Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан - файл

приобрести
скачать (382.3 kb.)


МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА «ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ»

по всем направлениям обучения



ЗАДАНИЯ 2

ДЛЯ МОДУЛЯ ПО

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

(Каждый студент выполняет номер задания соответствующий порядковому номера в списке.)



Например студент 5-номер выполняет номера 1.5;2.5;3.5;…

Ташкент 2020

Варианты заданий модуля-2

Задание-1. Проверить коллениарность векторов и , построенных на векторах ва .











2.1.

(1, -2, 3)

(3, 0, -1)





2.2.

(1, 0, -1)

(-2, 3, 5)





2.3.

(-2, 4, 1)

(1, -2, 7)





2.4.

(1, 2, -3)

(2, -1, -1)





2.5.

(3, 5, 4)

(5, 9, 7)





2.6.

(1, 4, -2)

(1, 1, -1)





2.7.

(1, -2, 5)

(3, -1, 0)





2.8.

(3, 4, -1)

(2, -1, 1)





2.9.

(2, -3, -2)

(1, 0, 5)





2.10.

(-1, 4, 2)

(3, -2, 6)





2.11.

(5, 0, -1)

(7, 2, 3)





2.12.

(0, 3, -2)

(1, -2, 1)





2.13.

(-2, 7, -1)

(-3, 5, 2)





2.14.

(3, 7, 0)

(1, -3, 4)





2.15.

(-1, 2, -1)

(2, -7, 1)





2.16.

(7, 9, -2)

(5, 4, 3)





2.17.

(5, 0, -2)

(6, 4, 3)





2.18.

(8, 3, -1)

(4, 1, 3)





2.19.

(3, -1, 6)

(5, 7, 10)





2.20.

(1, -2, 4)

(7, 3, 5)





2.21.

(3, 7, 0)

(4, 6, -1)





2.22.

(2, -1, 4)

(3, -7, -6)





2.23.

(5, -1, -2)

(6, 0, 7)





2.24.

(-9, 5, 3)

(7, 1, -2)





2.25.

(4, 2, 9)

(0, -1, 3)





2.26.

(2, -1, 6)

(-1, 3, 8)





2.27.

(5, 0, 8)

(-3, 1, 7)





2.28.

(-1, 3, 4)

(2, -1, 0)





2.29.

(4, 2, -7)

(5, 0, -3)





2.30.

(2, 0, -5)

(1, -3, 4)





Задание-2. Найти косинус угла между векторами и .









3.1.

3.2.


3.3.

3.4.


3.5.

3.6.


3.7.

3.8.


3.9.

3.10.


3.11.

3.12.


3.13.

3.14.


3.15.

3.16.


3.17.

3.18.


3.19.

3.20.


3.21.

3.22.


3.23.

3.24.


3.25.

3.26.


3.27.

3.28.


3.29.

3.30.


(6, 5, 1)

(5, 4, 2)

(2, 0, 4)

(1, 2, 3)

(1, -1, 2)

(3, -3, 1)

(4, 2, 1)

(1, 0, 2)

(5, -1, 3)

(0, 8, 1)

(1, 0, 4)

(2, 3, 4)

(1, -2, 3)

(0, -3, 6)

(3, 3, -1)

(-1, 2, -3)

(-4, -2, 0)

(5, 3, -1)

(-3, -7, -6)

(2, -4, 6)

(0, 1, -2)

(3, 3, -1)

(2, 1, -1)

(-1, -2, 1)

(6, 2, -3)

(0, 0, 4)

(2, -8, -1)

(3, -6, 9)

(0, 2, -4)

(3, 3, -1)



(0, 1, 2)

(1, 2, 3)

(1, 1, 1)

(2, -1, 0)

(5, -6, 2)

(-3, -2, 0)

(0, 4, 5)

(2, 4, 3)

(2, 0, 1)

(2, 1, 1)

(0, 2, 3)

(3, 4, 5)

(0, -1, 2)

(-12, -3, -3)

(5, 5, -2)

(3, 4, -6)

(-1, -2, 4)

(5, 2, 0)

(0, -1, -2)

(0, -2, 4)

(3, 1, 2)

(1, 5, -2)

(6, -1, -4)

(-4, -2, 5)

(6, 3, -2)

(-3, -6, 1)

(4, -6, 0)

(0, 3, 6)

(8, 2, 2)

(5, 1, -2)



(2, 1, 0)

(3, 2, 1)

(3, 2, 1)

(3, 2, 1)

(2, 3, -1)

(5, 0, 2)

(1, 2, 7)

(1, 7, 1)

(3, 1, -1)

(-1, 4, 5)

(-1, 1, 0)

(-4, 5, 6)

(3, -4, 5)

(-9, -3, -6)

(4, 1, 1)

(1, 1, -1)

(3, -2, 1)

(6, 4, -1)

(2, 3, 0)

(6, -8, 10)

(4, 1, 1)

(4, 1, 1)

(4, 2, 1)

(-8, -2, 2)

(7, 3, -3)

(-5, -10, -1)

(-2, -5, -1)

(9, -12, 15)

(6, 2, 4)

(4, 1, 1)



Задание-3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .













5.1.





1

2



5.2.





4

1



5.3.







1



5.4.





4





5.5.





2

3



5.6.





2

3



5.7.





3

2



5.8.





7

2



5.9.





1

2



5.10.





7

2



5.11.





10

1



5.12.





5

4



5.13.





6

7



5.14.





3

4



5.15.





2

3



5.16.





4

1



5.17.





2

5



5.18.





1

2



5.19.





2

5



5.20.





5

3



5.21.





2





5.22.







2



5.23.





1

2



5.24.







2



5.25.





3

4



5.26.





4

1



5.27.





8





5.28.





2,5

2



5.29.





3

1



5.30.





3

5



Задание-4. Найти объем пирамиды, вершины которого находятся в точках , , и , и вычислить высоту,опущенную из вершины D на сторону ABC.











6.1.

(0,1,2)

(2,1,7)

(2,7,4)

(0,0,4)

6.2.

(1,2,3)

(2,8,-4)

(0,5,4)

(2,9,4)

6.3.

(1,1,1)

(2,4,-2)

(2,0,2)

(0,1,-1)

6.4.

(1,-1,1)

(0,2,3)

(1,-1,0)

(0,2,2)

6.5.

(2,1,3)

(4,-2,0)

(1,3,-3)

(7,5,2)

6.6.

(-2,0,4)

(1,3,-1)

(4,-1,3)

(2,7,3)

6.7.

(1,2,3)

(0,0,0)

(1,4,3)

(1,8,-1)

6.8.

(-1,2,0)

(1,0,3)

(0,2,2)

(1,8,3)

6.9.

(2,-1,1)

(3,3,2)

(2,1,0)

(4,1,-3)

6.10.

(2,1,-1)

(-3,1,2)

(0,1,2)

(-1,8,3)

6.11.

(-2,1,1)

(5,5,4)

(3,2,-1)

(4,1,3)

6.12.

(0,1,-1)

(3,-1,5)

(1,0,4)

(3,5,7)

6.13.

(1,1,2)

(-1,1,3)

(2,-2,4)

(-1,0,-2)

6.14.

(2,3,1)

(4,1,-2)

(6,3,7)

(7,5,-3)

6.15.

(1,1,-1)

(2,3,1)

(3,2,1)

(5,9,-8)

6.16.

(1,5,-7)

(-3,5,3)

(-2,7,3)

(-4,8,-12)

6.17.

(-3,4,-7)

(1,5,-4)

(-6,-2,0)

(2,5,4)

6.18.

(-1,2,-3)

(4,-1,0)

(2,1,-2)

(3,4,5)

6.19.

(4,-1,3)

(-2,1,0)

(0,-5,1)

(3,2,-6)

6.20.

(1,-1,1)

(-2,0,3)

(2,1,-1)

(2,-2,-4)

6.21.

(1,2,0)

(1,-1,2)

(0,1,-1)

(-3,0,1)

6.22.

(1,0,2)

(1,2,-1)

(2,-2,1)

(2,1,0)

6.23.

(1,2,-3)

(1,0,1)

(-2,-1,6)

(0,-5,-4)

6.24.

(3,10,-1)

(-2,3,-5)

(-6,0,-3)

(1,-1,2)

6.25.

(-1,2,4)

(-1,-2,-4)

(3,0,-1)

(7,-3,1)

6.26.

(0,-3,1)

(-4,1,2)

(2,-1,5)

(3,1,-4)

6.27.

(1,3,0)

(4,-1,2)

(3,0,1)

(-4,3,5)

6.28.

(-2,-1,-1)

(0,3,2)

(3,1,-4)

(-4,7,3)

6.29.

(-3,-5,6)

(2,1,-4)

(0,-3,-1)

(-5,2,-8)

6.30.

(2,-4,-3)

(5,-6,0)

(-1,3,-3)

(-10,-8,7)

Задание-5. Ответить на следующие вопросы, если точки A, B и C являются вершинами треугольника:

  1. Найти уравнение стороны AB треугольника;

  2. Найти уравнение высоты CK;

  3. Найти уравнение медианы AN;

  4. Найти точку пересечения высоты CN и медианы AN;

  5. Составить уравнение прямой,проходящей через точку C и параллельной стороне AB;

  6. Найти расстояние от точки C до прямой AB.

  1. A(3;4), B(1;2), C(-2;-3)

  2. A(-7;-5), B(-2;5), C(3;-2)

  3. A(1;3), B(-1;4), C(-2;-3)

  4. A(2;4), B(-3;-2), C(3;5)

  5. A(-5;-4), B(1;4), C(3;2)

  6. A(3;4), B(-2;3), C(4;-3)

  7. A(-4;6), B(3;-5), C(2;6)

  8. A(7;5), B(-4;-5), C(2;-3)

  9. A(3;-2), B(-6;-2), C(1;1)

  10. A(-5;-4), B(7;3), C(6;-2)

  11. A(3;-5), B(-4;2), C(1;5)

  12. A(7;4), B(1;-2), C(-5;-3)

  13. A(-4;-7), B(-4;-5), C(2;-3)

  14. A(-4;-5), B(3;1), C(5;7)

  15. A(5;2), B(-3;5), C(1;-5)

  16. A(-6;4), B(5;-7), C(4;2)

  17. A(5;3), B(-3;-4), C(5;-6)

  18. A(5;-4), B(-4;-6), C(3;2)

  19. A(-7;-6), B(5;1), C(8;-4)

  20. A(7;-1), B(1;7), C(3;7)

  21. A(5;2), B(7;-6), C(-7;-6)

  22. A(-2;-5), B(-6;-7), C(4;-5)

  23. A(-6;-3), B(5;1), C(3;5)

  24. A(7;4), B(-5;3), C(1;-5)

  25. A(-8;2), B(3;-5), C(2;4)

  26. A(4;3), B(2;7), C(-4;-2)

  27. A(-9;-7), B(-4;3), C(5;-4)

  28. A(3;5), B(-3;2), C(-3;-2)

  29. A(4;2), B(-5;-4), C(5;7)

  30. A(-4;-2), B(2;5), C(6;3)


Задание-6. Даны точки . Составить следующие уравнения:

a) Уравнение плоскости ;

b) Уравнение прямой ;

c)Уравнение прямой ;

d)Уравнение прямой ;

e)Уравнение плоскости, проходящей через точку , и перпендикулярной прямой ;

f)Найти синус угла между прямой ;

g)Найти косинус угла между плоскостью Oxy и плоскостью .





    1. .

























































Образец решения
Условие коллинеарности векторов:

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами.

Условие коллинеарности векторов и :



Пример 1. Коллинеарны ли векторы ?

где

Решение:

Из коллинеарности векторов:





Ответ: Векторы коллинеарны и противоположно направлены.

Угол между векторами:

Формула вычисления угла между векторами и :



или




Пример 2. Найдите угол между векторами и .

Решение: По формуле косинус угла :



Значить,




П ример 3. Вычислить высоту пирамиды, опушенную на грань ABC, если известно, что A(2,3,1), B(4,1,-2), C(6,3,7) и D(-5,-4,8) .

Решение: Найдем вектора


B
; ; и

Объём пирамиды, построенной на векторах , и , равен 1/6 объёма параллепипеда, построенного на векторах , и . и

Где отсюда

Вычислим следующие:







Отсюда



Пример 4. Найдите приведенные ниже для треугольника вершины, которые находятся в точках :
a) Уравнение высоты ;

b) Уравнение высоты ;

c) Уравнение медианы ;

d) Найдите точку пересечения медианы и уравнение высоты ;

e) Уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной ;

f) Расстояние от точки до прямой .

Решение: a) Уравнение прямой находим по формуле:



b) Решая уравнение стороны относительно y, находим угловой коэффициент прямой . Используя условие перпендикулярности прямых AB и CH, определяем, что угловой коэффициент высоты CH равен

. Тогда, запишем уравнение высоты :

или

c) Составим уравнение медианы, проходящей через точки находим , которые являются координатами точки :

;

d) Решая вместе уравнения высот BC и CK, мы определяем координаты точки K , точку их пересечения,

;

e) Угловой коэффициент прямой, параллельной AB, проходящей через точку C, также . Затем по уравнению и по координатам точки C строим уравнение прямой CD:



f) Определим расстояние d от точки C до стороны AB по формуле:

.

Решение этих примеров показано на рисунке 1.


Рис. 1


Рис. 2


Пример-5. Даны четыре точки . Составьте уравнение:

a) плоскости ;

b) прямой ;

c) прямой , перпендикулярной к плоскости ;

d) прямой , параллельной прямой

e) синус угла между прямой и плоскостью ;

f) Вычислить косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью .
Решение: a) Определим уравнение плоскости по формуле:

отсюда получим

b)Чтобы написать уравнение прямой

воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:

;

c) Принимая во внимание, что прямая линия

перпендикулярно к плоскости сможем получить нормальный вектор плоскости для направляющий вектор тогда уравнение прямой запишем так:





d) Поскольку прямая параллельна прямой их направляющий векторы сможем записать так и , . Тогда уравнение прямой :



e) По формуле (3.18) :



f) по формуле (3.5):





МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации