Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее - файл

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее (Документ)
Контрольная работа по математике Выполнил(а) : студент(ка) курса заочного факультета (Документ)
Лекция «Системы линейных уравнений» Критерий совместности Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными (Документ)
Программа дисциплины “Математика”, 3-й семестр (Документ)
Нахождение корней уравнений Введение Одним из наиболее распространенных методов поиска корней уравнений является (Документ)
Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными (Документ)
Суслов В.И., Лапо В.Ф., Талышева Л.П., Ибрагимов Н.М. Эконометрия-3 (Документ)
Решение задач линейного программирования (Лабораторная работа)
Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений (том 2) (Документ)
Практическая работа 3 Создание точки восстановления системы (Документ)
Сычева Г.В. и др. Алгебра. Экспресс-репетитор для подготовки к ГИА. 9 кл. Уравнения, Системы уравнений (Документ)
Калиткин Н.Н. Численные методы (Документ)

КОНТРОЛЬНАЯ 1
1.1.3

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);

в) методом Гаусса.

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

3	-2	4	12
3	4	-1	1
2	-1	-1	4
x₁	x₂	x₃

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	6	-5	-11
3	4	-1	1
2	-1	-1	4

Умножим 2-ую строку на (-2). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	6	-5	-11
0	-11	-1	10
2	-1	-1	4

Умножим 1-ую строку на (11). Умножим 2-ую строку на (6). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-61	-61
0	-11	-1	10
2	-1	-1	4

Определим ранг основной системы системы.

0	0	-61
0	-11	-1
2	-1	-1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля. Ранг этой системы равен rangA=3.
Определим ранг расширенной системы системы.

0	0	-61	-61
0	-11	-1	10
2	-1	-1	4

Ранг этой системы равен rangB=3.
rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным.

0	0	-61	-61
0	-11	-1	10
2	-1	-1	4

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 61x₃ = - 61
- 11x₂ - x₃ = 10
2x₁ - x₂ - x₃ = 4
Методом исключения неизвестных находим:
x₃ = 1
x₂ = - 1
x₁ = 2
Система является определенной, т.к. имеет одно решение.

а) Запишем систему в виде:

A =

3	-2	4
3	4	-1
2	-1	-1

B^T = (12,1,4)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 3*(4*(-1)-(-1)*(-1))-3*((-2)*(-1)-(-1)*4)+2*((-2)*(-1)-4*4) = -61
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.

12	-2	4
1	4	-1
4	-1	-1

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 12*(4*(-1)-(-1)*(-1))-1*((-2)*(-1)-(-1)*4)+4*((-2)*(-1)-4*4) = -122

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.

3	12	4
3	1	-1
2	4	-1

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*(1*(-1)-4*(-1))-3*(12*(-1)-4*4)+2*(12*(-1)-1*4) = 61

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.

3	-2	12
3	4	1
2	-1	4

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = (-1)¹⁺¹a₁₁∆₁₁ + (-1)²⁺¹a₂₁∆₂₁ + (-1)³⁺¹a₃₁∆₃₁ = 3*(4*4-(-1)*1)-3*((-2)*4-(-1)*12)+2*((-2)*1-4*12) = -61

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Проверка.
3*2-2*(-1)+4*1 = 12
3*2+4*(-1)-1*1 = 1
2*2-1*(-1)-1*1 = 4

Б) Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

3	-2	4
3	4	-1
2	-1	-1

Вектор B:
B^T=(12,1,4)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=3•(4•(-1)-(-1•(-1)))-3•(-2•(-1)-(-1•4))+2•(-2•(-1)-4•4)=-61
Итак, определитель -61 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:

a₁₁	a₁₂	a₁₃
a₂₁	a₂₂	a₂₃
a₃₁	a₃₂	a₃₃

Тогда:

A₁₁	A₂₁	A₃₁
A₁₂	A₂₂	A₃₂
A₁₃	A₂₃	A₃₃

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

A^T=

3	3	2
-2	4	-1
4	-1	-1

Вычисляем алгебраические дополнения.

A^T_1,1=(-1)¹⁺¹

4	-1
-1	-1

∆_1,1=(4•(-1)-(-1•(-1)))=-5

A^T_1,2=(-1)¹⁺²

-2	-1
4	-1

∆_1,2=-(-2•(-1)-4•(-1))=-6

A^T_1,3=(-1)¹⁺³

-2	4
4	-1

∆_1,3=(-2•(-1)-4•4)=-14

A^T_2,1=(-1)²⁺¹

3	2
-1	-1

∆_2,1=-(3•(-1)-(-1•2))=1

A^T_2,2=(-1)²⁺²

3	2
4	-1

∆_2,2=(3•(-1)-4•2)=-11

A^T_2,3=(-1)²⁺³

3	3
4	-1

∆_2,3=-(3•(-1)-4•3)=15

A^T_3,1=(-1)³⁺¹

3	2
4	-1

∆_3,1=(3•(-1)-4•2)=-11

A^T_3,2=(-1)³⁺²

3	2
-2	-1

∆_3,2=-(3•(-1)-(-2•2))=-1

A^T_3,3=(-1)³⁺³

3	3
-2	4

∆_3,3=(3•4-(-2•3))=18
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:

-5	-6	-14
1	-11	15
-11	-1	18