Задание произвольной пространственной системы сил Задание моментов пространственной системы сил - файл

приобрести
скачать (134.4 kb.)

СОДЕРЖАНИЕ


Введение


  1. Задание произвольной пространственной системы сил

  2. Задание моментов пространственной системы сил

  3. Сложение моментов пар в пространстве

  4. Приведение произвольной пространственной системы сил к данному центру

  5. Момент силы, расположенной в пространстве,относительно начала координат и осей координат

  6. Варианты приведения произвольной пространственной системы сил к единому центру

  7. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

  8. Теорема о моменте равнодействующей относительно оси (теорема Вариньона)

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика - наука об общих закономерностях механического движения и равновесия материальных тел и возникающих при этом взаимодействий между ними.

Теоретическая механика является теоретической базой многих инженерных специальностей. Курс теоретической механики включает три раздела: статику, кинематику и механодинамику. В статике изучается равновесие материальных тел под действием приложенных к ним сил; в кинематике - движение материальных точек и тел без учета их масс и сил, действующих на них; в механодинамике - движение материальных точек и тел под действием приложенных к ним сил.

Теоретическая механика формирует теоретические знания, необходимые для освоения многих инженерных дисциплин и решения практических инженерных задач

Одним из ключевых понятий теоретической механики является пространственная система сил


  1. ЗАДАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Система сил, действующих на абсолютно твердое тело, линии действия которых направлены в пространстве произвольно, называется произвольной пространственной системой сил.

Существует два способа задания такой системы сил: 1 - графический; 2 - аналитический. При графическом способе задаётся модуль вектора силы и углы, определяющие направление этого вектора в трехмерной декартовой системе координат. Рассмотрим это на примере одной силы. Пусть задана сила  и углы  и  , определяющие положение этой силы в системе отсчета, показанной на рис. 1.

Рис. 1.. Схема графического задания положения силы  в пространстве

Из рис. 1. имеем:  ,  и  .

Модуль вектора силы  определится по формуле

 . (1.1)

Если задана система сил  , то, проектируя эту систему на оси координат, получим:

 ; (1.2)

 ; (1.3)

 . (1.4)

Результирующая пространственной системы сил определится по формуле

 . (1.5)

При аналитическом способе задания пространственной системы сил (рис. 1.2) каждая сила задается в виде векторного уравнения  . Здесь  - единичные векторы осей (орты);  ,  ,  .



Рис. 1.2. Схема к аналитическому заданию пространственной силы

Проекции  и  силы  на оси координат определяются с помощью направляющих косинусов по формулам:   . Здесь  - углы направляющих косинусов (рис. 1.52);  - направляющие косинусы вектора  , которые связаны зависимостью 

Пример задания одной силы:  . Здесь  ,  и  Модуль силы  будет равен  .

Если несколько сил задано векторными уравнениями:

 ,  .  ,

то, исходя из них имеем:  2+3+1=6;  3-1+2=4;  4+5-6=3. Модуль результирующего вектора будет равен

 

Направляющие косинусы вектора результирующей силы определятся по формулам:

, .


  1. ЗАДАНИЕ МОМЕНТОВ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

В соответствии с определением момент пространственной силы относительно выбранного центра равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние (плечо силы) от моментной точки (выбранного центра) до линии действия силы в выбранной системе отсчета. Следовательно, чтобы задать момент силы с учетом его определения, надо задать модуль силы, его направление в пространстве и плечо силы. Это очень сложный способ задания и применяется редко.

Второй способ основан на том, что каждый момент можно представить в виде пары сил. Тогда для задания пары сил необходимо задать модуль момента пары, плоскость действия пары и направление действия пары в этой плоскости. Это тоже сложно.

Рис. 1.3. Схема момента пары в виде вектора 

Чтобы упростить способ задания момента пространственной силы, условились момент пары задавать в виде вектора, который по модулю равен моменту пары и направлен перпендикулярно плоскости действия пары так, что, при виде с его конца, действие пары направлено против хода часовой стрелки (рис. 1.53).

Модуль вектора  равен модулю момента пары, то есть, моменту одной из сил пары относительно точки, где приложена другая сила. 



  1. СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ ПАР В ПРОСТРАНСТВЕ

Возьмем две пары  и  , плоскости действия которых пересекаются (рис. 1.4). Представим их моменты в виде двух векторов  и  . Тогда, складывая эти векторы, найдем их сумму  .



Рис. 1.4. Сложение векторов моментов пар

Если на тело действует  пар, то их суммарный момент определится по формуле

 . (1.6)

Проектируя это уравнение на оси координат, найдем:

 (1.7)

 , (1.8)

 . (1.9)

Результирующий момент определится по формуле

 . (1.10)

Нетрудно заметить, что условие равновесия пар запишется следующим образом  или  . Из этого следует, что:   


  1. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ

Теорема. Любая пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру  заменяется одной силой  , равной главному вектору системы сил, приложенному в центре приведения  , и одной парой с моментом  , равным главному моменту системы сил относительно центра приведения  (рис. 1.5, 1.6).



Рис. 1.5. Схема к пояснению теоремы о параллельном переносе силы

Эта теорема базируется на теореме о параллельном переносе сил (рис. 1.5). Перенося силу  , действующую на абсолютно твёрдое тело, из точки А в точку О, прикладываем ещё и момент  пары.

На рис. 1.5 показано, как сила  переносится из точки А в точку О и заменяется равной ей по величине и параллельной по направлению силой  и моментом  силы  относительно центра О.

Если на тело действует какая угодно пространственная система сил, то все их можно перенести в выбранный центр О, добавив при этом соответствующие моменты  пар этих сил относительно центра приведения О (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Приведение системы сил к единому центру О:

а) - пространственная система сил; б) - система сил, приведенных к одной силе  и одному моменту 

Силы  , перенесенные в точку О, заменяются одной силой  , приложенной в той же точке и называемой главным вектором системы сил:  .

Векторы  складываются геометрически и заменяются одним вектором  , называемым главным моментом системы сил относительно центра приведения О 

Модули векторов  и  определяются аналитически по их проекциям на оси координат:

 , (1.11)

 (1.12)



Таким образом, для задания любой системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, достаточно задать её главный вектор  и главный момент  относительно данного центра, то есть задать шесть проекций:  и 


  1. МОМЕНТ СИЛЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ,ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛА КООРДИНАТ И ОСЕЙ КООРДИНАТ

Если сила  задана проекциями  и  и если известны координаты ( ) точки А её приложения, то, соединив начало  координат с точкой А приложения силы радиусом-вектором  (рис. 1.7), получим векторное произведение  равное моменту силы  относительно начала координат, то есть,  .


Рис. 1.7. Момент  силы  , расположенной в пространстве, относительно центра О

(начала координат)

Его можно представить в виде определителя третьего порядка:

 (1.13)

где  - единичные векторы (орты осей координат).

Модуль вектора  определится по формуле

  (1.14)

Направляющие косинусы вектора  определяются по формулам:

  

Из векторного уравнения находим проекции вектора  на оси координат (рис. 1.7), которые равны моментам рассматриваемой силы относительно осей координат:

 (1.15)

 ; (1.16)

 . (1.17)

Обратим внимание на самое главное: проекции  вектора  на оси координат  равны одновременно моментам силы  относительно тех же осей координат. Момент силы  относительно координатной оси  (рис. 1.7) определится по формуле

 (1.18)

Момент силы  относительно координатной оси  (рис. 1.7) вычисляется по формуле

 . (1.19)

Момент силы  относительно координатной оси  (рис. 17) определится по формуле

 . (1.20)

Момент силы относительно любой оси, например оси  (рис. 1.8), определяется по правилу: чтобы найти момент силы  относительно оси  , надо спроектировать эту силу на плоскость, перпендикулярную этой оси, и найти момент полученной проекции  относительно точки пересечения плоскости П с осью  .



Рис. 1.8. Схема к определению момента силы  относительно оси 

В соответствии с этим определением проекция вектора  на ось  равна моменту силы  относительно оси  (рис. 1.8).

 . (1.21)

Если задана система сил  , то момент каждой из этих сил относительно оси  определится по формулам:

 

 

......................................

 

Складывая левые и правые части полученных уравнений, найдем

   .... (1.22)

Аналогичные выражения получим для моментов сил относительно осей  и  .

   .... (1.23)

   .... (1.24)


  1. ВАРИАНТЫ ПРИВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ЕДИНОМУ ЦЕНТРУ

1) если  и  , то система сил находится в равновесии.

2) если  , а  , система сил приводится к паре сил с моментом  , и тело стремится к вращению. В этом случае  не зависит от выбора центра приведения и вычисляется по формуле

 . (1.24)

3) если  , а  , то система сил приводится к равнодействующей

 , (1.25)

где   ;  . Тело стремится в этом случае к поступательному движению.

4) если  и  , и вектор  параллелен вектору  , система приводится к силе  и паре с моментом  , векторы которых приложены в одной точке и направлены вдоль одной линии. Такая совокупность называется динамическим винтом, или «динамой» (рис. 1.9).



Рис. 1.9. Схема динамического винта







5) если  и  , и если при этом  , то система приводится к равнодействующей  , проходящей через центр  ( рис. 1.10).



Рис. 1.11. Схема приведения пространственной системы сил к одной равнодействующей  при 

Если бы равнодействующая  была приложена в центре  , то она уравновешивалась бы с силой  и главный вектор системы сил был бы в этом случае равен нулю. Но так как  то этот вектор приложен в точке  , расположенной на расстоянии  от точки  .




  1. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы:  и  . Эти условия выполняются только тогда, когда:

 . (1.26)

 (1.27)

Из этого следует:

 ;  ;  ,

  

Равенство нулю проекций сил на оси координат отражает отсутствие перемещения тела вдоль координатных осей. Равенства нулю моментов сил относительно осей координат означает отсутствие вращений тела относительно этих осей.

Если все силы параллельны, например, оси  , то условие равновесия запишется так:

   (1.29)

Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на ось, параллельную силам, и суммы их моментов относительно двух других координатных осей были равны нулю.


  1. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ (ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА)

Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси.

Пусть на тело действует система сил  , приводящаяся к равнодействующей  (не к главному вектору), линия действия которой проходит через некоторую точку С (рис. 1,13).

Рис. 1.13. К доказательству теоремы Вариньона

Приложим в этой точке силу  . Тогда система сил  ,  будет находиться в равновесии и для любой координатной оси можем написать (рис. 1.63):

 (1.32)

 ; (1.33)

 (1.34)

Но так как  и обе они направлены вдоль одной прямой, то  , отсюда:

 ;  

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Без знаний и умения работать с пространственной системой сил не возможно решать многочисленные задачи во многих областях инженерных дисциплин и решать практические инженерные задачи.

В данной работе приведены лишь основные понятия и необходимые для этого, но достаточные для решения простейших задач.



СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



  1. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики: Учебник. М.: Наука, 2001

  2. Горбач Н.И., Тульев В.А. Теоретическая механика. Краткий справочник. М.: Инфра, 2004.

  3. Кильчевский Н.А., Ремизова Н.И., Шепелевская Н.Н. Основы теоретической механики. – Киев: Техника, 1968


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации