Павловский Р.К. Методические рекомендации по финансовой математике - файл n1.doc

приобрести
Павловский Р.К. Методические рекомендации по финансовой математике
скачать (1413 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1413kb.18.09.2012 17:45скачать

n1.doc

  1   2   3
§1.Простые проценты

В теории финансовой математики часто приходится решать задачи линейного программирования. Укажем алгоритм решения таких задач в экселе:

1)Введите коэффициенты таблицы задачи линейного программирования.

2)Определите адреса, где будут находиться неизвестные (ответы).

3)Вычислите левые части системы уравнений и целевой функции.

4)Установите курсор в ячейку, где вычислено значение целевой функции.

5)Сервис - Надстройка - Поиск решения - OK - Сервис - Поиск решения

или только Сервис - Поиск решения.

6)Установите опцию MAKS или MIN.

7)В поле «Изменяя ячейки» введите адреса неизвестных.

8)Нажмите Добавить - Введите ограничения - Enter. Повторите этот пункт, пока не будет введены все ограничения. Если целочисленные программирование, то нужно вводить ограничения «цел». Если нужно удалить ограничение или исправит, то пользуйтесь этими клавишами, предварительно выделив ограничение.

9)Нажмите клавишу «Параметры».

10)Установите опцию «Линейная модель» + OK.

11)Нажмите кнопку «Выполнить».

1.1.Вывод формулы простых процентов

где - первоначальная сумма (долг, кредит), - наращенная сумма (сумма накопленного долга, ссуды).

Проценты: часто называют процентными деньгами.

Простая процентная ставка: .

Множитель наращения - число лет ссуды.

Пример 101. Определить сумму накопленного долга и проценты, если ссуда равна (7000) руб., срок долга (4) лет при ставке простого процента равной (10) процентов годовых.

Ответ: 2800, 9800.

1.2.Точные проценты (когда берется точное число дней в году: или ).

Обыкновенные проценты (или коммерческие проценты). В этом случае всегда (каждый месяц приближенно по 30 дней), но число дней ссуды может быть либо точное, либо приближенно, когда за каждый полный месяц считают 30 дней. называют временной базой.

Пример 102. Ссуда в размере (100) тыс. руб. выдана с 20.01 до 05.10 включительно под (8) процентов годовых, год невисокосный. Необходимо найти размер погасительного платежа.

Ответ: 105,655; 105,733; 105,667. ().

1.3.Связь между процентами при разных временных базах.

Пример 103. Начисленная за (10) дней ссуды сумма процентов составила (15) тыс. руб. (временная база360 дней). Необходимо определить аналогичную сумму при условии начисления точных процентов (временная база 365 дней).

Ответ: 14,795.

1.4.Переменные ставки процентов:

.

Пример 104. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - (6) процентов, а в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0,5 процентов . Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года.

Ответ: 1,165.

1.5.Реинвестирование



Пример 105. На сумму (10) тыс. руб. в течении месяца начисляются простые проценты по ставке (10) процентов годовых. Какая будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течении первого квартала года?

Ответ: 10,249. (Точные проценты, год невисокосный).

1.6.Потребительский кредит (равномерная выплата денег), когда сумма, полученная по формуле 1.1, делится на число месяцев ссуды и в конце каждого месяца должник должен выплатить сумму

Пример 106. Кредит для покупки товара на сумму (1000) руб. открыт на (3) лет, процентная ставка - (4)процентов, определить ежемесячные погасительные платежи.

Ответ: 31,11.

1.7.Математическое дисконтирование. Из формулы 1.1 следует



которая называется математическим дисконтированием, - современная (или приведенная) величина, - дисконт (или сумма дисконта, или учет), - дисконтный множитель.

Пример 107. Через 180 дней с момента подписания контракта должник уплатит (31) тыс. руб. Кредит предоставлен под (6) процентов годовых. Определить, какую сумму получит должник и сумму дисконта.

Ответы: 30,109; 0,8909 .

1.8.Банковское (или коммерческое) дисконтирование: где - простая учетная ставка, - дисконтный множитель.

Пример 108. Тратта (переводной вексель) выдана на сумму (100) тыс. руб. с уплатой 17.11. Владелец документа учел его в банке 23.09 по учетной ставке (8) процентов. Найти современную стоимость векселя.

Ответ: 98,778 ().

1.9.Нарвщение по простой учетной ставке

Пример 109. Ссуда в размере (100) тыс. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно, год невисокосный. Простая учетная ставка (8) процентов. Найти наращенную сумму долга к концу срока.

Ответ6 106,082 ().

§2.Сложные проценты

2.1.Вывд формулы сложных процентов:

Наращенная сумма: Проценты: Сложная процентная ставка: Множитель наращения: Капитализация процентов - присоединение процентов к сумме, которая служила базой для их определения. Период начисления - разность между моментами капитализации процентов (период, в конце которого осуществляется начисление процентов).

Пример 201. В какую сумму обратится долг, равный (10) тыс. руб. через (5) лет при росте сложной процентной ставке (5,5) процентов?

Ответ: 13,06960.

2.2.Линейная интерполяция для определения множителей наращения.

Пусть - множитель наращения. Тогда:



Пример 202. Определить множитель наращения для (6,2)%, лет. Пусть ближайшие табличные значения множителя имеются только для % и %: они равны 1,7908477 и 1,8771375.

Ответ: 1,82536360.

2.3.Плавающая переменная ставка:



Пример 203. Процентная ставка по ссуде определена на уровне (8,5)% плюс маржа - (0,5)% в первые два года, (0,75)% в следующие три года. Найти множитель наращения в этом случае.

Ответ: 1,54923512.

Сравнение множителей наращения ()





Срок ссуды

Множителинаращения

30 дн.

180 дн.

1год

5 лет

10 лет

50 лет

100 лет



1,00657

1,0394

1,08

1,4

1,8

5,0

9,0



1,00635

1,0392

1,08

1,47

2,16

46,9

2199


Множители наращения определены для временной базы дней.

2.4.Определение числа лет при многократном увеличении ссуды:


Пример 204. Определить число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в (5) раз, применяя сложные и простые проценты, ставка - (5)%.

Ответ: 33 и 80.

2.5.Смешанная ставка процентов (для целых периодов применяется сложная процентная ставка, а для оставшегося дробного применяется простая процентная ставка).



Пример 205. Кредит в размере (30) тыс. руб. выдан на срок (3) лет и 160 дней. Если обусловленная в контракте ставка равна (6,5)% и предусмотрен смешанный метод начисления процентов, найти наращенную сумму.

От вет: 37,271037 (

2.6.Номинальная ставка процентов. Проценты начисляются раз в год: , - номинальная годовая ставка процентов.

Пример 206. Первоначальная сумма ссуды (10) тыс. руб, срок (5) лет, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная годовая ставка (5)%. Требуется определить наращенную сумму.

Ответ: 12,82037.

2.7.Смешанная номинальная ставка (см. 2.5).

Пример 207. Во что обратится сумма, равная (10) тыс. руб., через (25) месяцев, если проценты начисляются ежеквартально. Номинальная ставка равна (6)%.

Ответ: 11,32097.

2.8.Эффективная ставка процентов - это сложная годовая ставка процентов, которая дает тот же результат, что и номинальная ставка процентов. Из формул 2.1 и 2.6 получаем



Пример 208. Пусть банк начисляет проценты на вклад исходя из номинальной ставки (12) % годовых. Найти эффективную (годовую) ставку при ежедневной капитализации процентов ().

Ответ: 12,74746.

Номинальные и эффективные ставки процентов.














3

3,0225

3,0339

3,0416

5

5,0626

5,0945

5,1162

8

8,1600

8,2432

8,3000

10

10,2500

10,3813

10,4713


2.9.Математическое дисконтирование: где - современная (или приведенная) величина,- дисконт (или сумма дисконта), - дисконтный множитель.

Пример 209. Необходимо определить дисконтный множитель и современную величину для (50) тыс. руб., которые будут выплачены через (5) лет, если сложная процентная ставка (5)%.

Ответ: 0,783526; 39,17631.

2.10.Дисконтирование по сложной учетной ставке:, где - сложная учетная ставка.

Пример210. Какая сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму (5) тыс. руб., если срок его погашения равен (2,5) года, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную (8)%?

Ответ: 0,941.

Сравнение дисконтных множителей :






Срок ссуды

Дисконтные множители

30 дн.

180 дн.

1 год

5 лет

10 лет

50 лет



0,9933

0,96

0,92

0,6

0,2

-



0,9931

0,959

0,92

0,65

0,4344

0,0155


Временная база при определении дисконтных множителей равна 360 дням.

2.11.Дисконтирование раз в году по сложной учетной ставке:

+

,

где - номинальная учетная ставка.

Пример 211. Какова сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму (5) тыс. руб., если срок его погашения равен (2,5) лет, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную (8)%? При этом дисконтирование производится 4 раза в году.

Ответ: 0,914636.

2.12.Номинальная и эффективная сложные учетные ставки (см. 2.10. 2.11).

d эф.

Пример212. Обязательство, равное (20) тыс. руб., должно быт погашено через (5) лет. Учетная ставка (5)%. Начисление дисконта поквартальное. Найти приведенную величину и эффективную учетную ставку.

Ответ: 15,551493; 4,907029.

2.13.Наращение по сложной учетной ставке:

Пример 213. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого (10) тыс. руб., срок погашения - (1,5) лет. В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка в размере (10)%.

Ответ: 11,712139.
2.14.Таблица формул. Связь между параметрами.


Пример 214. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого (10) тыс. руб., срок погашения - (1,5) лет. В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка в размере (10)%. При этом наращение осуществляется 4 раза в году.

Ответ: 11,640518.

2.15.Вывод формулы непрерывных процентов: , где - сила роста.

Пример215. Найти значение , если (0,072). При вычислении пользоваться тремя, четырьмя и пятью членами разложения в ряд Маклорена.

Ответ: 1,0746553.

2.16.Непрерывные проценты с переменными ставками (переменная сила роста):

Пример 216. Предусматривается непрерывное начисление процентов не некоторую сумму ссуды, причем сила роста изменяется дискретно: первые два года проценты начисляются по ставке (8)%, следующие три года - по(9)%, далее в течении 5 лет - по (10)%. Найти множитель наращения.

Ответ: 2,5345092.

2.17.Линейное изменение силы роста. Если т о



Пример 217. Пусть начальное значение силы роста равно (8)%, линейный ежегодный абсолютный прирост (2)%. Найти множитель наращения, если (5) лет.

Ответ: 1,9155408.

2.18.Вычисление продолжительности ссуды (для сложных процентов):

Пример 218. За какой срок (в годах) сумма, равная (75) тыс. руб., достигнет (110) тыс. руб. при условии, что на нее начисляются проценты по ставке (7,5)% раз в году и поквартально.

Ответ: 5,29575; 5,15429.

2.19.Вычисление процентных ставок и учетных ставок (на базе простых, сложных и непрерывных ставок) . Например из 2.14 следует:



Пример 219. В условиях выпуска сертификатов Сберегательного банка СССЗ 1991г. (номинал (1000)руб.) предусмотрены выкупные суммы, зависящие от срока хранения. В частности, при пятилетнем сроке выплачивается (1415) руб., при десятилетнем 2595 руб. Какие значения сложных учетных ставок, дающих такое наращение?

Ответ: 6,70707; 9,0953.

2.20.Наращение и инфляция. где называется индексом цен, годовым темпом инфляции.

§3.Эквивалентность процентных и учетных ставок

3.1.+Определение эквивалентной ставки. Финансовые операции (ставки) называются эквивалентными, если они дают одтн и тот же результат.

Вычисление простой учетной ставки, которая эквивалентна заданной простой процентной ставке:



Пример 301. Необходимо определить значение простой учетной ставки, эквивалентной простой ставке процентов, равной (10)%, если =10.

Ответ: 5.

3,2,Вычисление простой процентной ставки, эквивалентной простой учетной ставке:

Пример 302. Какова доходность, измеренная в виде ставки простых процентов (=365 дней), учета векселя по учетной ставке (10)% ()? Срок уплаты по векселю - (250) дней.

Ответ: 10,896.

3.3.Эквивалентность простых ставок при разных временных базах (=365 для простых процентов, =360 для простых учетных ставок):



Пример 303. Операция учета должна принести (30)% дохода (в расчете на год). Срок ссуды (55) дней. =365 для простых процентов. Найти эквивалентную простую учетную ставку (=360).

Ответ: 28,30931.

3.4.Вычисление простой процентной ставки, эквивалентной заданной сложной процентной ставке:



Пример 304. Ссуда выдана под (20) сложных годовых процентов. Каков должен быть уровень простой процентной ставки при сроке: а)(10) лет, б) (8) месяцев?

Ответ: 51,91736; 19,38649.

3.5.Вычисление сложной процентной ставки, эквивалентной простой процентной ставке:

Пример 305. Какой годовой ставкой сложных процентов можно заменить в контракте простую ставку (18)%, не изменяя финансовых отношений сторон? Срок операции (580) дней.

Ответ: 17,1527.

3.6.Вычисление сложной процентной ставки, эквивалентной простой учетной ставке.



Пример 306. Какова эффективность, выраженная в годовой сложной процентной ставке ,дисконтирования векселя по простой учетной ставке (8)% ? Срок оплаты векселя наступит через (120) дней. (Временные базы по умолчанию).

Ответ: 8,569.

3.7.Вычисление номинальной процентной ставки, эквивалентной заданной эффективной процентной ставке:



Пример 307. При разработке соглашения стороны договорились о том, что действительная доходность финансовой операции должна составить (9)%, причем начисление процентов будет осуществляться помесячно. Найти номинальную ставку процентов.

Ответ: 8,64879.

3.8+.Вычисление годовой сложной процентной ставки, эквивалентной заданной непрерывной ставке процентов:


Пример 308. Множитель наращения при дискретно изменяющихся непрерывных процентах составил (2,5345) при (10) лет. Найти эквивалентную годовую ставку сложных процентов.

Ответ: 9,746.

3.9+.Вычисление средних простых процентных ставок:



Пример 309. В контракте предусматривается начислять простые проценты в следующих размерах

Период



(в годах)



1

0,10

(0,5)

(0,05)

2

0,12

(1,0)

(0,12)

3

0,15

(0,5)

(0,075)







(2,0)

(0,245)

Найти эквивалентную среднюю простую процентную ставку и наращенную сумму, если 10 тыс. руб.

Ответ: 12,25; 12,45.

3.10+. Вычисление сложных средних процентных ставок:



Пример 310. Процентная ставка по ссуде определена на уровне (8,5)% плюс маржа - (0,5)% в первые два года, (0,75)% в следующие три года. Найти среднюю ставку.

Ответ: 9,1499.

3.11+.Финансовая эквивалентность обязательств.

Определение. Финансовые изменения называются эквивалентными, если после изменений условий, платежи, приведенные к одному моменту времени, окажутся равными.

Пример. Имеются два обязательства. Условие первого: (400) тыс. руб., 4 мес.; условие второго: (420) тыс. руб., =9 мес. Дисконтировать эти платежи на начало срока по ставке процентов (10)%. Можно ли считать их равноценными?

Ответы: 387,09677; 390,6977.

3.12+.Консолидирование задолженностей при простой процентной ставке.

Определение. Консолидирование задолженностей - приведение задолженностей к одному моменту времени.

Пример 312. Решено консолидировать 3 платежа со сроками 15.05, 15.06, 15.08, суммы платежей (10) тыс. руб., (20) тыс. руб., (15) тыс. руб. Ставка простых процентов равна 8%. Найти консолидированную сумму к 01.08.

Решение





3.13.Консолидирование платежей при простой учетной ставке.

Пример 313. Два векселя со сроками 10.06 ( (10) тыс. руб.) и 01.08 ((20)тыс. руб.) заменяются одним с продлением срока до 01.10. При объединении векселей применена простая учетная ставка (8)%. Сроки пролонгации составят 113 и 61 день.



3.14.Вычисление срока консолидированного платежа.

Пример 314. Платежи в размере (10), (20), (15) тыс. руб. уплачиваются через 50, 80, 150 дней. Решено Заменить их одним платежом, равным 50 тыс. руб. Найти срок консолидированного платежа, если простая процентная ставка



дней.

Замечание. Ответ будет несколько иным, если все платежи приводить к другому дню, ибо это простые проценты. В случае применения сложных процентов ответ не будет зависеть от выбора даты приведения платежей.

3.15.Вывод формул в различных формах изменения контрактов.

Пример 315. Два обязательства в сумме (100) тыс. руб. и (50) тыс. руб. должны быть погашены соответственно 1.11 текущего года и 1.01 следующего года. Стороны согласились пересмотреть условие: должник 1.12 уплачивает (60) тыс. руб. Остальной долг гасится 1.03. Необходимо найти сумму нового платежа при условии, что стороны согласились применить в расчетах простую процентную ставку равную 6%. Год невисокосный и базовая дата 1.01.

Решение.



  1   2   3


§1.Простые проценты
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации