Реферат - Теорема Птолемея - файл n1.doc

Реферат - Теорема Птолемея
скачать (430 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc430kb.05.06.2012 08:22скачать

n1.doc

Введение.

Теорема Птолемея - элементарной геометрии, утверждающая, что произведение длин диагоналей вписанного в круг четырёхугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Эта теорема понадобилась александрийскому астроному Клавдию Птолемею, жившему во II в. н. э., для составления таблицы синусов, точнее, таблицы длин хорд. Частные случаи своей теоремы Птолемей использовал для составления своих таблиц, очень нужных для астрономических расчетов. Таблицы хорд Птолемея, сохранившиеся до наших дней, соответствуют таблице синусов от 0° до 90° (через 0,25°)- с пятью верными знаками после запятой.
В эпоху средневековья книга Птолемея, в которой содержались обширные сведения по астрономии, получила распространение в странах арабского Востока; астрономы называли ее там “Аль Маджисти” “Величайшее”, отсюда и происходит ее название “Альмагест”.

Цель данной работы: знакомство теоремой Птолемея, различными её формулировками; изучение доказательств теоремы и возможностей её практического применения; собрать и представить наиболее полную информацию по данной теме.

Задачи:

Птолемей и его теорема.

Знаменитый александрийский астроном, математик и географ II века н. э. Клавдий Птолемей — одна из крупнейших фигур в истории науки эпохи позднего эллинизма. В истории же астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия — от Гиппарха (II в. до и. э.) до Бируни (X—XI в. н. э.).

История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у историков той эпохи, когда он жил. Если, например, о его современнике римском естествоиспытателе и враче Галене известно, что он родился в Пергаме в 129 г. н. э. и умер около 201 г., то даже приблизительные даты рождения и смерти Птолемея неизвестны, как неизвестны и какие-либо факты его биографии.

Птолемею повезло в другом. Почти все его основные сочинения сохранились и были по достоинству оценены потомками, начиная от его младших современников (Веттий Валент и тот же Гален) и кончая астрономами наших дней. Основной труд Птолемея, широко известный ныне под названием «Альмагест», был переведен с греческого па сирийский, среднеперсидский (пехлеви), арабский, санскрит, латынь, а позднее — на французский, немецкий, английский и русский языки. Вплоть до начала XVII в. он был основным учебником астрономии.

Широкий круг читателей обычно связывает с именем Птолемея так называемую «систему мира Птолемея», где в центре расположена Земля, а вокруг нее по круговым орбитам обращаются Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и Сатурн. При этом пять планет движутся не непосредственно вокруг Земли, а по малым кругам — эпициклам, центры которых обращаются вокруг Земли по другим кругам — деферентам.

С именем Птолемея (l l в. н. э.) связаны наибольшие достижения греческой тригонометрии. И хотя Птолемей не знал синусов, косинусов, тангенсов, он, опираясь на труды Гиппарха(190 – 125 г. г. до н. э.) составил знаменитые таблицы хорд дуг окружностей. Заметим, что работать с хордами или с синусами – это фактически одно и то же, поскольку синус равен половине такой ходы. Таблицы хорд Птолемея, сохранившиеся до наших дней, соответствуют таблице синусов от 0° до 90° (через 0,25°)  с пятью верными знаками после запятой.

Понятно, что таблица, была в первую очередь, вызвана к жизни потребностями астрономии. Она появилась в главной работе Птолемея «Альмагест». Наряду с тригонометрией на плоскости, в ней содержались элементы сферической тригонометрии, и прилагался каталог на 1028 звёзд. «Альмагест» для того времени давал полную картину мироздания. Не забудем, что по геоцентрической системе Птолемея мир прожил почти 13 столетий – вплоть до эпохи Коперника.

Нас же интересует теорема Птолемея, которая в древности звучала так: прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противоположных сторонах.

Современная её формулировка следующая.

Теорема. Произведение диагона­лей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его про­тивоположных сторон (рис. 1).

Доказательство (близкое к доказательству самого Птолемея). Возьмем на диагонали АС точку М (рис.1) такую, что ABM=CBD. Поскольку CDB= MAB как вписанные, треуголь­ники BCD и АВМ подобны. Поэтому , т.е.

ABCD =АМBD (1)

Из того, что ABD =MBC по построению, a BCM =ADB как вписанные, следует, что ABD ~ МВС.

Значит, или

ADВС = BDСМ (2)

Сложив почленно равенства (1) и (2), получим

ABCD+ADВС= BD(AM + CM)=BDАC, что и требовалось доказать.

Рассмотрим редко встречающееся в литературе доказательство теоремы Птолемея (с использованием метода площадей).

Докажем, что произведение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, или (согласно рис.2) .

Обозначим:



Заметим, что  (внешний угол треугольника АВК ) и  из треугольника АКD. Тогда . Очевидно, что (1)

Проведем ВNАС (рис. 3).

Очевидно, что А?ВС равнобедренная трапеция и А? = ВС =b; ?С = АВ =а;

 (так как в трапеции А?ВС АDТ и  СТВ имеют равную площадь). Четырехугольник А?СD состоит из двух треугольников: DС? и DА?, а его площадь есть сумма площадей этих треугольников. .

Поскольку (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу), то ,

. Так как (стягивает такую же дугу, что и ), то и  (учитывая сказанное в начале).

Таким образом или  (2)

Сравнив (1) и (2) получим .
Теорема Птолемея доказана.

Приведём ещё одно распространённое в доказательство теоремы с использованием инверсии.

Инверсия – преобразование плоскости, определённое следующим образом.

Пусть задана окружность с центром в точке О и радиусом R. Каждой точке А плоскости, отличной от точки О, поставим в соответствие точку на луче ОА такую, что .

Сначала докажем лемму.

Лемма. Пусть и – образы точек A и B соответственно при инверсии с центром O и радиусом R. Тогда треугольники OAB и подобны и

.

Доказательство леммы. По определению инверсии выполняются равенства

,.

Следовательно, ,и потому .Треугольники OAB и имеют общий угол при вершине O, и их стороны, идущие из этой вершины, пропорциональны. По второму признаку подобия треугольники OAB и подобны (рис. 4).

Отсюда следует, что . Из этого равенства

.

Из определения инверсии . Подставляя в выражение для имеем .

Вывод теоремы Птолемея из леммы. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 5). Рассмотрим инверсию с центром в точке D. Образом окружности при этой инверсии (с некоторым радиусом R) будет прямая l, не содержащая точку D. Пусть образ точки А при данной инверсии, образ точки В при данной инверсии, образ точки С. Тогда . По доказанной выше лемме . Подставим эти выражения в равенство и получим

.

Сократив на и умножив равенство на AD · BD · DC, получим

AC · DB = AB · DC + BC · AD. Что и требовалось доказать.


При помощи инверсии так же можно доказать неравенство Птолемея.

Теорема (неравенство Птолемея). Произведение диагоналей произвольного че­тырехугольника меньше или равно сумме произведений его противоположных сторон, причем равенство достигается

только в случае четы­рехугольника, вписан­ного в окружность.

Доказательство. Рассмотрим четырех­угольник ABCD. Вос­пользуемся инверсией с центром в точке A и радиусом R (рис.3).

Напомним, что при инверсии точкам X, отличным от A, сопос­тавляются точки X' на луче AX, для кото­рых AX AX' = R2 . При этом окружности, не проходящие через точку A, переходят в окружности, а окружности, проходящие через точку A, за исключением самой точки A, переходят в прямые.

Пусть точки B, C и D переходят в точки B', C' и D' соответственно. Тогда треугольники ABC и AB'C', ADC и AD'C' , ABD и AB'D' подобны и, следовательно, имеют место равенства

.

Складывая почленно эти равенства, получим



Следовательно, имеет место неравенство

AD BC + AB CD > AC BD.

При этом равенство достигается только тогда, когда точки B', C', D' принадлежат одной прямой. Это выполняется только в случае, если точки B, C, D принадлежат окружно­сти, проходящей через точку A.

Рассмотрим теорему Птолемея для двух частных случаев четырёхугольников.

1. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция.
Обозначим AC= BD= d (диагонали трапеции), ВС = а, AD= b и АВ= CD= c. По теореме Птолемея BD·AC=BC·AD+AB·CD следовательно для равнобедренной трапеции .

2. Пусть АВСD – прямоугольник.

Обозначим АС=BD=d, АВ =CD = а, AD =BC = b.



По теореме Птолемея AC·BD=AB·CD+BC·AD следовательно (для квадрата и ромба имеем ).

Так же можно получить чисто тригонометрические доказательства теоремы Птолемея при помощи теоремы синусов и при помощи теоремы косинусов, и доказательство с использованием прямой Симпсона.

В литературе встречаются обобщения теоремы Птолемея (приведём их без доказательств):

1. Теорема Птолемея для вписанного шестиугольника. Если  произвольные точки плоскости, то



Равенство достигается тогда, и только тогда, когда точки лежат на одной окружности или прямой (причем в определенном порядке).

2. Теорема Кэйзи (Casy). Рассмотрим окружности ,, и , касающиеся данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть - длина общей касательной к окружностям  и  (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); , и т.д. определяются аналогично. Тогда обобщенная теорема Птолемея утверждает, что .

Рассмотрим несколько задач на применение теоремы Птолемея.

Задача 1.

Пользуясь теоремой Птолемея, докажем теорему Пифагора

Доказательство. Дополним прямоугольный треугольник АВС до прямоугольника АDВС. По определению прямоугольника, его внутренние углы будут равны 90 градусов , значит, прямоугольник можно вписать в окружность. Следовательно, по теореме Птолемея, АС · BD + AD ·BC = AD · CD, но по свойству прямоугольника AB = CD, AD = BC и AC =BD. Поэтому AC2 + BC2 = AB2.Итак, теорема доказана.
Задача 2. Пусть A1A2...An — правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M — произвольная точка на дуге A1An окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.

Решение. Рассмотрим правильный пятиугольник A1A2A3A4A5. Пусть точка M принадлежит дуге A1A5 его описанной окружности.

Обозначим

A1A2 = aA1A3 = A2A4 = A3A5 = A5A2 = A1A4 = b,

MA1 = d1MA2 = d2MA3 = d3MA4 = d4MA5 = d5.

Применим теорему Птолемея к пяти вписанным четырёхугольникам MA1A2A3, MA2A3A4, MA3A4A5, A4A5MA1 и A5MA1A2. Получим следующие равенства:

ad1 + ad3 = bd2,

bd3 = ad2 + ad4,

ad3 + ad5 = bd4,

ad1 + bd5 = ad4,

bd1 + ad5 = ad2.

Сложив их почленно, получим, что

(2a + b)(d1 + d2 + d3) = (2a + b)(d2 + d4).

Следовательно,

d1 + d3 + d5 = d2 + d4.

Аналогично для любого правильного n-угольника с нечётным числом сторон.

Задача 3. Доказать теорему косинусов с помощью теоремы Птолемея.

Решение. Опишем окружность около ?АВС и проведем АD  ВС:

АВСD равнобедренная трапеция, обозначим

ВD=АС=b; и CD=АВ=с; .

Проведем в трапеции высоты А? и , тогда .

Найдём .

Применим теорему Птолемея к трапеции АВСD, получим: , или .

Задача 4. Используя теорему Птолемея, мы можем вывести тригоно­метрические формулы синуса суммы и синуса разности.

Решение. Впишем четырехугольник ABCD в окружность таким образом, чтобы одна из его сторон являлась диамет­ром этой окружности (рис. 3).

Пусть АОС= 2, AOD= 2, тогда АС=2R sin, AD=2R sin,

BC=2R cos , BD= 2R cos , CD= 2R sin ().

Используя теорему Птолемея и учитывая, что AB=2R, получаем

2R2R sin ()+2R cos2R sin= 2R sin 2R cos ,

или

sin ()=sin cos cos sin.

Впишем четырехугольник ABCD в окружность таким образом, чтобы одна из его диагоналей являлась диамет­ром этой окружности.
Обозначим ACD = ABD = и DCB = DAB =. По теореме Птолемея для четырехугольника ADBC имеем:

сCD = a AD + bBD.

По теореме синусов для АВС, найдем с=2Rcos( + ).

Из прямоугольного СВD, где CBD = 90°(как вписанный, опирающися на диаметр), найдем а = 2Rcos . По теореме синусов для ABD имеем

AD = 2Rsin и BD= 2R sin .

Из прямоугольного CAD найдем b = 2Rcos .

Итак, 2R sin(+) = 2R cos 2Rsin +2Rcos2Rsin . Сокртим равенство на 4R2 и получим sin(+) = cos sin +cossin .

Задача 5.Пусть в круге данного радиуса R (рис.) известны хорды

АВ = с, АС = b и пусть требуется найти хорду

ВС = а, соответствующую разности дуг, стягиваемых хордами АС и АВ.

Проведя диаметр AD и применяя теорему Птолемея к четырех­угольнику ABCD, имеем:

b  BD = с  CD + а  2R.

Откуда

Отрезки BD и CD можно определить по теореме Пифагора, так как они являются катетами прямоугольных треугольников ABD и ACD, в которых известная гипотенуза AD = 2R и катеты B и C.

В своих расчетах Птолемей использовал хорды, длина кото­рых была известна из геометрии. Этими хордами были стороны правильных многоугольников, вписанных в круг: треугольника (хорда дуги в 120°), квадрата (90°), шестиугольника (60°), пятиугольника (72°) и десятиугольника (36°). Взяв хорду, соответст­вующую 120°, и применив свою теорему, Птолемей вычислил хорды дуг 12°, 6°, 3°, ,. Хорду дуги в 1° Птолемей вычислил с большой точностью, показав, что она меньше хорды в и больше хорды в .

При помощи формул из задачи 4 и формулы задачи 5 Птолемей и составлял свои знаменитые таблицы хорд дуг окружностей.

Заключение.


В данной работе исследована история возникновения теоремы Птолемея. Даны варианты её формулировки (формулировка самого Птолемея и её современный аналог) и с некоторые более простыми варианты её доказательства. Рассмотрены несколько задач на применение теоремы Птолемея в геометрии и тригонометрии. В целом считаю, что в данной работе достигнуты поставленные цели и выполнены поставленные задачи.

В заключении можно сказать, что несмотря на то что, суть теоремы Птолемея довольно проста, однако применение теоремы и её обобщений охватывает обширную область математических (и не только) проблем.

Даже приведенные доказательства на самом деле не исчерпывают всех возможных доказательств теоремы Птолемея. Укажем, что она может быть получена и как следствие теоремы Бретшнейдера (теоремы косинусов для четырехугольника), которая утверждает следующее: квадрат произведения диагоналей выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противолежащих углов.
Теорема Птолемея до сих пор является источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

Литература.

  1. Бронштэн В.А. «Клавдий Птолемей»// «Астрономия» П. И. Попова, К. Л. Баева, Б. А. Воронцова-Вельяминова и Р. В. Куницкого, Москва, «НАУКА», 1988;

  2. Глейзер Г. И. «История математики в школе».- М: Просвещение 1982;

  3. Затакавай В. «Теорема Птолемея и некоторые тригонометрические соотношения»// «Квант», 1991 г. №4;

  4. Прасолов В.В. «Задачи по планиметрии», 2003 г.

  5. Смирнова И., Смирнов В. «Вписанные и описанные многоугольники» // «Квант», 2006 №4.


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации