Игнатищев Р.М., Громыко П.Н., Хатетовский С.Н. Курс теоретической механики - файл n1.doc

приобрести
Игнатищев Р.М., Громыко П.Н., Хатетовский С.Н. Курс теоретической механики
скачать (3861.8 kb.)
Доступные файлы (21):
n1.doc376kb.19.10.2002 16:02скачать
n2.doc629kb.20.10.2002 10:19скачать
n3.doc609kb.20.10.2002 11:13скачать
n4.doc720kb.18.06.2005 11:47скачать
n5.doc618kb.24.10.2002 12:43скачать
n6.doc671kb.20.10.2002 15:59скачать
n7.doc698kb.21.10.2002 09:41скачать
n8.doc539kb.21.10.2002 11:02скачать
n9.doc643kb.21.10.2002 15:04скачать
n10.doc516kb.18.06.2005 12:03скачать
ztm1www.bru.mogilev.by.doc1016kb.17.06.2005 15:22скачать
n12.doc1353kb.17.06.2005 15:44скачать
n13.doc398kb.23.10.2002 10:40скачать
n14.doc529kb.18.06.2005 12:13скачать
n15.doc1180kb.18.06.2005 10:08скачать
n16.doc895kb.18.10.2002 12:13скачать
n17.doc874kb.18.10.2002 13:20скачать
n18.doc1070kb.19.10.2002 09:18скачать
n19.doc876kb.19.10.2002 11:16скачать
n20.doc866kb.19.10.2002 13:36скачать
n21.doc372kb.18.06.2005 11:25скачать

n1.doc



Раздел III. Д И Н А М И К А
23. Предмет изучения и основные задачи

Динамика – это часть теоретической механики, в которой рассматриваются наиболее общие связи между пространственно-временными, массовыми и силовыми характеристиками механических систем.

Основные решаемые в ней задачи:

по известным массовым и пространственно-временным характеристикам определяют силовые характеристики; например, по известным массе тела и закону движения центра масс определяют главный вектор действующих на это тело сил;

вторая основная задача динамики – определение пространственно-временных характеристик по известным массовым и силовым характеристикам.

Характерным признаком решений 1-й основной задачи динамики является наличие в них процедур взятия производных (по времени). Характерный признак решений 2-й основной задачи - наличие интегрирований.

24. О массах и механических системах




24.1. Понятие о массе тела. Основные единицы её измерения

Наблюдения показывают, что тела, содержащие различные количества вещества (например те, которые при одинаковых удельных весах имеют неодинаковые объёмы) имеют и различную кинематику при действии на них одинаковых систем сил. Для учёта этого явления и используется понятие «масса».

Масса - это одна из основных характеристик любого материального объекта, определяющая его инертные и гравитационные свойства. Её единицей измерения является килограмм.


Из истории килограмма.

30.03.1791 года национальное собрание Франции, рассмотрев предложение комиссии учёных, постановило за единицу массы принять массу 1-го кубического дециметра чистой воды при температуре наибольшей её плотности (4оС). Эта единица и была названа килограммом.

Парижский дециметр равен берлинскому, лондонскому и московскому лишь с определённым уровнем точности и зависит от температуры сосуда. К определённым погрешностям приводят и различия, появляющиеся при конкретных реализациях фактора «чистая вода». В 1872 году Международная комиссия по прототипам метрической системы решила отказаться от естественного эталона килограмма; более удобным она посчитала эталон килограмма, выполненный из твёрдого тела.
169

В 1889 году были закончены изготовление и сличение серии платино-иридиевых эталонов килограмма. Один из них передали в Международное бюро мер и весов; его называют Международным прототипом килограмма; хранится под тремя, друг в друга вставленными, стеклянными колпаками, в городе Севре (близ Парижа). Остальные эталоны (их называют национальными) были распределены между странами-участницами, подписывавшими соответствующую международную конвенцию - США, Германия, Англия, Япония и ряд других развитых стран. России достался эталон №12.

В состав эталона входят также прецезионные эталонные весы, позволяющие проводить сличения с относительной погрешностью не более .

Платино-иридиевый эталон 1889 года уравновешивается 1,000028 кубическим дециметром дистиллированной воды при 4оС.

С национальных делают вторичные эталоны и уже по ним - рабочие образцы килограмма.

Желание иметь простой и более точный способ воспроизводства единицы массы объясняет почему учёные ещё и сейчас ведут поиски в направлении создания более совершенного эталона килограмма. Есть, например, предложения перейти к Атомному эталону. Так, в журнале «Наука и жизнь» (1991, №11, с.96) предлагается за 1 килограмм принимать массу, которой обладает 215107142857 атомов кремния.

Итак, масса – это мера содержащегося в теле вещества. Основной единицей её измерения является килограмм.

2.2. Аксиома о массах. Понятия механической системы и частицы


Среди частей вещества есть такие, например молекулы либо их комплексы, массы которых – постоянные величины, но есть частицы вещества и с переменными массами. Например, масса электрона () подчиняется зависимости

,

где - масса покоя электрона, - его кинетическая энергия, - скорость света в вакууме.

Современная физика оперирует также такими законами и понятиями как «дефект масс» (), «аннигиляция частиц» и подобными.

Аксиома о массах (это вторая аксиома, ограничивающая область применимости опорных фактов теоретической механики; первая пространственно-временная ограничительная аксиома была рассмотрена в кинематике):

170

е
24.1
сли у принятой к рассмотрению части материальной среды отсутствуют процессы деления или слияния физических частиц, а ограничивающая её оболочка не пересекается частицами, то масса такой части материальной среды является постоянной во времени величиной.

Пояснение: динамические процессы, наблюдаемые при ядерных взрывах не являются предметом рассмотрения теоретической механики; взрывы же механи-

ческой и химической природы (причинами чего могут быть, к примеру, разрушения оболочек, удерживающих сжатый газ, или перегретый пар, а также взрывы динамита, скопившегося в горных выработках метана и т.п.) допустимо анализировать с использованием излагаемых в теоретической механике методов и опорных фактов.

Части материальной среды с постоянными во времени массами называют механическими системами.

Любая исходная механическая система может быть представлена состоящей из подсистем. Наиболее часто встречается случай, когда составляющими оказываются твёрдые тела. Иногда удобно для механических подсистем оконтуривающие оболочки принимать такими, чтобы они содержали участки с перетекающими через них массами (см. подразды 5.6 и 5.7), но аксиома 1 обязывает рассматривать это в рамках постоянства массы исходной механической системы, т.е. обязывает соблюдать принцип: «сколько массы ушло из одних механических подсистем, столько же её вошло в другие механические подсистемы».

Механическая частица (в дальнейшем просто – «частица») – это механи-ческая подсистема, имеющая бесконечно малую постоянную массу.

Понятие это абстрактное и, как видно из изложенного выше, не во всём стыкуется с явлениями, наблюдаемыми у физических частиц. Но ... применение методов и опорных фактов теоретической механики, основанных на такой предпосылке, всегда приводило к получению результатов выдерживавщих экспериментальные проверки. Это и является основанием к допустимости оперировать понятием «частица».

Введено же это понятие с той целью, чтобы можно было методы теоретической механики базировать на таких мощных и изящных методах математики как дифференциальное и интегральное исчисления.

24.3. Понятия о массе, центре масс механической системы и о материальной точке



Принимаем к рассмотрению произвольную механическую систему, состоящую из подсистем, которые, в свою очередь, состоят из частиц, - масса одной из них.
171

По определению, величины

называют массами, соответственно 1-й, 2-й, ... k-й и т.д., N-й подсистем, а

24.2

- массой принятой к рассмотрению механической системы.

Пусть, далее, - радиус-вектор какой-либо отдельной частицы. Концы радиус-векторов , удовлетворяющих условиям



называют центрами масс, соответственно, 1-й, 2-й, ... k-й и т.д., N-й подсистем, а точку С пространства, положение которой определяется из условия

24.3

называют центром масс рассматриваемой механической системы.

