Реферат - Рациональные числа - файл n1.docx

Реферат - Рациональные числа
скачать (126.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx127kb.05.06.2012 08:27скачать

n1.docx

Содержание
1. Рациональное число. Множество рациональных чисел 3

2. Что такое ломаное число? 3

3. Древнекитайская задача с дробями 5

4. Обыкновенные дроби в Старой Индии 5

5. Дроби в Древнем Египте 6

6. Дроби в Древнем Риме 6

7. Вавилонские шестидесятеричные дроби 6

8. Нумерация и дроби в Древней Греции 7

9. Нумерация и дроби на Руси 8

10. Дроби в других государствах древности 8

11. О простых числах. Евклид, Эратосфен, Чебышев 9

12. О задаче Гольдбаха. Нерешенные задачи теории чисел 10

13. Ал-Хорезми и его «Арифметика» 11

14. Абацисты и алгоритмики в средневековой Европе 12

15. От натуральных к дробным числам 13

16. О периодических дробях 13

17. Десятичные дроби 14

18. Из истории нуля 15

19. Число и отношение 16

20. Пропорции в Древней Греции 16

21. Как записывали пропорции в прошлом 17

22. Об измерении земного меридиана Эратосфеном 17

23. Недостаточность рациональных чисел 18

22. От эмпирической к теоретической арифметике 19

Список литературы: 19

1. Рациональное число. Множество рациональных чисел
Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью , где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается Q и может быть записано в виде:

Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, , входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь gcd(m,n) — наибольший общий делитель чисел m и n.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).
2. Что такое ломаное число?
На протяжении многих веков на языках разных народов ломаным числом именовали дробь.

Необходимость в дробях возникла на очень ранней ступени развития человеческого общества. Так, по-видимому, дележ десятка плодов между членами большой семьи или добычи, состоявшей из двух-трех кроликов, между большим числом участников охоты заставлял людей обращаться к дробям — открывать их. Первой дробью, с которой раньше других встретились люди, была половина.

Понятие о дроби как о части числа и как о некотором количестве долей единицы можно найти уже в папирусах Древнего Египта и в глиняных табличках вавилонян.

Понятие дроби, как и целого числа, с течением веков развивалось и расширялось. Греки — Евклид (III в. до н. э.) в «Началах» и Никомах (I в н.э.) в «Введении в арифметику» избегали обращаться к дробям, так как они не принимали их за числа. Архимед (287—212 гг. до н.э.) хотя и пользовался дробями, но за числа их не признавал.

Позже в продолжение нескольких веков дроби или ломаные числа рассматривали как собрание равных долей единицы, но не считали их числами. Название «ломаное число», существовавшее у многих народов, ведет свое начало от арабов и через Леонарда Пизанского (Фибоначчи) вошло в большинство европейских руководств по арифметике. В нашей стране это название существовало до XIX в.

Еще в XVII в. многие даже крупные математики того времени, например Валлис, полагали, что дробь не является числом, поскольку отвечает на вопрос «какое количество?», а не на вопрос «сколько?». Только во второй половине XVIII в. сложилось понятие о дроби, соответствующее общему определению числа, установленного И. Ньютоном. Он определял число как отношение одной величины к другой того же рода, принятой за единицу. Под это определение подходило и понятие дроби.

Великий математик Эйлер — член Петербургской Академии наук в «Универсальной арифметике» (1787 г.) указал, что понятие столь же правомерно, как и понятие 1/2, хотя оно и не целое число, но мы познаем его как особый род чисел, которые дробями или ломаными числами называются.

Различают три типа дробей:

1) единичные дроби (аликвоты) или доли, например и т. д.;

2) дроби систематические, т. е. дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа, принятого для данного вида дробей, например степенью 10 или 60. Такими дробями со знаменателями и т. д. пользовались и производили с ними различные операции в древности вавилонские мудрецы;

3) дроби общего вида, у которых числителем и знаменателем может быть любое целое число.

Дроби, у которых числитель больше знаменателя, в средние века называли «ложными» в противовес правильным дробям, которые называли «реальными». Лишь со второй половины XVIII в. распределение дробей на ложные и реальные исчезло.

В современной арифметике дробью называют пару натуральных чисел, одно из которых (знаменатель) показывает, на сколько равных долей разделен элемент, а другое (числитель) — сколько таких долей взято.

Прототип современного вида записи дробей изобретен в Индии в VIII в., затем эта запись проникла в страны Средней Азии и оттуда перешла в Европу.
3. Древнекитайская задача с дробями
В Древнем Китае пользовались десятичной системой счисления. При записи чисел употребляли цифры в форме иероглифов, причем имелся особый знак для некоторых единиц высших разрядов. Однако эти цифры применяли в основном только для записи чисел.

Для вычислений довольно часто использовалась таблица умножения, которую в то время называли «девятью девять».

Чтобы облегчить выполнение арифметических действий с большими числами (вплоть до одиннадцатизначных), сложение и вычитание производили на счетной доске. Вычисления на счетной доске проводились с помощью палочек, изготовлявшихся из бамбука, чугуна или слоновой кости.

Примерно во II в. н. э. был составлен трактат «Математика в девяти книгах». Эта книга была предназначена для землемеров, техников и счетных работников и содержит изложение правил действий над дробными числами, вычисление площадей, объемов и т. п. Вот одна задача из VI книги этого сочинения: «Дикая утка от южного моря до северного летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?»
4. Обыкновенные дроби в Старой Индии
Индия, одна из древнейших и величайших стран мира, является родиной позиционной десятичной нумерации. Эта система (с употреблением знака нуля) появилась в Индии, вероятно, в V—VII вв. н.э. Из Индии благодаря арабским и среднеазиатским ученым она распространилась в страны Европы.

Индийцы широко употребляли «обыкновенные» дроби. Наше обозначение обыкновенных дробей при помощи числителя и знаменателя было принято в Индии еще в VIII в. н.э., однако без дробной черты. Вместо , например, индийцы писали . Дробная черта стала применяться лишь в XIII в.

Широко известны математики Древней Индии Ариабхатта (V в.), Брахмагупта (VII в.), изложивший правила действий с дробями, мало отличавшиеся от наших, и Бхаскара (XII в.). Последний написал книгу под названием «Лилавати», т. е. «Прекрасная» (наука арифметика).
5. Дроби в Древнем Египте

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3/4 , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей Ѕ + ј.
6. Дроби в Древнем Риме
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Сейчас «асс» - аптекарский фунт.
7. Вавилонские шестидесятеричные дроби
Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
8. Нумерация и дроби в Древней Греции
В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида . Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н. э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям - Аттика и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) – пять, ДЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, 5/3 означало три пятых и т.д.
9. Нумерация и дроби на Руси

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:


1/2 – половина, полтина

1/3 – треть

1/4 – четь

1/6 – полтреть

1/8 - полчеть

1/12 –полполтреть

1/16 - полполчеть

1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть (малая четь)

1/5 – пятина

1/7 - седьмина

1/10 - десятина



Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
10. Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:

В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
11. О простых числах. Евклид, Эратосфен, Чебышев
Разложение чисел на простые множители показывает, что всякое число является либо простым, либо произведением двух или нескольких простых чисел. Можно поэтому сказать, что простые числа являются составными элементами натуральных чисел, как бы кирпичами, из которых при помощи действия умножения составляются все целые числа. Вот почему простыми числами начали интересоваться еще в древности. Издавна бросалась в глаза нерегулярность распределения простых чисел среди всех натуральных чисел. Было замечено, что по мере продвижения от малого числа к большему в натуральном ряду простые числа встречаются все реже. Поэтому одним из первых вопросов был такой: существует ли последнее простое число, т. е. имеет ли ряд простых чисел конец? Около 300 лет до н. э. на этот вопрос дал отрицательный ответ знаменитый древнегреческий математик Евклид. Он доказал, что за каждым простым числом имеется еще большее простое число, т. е. существует бесчисленное множество простых чисел. Другой греческий математик того же времени — Эратосфен изобрел способ, посредством которого можно найти все простые числа от 1 до некоторого определенного числа. Этот способ называется «решетом Эратосфена» (рис. 1.). Пусть, например, требуется найти все простые числа между 1 и 50. Выписываем все числа от 1 до 50:



Зачеркиваем единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем подчеркиваем число 2 и зачеркиваем все числа, кратные двум, т. е. все числа таблицы, «через одно», начиная с 2. Далее подчеркиваем из не зачеркнутых чисел 3 и зачеркиваем все числа, кратные трем, т. е. «через два» и т. д. Оказывается, что между 1 и 50 имеются следующие 15 простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47. Этим способом в настоящее время составлены таблицы простых чисел между 1 и 12 000 000.

Для получения таблицы простых чисел Эратосфен, писавший на натянутом папирусе, не зачеркивал, а прокалывал составные числа. Отсюда название «решето Эратосфена»; оно отсеивает простые числа.

После Евклида и Эратосфена многие другие ученые разных стран и времен стремились глубже познать природу простых чисел. Особенно хотелось найти такую формулу, которая позволяла бы быстро узнать, сколько простых чисел имеется между 1 и любым числом натурального ряда. Лишь в XIX в., около 2200 лет после Евклида, великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев открыл формулу, позволяющую приближенно подсчитать простые числа на любом участке натурального ряда. Начиная со второй половины XX в. для поисков больших простых чисел применяются электронные счетные машины. С их помощью доказана простота таких числовых гигантов, как:

(750 цифр); 23217—1; (1000 цифр) и др.
12. О задаче Гольдбаха. Нерешенные задачи теории чисел
Мы часто представляем составные числа как произведение простых чисел. А можно ли представить всякое натуральное число в виде суммы простых чисел?

Более 200 лет назад член Петербургской Академии наук Христиан Гольдбах (1690—1764) высказал такое предположение: всякое нечетное целое число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Проверка на отдельных примерах показала справедливость этого предположения. Так, например:

13 = 3 + 5+5; 23 = 5 + 7+11 и т. п.

Однако чтобы быть уверенным в том, что данное свойство справедливо для любых сколь угодно больших целых чисел, нужно найти общее доказательство. В 1742 г. Гольдбах обратился по этому вопросу к знаменитому математику Петербургской Академии наук Леонарду Эйлеру. Эйлер ответил, что он не может доказать это свойство, но высказал такое предположение: всякое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например: 8 = 3 + 5; 28= = 11 + 17 и т. д.

Если можно было бы решить «задачу Эйлера», т. е. доказать второе свойство, то легко было бы решить и «задачу Гольдбаха», а именно: пусть имеем какое-либо целое число. Либо оно четное, тогда оно разлагается на сумму двух простых чисел (утверждение Эйлера), либо оно нечетное, тогда вычтем из него нечетное простое число (допустим 3) и останется четное число, которое разложится в сумму двух также простых чисел (по Эйлеру) так, что всегда данное целое число разложится на сумму не более трех простых чисел.

На протяжении 200 лет над доказательством предложения Гольдбаха тщетно трудились многие крупные ученые, в том числе создатель теории множеств Георг Кантор (1845—1918), проверивший предложение для всех четных чисел от 4 до 1000, Обри — от 1000 до 2000 (в этих пределах каждое четное число было ими разложено на сумму двух простых чисел) и др.

Первый крупный успех в решении задачи Гольдбаха был достигнут молодым советским математиком Львом Генриховичем Шнирельманом (1905—1938), доказавшим в 1930 г., что всякое целое число может быть представлено в виде суммы не более чем k простых чисел, где k — некоторое вполне определенное, но нам неизвестное число. Решение задачи Гольдбаха было сведено, таким образом, к доказательству того, что k («число Шнирельмана») равно 3. Вначале k оценивалось в порядке сотен тысяч, но вскоре благодаря дальнейшим трудам некоторых советских и зарубежных математиков удалось значительно уменьшить оценку «числа Шнирельмана». В настоящее время k доведено до 20.

Крупнейшего успеха на пути к решению задачи Гольдбаха достиг в 1937 г. советский математик Иван Матвеевич Виноградов (род. в 1891 г.), доказав, что всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Результат, полученный академиком Виноградовым, является одним из блестящих математических достижений первой половины XX в.

Тем не менее задачу Гольдбаха — Эйлера поныне нельзя считать полностью решенной ввиду того, что в доказательстве Виноградова речь идет не о всех, а только о нечетных числах, причем достаточно больших.
13. Ал-Хорезми и его «Арифметика»
Ученые, и в первую очередь математики Средней Азии и Закавказья (хорезмийцы, таджики, узбеки, азербайджанцы и др.), популяризировали позиционную систему счисления, распространяли математические знания, заимствованные из Греции и Индии, и обогащали науку собственными открытиями. В силу некоторых исторических условий многие открытия ученых стран Ближнего и Среднего Востока стали известны в Европе лишь после того, как были там заново открыты.

Известный хорезмский математик и астроном Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (780— 850), как и все ученые стран ислама, писал свои произведения на арабском языке. Сохранились пять сочинений ал-Хорезми, одно из которых посвящено арифметике. Последнее дошло до нас только в латинском переводе, восходящем к середине XII в. и начинающемся словами: «Алгоритми сказал...» Слово «Алгоритми» — латинизированное ал-Хорезми. Ввиду того что арифметический труд ал-Хорезми, содержащий первое на арабском языке изложение десятичной позиционной нумерации, сыграл огромную роль в распространении новой нумерации в Европе, то по его имени стали называть «алгоризмом», «алгоритмом» или «алгорифмом» новую для Европы того времени арифметику, основанную на позиционной десятичной системе, а ее последователей — «алгорифмиками». Слово «алгоритм», или «алгорифм», широко употребляется в математике в настоящее время, оно означает правило, следуя которому можно решить задачу определенного типа, выполняя в установленном порядке ряд действий.
14. Абацисты и алгоритмики в средневековой Европе
До XI в. в Западной Европе арифметика изучалась по книге Никомаха или по сокращенной ее переработке, сделанной римским автором Боэцием (V—VI вв.). Арифметические действия и вычисления производились либо с помощью пальцев рук, либо на абаке. В X в. видный европейский математик, французский монах Герберт (впоследствии папа Сильвестр II) усовершенствовал абак. Вместо счетных камешков он употреблял жетоны с надписанными на них, им же изобретенными, цифрами. Он назвал цифры «апексами» (от латинского слова apices, имеющего несколько значений, в том числе и «письмена»). От них, как считают некоторые ученые, происходят современные цифры. Абак с апексами употреблялся лишь в некоторых монастырских школах и широкого распространения не нашел.

Только в XII в. значительно возросло число «алгорифмиков», которые уже не употребляли счетной доски, а пользовались новой десятичной позиционной системой счисления и шестидесятеричными дробями. В отличие от них последователи старой школы, «абакисты», или «абацисты», пользовались абаком, римской нумерацией, римскими цифрами и двенадцатеричными дробями.

Долго длилась борьба между последователями обеих систем. Десятичная позиционная система счисления не была воспринята сразу. Абацисты, церковь и власти ожесточенно сопротивлялись распространению новой системы.

Церковь на протяжении многих веков систематически выступала против прогресса науки и просвещения, против всяких новшеств, которые сделали бы грамоту и образование доступными всему народу и подрывали бы основу веры и авторитет церковных властей.

Преимущества десятичной позиционной системы счисления были, однако, столь велики, что она все больше и больше вытесняла неудобную старую римскую нумерацию. Фабричное производство бумаги, начатое в XIII в., в значительной мере способствовало исчезновению абака и победе алгорифмиков. Однако лишь в XVII в. новая нумерация полностью восторжествовала в Европе. С тех пор и применяются современные правила и способы вычисления.
15. От натуральных к дробным числам
Еще задолго до того как люди узнали о бесконечности натурального ряда, они в труде прокладывали пути к новым числам, отличным от натуральных, к дробным. Дроби нужны были при измерении величин и при делении целого между различными лицами.

Люди на практике открывали связи между числами и устанавливали правила действий над ними. И если первоначально под «числами» понимались только натуральные, целые числа, то с введением дробей понятие числа развилось, стало более широким. Дробные числа подчиняются тем же законам, что и целые: переместительному, сочетательному, распределительному. Всякое натуральное число является частным видом дробного числа. Например, число 5 можно представить как , или 5,0 и т. п. Нуль также можно рассматривать как дробное число и т. п. Это значит, что множество дробных чисел включает в себя и все целые числа. Благодаря расширению понятия числа мы получили возможность делить целое число на любое другое целое число, за исключением нуля.

Итак, расширение понятия числа, переход от натуральных к дробным числам отвечает практическим потребностям измерения и деления целого на части и теоретическим потребностям деления любых целых чисел.
16. О периодических дробях
При вычислениях с обыкновенными дробями часто оказывается целесообразным выразить их десятичными дробями, так как арифметические действия над последними выполнять проще.

Обращением обыкновенных дробей в десятичные занимались еще в XVII в. итальянский математик Бонавентура Кавальери, английский математик Джон Валлис.и другие. Эти ученые встретились с периодическими дробями, связанными с процессом бесконечного деления. В XVIII в. периодические дроби изучались также немецким ученым Иоганном Ламбертом (1728—1777) и Леонардом Эйлером. Полная теория периодических дробей была разработана в начале XIX в. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855).

Термин «период» для бесконечно повторяющейся группы цифр происходит от греческого слова «периодос» — обход, вращение по окружности.
17. Десятичные дроби

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти – основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Она возникла во Франции как одно из следствий буржуазной революции. Новые меры должны были удовлетворять следующим требованиям:

Во Франции за основную меру длины приняли одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана и назвали ее метром (от греческого слова «метрон», означающего «мера»). На основании измерений меридиана, сделанных французскими учеными Мешеном и Деламбром, был изготовлен впоследствии платиновый эталон метра. Число 10 легло в основу подразделений метра. Вот почему метрическая система мер, применяемая ныне в большинстве стран мира, оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления и с десятичными дробями.

Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II веке до н.э. там существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III веке н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объема. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей, однако метрологическую форму.

Например, в Китае в Х веке существовали следующие меры массы: 1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, то есть десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть стали отделять от дробной особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае как в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученого ал-Каши в XV веке. Независимо от него, в 80-тых годах XVI века десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Стевином.

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов.
18. Из истории нуля
При записи десятичной дроби мы часто прибегаем к цифре 0. Происхождение, название и знак нуля имеют интересную историю.

В любой абсолютной позиционной нумерации требуется в случае необходимости знак, выражающий отсутствие разряда в числе. Еще в Древнем Вавилоне, где впервые была развита шестидесятеричная позиционная нумерация, появился примерно в V в. до н. э. значок для отделения десятичных, а позже и шестидесятеричных разрядов, который, однако, систематически не применялся.

Греческие астрономы, которые пользовались шестидесятиричными дробями, ввели для разделения разрядов особый знак, имеющий форму буквы 0 (омикрон, первая буква в греческом слове «онден», означающем «ничего»). В VII в. в Древней Индии уже употреблялась десятичная позиционная система счисления и вместе с ней систематически применялся нуль, который обозначали точкой, а также кружочком. Некоторые ученые считают, что кружочек для нуля введен греками.

Нуль индийцы называли «сунья», что означало «пустое», в смысле отсутствия разряда в числе. Арабы, от которых европейцы переняли десятичную позиционную систему счисления, перевели индийское «сунья» арабским словом «ас-сифр». Вот почему до XVII в. нуль называли «цифрой». Так его называет и Магницкий в своей «Арифметике».

Для европейцев индийская арифметика и, в частности, нуль считались вначале какой-то тайной. Поэтому стали давать наименование «цифр» или «шифр» всякой тайнописи. Слово «нуль» происходит от латинского слова «Nul1а», означающего «никакая» (значащая цифра).

В настоящее время нуль — это не просто знак для отделения разрядов, а число, которое можно складывать, вычитать, умножать и делить, как и другие числа. Единственное ограничение — делить на нуль нельзя.


19. Число и отношение
При решении разнообразных практических задач часто приходится сравнивать однородные величины между собой и находить отношение величин, выраженное целым или дробным числом.

В древности и почти на всем протяжении средних веков под числом понималось только натуральное число, собрание единиц, полученное в результате счета. Отношение же, будучи результатом деления одного числа на другое, не считалось числом.

Но уже в трудах среднеазиатских математиков Омара Хайяма (1048—1131) и Насирэддина ат-Туси (1201—1274) высказана мысль о том, что отношение есть число и что над отношениями можно производить все действия, которые производятся над целыми числами.

Явно новое определение числа было дано впервые в XVII в. гениальным английским ученым Исааком Ньютоном. В своей «Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».

Это определение включает как целые, так и дробные числа.
20. Пропорции в Древней Греции
Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, означающего вообще соразмерность, определенное соотношение частей между собой. В древности учение о пропорциях было в большом почете у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они поэтому называли «музыкальными» и «гармоническими».

В IV в. до н.э. общая теория пропорций для любых величин (соизмеримых и несоизмеримых) была создана трудами древнегреческих ученых, среди которых выдающееся место занимали Теэтет и Евдокс. Эта теория подробно изложена в V книге «Начал» Евклида.

В VII книге «Начал» изложена теория отношений и пропорций для целых чисел (и соизмеримых величин). Из пропорции
Евклид выводит следующие производные пропорции:

В 19-м предложении VII книги Евклид доказывает основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Пропорциями пользовались для решения разных задач и в древности и в средние века. Определенные типы задач легко и быстро решаются и теперь при помощи пропорций.

Пропорции и пропорциональность применяются и применялись не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Пропорциональность в архитектуре и искусстве означает соблюдение определенных соотношений между размерами разных частей здания, фигуры, скульптуры или другого произведения. Пропорциональность в таких случаях является условием правильного, наглядного и красивого построения или изображения.
21. Как записывали пропорции в прошлом
До XVI в. пропорции записывали большей частью словесно, полностью или сокращенно. Были сделаны разные попытки введения специального обозначения для пропорций.

Так, в одной индийской рукописи XII в. Пропорция

записана следующим образом:


10

163

4

163

1

60

1

150


Средневековые математики стран ислама, писавшие на арабском языке справа налево, применяли для записи пропорции троеточие, например:
вместо нашей записи .

Выдающийся французский математик XVII в. Рене Декарт записывал эту же пропорцию так:
Некоторые английские математики поныне пользуются одной старой записью, введенной еще в 1631 г. Оутредом: .

Современная запись с помощью двоеточия и знака равенства была введена Г. В. Лейбницем в 1693 г.
22. Об измерении земного меридиана Эратосфеном
Одна из первых попыток измерения земного меридиана была предпринята задолго до Деламбра и Мешена древнегреческим ученым Эратосфеном, автором «решета» для нахождения простых чисел.

Эратосфен измерил расстояние между двумя египетскими городами, Александрией и Сиеной, лежащими почти на одном меридиане, и нашел его равным 5000 стадий (греческий стадий был равен приблизительно 192 м). Затем он установил, что во время летнего солнцестояния, когда в Сиене Солнце стоит как раз в зените, оно в Александрии отклоняется на 1/50 всего меридиана. Отсюда он вывел, что длина всего меридиана равна 5000X50, т. е. 250000 стадий.
23. Недостаточность рациональных чисел
Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

В геометрии, следствием так называемой аксиомы Архимеда является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида 1 / n. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это не верно.

Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , т. е. числу, квадрат которого равен 2.

Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число m и такое натуральное число n, что , причём дробь несократима, т. е. числа m и n — взаимно простые.

Если , то , т. е. m2 = 2n2. Следовательно, число m2 чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число m также чётно. А значит найдётся натуральное число k, такое что число m можно представить в виде m = 2k. Квадрат числа m в этом смысле m2 = 4k2, но с другой стороны m2 = 2n2, значит 4k2 = 2n2, или n2 = 2k2. Как уже показано ранее для числа m, это значит, что число n — чётно, как и m. Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся пополам. Полученное противоречие доказывает, что не есть рациональное число.

Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к необходимости расширения понятия рациональных чисел до вещественных.

22. От эмпирической к теоретической арифметике
Опытные данные, полученные людьми в ходе их трудовой деятельности, постепенно обобщались. Найденные на практике связи между числами, отдельные арифметические правила, все накопленные знания постепенно приводились в систему. Устанавливались общие правила действий над числами, создавалась теория арифметики. И если в далеком прошлом арифметика была лишь собранием отдельных правил счета и приемов для решения некоторых практических задач, была эмпирической, т. е. опытной, практической, то уже в Древней Греции наряду с практической арифметикой («логистикой») заметно развивается теоретическая арифметика. Так, Пифагор и его ученики изучают общие свойства натуральных чисел и классифицируют их на четные и нечетные, простые и составные, совершенные, дружественные и др. Евклид доказывает, что имеется бесчисленное множество простых чисел, Архимед расширяет устную и письменную нумерацию и т. п. Школьная арифметика является учением о действиях над натуральными и дробными числами. Как наука арифметика в настоящее время охватывает учение не только о числах рациональных, но и действительных и мнимых. Учение же о свойствах и законах, справедливых только для целых чисел, составляет отдельную ветвь математики и называется «теорией чисел».

Греческие математики дали первые доказательства некоторых свойств, относящихся к целым числам. В «Началах» Евклида систематически изложены основы теории делимости. Для развития теории чисел большое значение имела «Арифметика» Диофанта и работы индийских ученых. В новое время расцвет теории чисел начался в XVII в. с работ П. Ферма. Величайшие математики XVIII в. Л. Эйлер и Ж. Л. Лагранж значительно продвинули вперед учение о целых числах. Особенно большое значение для развития теории чисел имели работы величайшего немецкого математика К. Ф. Гаусса. Большие заслуги в развитии теории чисел принадлежат русским и советским ученым П. Л. Чебышеву (1821—1894), Е. И. Золотареву (1847—1878), А. А. Маркову (1856—1922), Л. Г. Шнирельману (1905—1938), И. М. Виноградову, А. О. Гельфонду, Б. Н. Делоне и другим.

Список литературы:



Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации