Филичев П.В. Математика для электромехаников - файл n147.html

приобрести
Филичев П.В. Математика для электромехаников
скачать (380.5 kb.)
Доступные файлы (157):
n1.wd3
n2.jpg16kb.21.10.2004 03:25скачать
n3.gif1kb.21.10.2004 03:25скачать
n4.wd3
n5.html3kb.21.10.2004 03:25скачать
n6.wd3
n7.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n8.png4kb.21.10.2004 03:25скачать
n9.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n10.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n11.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n12.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n13.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n14.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n15.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n16.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n17.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n18.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n19.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n20.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n21.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n22.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n23.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n24.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n25.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n26.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n27.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n28.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n29.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n30.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n31.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n32.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n33.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n34.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n35.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n36.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n37.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n38.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n39.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n40.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n41.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n42.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n43.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n44.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n45.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n46.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n47.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n48.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n49.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n50.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n51.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n52.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n53.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n54.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n55.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n56.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n57.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n58.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n59.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n60.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n61.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n62.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n63.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n64.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n65.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n66.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n67.png4kb.21.10.2004 03:25скачать
n68.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n69.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n70.png3kb.21.10.2004 03:25скачать
n71.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n72.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n73.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n74.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n75.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n76.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n77.png3kb.21.10.2004 03:25скачать
n78.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n79.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n80.png3kb.21.10.2004 03:25скачать
n81.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n82.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n83.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n84.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n85.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n86.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n87.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n88.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n89.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n90.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n91.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n92.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n93.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n94.png3kb.21.10.2004 03:25скачать
n95.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n96.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n97.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n98.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n99.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n100.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n101.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n102.png4kb.21.10.2004 03:25скачать
n103.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n104.png3kb.21.10.2004 03:25скачать
n105.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n106.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n107.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n108.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n109.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n110.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n111.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n112.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n113.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n114.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n115.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n116.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n117.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n118.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n119.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n120.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n121.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n122.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n123.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n124.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n125.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n126.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n127.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n128.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n129.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n130.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n131.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n132.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n133.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n134.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n135.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n136.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n137.png3kb.21.10.2004 03:25скачать
n138.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n139.png1kb.21.10.2004 03:25скачать
n140.png3kb.21.10.2004 03:25скачать
n141.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n142.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n143.png2kb.21.10.2004 03:25скачать
n144.png4kb.21.10.2004 03:25скачать
n146.html6kb.21.10.2004 03:25скачать
n147.html10kb.21.10.2004 03:25скачать
n148.html9kb.21.10.2004 03:25скачать
n149.html6kb.21.10.2004 03:25скачать
n150.html6kb.21.10.2004 03:25скачать
n151.html2kb.21.10.2004 03:25скачать
n152.css
Drawing 1.vsd
n154.xls21kb.18.03.2005 00:27скачать
n155.docскачать
Drawing 2.vsd
n157.xls26kb.24.03.2005 13:48скачать
n158.docскачать

n147.html

Тригонометрический ряд



В электромеханике и электротехнике часто встречаются периодические несинусоидальные функции. Они могут описывать как механические колебания, так и электрические величины, например, пилообразные или в форме трапеции напряжения и токи. Для удобства работы эти функции можно разложить в тригонометрические ряды, т.е. представить их в виде суммы синусов, косинусов и свободного члена, и использовать знакомые методы преобразования в изображения на комплексной плоскости.


Тригонометрическим рядом называют ряд вида
(2.1)


Здесь a0, a1, a2 , ... , b1, b2, ... - постоянные, называемые коэффициентами ряда.


Замечания.
  1. Свободный член (его можно записать в виде a0/2cos 0x обозначается через a0/2 (а не через a0) с той целью, чтобы формулы для коэффициентов были единообразными.
  2. Все члены ряда являются периодическими функциями с периодом 2π. Это значит, что когда аргумент x возрастает на величину, кратную 2π, все члены сохраняют свои значения.
  3. Тригонометрическим рядом называют также общее выражение
, (2.2)


где l - положительная постоянная, называемая полупериодом [все члены ряда (2.2) - периодические функции с периодом 2l, ср. замечание 2]. Ряд (2.1) есть частный случай ряда (2.2), когда полупериод l=π.


Исторические сведения о тригонометрических рядах

Тригонометрические ряды были введены Даниилом Бернулли (швейцарец, математик и механик, один из основоположников гидродинамики) в 1753 г. В связи с изучением колебаний струны. Возникший при этом вопрос о возможности разложения данной функции в тригонометрический ряд породил горячие споры между первоклассными математиками того времени (Эйлер, Даламбер, Лагранж). Разногласия порождались тем, что понятие функции в то время не было отчетливо установлено. Упомянутые споры содействовали уточнению понятия функции.

Формулы, выраженные коэффициентами ряда (2.1) через данную функцию, были даны французским математиком Алексом-Клодом Клеро в 1757 г., но не привлекли к себе внимания. Эйлер вновь получил эти формулы в 1777 г. (В работе, опубликованной после смерти Эйлера в 1793 г.). Строгий их вывод был намечен Фурье в 1823 г. Развивая идею Фурье, немецкий математик Петер Густав Лежен-Дирихле в 1829 г. Установил и строго доказал достаточный признак разложимости функции в тригонометрический ряд.

Впоследствии были установлены другие достаточные условия, и исследованы функции, не удовлетворяющие упомянутым условиям. В разработку теории тригонометрических рядов и их практических приложений важный вклад внесли многие ученые (Лобачевский, А.Н. Крылов, С.Н.Бернштейн и др.)


Ортогональность системы функций cos nx, sin nx

Определение 1. Две функции φ(x) и ψ(x) называют ортогональными в промежутке (a, b), если интеграл произведения φ(x)ψ(x), взятый в пределах от a до b, равен нулю.


Пример 3.

Функции ортогональны в промежутке (-π, π), т.к.




Пример 4.

Функции ортогональны в промежутке (-π, π), т.к.




Теорема

Любые две различные функции, взятые из системы функций

1, cosx, cos2x, cos3x, ... , sinx, sin2x, sin3x, ..., (2.3)

ортогональны в промежутке (-π, π), т.е.
(2.4)

(2.5)

(2.6)


(m, n - любые натуральные числа).

Доказательство по образцу примеров 3 и 4.


Замечания.
  1. Если вместо двух различных функций системы (2.3) взять две одинаковые, то интеграл в пределах от -π до π равен π для всех функций (2.3), кроме первой, для которой он вдвое больше:
    , (2.7)

    (2.8)


    Формулы (2.8) получаются с помощью преобразований


  2. Формулы (2.4) - (2.8) сохраняют силу для любого интервала длиной 2π. Например,
    .


Определение 2.

Если в какой-либо системе функций каждые две функции ортогональны, то и сама система называется ортогональной. В силу теоремы настоящего раздела система (2.3) ортогональна в промежутке (-π, π) (а также в любом промежутке длиной 2π).


Формулы Эйлера-Фурье


Теорема.

Пусть тригонометрический ряд
(2.9)


сходится для всех значений x к некоторой функции f(x) (эта функция - периодическая, с периодом 2π). Если для этой функции (она может быть и разрывной) существует интеграл

(собственный или несобственный), то для коэффициентов ряда (2.9) имеют место следующие формулы Эйлера - Фурье:



..............

и вообще
(2.10)


Выражение для a0 получается из общей формулы для an, если через a0 обозначить свободный член ряда (2.9), а не его удвоенную величину.

Для доказательства этого необходимо проинтегрировать исходную функцию ряда Фурье в пределах от -π до π. После этого получается формула для a0 (т=0). Остальные формулы получаются тем же способом, если предварительно помножить это равенство на cos nx или на sinnx.

Каждое слагаемое, содержащее функцию синуса или косинуса частоты nx, называется гармоникой n. Гармоники, для которых n – число четное, называют четными гармониками; гармоники, для которых n – число нечетное, называют нечетными гармониками. При разложении обычно указывается, до какой гармоники раскладывается функция. Как правило, ограничиваются пятью гармониками, но для точных расчетов может использоваться и больше – до 21.


Тригонометрический ряд с произвольным периодом.

Пусть тригонометрический ряд с периодом 2l:
(2.11)


сходится для всех значений x к некоторой функции f(x) (эта функция также имеет период 2l). Если существует интеграл



(собственный или несобственный), то для коэффициентов ряда (2.11) имеют место следующие формулы Эйлера-Фурье:
(2.12)


Формулы (2.10) получаются из (2.12) при l=π.

Тригонометрический ряд
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации