Уравнение Бернулли является основным в технической гидромеханике. Оно устанавливает зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же элементарной струйки.
При выводе этого уравнения ограничимся случаем установившегося медленно изменяющегося движения.
Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости по существу представляет собой закон сохранения механической энергии, составленный применительно к единице массового расхода жидкости. Закон сохранения энергии - общий закон природы, согласно которому энергия любой замкнутой системы , при всех процессах происходящих в ней, сохраняется. При этом энергия только превращается из одной формы в другую и перераспределяется между частями системы. Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, находящейся под действием только одной массовой силы - силы тяжести и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения. Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1–1 и 2–2 участок этой струйки произвольной длины. Пусть площадь первого сечения равна dS1, скорость в нем υ1, давление p1, а вертикальная координата равна z1, во втором сечении имеем соответственно dS2, υ2, p2 и z2. За бесконечно малый промежуток времени dt выделенный участок струйки 1 – 2 переместится в положение 1' – 2'. Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему механики о том, что работа A сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела
W = A,
где W - приращение кинетической энергии , A - сумма работ всех действующих сил
Схема перемещений элементарной струйки. Кинетическая энергия - мера механического движения, равная для материальной точки половине произведения массы этой точки на квадрат ее скорости W = m 2 / 2. Кинетическая энергия системы материальных точек равна арифметической сумме кинетических энергий всех точек образующих систему.
В рассматриваемом случае приращение кинетической энергии определяем как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, то есть как разность кинетической энергии объема V 1’-2 ’ и объема V 1-2. Замечая, что объем V 1’-2 входит, как составная часть в выражении для объемов V1-2 и V1’-2’.