугольников

5.Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон

треугольник

Средняя линия треугольника

Параллельна одной из его сторон

категоричная

простое

достаточное

Средняя линия треугольника

6. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины




Медианы треугольника

пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины

категоричная

простое

достаточное

Теорема о средней линии треугольника, понятие медианы треугольника

7.Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику

Прямоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла

разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику

категоричная

простое

достаточное

Понятие высоты треугольника, первый признак равенства треугольников

8. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой

Прямоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла


есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой

категоричная

простое

достаточное

Прямоугольный треугольник, средне-пропорциональный отрезок, первый признак подобия треугольников.

9. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла

Прямоугольный треугольник

Катет прямоугольного треугольника

есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла

категоричная

простое

достаточное

Прямоугольный треугольник, средне-пропорциональный отрезок, первый признак подобия треугольников.

Утверждений в теме 9. Каждое утверждение представлено с доказательством. Утверждения следуют в определенной логике, доказательство последующего опираются на ранее доказанные утверждения. Для качественного усвоения знаний учениками необходимо проводить устные опросы и самостоятельные работы. Важные, часто используемые свойства можно оформить на карточках каждому из учеников. Например, признаки равенства треугольников.

2.4.Анализ алгоритмов и правил.
Алгоритм определения подобия треугольников.
1. Определите соответствующие известные элементы треугольников.
2. Определите количество известных соответственно равных углов треугольников.
2.1. 2.2. 2.2.1. AB/A1B1=AC/ A1C1 =к, треугольники подобны по 2 признаку.
2.2.2. AB/ A1B1 AC/ A1C1, треугольники не подобны.

2.3. Не известно равенство соответствующих углов.
2.3.1. AB/ A1B1=AC/ A1C1 =BC/ B1C1, треугольники подобны по 3 признаку.

2.3.2. AB/ A1B1AC/ A1C1 BC/B1C1 , треугольники не подобны.
Пример решения задачи с использованием данного алгоритма:
Для определения высоты столба A1C1 использован шест, чему равна высота столба, если BC1=6,3; BC=3,4; AC=1,7



Из рисунка видно, что нам даны два прямоугольных треугольника у которых известно:

1. BC1, BC, AC.

2.
Следовательно, треугольники подобны по первому признаку.

Из определения подобных треугольников следует:

AB/A1B=AC/ A1C1=BC/BC1, т.е A1C1= (BC1/BC)*AC

A1C1=3,15.

Данный алгоритм обладает следующими свойствами:

Позволяет установить, подобны ли данные треугольники. Его можно применять для любой задачи в которой необходимым шагом решения является определение подобия треугольников. Каждый шаг алгоритма четко определен и последователен.
2.5 Анализ задачного материала.
Задачный материал учебника геометрии Л.С. Атанасяна не разбивается по уровням сложности, представлен отдельным блоком в конце каждого пункта. В конце главы 12 представлены вопросы для повторения и дополнительные задачи по всей главе.

Все задачи главы можно разбить на следующие группы:
1. На отношение сторон, пропорциональность отрезков и использование определения подобных треугольников(11 номеров).

Пример:

535.

Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

541.

Подобны ли треугольники ABC и DEF, если 0, 0, 0, 0, AC=4,4 , BC=7,6 , AB=5,2 , DE=15,6 , DF= 22,8 , EF= 13,2 .
2. На отношение площадей подобных треугольников(6 номеров).

Пример:

544.

Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную сторону первого треугольника.
3. На применение признаков подобия треугольников(14 номеров).

Пример:

554.

Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 , продолжены до пересечения в точке M. Найдите расстояние от точки M до концов меньшего основания.

561.

Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

4. На использование теоремы о средней линии и пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике(20 номеров).

Пример:

567.

Докажите что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

577.

В треугольнике, стороны которого равны см, 12 см и 13 см, проведена высота к большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.
5. Задачи на построение(7 номеров).

Пример:

586.

Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.
Задания в каждой группе расположены по возрастающей, от более простых, к более сложным. Самые распространенные среди дополнительных задач являются задачи на 3 и 4 группы.

Задачный материал учебника геометрии Погорелова А.В также не разбит по уровням сложности, в отличие от предыдущего учебника задачный материал полностью содержится в конце параграфа после теоретических контрольных вопросов.

Все задачи главы можно разбить на следующие группы:
1. На преобразования подобия и определение подобных фигур, в частности треугольников(7 номеров).

Пример:

Докажите, что фигура подобная окружности есть окружность.
2. На признаки подобия треугольников(28 номеров).

Пример:

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобных исходному.

В треугольнике ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC (конец D отрезка лежит на стороне AB, а E на стороне BC). Найдите AD, если AB=16 см, AC=20 см и DE=15 см.

3. На признаки подобия прямоугольных треугольников(7 номеров).

Пример:

Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 и 16 см. Найдите стороны треугольника.
Помимо задач данных групп содержится две задачи на построение. Задачи представлены разного уровня сложности, что позволяет доступно применить теоретические знания в практике и развивать логическое мышление.

Глава 2 Методика обучения теме «Подобные треугольников».
§1 Анализ методической литературы по теме: « Подобные треугольники».
Учебно-методический комплект включает:

  • Учебник «Геометрия» для 7-9 кл., Атанасян Л.С. и др.

  • Рабочие тетради по геометрии для 7,8 и 9 классов, Атанасян Л.С. и др.

  • Дидактические материалы по геометрии для 7-9 кл. , Зив Б.Г , Мейлер В.М

  • Задачи по геометрии для 7-11 классов, Зив Б.Г , Мейлер В.М

  • Методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 7-9 кл.» Атанасян Л.С. и др.


При изучении учебно-методической литературы была исследована такая литература, как методический журнал «Математика в школе», учебно-методическая газета «Математика», «Тематическое и поурочное планирование по геометрии 8 класс» к учебнику Л.С Атанасяна и др., под издательством Т.М.Мищенко, «поурочные планы по геометрии 8 класс» издательство учитель - АСТ.

В газете «Математика» представлен практикум по решению задач, по теме подобие фигур(№18, 2005); журнал «Математика в школе» по данной теме представляет примерное поурочное планирование(№10, 2001), набор заданий на карточках, разного уровня сложности(№10, 2003), а также примеры заданий для самостоятельной работы по теме «Подобие фигур».

В учебно-методическом пособии Т.М.Мищенко даны рекомендации, разработанные в соответствии с концепцией построения учебника. В методических рекомендациях к изучению материала даётся общая характеристика содержания главы «Подобные треугольники», её место и роль в курсе изучения геометрии. Каждый параграф данной главы содержит комментарии для учителя, включающий в себя общую характеристику содержания и требования к знаниям и умениям учащихся; методические рекомендации к изучению материала с разбивкой по отдельным вопросам; задачи для усвоения и закрепления материала; указания к решению задач и дополнительные задачи по данной теме.

§2. Тематическое планирование по теме «Подобные треугольники».

Данная тема может быть представлена в двух вариантах, в зависимости от количества часов выделенных на изучения Геометрии. Во втором полугодии на изучение данной темы выделяют: 1 вариант – 36ч., по 2 ч. в неделю ;

2 вариант – 54 ч. , по 3 ч. в неделю. Рассмотрим примерное поурочное планирование 1 варианта.

«Геометрия 7-9»Атанасян Л.С, М.: Просвещение, 2004

По программе 2 часа в неделю, во втором полугодии 36 ч.



№ урока

Тема урока

Тип урока

Главные факты нового

Цели урока

МО

Приемы обучения

Формы контроля

Материалы для мотивации

Материалы для актуализации

Ожидаемый результат

ОЦ

ВЦ

РЦ

1, 2

Определение подобных треугольников

Урок объяснения нового материала, урок закрепление

Пропорциональные отрезки, подобные треугольники, теорема об отношении площадей подобных треугольников

Обеспечить усвоение основных понятий темы.

Воспитание интереса к учебе, внимательность.

Развитие внимания, логики, мышления, речи

ОИ, Р, ЧП

Лекционное изложение материала с элементами беседы

Индивидуальный опрос

Привести примеры подобия встречающегося в жизни (модели автомобилей и самолетов, Обувь или одежда одного фасона но разных размеров ит.д.), существование подобных фигур является одной из важных характеристик Евклидова пространства

Вспомнить что такое отрезок, длина отрезка, понятие треугольника

Учащиеся должны знать определение пропорциональных отрезков, подобных треугольников; коэффициента подобия; формулировку теоремы.

3,4

Первый признак подобия треугольников

Урок объяснения нового материала, урок закрепление

Первый признак подобия треугольников

Обеспечить усвоение первого признака подобия треугольников

Воспитать самостоятельность, внимательность.

Развитие памяти, внимания, мышления и речи.

ОИ,Р, ЧП

Лекционное изложение материала, самостоятельная работа

Фронтальный опрос, самостоятельная работа

Объяснить что знание первого признака подобия треугольников необходимо для дальнейшего изучения темы, оно используется для доказательства двух других признаков подобия

Определение подобных треугольников, сумма углов треугольника

Учащиеся должны знать формулировку и доказательство первого признака подобия треугольников и уметь применять его при решении задач

5

Второй признак подобия треугольников

Комбинированный урок

Второй признак подобия треугольников

Обеспечить усвоение второго признака подобия треугольников

Воспитать самостоятельность, наблюдательность, познавательный интерес, аккуратность

Развитие мышления, воображения, внимания и памяти

ОИ,Р

Лекционное изложение материала, работа с доской и учебником

Фронтальный опрос, беседа по контрольным вопросам

Необходим для доказательства третьего признака подобия

Определение подобных треугольников, первый признак подобия, свойство пропорции

Учащиеся должны знать формулировку и доказательство второго признака подобия треугольников и уметь применять его при решении задач

6

Второй признак подобия треугольников

Комбинированный урок

Третий признак подобия треугольников

Обеспечить усвоение третьего признака подобия треугольников

Воспитать познавательную активность, интерес, аккуратность, внимательность

Развитие мышления, внимания и памяти

ОИ, Р, ЧП

Самостоятельная и совместная с учителем деятельность учащихся

Работа у доски и самостоятельная работа по заданию учителя




Определение подобных треугольников, второй признак подобия

Учащиеся должны знать формулировку и доказательство третьего признака подобия треугольников и уметь применять его при решении задач

7

Решение задач

Урок практикум

Закрепить полученные знания по теме подобные треугольники

Обеспечить закрепление изученного материала, и систематизировать полученные знания. Отработать материал на практике

Воспитать познавательный интерес, внимательность.

Развитие мышления, внимания, памяти

ОИ, Р, ЧП

Самостоятельная и совместная с учителем деятельность учащихся

Самостоятельная работа, Индивидуальный опрос




Определение подобных треугольников, три признака подобия треугольников

Учащиеся должны знать три признака подобия треугольников и уметь их применять при решении задач

8

Контрольная работа

Урок - контрольная работа




Осуществить проверку знаний и уровня усвоения учащимися пройденного материала

Воспитать самостоятельность, внимательность, аккуратность

Развитие памяти, мышления

Р

Самостоятельная работа учащихся

Самостоятельная работа




Определение подобных треугольников, три признака подобия треугольников

Практическое применение признаков подобия при решении задач

9,10

Средняя линия треугольника

Урок объяснения нового материала, комбинированный урок

Средняя линия треугольника, теорема о средней линии треугольника

Обеспечить усвоение понятие средней линии треугольника, теоремы о средней линии треугольника

Воспитать активность, целеустремленность

Развитие памяти, внимания, мышления и речи.

ОИ,Р, ЧП

Автономная и совместная деятельность учителя и учеников

Фронтальный опрос, математический диктант




Признаки подобия треугольников, понятие медианы треугольника, признаки параллельности прямых

Учащиеся должны знать определение средней линии треугольника, свойство медиан треугольника уметь доказывать теорему о средней линии треугольника , применять эту теорему и свойства медиан при решении задач

11, 12

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Урок объяснения нового материала, комбинированный урок

Теорема о подобии прямоугольного треугольника и следствие, свойство высоты прямоугольного треугольника проведенного из вершины прямого угла, средне пропорциональный отрезок

Обеспечить усвоение Теоремы о подобии прямоугольного треугольника, свойство высоты, понятие средне пропорционального отрезка

Воспитать активность, целеустремленность

Развитие памяти, внимания, мышления и речи.

ОИ,Р, ЧП

Лекционное изложение материала, самостоятельная работа

Фронтальный и индивидуальный опрос, проверочная работа

Показать, что с помощью полученных знаний можно вывести новые способы доказательства теорем(на примере теоремы Пифагора)

Понятие высоты, прямоугольного треугольника, подобных треугольников

Учащиеся должны знать теорему о подобии прямоугольных треугольников, свойство высоты прямоугольного треугольника проведенного из вершины прямого угла применять знания при решении задач

13

Практическое приложения подобия треугольников

Урок применения знаний навыков и умений

Определение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки

Обеспечить закрепление пройденного материала

Воспитание аккуратности, познавательную активность, интерес

Развитие логического мышления, памяти, воображения

ОИ,ЧП,Р

Совместная работа с учениками при решении задач

Фронтальный опрос

Применение знаний в практической, бытовой деятельности

Признаки подобия треугольников, признак подобия прямоугольного треугольника

Умение использовать знания при решении практических задач разного уровня сложности

14

О подобии произвольных фигур

Урок объяснения нового материала

Подобие произвольных фигур

Обеспечить усвоение понятия подобие произвольных фигур

Развитие памяти, внимания, мышления и речи

Развитие мышления

(через сравнение, обобщение, анализ)

ОИ, Р

Урок проходит в форме беседы




Расширение знаний в области применения методов подобия

Коэффициент подобия, определение подобия

Иметь представление о подобных фигурах


§3 Методика обучения содержанию темы.
Содержание главы VII учебника «Геометрия 7-9» Л.С Атанасяна составляет материал, являющийся традиционным для любого курса планиметрии: пропорциональные отрезки, подобие треугольников, признаки подобия треугольников, отношение площадей подобных треугольников, подобие произвольных фигур. С помощью подобия треугольников доказывается одно из важных свойств треугольников: теорема о средней линии треугольника.

Усвоение учащимися признаков подобия треугольников и формирования умения применять их являются одной из основных задач этой главы. Это не случайно: свойства подобных треугольников будет многократно применяться в дальнейших главах курса, как планиметрии, так и стереометрии.
При изучении признаков подобия треугольников достаточно доказать два первых признака, так как первый признак доказывается с опорой на теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, а доказательства двух других аналогичны и опираются на первый признак.
Рассмотрим методические рекомендации к изучению материала первой главы. Первый параграф главы «Определение подобных треугольников» начинается с введения понятия пропорциональных отрезков, данное понятие вводится на наглядном уровне. Для этого можно выполнить рисунок


Рассмотрим отрезки KL и AB и отрезки GF и MN. Отрезок KL равен восьми отрезкам AB, а GF равен восьми отрезкам MN, т.е. выполняется равенство . Можно рассмотреть также отрезки KL и GF и отрезки AB и MN.Отрезок KL равен двум отрезкам MN , а AB равен двум отрезкам MN , т.е. выполняется равенство.

Значит отрезки KL и AB пропорциональны отрезкам GF и MN, а отрезки KL и GF пропорциональны отрезкам AB и MN.

При введении определения пропорциональные отрезки основное внимание учащихся необходимо направить на понимание того, что если в условии сказано: «…отрезок АВ делится точкой С в отношении 2:5…», то отрезок АВ разделен на семь частей, при этом отрезок АС содержит две части, а отрезок СВ содержит пять частей. Кроме того, они должны уметь записать в ходе решения задачи или в краткой записи условие отношение . Формирование умения применять понятие пропорциональности и навыка записи отношения разных величин является методической задачей не только геометрии, но и алгебры.

На закрепление этого навыка полезно выполнить следующие упражнения по готовому чертежу.



  1. По данным рисунка 1 определите, как относятся отрезки:

а)DE к DF; б) EF к DF; в) DE к EF.


  1. По данным рисунка 2 определите, как относится площадь заштрихованных квадратов к площади незаштрихованных квадратов.



В учебнике перед введением определения подобных треугольников вводится понятие сходственных сторон. При его введении следует обратить внимание, что сходственные стороны лежат против равных углов и, наоборот против сходственных сторон лежат равные углы рис 3.


Поэтому, если в условии сказано: « Треугольники ABC и DEF подобны и у них <A=<D, <B=<E, <C=<F», то учащиеся должны уметь записать пропорциональность сходственных сторон: . А если в условии сказано: «Треугольники ABC и DEF подобны и у них …» , то учащиеся должны уметь записать равенство углов :
Для формирования умения записывать пропорциональность сходственных сторон и равенство соответствующих углов в подобных треугольниках можно предложить учащимся следующие упражнения.


  1. Треугольники, данные на рисунках 3 и 4 подобны. Запишите отношение сходственных сторон и равенство соответствующих углов.

  2. Радиусы окружностей, изображенных на рисунке 5 относятся как 2:1. Запишите отношение сходственных сторон и равенство соответствующих углов.

  3. Опираясь на определение подобных треугольников, докажите, что равносторонние треугольники подобны (Рис. 5).





После формулировки теоремы об отношении подобных треугольников и выполнения рисунка 6 следует сделать краткую запись условия и заключения теоремы.




Дано: ABCA1B1C1

A=A1 , SABC=S,

SA1B1C1=S1 ,

k- коэффициент подобия.



Доказать:

Доказательство основывается на теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Для того чтобы проверить правильность усвоения теоремы об отношении площадей подобных треугольников, можно предложить решение задачи 544 по готовому чертежу, иллюстрирующему условие задачи.
Во втором параграфе рассматриваются признаки подобия треугольников.

Так как первый признак подобия треугольников является основой для доказательства второго и третьего признака подобия треугольников, то его лучше провести самому учителю. Изучение теоремы начинается с ее формулировки и выполнения рисунка 8 по условию теоремы. При этом полезно отметить в треугольниках соответственно равные углы, а затем выполнить краткую запись условия и заключения теоремы.





Дано: ABC и A1B1C1

A=A1, B=B1.



Доказать: ABC A1B1C1

После чего следует воспроизвести определение подобных треугольников и акцентировать внимание учащихся на том, что для доказательства подобия треугольников необходимо доказать равенство углов и пропорциональность сходственных сторон. Затем изложить доказательство теоремы в соответствии с текстом учебника.

После доказательства первого признака подобия треугольников полезно устно решить задачу 550 из учебника, а затем записать решение следующей задачи в тетради.
В трапеции ABCD проведены диагонали AC и BD. Докажите что треугольники COB и AOD подобны.(Рис. 9)



Так как доказательство второго признака подобия треугольников отличается от доказательства первого признака подобия треугольников, то его лучше полностью провести самому учителю. После оформления краткого условия в тетради необходимо напомнить учащимся свойство пропорций. После доказательства теоремы следует обратить внимание учащихся на то, что ссылка на второй признака подобия треугольников должна быть: «по двум пропорциональным сторонам и углу между ними».

Доказательство третьего признака подобия треугольников аналогично доказательству второго, поэтому его можно провести по тому же плану с активным привлечением учащихся. После доказательства теоремы следует обратить внимание учащихся на то, что ссылка на третий признака подобия треугольников должна быть: «по трем сторонам».
Третий параграф «Применения подобия к доказательству теорем и решению задач» начинается с введения понятия средней линии треугольника. Данное понятие полезно ввести на наглядном уровне. В треугольнике ABC отметим точку F — середину стороны AB и точку E — середину стороны BC и соединим точки F и E. Отрезок FE называется средней линией треугольника(Рис.10).



После этого сформулировать определение средней линии треугольника. Для проверки правильности усвоения учащимися понятия средней линии треугольника и умения находить ее в стандартных ситуациях, выполнить работу по готовым чертежам, включив в их набор контр-примеры. (Рис.11).


При введении определения средней линии треугольника основное внимание необходимо направить на понимание учащимися формулировки определения.
После формулировки теоремы о средней линии треугольника, выполнении чертежа по условию теоремы и записи краткого условия можно предложить учащимся провести ее доказательство самостоятельно или разобрать по тексту учебника. При решении задач на применение признаков подобия треугольников, полезно напомнить учащимся, что равными в подобных треугольниках могут быть только углы.
§4 Методика обучения учащихся решению задач.
Этапы решения геометрических задач:
I Этап: Выделение требования задачи, объектов и отношений между ними, выполнение рисунка, отметка на нем данных и искомых элементов, краткая запись условия и заключения задачи.

  • Какая фигура дана?

  • Что известно?

  • Что необходимо найти?

II Этап: Анализ условия и требования задачи (поиск метода решения).

Под анализом условия задачи будем понимать выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему.

III Этап: Осуществление плана решения (оформление решения).

Две формы оформления решения задачи:

  • в начале записываем полученный вывод и здесь же в строчку записываем аргументы, на основании которых он был сделан

  • заполнение таблицы.

IV Этап: Изучение найденного решения.

Исследование задачной ситуации можно осуществить со стороны:

  • способа поиска решения задачи

  • способа развития ученика

  • способа систематизации знаний

Рассмотрим методику решения задачи на примере решения задачи 543.
Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенным к этим сторонам.


Деятельность учителя.

Деятельность учеников.

I Этап:

Давайте изобразим рисунок и запишем краткое условие задачи.



Внимательно прочитайте условие задачи и определите, что нам дано.


Что нужно найти или доказать?

Возьмем стороны AC и A1C1 за соответствующие сходственные стороны, тогда краткое условие:
Дано: ABCA1B1C1 , h- высота ABC,

h1-высота A1B1C1
Доказать:
II Этап:

Давайте обозначим площади соответствующих треугольников за S и S1 соответственно.

Посмотрите на заключение задачи (то, что

нужно доказать).

Чему равно отношение сходственных сторон подобных треугольников?
Посмотрите на рисунок, нам дана высота. Можем ли мы выразить площадь треугольника?
Чему равна площадь треугольника ABC?
А площадь треугольника A1B1C1?
Что получим, если составим отношение площадей?
Но треугольники у нас подобные. Чему равно отношение площадей подобных треугольников?
Но , значит можем мы записать следующее?

Приравняв два равенства и , мы и найдем ответ.


Нам даны два подобных треугольника и высоты проведенные к соответствующим сходственным сторонам.
Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенным к этим сторонам.

(Дети в тетрадях делают рисунок и записывают краткое условие)




Да.










Да, можем.


III этап:
Оформление доказательства задачи в тетради у учеников должно быть следующим.
Доказательство:

1) S-площадь ABC, S1-площадь A1B1C1

2) , т.к. ABCA1B1C1

3) , по определению.

4) , задача решена.

Заключение.
Поставленные в реферате цели и задачи были реализованы. Тема «Подобие треугольников» в различных учебниках рассматривается в разной последовательности. Одни и те же понятия в различных учебных пособиях и учебниках определяются по-разному, а также различно акцентирования внимания на содержание данной темы. Разработано приложение в которое входит два конспекта уроков, практикум по решению задач и примерные задания контрольной работы на заключительном этапе изучения темы.

Библиографический список.


  1. Атаносян Л. С. и др. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 1991г.

  2. Перельман И. Я. Занимательная геометрия. - Д.: ВАП, 1994г.

  3. Мищенко Т.М. Тематическое и поурочное планирование по геометрии.— М.: Экзамен, 2004г.

  4. Гилярова М.Г. Геометрия, поурочные планы. I,II ч.— Волгоград: Учитель - АСТ, 2003г.

  5. Погорелова А.В Геометрия 7-11

  6. Газета Математика №18, 2005

  7. Журнал Математика в школе №10, 2001 ; №10, 2003


Приложение


Заключительный урок по теме: «Подобие треугольников в задачах геометрии, алгебры, физики».

Цели урока:

  • развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений, и применять их при решении практических задач;

  • выработка умений оценивать свой уровень познания темы;

  • развитие культуры устной речи, познавательного интереса;

  • развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач.

Оборудование: мультимедиа, таблицы самооценки.

Структура урока:

  1. Ознакомление с темой урока, постановка его целей.

  2. Оценка учащимся уровня познания темы.

    1. Повторение теоретического материала.

    2. Умение решать геометрические задачи.

    3. Умение решать задачи прикладного характера.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Ознакомление с темой и целями урока.

2. Проверка знаний теоретического материала по теме “Подобные треугольники”.

Какие треугольники называются подобными?

Признаки подобия треугольников.
Найдите подобные треугольники и докажите их подобие:





Отношение периметров подобных треугольников:

M, N, P, E, F, K – середины сторон PEFK = 4 cм, PABC – ?

Отношение линейных элементов подобных треугольников.
Продолжить:



Отношение площадей подобных треугольников.
Сформулировать теорему.



Основания трапеции относятся как m : n.
Найдите в каком отношении делится площадь трапеции ее диагоналями.

  1. Пусть OB = x, OC = y,

Треугольники BOC и AOD подобны с k =  …



Тогда OD =

2. S2 = _________ S1(по теореме ________________).

S3 = _________ S1(по теореме ________________).

S4 = _________S1 (по теореме ________________).

3. S1 : S2 : S3 : S4 = ______ : ______ : ______ : ______.

Свойство биссектрисы треугольника выражается отношением …



Теоремы о среднем.



Для данного треугольника справедливы равенства



3. Проверка домашней работы.

В равнобедренном треугольнике AB = BC = 5. На стороне BC взята точка D так, чтобы BD = 1. Отрезок AD пересекает высоту BE в точке K. Найдите:

Первый способ решения:





Второй способ решения:



Проведем среднюю линию ADC. По теореме Фалеса:



4. Решение задач прикладного характера.

Так как при решении текстовых задач по алгебре будем использовать графики равномерного движения, целесообразно повторить теоретический материал известный учащимся из курса физики. На левой части доски заранее выполнены записи, правая часть доски заполняется непосредственно на уроке учащимися.

  1. Уравнение прямой.

y = kx + b

Равномерное прямолинейное движение

Координата тела в любой момент времени

x = xo + Vt

k = tg угловой коэффициент прямой

tg = Vтела

S = V · t

если V1 = V2, то если S1 = S2, то если t1 = t2, то


 

Задача 1.

Из двух населенных пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй в А – через 2 ч 30 мин. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.



Решение.

Построим графики движения туристов (рис.1).

По условию задачи PR – PK = 2; KC = 1,6; RD = 2,5;

требуется найти AB,

Из подобия треугольников

(BKP ~ DRP, CKP ~ ARP) следует, что

 

Но BK=AR, поэтому

или ARІ = 1,6 · 2,5, AR = 2. Далее

Откуда PK = 8 км, AB = 18 км, V1 = 5 км/ч, V2 = 4 км/ч.

При решении этой задачи можно было бы использовать соотношение:



Задача 2.

Теплоход от Г до А идет 5 суток, а от А до Г – 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Г до А?



Решение.

Строим графики движения туристов (рис. 3).

Из условия задачи ГА’ = 5, A’C = 7; требуется найти ГР.

Скорость движения теплохода относительно плывущего плота одна и та же как по течению реки, так и против течения, поэтому если теплоход и плот выйдут из Г одновременно, то теплоход, возвращаясь из А, встретит плот через столько же дней, сколько он потратил на путь из Г в А, следовательно, ГА’=A’B=5.

Так как A’DC ~ BKC и BKГ ~ PFГ, то





ГР = 35.

Ответ: плот будет плыть от А до В 35 дней.

5. Заключительный этап урока состоит в подведении итогов оценивания.




Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации