Лекции - Дискретная математика - файл n2.doc

Лекции - Дискретная математика
скачать (55.8 kb.)
Доступные файлы (1):

255kb.

17.10.2008 16:40

n2.doc

1 2 3 4 5 6

Лекция 9

Доказательство леммы 3
F(x₁…x_n) = x₁x₂ (f1(x₁…x_n)) + x₁f₂(x₁…x_n) + x₂f₃(x₁…x_n) + f₄(x₁…x_n)
Вместо x₁…x_nставим константы ₁…_n, такие, что

f1(₁…_n) = 1

A = B = 0

F(x₁x₂…₃…_n) = x₁x₂ + C = {x₁x₂, если с = 0 и NOT(x₁x₂, если с = 1)

Аналогично получаем дизъюнкцию и ее отрицание.
Теорема Поста.

Система функций полна тогда и только тогда, когда она не находится ни в одном из пяти важнейших замкнутых классов, а именно S, M, L, T₀, T₁.

Необходимо.

Дана полная система функций. Отсюда следует, что она не принадлежит никакому замкнутому классу (см. выше).

Доказательство следует из того факта, что по определению и по тому, что мы доказали, что все важнейшие классы замкнуты. Если предположить, что система целиком входит в один из замкнутых классов, то
[] = [B] = B
Но множество всех булевых функций, а B – не всех.

Получили противоречие.
Доказательство дано в виде алгоритма получения из системы основных элементарных булевых функций, образующих полную систему, значит и эта система будет полна.

Дано

{S, M, L, T₀, T₁}
Каждая функция (f с индексами 1…5) не принадлежит каждому соответствующему ей важнейшему замкнутому классу.

Получение констант.

F1(00…0) = 1

F(111) = 1
F(111) = 0

F(xxxx) = 1

F2(111) = 0

Получение отрицаний

Из F4 по лемме 2 мы можем получить отрицание.

Используя F5 по лемме 3 получаем xy, x V y, not(xy), not(x V y)

Лекция 10

Функциональные элементы. Схемы

ункциональный элемент с n упорядоченными входами и одним выходом

.

При подаче на выходы любой комбинации двоичных сигналов, на выходе также возникает сигнал.

Каждый вход – аргумент функции.

Выход – булева функция от аргументов.
Из функциональных элементов можно строить по правилам их соединения схемы (логические сети).
Два и более входов можно отождествлять.
Возможные соединения функциональных элементов соответствуют булевым функциям и их суперпозициям.
Полный набор булевых функций, который мы будем использовать для построения логических сетей (схем) в какой-нибудь задаче, мы назовем базисом из функциональных элементов.

Число функциональных переменных считаем сколь угодно большим.
Базис называется полным, если с его помощью можно реализовать любую булеву функцию в виде схемы.
Очевидно, чтобы базис был полным, необходимо и достаточно, чтобы система функций, реализуемых элементами базиса, была полной.
Пример полного базиса.

&

V

- Конъюнктор

Дизъюнктор

- Ин
__

вертор

Чтобы построить минимальную функциональную схему для функции на конъюнкторах, дизъюнкторах и инверторах, которая реализует эту функцию, нужно

Найти минимальную ДНФ.
Для любой из минимальных ДНФ (их может быть много) попробовать упростить формула с помощью вынесения за скобки общего множителя.

Сумматор n-разрядных двоичных чисел

Составить элементы с 2n входами и n+1 выходом, реализующих сложение n-разрядных двоичных чисел вида
X = X_nX_n-1…X₁

Y = Y_nY_n-1…Y₁

Z = x+y = Z_n+1Z_n…Z₁

X+Y – сумма чисел.
Для решения такой задачи вводим q_i – единица переноса из одного разряда в другой.
Формулы сумматора

Z_i = X_i + Y_i + Q_i – сумма по модулю 2

Q_i₊₁= X_iY_i V X_iQ_i V Q_iY_i

Лекция 11

Графы

Графом (G) будем называть тройку объектов (V, X, )
V – множество n вершин.

X – конечное множество ребер.

- функция инцидентности, которая каждому элементу множества X ставит в соответствие пару элементов из множества V.
задана на множестве X.
Если в значении функции инцидентности допускается перестановка вершин, то граф называется неориентированным. В противном случае граф называется ориентированным (Орграф).

V_j– начало ребра

V_k – его конец
x_i) = (V_j, V_k) – ребро инцидентно в вершине Vj и в вершине Vk.
Если одной и той же паре вершин инцидентно несколько ребер, то ребра называются кратными.

Если на ребре x_i₀

(x₀) = (V_j₀, V_j₀),

то ребро называется петлей.
Способы задания графов

Аналитический

Если вершине не инцидентно никакое ребро, то эта вершина называется изолированной.

Выписываются все ребра и пишутся напротив две пары вершин, которым они инцидентны.

В конце выписываются все изолированные вершины.

Геометрический

Каждая вершина графа задается точкой. А ребра, инцидентные паре вершин – кривой.

Желательно рисовать кривые без пересечения. Если пересечения существуют, то их надо отличать от вершин.

С помощью матрицы инцидентности

A(m*n)

m = [V] – число вершин

n = [X}- число ребер
а) Неориентированные графы

A_ij = {0, если V_i не инцидентно x_j, 1, если V_i инцидентно x_j)
б) Орграфы

A_ij = {0, если V_i не инцидентно x_j, -1, если V_i - начало x_j, 1, если V_i - конец x_j)
Для петель нужны дополнительные предположения.

Матрица смежности (задается одинаково для всех графов)

B(m*m) m = [V]
Bij равно числу ребер, инцидентных паре вершин (oi, oj)

Если граф не ориентирован, то матрица симметрична.
Граф, в котором нет кратных ребер и петель, называется простым.

Простой граф называется полным, если любой паре его вершин инцидентно одно ребро.

Дальше все о неориентированных графах.
K1 – полный граф с одной вершиной

K2 – с двумя

K3 – с тремя

K4 – полный граф с четырьмя вершинами

K5 – полный пятивершинник

Граф называется двудольным, если множество вершин разбивается на 2 непересекающихся подмножества, такие, что ребра соединяют вершины из разных подмножеств.

Двудольный граф называется полным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.

Полный двудольный граф.

Маршруты, циклы, связности.
Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер, начинающаяся и заканчивающаяся вершинами, такую, что каждое ребро в нем соединяет только те вершины, между которыми оно стоит.

Будем говорить, что этот маршрут соединяет первую и последнюю вершину. Если существует маршрут, то последняя вершина называется достижимой из первой вершины.

Маршрут, в котором нет повторяющихся ребер, называется цепью.

Маршрут, в котором нет повторяющихся вершин (кроме первой и последней), называется простой цепью.

Если в простой цепи первая и последняя вершины совпадают, то она называется циклом.

Граф называется связным, если любая вершина достижима из любой другой вершины. В противном случае граф называется несвязным. Несвязный граф распадается на несколько частей, каждая из которых является связным графом.

Эти части называются компонентами связности.

Ребро называется циклическим, если оно входит хотя бы в один цикл графа. В противном случае ребро называется ациклическим.
Утверждение.

Если из связного графа удалить циклическое ребро, то вновь полученный граф останется связным, а если удалить ациклическое ребро, то граф распадется на два компонента связности.

Связный граф, у которого все ребра ациклические, называется деревом.

Несвязный граф, компонентами связности которого являются деревья, лесом.

Свойства деревьев.

Чтобы простой связный граф был деревом, необходимо и достаточно, чтобы число вершин было больше числа ребер на один.
Чтобы граф был деревом, необходимо и достаточно, чтобы любые две вершины его соединялись единственным маршрутом.
Граф будет деревом тогда и только тогда, когда добавление любого нового ребра приводит к появлению ровно одного цикла.

1 2 3 4 5 6

Лекция 9