Из введенных понятий видно, что для твёрдого тела центр масс – это знакомый из статики центр тяжести тела (если, конечно, при переходе от одной частицы к другой нет необходимости учитывать изменение ускорения свободного падения, что практически всегда и имеет место). Если же речь ведётся о сложной механической системе, то центр масс, как правило, оказывается точкой, не выходящей за пределы оболочки, оконтуривающей эту механическую систему, т.е. центр масс достаточно представительный объект для описания движений. В частности, для человека, находящегося на Земле и оценивающего движение летательного аппарата (самолёта, вертолёта, космического корабля и т.д.) мало интересно насколько этот центр масс перемещается относительно корпуса (в целом не выходя за его пределы).

В связи с этим, простым и удобным для рассмотрения движущимся объектом является материальная точка – это перемещающаяся вместе с центром масс механической системы точка, масса которой равна массе этой системы.
172

25. Главный закон-аксиома динамики -

закон о движении центра масс




25.1. Исторический аспект и формулировка главного закона-аксиомы динамики


Первое, стройное и комплексное изложение классической механики, в котором от одних явлений можно теоретическим путём переходить к другим и быть, при этом, почти на 100% уверенным в правильности предсказанного, принадлежит английскому учёному Исааку Ньютону (1643-1727 годы). Обобщая научные достижения предшественников и современников – Галилео Галилея (1564-1642), Иоганна Кеплера (1571-1630), Христиана Гюйгенса (1629-1695), Рене Декарта (1596-1650), Роберта Гука (1635-1702), Готфрида Лейбница (1646-1716), Эдмунда Галлея (1656-1742) и других известных учёных – он в трактате «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) сформулировал 3 закона-аксиомы и, на их основе, по аналогии с методами Евклидовой геометрии, применительно к классической механике построил аксиоматическую теорию.

Одним из законов-аксиом в «Математических началах» является «Закон равенства действия и противодействия». Современные его формулировки практически ничем не отличаются от тех, которые давал И.Ньютон.

В данном «Курсе» этот закон-аксиома принимается «один к одному». И он уже рассмотрен в статике.

Что же касается двух других законов («Закона инерции» и «Об изменении количества движения»), то принимать их за начала сегодня нерационально. И вот почему.-

За более чем 3 века, прошедшие со времени появления в свет «Математических начал», существенные изменения в направлении усовершенствования претерпел математический аппарат и применяемая в нём символика (в частности, велики в этом заслуги Г.Лейбница), во многом изменилась терминология (как математическая, так и механическая; достаточно констатировать, например, что во времена написания «Математических начал» отсутствовало как самостоятельное даже понятие «ускорение»), существенно изменились акценты, преподавателями найдены более рациональные последовательности построения курсов.

В
25.2
разрезе сказанного важно знать и мнение академика А.Н.Крылова - переводчика «Математических начал» на русский язык. Перевод им осуществлён в 1914-1916 годах, а в 1942-м, в «Мои воспоминания», он писал (в издании 1984 года – с.219): «Некоторые авторы полагают, что Ньютон пользовался исчислением бесконечно малых, как он их называл «флюксий» и «флюент», в гораздо большей мере, нежели он это показал в «Началах». Изучение Ньютона и


173

перевод его «Начал» показали мне ... Во времена Ньютона алгебра и анализ далеко не были тем математическим орудием, как теперь», его «орудием была геометрия». Мнение А.Н.Крылова подтверждает и известный специалист по истории классической механики Н.Д.Моисеев. В своих «Очерки развития механики» он писал (в издании 1961 года с.177): «Нарочито избегая использования алгебраической символики при употреблении элементов дифференциального и интегрального исчисления, настаивая на архаическом аппарате теории конических сечений и теории пропорций, взамен аппарата аналитической геометрии Декарта и алгебраического оформления исчисления бесконечно малых Лейбница, Ньютон сделал свой трактат весьма неудобочитаемым не только для наших, но даже и для своих современников».

По этим причинам законы инерции и об изменении количества движения в данном базовом курсе будут рассматриваться не как аксиомы, а как твёрдо установленные факты механики, которые, в связи с этим, будут использоваться в качестве важных аргументов, доказывающих приемлемость применяемых в теоретической механике методов.

Главный закон-аксиома динамики - закон о движении центра масс:

с
25.1
уществуют системы отсчёта, называемые инерциальными, в которых ускорение центра масс любой механической системы, её масса и главный вектор действующих на неё внешних сил оказываются связанными математической зависимостью .

Наиболее употребительными инерциальными системами отсчёта являются Гелио- и Геоцентрические. Подробнее о них речь ведётся в следующем разделе.
Справедливость рассматриваемого закона подтверждена более чем трёхвековыми наблюдениями и специально ставившимися экспериментами – при скоростях объектов на несколько порядков меньших скорости света математическое соотношение 25.1 оказывалось справедливым для тел и механических систем различных размеров – от физических и химических частиц (атом, молекула и т.д.) до планет Солнечной системы, охватывая, при этом, все существовавшие и ныне работающие машины и механизмы.

Векторное равенство 25.1 имеет три скалярных эквивалента –

математические выражениями закона о движении центра масс в проекциях на декартовы оси координат:
.
Если при анализе движения механической системы исследователя инте-ресует движение лишь центра масс, а не взаимное перемещение отдельных тел, то математическое выражение 25.1 записывают в упрощённой форме, называя его
174

основное уравнение динамики материальной точки:


25.23
, где

- масса материальной точки, - действующая на неё сила.

Замечание: в 25.23 массу можно считать не только конечной, но и бесконечно малой величиной. В этом случае бесконечно малым будет и модуль силы .

Проекции основного уравнения динамики материальной точки на оси декартовой системы координат называют:

д
25.24
ифференциальные уравнения движения материальной точки -

, , .
25.2. Что такое 1 Ньютон ?

За единицу измерения силы принят 1 Ньютон - это такая сила, которая тело массой 1 килограмм перемещает с ускорением 1 м/с2. Из 6 видим:

.
25.3. О косвенном влиянии внутренних сил на движение центра масс

Встречается неудачное выражение: «Внутренние силы на движение центра масс не влияют». Рекомендуем пользоваться формулировкой:
в
25.5
нутренние силы в математическое выражение закона о движении центра масс не входят.
Что же касается ответа на вопрос «Влияют ли внутренние силы на движение центра масс?», то – «Влияют», ибо, к примеру, силы действующие внутри двигателя внутреннего сгорания в уравнение движения автомобиля не входят, но входят силы сцепления (приложены к ведущим колёсам со стороны дорожного покрытия), а они возникают лишь по причине появления внутренних сил в цилиндре работающего двигателя.
25.4. Три исторических примера, иллюстрирующих, что «корректное применение дифференциального и интегрального исчислений к опорным фактам 1-5 приводит к достоверным выводам»

25.4.1. Закон инерции

Пусть проекция на какую-либо ось (например ) главного вектора сил, действующих на механическую систему, равна нулю. Тогда, используя процедуры интегрирования, из 25.2 получаем:

175

-
е
25.6
сли сумма проекций на какую-либо ось инерциальной системы отсчёта всех внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо покоится, либо за равные промежутки времени проходит равные расстояния.
Если кроме находится ещё две непараллельные оси (например и ), для которых имеют место аналогичные равенства и ,

то результат 25.6 получает векторное отражение:
-
е
25.6’’
сли главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то её центр масс либо покоится относительно инерциальной системы отсчёта, либо движется равномерно и прямолинейно.
Существо утверждений, сформулированных в опорном факте 25.6, находится на обозрении мировой научной общественности не менее 350 лет:

хотя и без чётких формулировок, но это имеется в «Вопросах, относящихся к книгам “Физика”» (1545 г.) испанца Доминико Сото (1494-1560);

в отчётливой формулировке содержится в «Беседах и математических доказательствах ...» (1638 г.) Галилео Галилея - «Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления движению, то ... движение это является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца»;

у Христиана Гюйгенса - в качестве «гипотезы» в трактате «Маятниковые часы ...» (1673 г.);

в «Математических началах» (1687 г.) И.Ньютона – уже в форме закона-аксиомы - «Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не побуждается приложенными силами изменять это состояние».

За прошедшие 3,5 века не появилось ни одного экспериментального факта, который бы противоречил утверждению, содержащемуся в законе об инерции, что является одним из локальных доказательств приемлемости использования понятий, математических связей и методов их преобразования, отражённых в приведенных формулировках.

176

25.4.2. Законы движения свободно падающих

и скользящих по наклонным желобам тел

С
К свободно

падающему телу
вободно падающее тело


Дано. - На рис.25.1 изображено тело А, весом G, которое после перерезания нити падает вниз.

S – ось отсчёта, О – её начало. М – положение падающего тела в произвольный момент времени t.

Определить зависимость проходимого телом пути от времени.

Решение.- Основное уравнение динамики точки в проекции на ось S принимает вид




Рисунок 25.1
.

Для моментов времени и : .

Т.е. получаем:


25.7
.


К скольжению тела по наклонному жёлобу

Скольжение тела по

гладкому наклонному жёлобу

Д
Рисунок 25.2
ано
. - На рис.25.2 изображено тело, движущееся по наклонному жёлобу. - его сила тяжести, - нормальная, действующая со стороны жёлоба реакция. S – ось отсчёта, О – её начало. При .

Определить зависимость проходимого телом пути от времени.

Решение.- Основное уравнение динамики точки применительно к рассматриваемому случаю имеет вид

.

Проектируя записанное векторное равенство на ось , получаем

177

и затем, после взятия 1-го и 2-го интегралов: .

Откуда, как и для свободно падающего тела, получаем соотношение 25.7.
В 16 веке правильность отображения соотношением 25.7 движения свободно падающих тел и тел, движущихся по гладким наклонным желобам, была далеко не очевидной. Так, известный итальянский учёный Джамбатиста Бенедетти (1530-1590) в «Книга различных математических и физических рассуждений» (1585г.) считал, что скорость падения свинцового шара должна быть в 11 раз больше деревянного, а Рено Декарт в своих записях примерно 1620 года приводил вместо 25.7 соотношение

.

В трактатах того времени встречалось и соотношение 25.7, но оно приводилось в завуалированном виде и, главное, без доказательств.

Дать доказательства правильности описания формулой 25.7 движения свободно падающих и движущихся по наклонным желобам тел удалось лишь Галилео Галилею – в его «Беседы и математические доказательства ...» (1638 г.). При этом, заметим: опыты Галилея с бросанием тел с Пизанской башни (примерно 1589-1592 годы) не дали ему надёжных результатов – по причине отсутствия точных измерителей коротких промежутков времени; но он нашёл выход из положения – перешёл на опыты с бронзовым шариком, скользящим вдоль гладкого жёлоба на наклонённой под различными углами к горизонту доске. Хотя промежутки времени по-прежнему измерялись количеством вытекавшей из сосуда воды, их удалось удлинить примерно в 5-15 раз, что, в сочетании с возможностью менять угол наклона, оказалось достаточным для получения надёжных экспериментальных данных.
25.4.3. Математический маятник

Простой математический маятник – это подвешенная на нити материальная точка – см. рис.3, где О – точка подвеса; - длина математического маятника; - угловая и - окружная координаты; - вес и - масса материальной точки (); - натяжение нити и - орт подвижной касательной.

178

О
К вопросу о движении математического маятника
сновное уравнение динамики применительно к математическому маятнику:

.
Проектируем составленное векторное уравнение на подвижную касательную -
.

Учитываем известную из элементарной матема-тики связь



и получаем:


25.8
где
Н
Рисунок 25.3
есмотря на простоту записи, полученное дифференциальное уравнение в элементарных функциях неразрешимо (т.е. точное его решение не может быть представлено конечным числом сочетаний элементарных функций).

Если говорить об инженерной значимости, то на практике чаще всего встречается случай так называемых малых колебаний математического маятника. Пока его и будем иметь ввиду.

представляем разложенным в степенной ряд -

Ряд знакопеременный и убывающий, а из математического анализа известно, что в этом случае погрешность от пренебрежения бесконечной совокупностью членов отброшенной части ряда не превышает значения первого его члена, т.е. с погрешностью, не превышающей можно записать:

25.9


Математическое выражение 25.9 называют канонической (простейшей, стандартной) формой дифференциального уравнения свободных колебаний, приёмы исследования которого уже излагались – в курсе высшей математики. Здесь ограничиваемся написанием лишь его решения:


179


25.10



.
Постоянные определяем из начальных условий (при ). При этом учитываем, что
.
Тогда: .

.

Откуда: .

Итак, период малых колебаний математического маятника определяется выражением

25.11
.
Главной задачей подраздела является показ обучающимся, что излагаемые методы являются, если образно выражаться, тем строительным материалом, который позволяет сооружать надёжные мостики теоретических переходов от одних описаний механических явлений к другим; к такого качества описаниям, которые дают почти 100-процентную уверенность в том, что теоретический прогноз совпадёт с данными опытной проверки предсказанного результата.

Чтобы обучающегося убедить в высокой надёжности предсказаний, получаемых методами теоретической механики, авторы считают целесообразным использовать для этого известные исторические примеры. Ими являлись «закон инерции» и «законы движения свободно падающих и скользящих по наклонным желобам тел». Математический маятник является ещё одним из таких примеров.

Почему средневековье оказалось богатым на исследования в области маятников? - Потому, что вопросы мореходной практики настоятельно требовали создания часов.

Известно, в частности, что часы жолудеподобной формы в 1490 году делал в Нюрнберге Петер Хеле. Примерно в то же время в Кенигсберге их делал Ганс Ионс. Но точность часов того времени (и карманных, и башенных) примерно до 1660 года была слишком неудовлетворительной (все они спешили или опаздывали не менее, чем на час в сутки).


180

И лишь благодаря проведенным серьёзным исследованиям законов движения маятников удалось неточности хода часов снизить до нескольких минут, а затем и секунд, в сутки.

В создании теории маятников заметно участие Галилея. Он, моделируя математический маятник, подвешивал к нити различные по массе и плотности шары и правильно установил независимость периода колебаний от этих факторов. Что же касается явления изохронности (изохронность - это независимость периода колебаний от начальных условий), то здесь им был получен результат, требовавший дальнейшего уточнения – он считал, что колебания математического маятника изохронны не только при малых, но и больших углах размаха.

Исследовательские работы Галилея в области колебаний маятников продолжило молодое поколение учёных. Большой вклад в решение проблемы точности часов внесли Роберт Гук и Томас Томпсон (последний – больше практик, подхватывавший новейшие научные достижения в области совершенствования часов и завоевавший, поэтому, славу лучшего часовщика мира того времени).

Но наибольшие заслуги в решении проблемы точности хода часов у голландского учёного Христиана Гюйгенса. В частности, в 1657 году он от Правительства Голландии получил патент на маятниковые часы со «свободным пуском», в 1658-м опубликовал брошюру «Часы» (с подробным описанием их конструкции), и уточнил результаты исследований Галилея относительно изохронности колебаний математического маятника, что особенно важно для нас, изучающих курс теоретической механики, т.к. этот факт является очередным локальным доказательством приемлемости методов теоретической механики.

И действительно, если повысить точность решения дифуравнения 25.8, то период колебаний математического маятника окажется определяемым не по

, а по формуле

(предоставляем студенту возможность самостоятельно разобраться с этим, широко изложенным в специальной литературе, результатом).
Возвращаясь к инженерно-практической сущности математического маятника замечаем: если размах колебаний () не превышает 45о, то с точки зрения точности вычисления периода колебаний, погрешность от пользования простой формулой 25.11 не превышает 1%. При погрешность меньше 0,1%.

181

Одна из главных учебных задач студента: овладеть стандартным набором методов и приёмов теоретической механики. Примеров, имеющих богатую историю, подобных 3-м рассмотренным, относительно мало, ибо подавляющее их большинство (иллюстрирующих те или иные аспекты и нюансы методов теоретической механики) появилось лишь тогда, когда решение задач механики превратилось в повседневные занятия армии специалистов. Однако, это не означает, что теоретически предсказываемые результаты в приводимых далее примерах могут не соответствовать опытным данным. С этой точки зрения все они в высочайшей степени доверительны, т.е. опорный факт 1-4, с разворачиванием его в другие математические выражения через процедуры интегрирования, используется научным миром уже более 3-х веков и, в рамках применимости описанных на с.171, до сих пор не отмечено ни одного экспериментального опровержения теоретически предсказывавшимся результатам. Понятно, если эти теоретически предсказываемые результаты были корректными; ибо, к примеру, если у кого-то вдруг оказывалось, что равен не , а положим , то это в счёт не идёт.
25.5. Примеры, иллюстрирующие первую основную задачу динамики

ПРИМЕР 25.1.- По известной массе материальной точки и уравнениям её движения в инерциальной системе отсчёта, заданным в координатной форме, определить действующую силу

Дано. - кг; . В написанных формулах - в секундах, углы - в радианах, координаты - в метрах.

Определить силу , под действием которой происходит описанное движение.

Решение.- Используя дифференциальные уравнения движения 7, получаем:
, Н;
, Н;
, Н.
Итак, .
ПРИМЕР 25.2.- Равномерное движение материальной точки по окружности

Дано. - Масса материальной точки - (кг). Радиус окружности - ).

Определить силу , под действием которой происходит описанное движение.

Решение.- .


182

25.6. Примеры, иллюстрирующие вторую основную задачу динамики
ПРИМЕР 3.- Разгон пассажирского поезда - это пример на определение движения центра масс в случае, когда главный вектор внешних сил является функцией времени. Вспомогательная значимость примера. – Это пример, иллюстрирующий наличие у инженеров возможностей своей деятельностью подтверждать уважительное отношение к принципу «Человек – высшая ценность общества и государства, надо постоянно улучшать условия его жизни» (принцип провозглашён «Всеобщей декларацией прав человека»; записан и в Конституции Республики Беларусь).

Дано. - С целью обеспечения высокой комфортности поездки пассажиров при разгоне поезда целесообразно соблюдать условие плавного изменения ускорения. Пусть, по этим соображениям, автоматическим регулятором обеспечивается изменение движущей силы по закону


Участок пути горизонтален. Масса поезда т. Максимальное ускорение . Скорость в конце разгона м/с.

Определить время и путь разгона, а также значения переменных и (необходимые для установки на регуляторе).

Решение.- Дифференциальное уравнение движения центра масс


а



,
из которого видно, что ускорение максимальным будет в тот момент времени, когда косинус примет значение (-1), а это имеет место при , т.е. из (а) получаем: по условию кН.

Берём 1-й интеграл от (а):





В начале разгона



Таким образом


б


183

В конце разгона по условию. Поэтому

Откуда:



Теперь берём второй интеграл от дифуравнения (а), т.е интегрируем дифференциальное уравнение (б):



В начале разгона и, поэтому,



Таким образом, закон движения поезда описывается уравнением:

в

Т.к. в конце разгона то из (в) получаем:

м.
ПРИМЕР 25.4.- Доска на противоположно вращающихся барабанах. Силами трения сжимается - это пример на определение движения центра масс при силах, являющихся функцией координаты; характер движения устойчивый. Вспомогательная значимость примера – показ инженеру простого устройства для экспериментального определения коэффициентов трения скольжения

Дано. - Механическая система к примерам 25.4 и 25.5 изображена на рис.25.4 и 25.5. В примере 25.4 рассматривается случай, когда барабаны вращаются в направлениях, указанных сплошными круговыми стрелками и . Коэффициент трения скольжения между доской и барабанами . При м; м. Вес доски - .


184



Д И Н А М И К А
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации