Шпаргалка - Экономико-математические методы - файл n1.doc

приобрести
Шпаргалка - Экономико-математические методы
скачать (725 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc725kb.05.06.2012 07:23скачать

n1.doc

1   2   3

Функция спроса.


Спрос - оптимальное решение задачи потребителя. Спрос есть платежеспособная потребность, а платежеспособность предполагает соответствие цен и дохода. Поэтому мы можем утверждать, что общее решение задачи потребителя вычисляется как функция от цен и дохода: . Точно так же .

Решение оптимизационной задачи - это лишь один из способов определения спроса, который схематично можно представить так:



где - отображение, представленное максимизацией функции u с учетом бюджетного ограничения. В общем случае - это некоторая совокупность правил, с помощью которых потребитель определяет свой спрос.

Пусть - множество допустимых наборов товаров, - пространство цен. Функцией спроса (индивидуального потребителя) называется отображение , которое каждой паре ставит в соответствие множество наиболее предпочтительных наборов товаров



где - множество всех подмножеств множества X . Это же отображение можно записать как




Любая точка называется спросом (при ценах и доходе ).

Итак, в общем случае функция спроса - это многозначное отображение. Действительно, если - вектор спроса, а множество не пусто, то любая точка множества является спросом.


  1. Постановка задачи оптимального поведения потребителя.

Содержательно эту задачу можно сформулировать так: потребителю нужно приобрести (купить) на рынке необходимые ему виды товаров в таком количестве, чтобы их потребление доставило максимальное удовлетворение (пользу); при этом суммарная стоимость купленных товаров не должна превышать его дохода (бюджета).

Последнее условие называется бюджетным ограничением и оно подчеркивает всегда ограниченные покупательские возможности потребителя.

Товар и его цена, цель и бюджет потребителя, его покупательская способность - важнейшие факторы, которые будучи формализованы и связаны подходящими математическими соотношениями и дают требуемую модель.

Пусть дано n товаров x1, x2, x3…xn – выборка по товарам.

x1 – кол-во 1-го товара

x2 - кол-во 2-го товара

xn - кол-во n-го товара

p1 - цена единицы 1-го товара

p2 - цена единицы 2-го товара

pn - цена единицы n-го товара

Множество x1, x2, x3…xn – пространство товаров.

f1, f2, f3…fn – цена за 1 единицу товара

{( x1…xn)? pixi ? D) – бюджетное множество

{( x1…xn)? pixi = D) – граница бюджетного множества

D – бюджет, то, чем располагает потребитель

На бюджетном множестве потребитель имеет право выбирать тот или иной набор.

max f( x1…xn)=max f( x1…xn)

? pixi ? D ? pixi = D

=> Экстремум не может быть во внутренней точке (Т.Ферма)

Пример.

f( x1…xn)=x1?1…xn ?n

max x1?1…xn ?n

? pixi = D

L(x1, x2, x3…xn, ?) = x1?1 x2?2…xn ?n +?(? pixi -D)

Система:









Система:









(x1*, x2*, x3*…xn*, ?*) – решение этой системы

Делим последовательно II на I, III на I, n на I… Получим редуцированную систему без ?:








p1x1+ p2x2+…+ pn-1xn-1+ pnxn=D Производим замену.










(x1*, x2*, x3*…xn*) – функция спроса

xi*=?(p1… pn, D)

x?i*=??(p1… pn, D)

Функция спроса x?i*, который является решением оптимизационной системы.
7. Модель дуополии. Решение разностной системы модели. Точка Курно.

2 фирмы на рынке одного товара. х1 – выпуск 1ой фирмы, х2 – 2ой. Р – цена Р = a – b(x1 + x2) цена на рынке падает с увеличением суммарного выпуска. W1 – прибыль 1ой фирмы, W2 – 2ой. W1 = x1P – Cx1 = x1 (a – b(x1 + x2) – C1), W2 = x2 (a – b(x1 + x2) – C2), где С – удельные издержки. W1 = bx1([(a – C1)/b] – x2 – x1), W2= bx2[(a – C2)/b] – x2 – x1). Пусть [(a – C1)/b] = d1, [(a – C2)/b] = d2. Чем больше издержки у фирмы, тем меньше прибыли. Если d1 < d2, то 2ая фирма более технологична. Предположим, что первая фирма знает х2. Как она должна вести себя, чтобы получить max прибыль? W1 = bx1(d1 – x2 – x1). W1 max при x1* = (d1 – x2)/2, W2 max при x2* = (d2 – x1)/2, т.к. при y(x) = x(A – x) = –x2 + Ax и A>0: см. рис. x1* и x2* – оптимальные значения выпусков. W1 max = b[(d1 – x2)/2]2, W2 max = b[(d2 – x1)/2]2. Стратегия, при которой каждая фирма максимизирует свою прибыль исходя из объема производства другой фирмы – стратегия Курно. Если стратегия Курно повторяется в циклах, то имеет смысл рассмотреть систему Курно. xn – выпуск 1ой фирмы, yn – 2ой. Тогда получаем систему уравнений: {xn+1=[(d1 – yn)/2], yn+1=[(d1 – xn+1)/2]}.
9. Паутинообразная модель установления равновесной цены: разностная и геометрическая интерпретация.

P – цена. D(P) = a – bp это спрос. S(P) = с + dp это предложение. Цена Р0 – равновесная (D(Р0) = S(Р0)). Взаимодействие потребителя и производителя косвенно проявляется в установлении равновесной цены. График паутинообразной модели: см. рис. Устанавливается и когда равновесная цена в паутинообразной модели? a – bР0 = с + dР0. Следовательно Р0 = [(a – c) / (b + d)]. a – bPn+1 = с + dPn. Pn+1 = [(a – c – dPn)/b]. Pn+1 = [– d/b]Pn + [(a – c)/b]. Пусть [– d/b] = ?, [(a – c)/b] = ?. {Pn+1 = ?Pn + ?, ...}. Pn = (P0 + [?/(? – 1)])?n – [? /(? – 1)]. Pn = (P0 + [[(a – c)/b] / ([–d/b] – 1)]) * [–d/b]n – [[(a – c)/b] / ([–d/b] – 1)] = (P0 + [(c – a) / (b + d)]) * [–d/b]n + [(a – c) / (b + d)]. Pn = (P0 – [(a – c) / (b + d)]) * [–b/d]n + [(a – c) / (b + d)]. Возможны 3 случая: Первый: [d/b] > 1. Тогда P0 = [(a – c) / (b + d)], Pn = Const. P0 ? [(a – c)/(b + d)], Pn ? ?. Равновесная цена не устанавливается. Второй: [d/b] = 1. Тогда d = b. Равновесная цена не устанавливается. Третий: [d/b] < 1. Тогда P0 – [(a – c) / (b + d)] = 0, (P0 – [(a – c) / (b + d)]) * [–b/d]n ? 0. Устанавливается равновесная цена. Если принять закон Кейнса, то модель будет такой: S(Pn+1) = D(Pn).
19.Модели экономического роста. Модель Самуэльсона-Хикса.

Под экономическим ростом обычно понимают увеличение реального дохода в экономике (ВНП, ВВП или НД), а также рост реального выпуска в на душу населения. Соответственно, для измерения экономического роста используются показатели абсолютного прироста или темпов прироста реального объема выпуска в целом или на душу населения. Например:

 Yt = Yt - Yt - 1 или yt =  Yt / Yt - 1 , где t - индекс времени.

Экономический рост называется экстенсивным, если он осуществляется за счет привлечения дополнительных ресурсов и не меняет среднюю производительность труда в обществе. Интенсивный рост связан с применением более совершенных факторов производства и технологии, т.е. осуществляется не за счет увеличения объемов затрат ресурсов, а за счет роста их отдачи. Интенсивный рост может служить основой повышения благосостояния населения. Обычно говорят о преимущественно интенсивном или экстенсивном типе экономического роста в зависимости от удельного веса тех или иных факторов, вызвавших этот рост.

Как и любые модели, модели роста представляют собой абстрактное, упрощенное выражение реального экономического процесса в форме уравнений или графиков. Целый ряд допущений, предваряющих каждую модель, уже изначально отодвигает результат от реальных процессов, но тем не менее дает возможность проанализировать отдельные стороны и закономерности такого сложного явления, как экономический рост.

Большинство моделей роста исходит из того, что увеличение реального объема выпуска происходит прежде всего под влиянием основных факторов производства - труда (L) и капитала (К). Фактор "труд" обычно слабо поддается воздействию извне, тогда как величина капитала может быть скорректирована определенной инвестиционной политикой. Как известно, запас капитала в экономике со временем сокращается на величину выбытия (амортизации) и увеличивается за счет роста чистых инвестиций. Вполне очевидно, что экономический рост ценен не сам по себе, а в качестве основы повышения благосостояния населения, поэтому качественная оценка роста часто дается через оценку динамики потребления.

Модель С-Х Модель взаимодействия мультипликатора и акселератора, предложенную Самуэльсоном в 1939 г., была существенно модифицирована Хиксом. . Принципиально важным является введение в теоретические схемы объективных ограничений, на которые неизбежно наталкивается процесс расширения производства. В условиях динамической экономии и сами ограничения претерпевают существенные изменения, и все же спрос на соответствующие факторы производства в ходе циклического подъема расширяется значительно быстрее, чем их предложение. Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ. В соответствии с кейнсианской концепцией предполагается, что объем предложения совершенно эластичен.
Уровень цен, относительные цены благ и ставка процента – неизменные. Объем предложения абсолютно эластичен. Так как модель – динамическая, то все переменные –функции времени x=f(t). Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде является величиной их дохода в предшествующем периоде: Сt=Ca,t+Cyyt-1

Предприниматели осуществляют индуцированные инвестиции после того, как убедились в том, что приращении совокупного спроса устойчиво.При приянтых предположениях экономика будет находится в состоянии равновесия если: Yt= (Cy+?)Yt-1-?Yt-2 + At, At экзогенная величина автономного спроса.

Это уравнение явл-ся неоднородным конечно-разностным уравнением 2 порядка, харак. динамику национального дохода во времени. При фиксированной величине автономных расходов в экономике достигается долгосрочное равновесие, и объем нац. дохода стабилизируется на определенном уровне. Таким образом, эта модель основывается на кейнсианской концепции ОЭР и иллюстрирует воздейтсвие изменений величины авт. спроса на эконом. конъюнктуру.
20.Логистическая Кривая и модели насыщения Шумпетера.

Т
еория демографических циклов изучает процессы изменения численности населения в условиях ограниченности природных ресурсов. Начало этой теории было положено Раймондом Пирлом[1], показавшим, что изменение численности популяций животных (и, возможно, людей) описывается так называемым "логистическим уравнением":

Здесь N(t) - численность популяции, К - емкость экологической ниши, r - коэффициент естественного прироста. Решение этого уравнения называют логистической кривой. Логистическая кривая показывает, что поначалу, в условиях изобилия ресурсов, численность популяции быстро возрастает, но затем рост замедляется и величина N(t) стабилизируется вблизи асимптоты K.

y
’=ky(A-y) k, A =const. Это уравнение отражает эмпирический факт: темп прироста у пропорционален как наличному кол-ву у, так и степени удаленности от насыщения.

Шумпетер разрабатывает теорию экономического развития, в центр - анализ внутренних факторов, кот. вызывают экон.е развитие системы. Две фундаментальные идеи: наилучшее использование имеющихся ресурсов и равновесие. Предпринимательская прибыль отсутствует (избыток цены над оплатой факторов производства, приобретенных на стороне, представляет собой издержки упущенных возможностей непосредственного организатора производства). Это чистая неоклассическая модель. В ней отсутствует не только прибыль, но и процент.
Но вклад Шумпетера в экономическую теорию заключается как раз в том, что он исследует те факторы, которые "взрывают" равновесие рыночной системы изнутри. ( факторы - создание нового продукта, использование новой технологии производства, использование новой организации производства, открытие новых рынков сбыта и источниковсырья).В связи с разработкой динамической модели экономического развития, Шумпетер ввел понятия "эффективной конкуренции" и "эффективной монополии", связав их с процессом нововведений и функцией предпринимательства. Нововведения- стержень конкуренции нового типа, более действенный, чем ценовая конкуренция. Вклад Шумпетера в теорию прибыли несомненен. Прибыль в его динамической модели экон. развития выступает как вознаграждение за предпринимательскую деятельность, за открытие и реализацию новых комбинаций факторов производства, за воплощение новых рыночных возможностей в виде новых товаров, услуг, технологий и т.д. Предпринимательская прибыль носит временный характер.Начальным пунктом в теории полезности Шумпетера является понятие добавочной стоимости - разница между ценностями двух товаров, один из которых не был произведен из-за траты ресурсов на произ-во другого товара. Чем больше производится товаров определенного типа, тем сильнее возрастает давление непроизведенных товаров и тем меньше прирост стоимости. В состоянии равновесия сумма добавочных полезностей всех произведенных товаров равна нулю.
21.Модель Солоу. решение уравнения Бернулии в общем случае.

Неоклассические модели роста преодолевали ряд ограничений кейнс. моделей. Р.Солоу показал, что нестабильность динамич. равновесия в кейнс. моделях была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. Вместо функции Леонтьева он использовал в своей модели производственную функцию Кобба-Дугласа, в кот. труд и капитал являются субститутами и сумма коэффициентов эластичности выпуска по факторам равна единице:

?T=?(Kt, Nt)=Kt?Nt1-?

В модели отсутствует функция совокупного спроса, т.к. предполагается, что спрос изменяется в тех же размерах, что и предложение. Другие предпосылки анализа в модели Солоу: убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов. Взаимозаменяемость факторов (изменение капиталовооруженности – функция капиталовооруженности представляет собой среднюю производительность труда) объясняется не только технологическими условиями, но и неоклассической предпосылкой о совершенной конкуренции на рынках факторов.

В модели Солоу найдено объяснение механизма непрерывного экономического роста в режиме равновесия при полной занятости ресурсов. При любой норме сбережения рыночная экономика стремится к соответствующему устойчивому уровню фондовооруженности (k*) и сбалансированному росту, когда доход и капитал растут с темпом (n+g). Beличина нормы сбережения (накопления) является объектом экономической политики и важна при оценке различных программ экономического роста.

Уровень потребления в расчете на одного занятого при любом устойчивом значении фондовооруженности k* определяется путем ряда преобразований исходного тождества: y=c+i. Выражаем потребление с через у и i и подставяем значения данных параметров, которые они принимают в устойчивом состоянии: c = y-i, c* = f(k*)-dk*, где с*- потребление в состоянии устойчивого роста, a i=sf(k)=dk по определению устойчивого уровня фондовооруженности. Теперь из различных устойчивых уровней фондовооруженности (k*), соответствующих разным значениям s, необходимо выбрать такой, при котором потребление достигает максимума.

В модели 5 эндогенных (рассчитываются внутри модели) переменных: Х-валовый общ. продукт, С-фонд непроизводственного потребления I – инвестиции L – число занятых K-фонды .

Уравнение Бернулли. y’= -?y+Ay? Решение:

y-? y’t=-? y1-?+A

(1-?) y-? y’t=-?(1-?) y1-?+A(1-?)

Пусть (1-?) y-? y’t=z’ а y1-?=z

z’=-?(1-?)z+A(1-?)
22. Общее решение однородного разностного уравнения 2-го порядка.

Уравнение вида F(n,xn, xn+1,...., xn+k)=0, где к –фиксир., а n – произвольное чисор последовательности, называется разностным уравнением к-го порядка. Решить разностноге уравнение означает найти все последовательности {Xn}, удовлетворяющие уравнению (?) Р.у. часто используются в моделях эк. динамики с дискретным временем, а также для приблеженного решения диф. уравнений. Решение линейных однородных уравнений. Сеточные функции У1(i),...Уn(i) называются независимыми решениями уравнения они принимают конечные значения и удовлетворяют уравнению :

an(i)y(i+n)+an-1(i)y(i+n-1)+....+a0(i)y(i)=0 (1) и равенство:

С1У1(i)+C2Y2(i)+....+CnYn(i)=0 (2)

при любых постоянных С1, с2 не равных нулю одновремено, не выполняется ни для каких значений i принадлежащих I.

Свойства решений линейного разностного уравнения

  1. Если У1(i) Y2(i)....-решения уравнения (1), то функция У(i)=C1y1(i)+....+CmYm(i), где С1,С2 ...- произвольные постоянные, также является решением уравнения. 2. Если У1(i) Y2(i)....-линейно независимые решения однородного уравнения (1), то общее решение данного уравнения имеет вид У(i)=C1y1(i)+....+CnYn(i)

По аналогии с определителем Вронского вводится определитель Казоратти, составленный из значений решений однородного раз. уравнения n-порядка .

Y1(i) Y2(i).................Yn(i)

K[Y1(i), .... Yn(i)= ........

Y1(i+n-1) Y2(i+n-1).......Yn(i+n-1)
Для того, чтобы решения однор. разностного уравнения были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы этот определитель не обращался в 0 ни при одном i.
23.Риск и его измерение в эк. анализе, методы уменьшения риска.

В общем случае под риском понимают возможность наступления некоторого неблагоприятного события, влекущего за собой различного рода потери (например, получение физической травмы, потеря имущества, получение доходов ниже ожидаемого уровня и т.д.).

Риск- уровень финансовой потери, выражающейся а) в возможности не достичь поставленной цели; б) в неопределённости прогнозируемого результата; в) в субъективности оценки прогнозируемого результата

Всё множество изученных методов расчёта риска можно сгруппировать в несколько подходов:

1 подход: риск оценивается как сумма произведений возможных ущербов, взвешенных с учетом их вероятности. 2 подход: риск оценивается как сумма рисков от принятия решения и рисков внешней среды (независимых от наших решений).3 подход: риск определяется как произведение вероятности наступления отрицательного события на степень отрицательных последствий. обобщённый комплексный критерий - “цена риска” (C risk), который характеризует величину условных потерь возможных при реализации инвестиционного решения:C risk = {P; L} Где:L - определяется как сумма возможных прямых потерь от инвестиционного решения.

В мировой практике финансового менеджмента используются различные методы анализа рисков инвестиционных проектов. К наиболее распространенным из них следует отнести:

-метод корректировки нормы дисконта;

-метод достоверных эквивалентов (коэффициентов достоверности);

-анализ чувствительности критериев эффективности (NPV, IRR и др.);

-метод сценариев;

-анализ вероятностных распределений потоков платежей;

-деревья решений;-метод Монте-Карло (имитационное моделирование) и др.

При проведении финансового анализа часто используются модели, содержащие случайные величины, поведение которых не детерминировано управлением или принимающими решения. Стохастическая имитация известна под названием "метод Монте-Карло". Имитационное моделирование представляет собой серию численных экспериментов, призванных получить эмпирические оценки степени влияния различных факторов (исходных величин) на некоторые зависящие от них результаты (показатели).

В общем случае проведение имитационного эксперимента можно разбить на следующие этапы.

1. Установить взаимосвязи между исходными и выходными показателями в виде математического уравнения или неравенства.

2. Задать законы распределения вероятностей для ключевых параметров модели.

3. Провести компьютерную имитацию значений ключевых параметров модели.

4. Рассчитать основные характеристики распределений исходных и выходных показателей.

5. Провести анализ полученных результатов и принять решение. Результаты имитационного эксперимента могут быть дополнены статистическим анализом, а также использоваться для построения прогнозных моделей сценариев.

Хеджирование - страхование от риска изменения цен путем занятия на параллельном рынке противоположной позиции.

Хеджирование:
- дает возможность застраховать себя от возможных потерь к моменту ликвидации сделки на срок;
- обеспечивает повышение гибкости и эффективности коммерческих операций;
- обеспечивает снижение затрат на финансирование торговли реальными товарами;
- позволяет уменьшить риски сторон: потери от изменения цен на товар компенсируются выигрышем по фьючерсам.

Инструмент хеджирования - финансовый инструмент, при помощи которого осуществляется защита от потенциальных рисков: валюта, ценные бумаги, депозиты, срочные контракты и т.д.

Хеджирование валютным фьючерсом - хеджирование, предназначенное для уменьшения риска потерь от неблагоприятного движения курсов валют. Хеджирование валютными фьючерсами часто используется для страхования процентного арбитража от валютного риска. Виды хеджирования – страхование, опционирование, диверсификация.
24. Задача диверсификации.

Диверсификация портфеля ценных бумаг - образование инвестиционного портфеля из широкого круга ценных бумаг с целью избежания серьезных потерь, в случае падения цен одной или нескольких ценных бумаг. Диверсификация - распределение инвестиционного фонда между ценными бумагами с различными рисками, доходностями и корреляциями, с целью минимизации несистематического риска. Хорошо диверсифицированный портфель - инвестиционный портфель, составленный из большого количества ценных бумаг таким образом, что доля каждой бумаги сравнительно невелика. Риск хорошо диверсифицированного портфеля приближен к систематическому риску рынка в целом. При этом несистематический риск каждой бумаги ликвидируется посредством диверсификации. Эффективная диверсификация - организующий принцип современной портфельной теории, который утверждает, что любой избегающий риска инвестор будет искать самую высокую ожидаемую доходность при любом уровне портфельного риска. Диверсификация это вид хеджирования. Пример. размещение банковского вклада. 1 схема – вклад в 1 банк. Тогда если ? – доход, то надо найти М?и D? 2 схема - разбросать вклад в несколько банков.?=(?1+?2+...+?n)/n ?1+?2+...+?n- равн. распределены. Таким образом диверсификация портфеля ценных бумаг - образование инвестиционного портфеля из широкого круга ценных бумаг с целью избежания серьезных потерь, в случае падения цен одной или нескольких ценных бумаг. Мерой риска называется дисперсия случайно величины дохода Хi – доля капитала, потраченная на покупку i-той ценной бумаги Ei-случайная эфективность i-той ЦБ в расчете на единицу стоимости. E=?Eixi – доходность портфеля. ME=?ximi DE=?xixj?ij где ?ij-коэффициент вариации.

25.Теоория оптимального портфеля. Многокритериальная оптимизация. ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ - все ценные бумаги, которые может приобрести инвестор. Теория оптимального портфеля – это стохастическая модель (т.е. известно некоторе распределение вероятностей) Любой способ уменьшения риска – хеджирование. Виды хеджирвоания: страхование, опционирование (пример – рыночная стомомть пакета акций – 500$. но вы можете заплатить 520 за обязательство продавца по вашему желанию через год купить у вас этот пакет на 480), диверсификация (Пример. размещение банковского вклада. 1 схема – вклад в 1 банк. Тогда если ? – доход, то надо найти М?и D? 2 схема - разбросать вклад в несколько банков.?=(?1+?2+...+?n)/n ?1+?2+...+?n- равн. распределены. Мерой риска называется дисперсия случайно величины дохода Хi – доля капитала, потраченная на покупку i-той ценной бумаги Ei-случайная эфективность i-той ЦБ в расчете на единицу стоимости. E=?Eixi – доходность портфеля. ME=?ximi DE=?xixj?ij где ?ij-коэффициент вариации.

Пример оптимального портфеля – Марковиц.

Многокритериальная задача. способы решения

1.Парето-оптимальность (пусть есть частично упорядоченное множество элементов ai, где ai>aj

Множество всех макс. элементов – множество парето. Например ТВ – что важнее вес или размер экрана)

2. Свертка. (f(x1+x2/2) Функция полезности Неймена-моргентерна – имеет вид параболы, ветви вниз по оси Х – доход, по У-полезность)
29.Критиерии Гурвица и Сэвиджа принятия экон. решения.

Обобщенным критерием пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами ?1?2...?n назовем критерий, по которому оптимальной среди чистых стратегий считается стратегия Аio с максимальным показателем эффектвности, т.е.

Gio (?1?2...?n)= G (?1?2...?n)=max (1<=i,=m) Gi (?1?2...?n)
?=max i min j aij – крайний пессимизм

maximinj aij – крайний оптимизм.

?х + (1-?)у – среднее ?[0,1]

maxi[?minjaij + (1-?)maxjaij]=??

?=0 –оптимизм ?=1 пессимизм

Стратегия рисков Сэвиджа.

aij?maxaij-aij=rij-риск

(rij) – R матрица рисков. Стратегия Сэвиджа состоит в отм, чтобы приниматьстратегию Вальда по отношению к рискам. minimaxjrij


26. Оптимальный портфель Марковица.

xi – доля капитала, потраченная на покупку i-ой ценной бумаги. n – число видов ценных бумаг. Еi – случайная эффективность i-ой ценной бумаги в расчете на единицу стоимости. Тогда случайна эффективность всего портфеля Е=?Еixi, i от 1 до n. Доходность портфеля с учетом случайной эффективности mE=?ximi. ДЕ=М[?(Ei–mi)xi]2. ДЕ=М[?ij(Ei–mi)(Ej–mj)xixj]=?xixjM(Ei–mi)(Ej–mj)=?xixjVij. Vij – это коэффициент вариации. ДЕ=?xixjVij. Тогда доли xi в оптимальном портфеле Марковица рассчитываются следующим образом: max?ximi. ?xixjVij??. ?xi=1, xi?0. Получаем систему уравнений {min?xixjVij, ?ximi??}. Таким образом мы в целом по портфелю ценных бумаг минимизируем риски (стандартное отклонение) при заданном минимальном ожидаемом уровне доходности.
27. Применение теории игр в экономическом анализе: постановка задачи, критерий Вальда.

Формальная постановка задачи: пусть есть 2 стороны (игрока) А и В. Сторона А имеет m стратегий: A1, ..., Am. B имеет n стратегий: B1, ..., Bn. Каждая пара стратегий (Ai,Bj) приводит к некоторому выигрышу игрока А равному aij. Матрица значений {aij} – платежная матрица. aij+(–aij)=0, где –aij это проигрыш игрока В, т.к. игра с нулевой суммой. Игровые ситуации еще называют ситуациями с фатальной неопределенностью. В ситуации, когда нет дополнительной информации, тем не менее возможен аналитический подход. Первым такой подход применил Вальд. Этот подход называется критерием Вльда принятия игровых решений или критерием минимакса. Пусть имеется платежная матрица см. рис. 1. Пример: см. рис. 2. Таким образом стратегия, которой соответствует выбранное значение – это стратегия, которая доставляет максимум среди всех выбранных минимумов, она называется стратегией Вальда. ?=maximinjaij – это нижняя цена игры. Посмотрим на ситуацию со стороны игрока В. Для него оптимальной будет стратегия ?= minimaxjaij. Существует также теорема о том, что минимакс не меньше максимина т.е. ???, minimaxjaij?maximinjaij.

10. Модель Эванса

цена изменяется неприрывно с неприрывным временем. (1...n)t(0,). p/t=[D(p)-S(p)]. Предположение Эванса:”Скорость изменения цены пропорциональна разности между спросом и предложением.” p/t=[a-bp-c-dp]; p/t=-(b+d)+(a-c); p=ce-(b+d)t+(a-c)/(b+d); e-(b+d)t0 Вопрос: установлена ли равновесная цена? P(t) (a-c)/(b+d), t  Вывод: равновесная цена всегда установлена.
11. Постановка задачи межотраслевого баланса, модель Леонтьева.

Часто при экономическом планировании на уровне регионов или страны в целом возникает необходимость определения объема выпуска товаров, обеспечивающего заданный спрос населения и производственные нужды на эти товары при известной технологии. В предположении о линейности технологии (т.е. о прямой пропорциональности объема выпуска объемам затрат ресурсов) математической формализацией этой задачи является модель "Затраты-выпуск"(Модель Леонтьева).Она является частным случаем модели Вальраса. С точки зрения этой общей модели равновесия классическая (исходная) модель Леонтьева имеет следующие особенности: рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта; взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология); вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей; вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм; равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

В зависимости от цели исследования экономику можно изучать в различных разрезах - от уровня национальной экономики до уровня отдельных фирм и потребителей. Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является "чистой", т.е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Вернемся к предпосылкам модели. Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

О
бозначим через n количество всех отраслей. Так как отрасли являются чистыми, индекс отрасли можно отождествить как с видом товара, так и с технологическим процессом. Предположим, что на данном плановом периоде времени (например, на предстоящий год) известен конечный спрос на все n товаров. Пусть технология производства предписывает для выпуска одной единицы i -го товара количество товара вида 1, количество товара вида 2 и т.д., количество товара вида n. Обозначим через объем производства отрасли i на всем плановом периоде (валовый выпуск). Тогда величина показывает объем продукции отрасли j , необходимый для функционирования отрасли i с планом выпуска , а величина

- суммарное потребление продукции отрасли j в производственном секторе.

Наглядную картину межотраслевых связей при плане выпуска и плане конечного потребления показывает схема межотраслевого баланса.

Отрасли как поставщики продуктов

Отрасли как потребители ресурсов

потребление

Валовой выпуск

1

2



n

Произв.

Конеч.

1

A110

A210



An10

A10

C1

X1

2

A210

A220



An20

A20

C2

X2

















n

A1n0

A2n0



Ann0

An0

Cn

Xn

Б
алансовый характер этой схемы заключается в том, что элементы последних трех столбцов в каждой строке должны удовлетворять равенству

Т
аким образом, схема межотраслевого баланса задает те условия, когда экономика будет находиться в равновесном состоянии. А именно, при известном спросе и известной постоянной технологии вектор валового выпуска должен вычисляться как решение системы n линейных уравнений.
12. Неразложимость. Достаточные условия продуктивности матрицы.

Матрица A называется неразложимой, если во множестве всех отраслей N нет изолированных подмножеств. Неразложимость матрицы A означает, что каждая отрасль использует продукцию всех отраслей.

Определение. Матрица А0 называется продуктивной, если для любого вектора  0 существует решение 0 уравнения = A +, или .(E-A)= .

В этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

1ый критерий продуктивности. Матрица А0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е-А)-1 существует и неотрицательна. Если бесконечный ряд (из матриц) Е+А+А2 +....сходится, то его сумма есть матрица (Е-А)-1.

2ой критерий продуктивности. Матрица А0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд Е+А+А2 +....

16. Уравнение Фибоначчи. Формула общего члена последовательности Фибоначчи.

Числами Фибоначчи называются члены численной последовательности, каждый из которых, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. За начало такого ряда можно принять любые два числа, например, 0 и 1, 1 и 3 и т.п.

В середине 13 века математику Леонардо Фибоначчи была предложена задача: в клетке пара кроликов, кролики приносить потомство начинают через два месяца после рождения и каждый месяц приносят новую пару. Сколько пар кроликов будет через 10 месяцев, год, в каждый из месяцев?

Решением оказалась последовательность 1,1, 2, 3, 5, 8, 13….Каждый член последовательности сумма двух предыдущих. Можно выразить член этой последовательности и через номер:



Как ни странно, это выражение с радикалами число целое, а именно n-ое число Фибоначчи.

Доказательство:

Последовательность отношений 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8…. имеет предел и этот предел - "золотое сечение".



Доказательство:



Из-за этого свойства числа Фибоначчи так популярны. Другими словами, они дают наилучшее рациональное приближение "золотого сечения".

Само же "золотое сечение" возникло как решение задачи о делении отрезка на две такие части, что большая относится к всему отрезку как меньшая к большей. То есть положительное решение уравнения 1/x=x/1-x.

Члены прогрессии an=a1 qn, где n=1, 2, 3, 4, 5, 6... являются числами Фибоначчи an=an-2+an-1, если q будет корнем квадратного уравнения q2=1+q. Это уравнение имеет два корня: q1=Ф; q2= Ф-1, совпадающие с отношениями золотого сечения Ф и Ф-1.

Другим уникальным свойством чисел Фибоначчи является приближение отношения соседних чисел Фибоначчи с ростом их номеров к золотому отношению, например, a10 / a9 = 55 / 34 = 1,6176..., a11 / a9 = 89 / 55 = 1,6182... [4], то есть

lim an / an-1=Ф=1,618034...
18. Демографическая модель Мальтуса.

Простейшая модель роста =kx предложена Мальтусом  (для роста населения Земли). Она ведет, как хорошо известно, к экспоненциальному (т. е. очень быстрому) росту населения x с течением времени. Модель Мальтуса - модель зависимости численности населения и производства продуктов питания.

По Мальтусу:

- численность населения возрастает в геометрической прогрессии, а производство пищевых ресурсов, необходимых для пропитания - в арифметической прогрессии;
- способами "торможения" роста численности населения являются: эпидемии, войны, безбрачие, поздние браки и т.д.
Модель:

А (t) – население земли в момент t.

А (t + ∆t) – население земли в t + ∆t
Lim A (t + ∆t) – A(t) / ∆t = C* A (t) C= const

∆t? 0
At`= C* At
Без предела модель называется разностной, а с ним дифферинциальной, т.к. приводит к дифференциальным уравнениям первого порядка.

dA / dt=CA

? dt/A=?Cdt

lim │A│= Ct + C

A= ± eCt * eC1

A= C2* eCt

C>0 – идет рост

С<0 - смертность > рождаемости

13) Модель движения вклада с постоянным добавлением. Разностное уравнение модели и его решение.

А0-начальный вклад (1000); Р%-банковский процент (5%); d-ежегодные добавления (100); n-число лет (10); Ak-вклад в момент k.(А5-?;А10-?). А10+(р/100)А0+d=A0(1+p/100)+d; A20(1+р/100)­2­­+ d(1+p/100)+d; A3= А0(1+р/100)­3­­+ d(1+p/100)2+d(1+p/100)+d; An0(1+р/100)n­­+ d(1+p/100)n-1+d(1+p/100)n-2+...+d(1+p/100)+d= А0(1+р/100)n­­+ d[ (1+p/100)n-1 /1+(p/100)-1]; An=(1+p/100)n[A0+d/(p/100)]-d/(p/100)

y`=ky+b - неприрывный аналог роста с постоянным добавлением; у=(ky+b)x - дискретный рост (допустим х=1); yn+1-yn=kyn+b; yn+1=(k+1)yn+b - разностное уравнение первого порядка (рост с дискретным изменением времени). Первый способ: y`=ky  y=cekx dy/y=kdx; ln|y|=kx+c; c1-частное решение однородного уравнения. С`1=kc1+b; c`1=0; c1=-b/k; y=-b/k+cekx. y`=ky+b; y=-b/k+cekx; ekx0  y-b/k. Если к0


15) Неприрывное начисление процентов.

1.р%-в конце года А*=А(1+р/100); 2.р/12*30-каждый день А*=А(1+р/100n)n, где n-кол-во промежутков платежей. A*=lim[n]A(1+p/100n)n=Alim[n]A(1+p/100n)100n/p*p/100=Ae p/100
№28. Cмешанные стратегии, решение игр 2х2 геометрич-м способом.

Опред.: Пусть игрок А применяет стратегии А1, А2, …, Аm с вероятностями p1, p2, …, pm, такая стратегия называется смешанной, в отличие от чистой, когда p1=1, p2,…,n=0. Пусть игрок В выбирает стратегии B1, B2, …, Bm с вероятностями q1, q2, …, qm. ? (кси) – это случайная величина, обозначающая выигрыш, а M? – средний выигрыш. М?=?aijpiqj. Тогда выигрыш игрока А равен ?=maxpiminqj?aijpiqj, выигрыш игрока В ?=minqjmaxpi ?aijpiqj. ?=? (т.к. игра с нулевой суммой). Чтобы рассмотреть решение игр 2х2 геометрическим методом воспользуемся примером. Решим игру 2х2, т.е. найдем пару оптимальных стратегий (р12) р12=1 и (q1,q2) q1+q2=1. Пусть платежная матрица А имеет вид см. рис. 1. Найдем оптимальную стратегию (р12) игрока А. Система уравнений: {5р1+4р2?M, 3р1+6р2?M,M?max}. Пусть р1=р, тогда р2=1–р. {5р+4(1–р)?M, 3р+6(1–р)?M,M?max}. {4+p?M,6–3p?M, M?max}. {M=4+p,M=6–3p}. 4+p=6–3p. p=1/2, следовательно р1=1/2, p2=1/2. (р12)=(1/2,1/2). M=4,5. Графически это решение выглядит следующим образом: рис. 2. Найдем оптимальную стратегию (q1,q2) игрока B. Система уравнений: {5q1+3q2?m, 4q1+6q2?m,m?min}. Пусть q1=q, тогда q2=1–q. {5q+3(1–q)?m, 4q+6(1–q)?m,m?min}. {3+2q?m,6–2q?m, M?min}. {m=3+2q,m=6–2q}. 3+2q=6–2q. q=3/4, следовательно q1=3/4, q2=1/4. (q1,q2)=(3/4,1/4). m=4,5. Графически это решение выглядит следующим образом: рис. 3.

29.Критиерии Гурвица и Сэвиджа принятия экон. решения.

Обобщенным критерием пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с коэффициентами ?1?2...?n назовем критерий, по которому оптимальной среди чистых стратегий считается стратегия Аi0 с максимальным показателем эффектвности, т.е.

Gi0 (?1?2...?n)= G (?1?2...?n)=max (1<=i,=m) Gi (?1?2...?n)
?=max i min j aij – крайний пессимизм

maximinj aij – крайний оптимизм.

?х + (1-?)у – среднее ?[0,1]

maxi[?minjaij + (1-?)maxjaij]=??

?=0 –оптимизм ?=1 пессимизм

Стратегия рисков Сэвиджа.

Aij?maxaij-aij=rij-риск

(rij) – R матрица рисков. Стратегия Сэвиджа состоит в том, чтобы принимать стратегию Вальда по отношению к рискам. Minimaxjrij
30. Доказательство соотношения между минимаксом и максимином.

Минимакс не меньше максимина, т.е?>=?

Minjmaxiaij>=maximinjaij

?=maximinjaij ?= Minjmaxiaij тогда ?>=?

Пусть ?=100 1 игрок декларирует, при стратегии Вальда я выиграю не меньше 100$ Другой же : я проиграю не больше 120-?.

Предположим, что ?
или : строй солдат содержит шеренги- строки и ряды- столбцы. Из кажд.строки выбирается самый низк солдат и из них уже сам высокий(Иванов – а=maximinjaij ), в каждом столбце – самый высокий и из них – сам низкий (петров – в=minjmaxiaij). рассмотрим сидорова – v (число), кот-й нах-ся в одном строю с ивановым и одной шеренге с петровым:

петров>=сидоров>=иванов в >= v >= a

32.постановка задачи о полиномиальной апроксимации. Полином лагранжа.



даны n точек на поверхности А(х1;у1),А(х2;у2),А(хn,yn), x1
2. провести прямую минимально удаленную от этой точки (линейная регрессия) 1). Полиномиальная апроксимация.

Задача: построить полином n-1 который в т. ( x1,x2,…xn) приним. Значения (y1,y2,…yn)

P(x)=a0+a1x+a2x2+an-1xn-1

Интерполяцион-й полином Лагранжа: Ln-1(x)

a0+a1x1+a2x12+an-1x1n-1=y1

a0+a1x2+a2x22+an-1x2n-1=y2

. . . . . . . .

a0+a1xn+a2xn2+an-1xnn-1=yn

a0, a1,…,an-1
1 x1 x12 . . .x1n-1

∆= 1 x2 x22 . . .x2n-1 ? 0

. . . . . . . .

1 xn xn2 . . . xnn-1

определитель вандермонда: |W|=|?i?j(xi-xj)|

1 x1

1= 1 x2 =x2-x2
1 x1 x12

2= 1 x2 x22 =(x2x32-x3x22)-(x1(x32- x22)+x12(x3-x2).

1 x3 x32
3= x2x3(x3-x2)-x1(x32- x22)+x12(x3-x2)= (x3-x2)-(x1x3- x1x3-x1x2+x12)=

=(x3-x2)(x3( x2-x1)-x1(x2–x1)= (x3-x2)( x2-x1)(x3x1)

n

П(х)=(x-x2)(x–x3)=P(x-xi)

i=1

Пi(х)=П(x-xj)

j?i

П1(х)=(x-x2)(x–x3)…(x-xn) П1(х)? 0

П2(х)=(x-x1)(x–x3)…(x-xn) П2(х)? 0

П3(х)=(x-x1)(x–x2)…(x-xn+1) П3(х)? 0

n Пi(x)

Ln-1(x)=?yi Пi(xi)

r=1
1). Ln-1 –полином, (n-1), тк является суммой полиномов n-1 степени.

2). Ln-1(xj)=yj

в точке xj все перечисленные полиномы (кроме 1го, у к-го пропущ. (x-xi)) обратятся в 0.

Pj(x)

Ln-1(xj)=yj Pj(xi) =yj
Пример. x1=1, x2=2, x3=3

y1=2,y2=1, y3=5



П1(х)=(x-2)(x–3)

П2(х)=(x-1)(x–3)

П3(х)=(x-1)(x–2)

L2(x)=2(x-2)(x-3)/(1-2)(1-3)+1(x-1)(x-3)/(2-1)(2-3)+5(x-1)(x-2)/(3-1)(3-2)

L2(x)=(x-2)(x-3)-(x-1)(x-3)+(5/2)(x-1)(x-2)

L2(x)=(x2-5x+6)-(x2-4x+3)+2,5(x2-3x+2)=2,5x2-8,5x+8.


31. Сглаживание эмпирической зависимости, линейная регрессия.

Задача: дано n точек на плоскости. 1) А11у1), А22у2), Аn (xnyn), x12<…n. Требуется провести сглаживающую кривую через эти точки. Это полиномиальная интраполяция (экстраполяция). Рис1. 2) Провести прямую минимально удаленную от этой совокупности. Это линейная регрессия. Рис2












рис1

рис2
1   2   3


Функция спроса
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации