Диханов С.М. Моделювання і прогнозування стану довкілля. Посібник та збірник завдань до самостійної та індивідуальної роботи - файл n1.doc

приобрести
Диханов С.М. Моделювання і прогнозування стану довкілля. Посібник та збірник завдань до самостійної та індивідуальної роботи
скачать (1423 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc

1423kb.

18.09.2012 13:54

скачать

n1.doc

Міністерство освіти і науки України

ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ХОЛОДУ

Диханов С.М.

МОДЕЛЮВАННЯ І ПРОГНОЗУВАННЯ

СТАНУ ДОВКІЛЛЯ

Посібник та збірник завдань до самостійної та індивідуальної роботи

Одеса 2010
Диханов С.М., Моделювання і прогнозування стану довкілля. Посібник та збірник завдань до самостійної та індивідуальної роботи. Одеська державна академія холоду, 2010. – 39 с.

Посібник розроблено згідно з робочою навчальною програмою дисципліни «Моделювання і прогнозування стану довкілля» для студентів спеціальності 070801«Екологія та охорона навколишнього природного середовища»за напрямом підготовки 040106 «Екологія,охорона навколишнього середовища та збалансоване природокористування».

Призначено для виконання самостійної та індивідуальної роботи студентами по закріпленню окремих тем дисципліни. Наведено перелік теоретичних питань для поглибленого опрацювання з посиланнями на літературу, яка є в бібліотеці ОДАХ.
Рецензент: професор, д.х.н. Андріанов А.М.

Завідувач кафедри хімії, охорони навколишнього середовища і раціонального природокористування, проф. /А.Л.Цикало/

Голова науково-методичної комісії напряму підготовки Екологія,охорона навколишнього середовища та збалансоване природокористування / А.Л.Цикало/

ВСТУП

Сучасна наука характеризується глибоким проникненням математичних методів у її різні галузі. Істотно зростає роль математики в розвитку сучасної біології, географії та ін. Майбутні екологи потребують серйозної математичної підготовки, яка давала б можливість математичними методами й прийомами досліджувати широке коло нових проблем, застосовувати обчислювальну техніку, використовувати теоретичні дослідження в практиці.

Найбільш важливим етапом застосування математики в екологічних дослідженнях, слід вважати процес побудови адекватної математичної моделі об’єкта або системи, що вивчається.

Усяке пізнання, у тому числі наукове, починається з простого споглядання, у процесі якого накопичується емпірична інформація про об'єкт досліджень. Просте споглядання дає змогу описати зовнішні прояви феномену, за яким ведеться спостереження; проте цей спосіб пізнання рідко коли дозволяє проникнути глибоко в сутність речей, тобто зрозуміти природу й пізнати закономірності тих прихованих внутрішніх процесів, що спричинюють зміну форми існування об'єкта.

З цих причин у випадку дослідження явищ природи і людського суспільства, що розвиваються за складними й заплутаними законами, просте споглядання не дозволяє зробити надійний довгостроковий прогноз поведінки об'єкта спостереження і його реакції на зовнішні впливи. Для глибокого пізнання таких явищ часто виявляється доцільним розкласти його, принаймні подумки, на окремі складові — прості субпроцеси — й вивчити властивості кожної з них окремо. Такий метод пізнання називають аналізом об'єкта.

З іншого боку, явище природи чи суспільства, розкладене на складові частини, вже не може бути тотожним самому собі через неодмінну втрату зв'язку між субпроцесами. Відповідно, одного аналізу об'єкта досліджень не досить для точного, детального передбачення законів його майбутнього розвитку. Для того, щоб вивчити явище (об'єкт) достатньою мірою, необхідно зрозуміти взаємини окремих його складових одне з одним, тобто знову з'єднати їх подумки в одне ціле і відтворити вихідне явище в цілому. Цю процедуру називають синтезом об'єкта досліджень.

Якщо в процесі розчленовування об'єкта на прості субпроцеси знехтувати тією частиною з них, які не істотні для формування тих чи інших його характеристик, то після повторного синтезу ми одержимо вже новий об'єкт, що відрізняється певним чином від початкового об'єкта — так званого прототипу.

Об'єкт пізнання, отриманий у результаті аналізу і синтезу об'єкта-прототипу, називають моделлю об'єкта дослідження.

Модель – це речова, знакова або уявна (мислена) система, що відтворює, імітує, відображає принципи внутрішньої організації або функціонування, певні властивості, ознаки чи(та) характеристики об’єкта дослідження (оригіналу).

Очевидно, що модель завжди простіша за прототип, оскільки внаслідок розчленування його на компоненти частиною зв'язків і компонентів, що вважаються малозначними, свідомо нехтують, піклу-ючись лише про збереження найважливіших із них. Вивчивши властивості спрощеної моделі, переносять основні з них на об'єкт-прототип. Зіставляючи далі висновки досліджень моделі з результатами спостереження за прототипом, роблять відповідні висновки про адекватність (ступінь тотожності) моделі й прототипу, в разі потреби коригуючи модель за наслідками такого зіставлення.

Моделювання (екологічне)— це метод вивчення складнх екологічних об’єктів (реальних і абстрактних) на умовних образах, схемах, фізичних конструкціях, аналогічних досліджуваному об’єкту за будовою чи типом поведінки, із застосуванням методів аналогії, теорії подібності й теорії обробки даних експерименту.

Моделювання сьогодні є одним з головних способів, головною методологією пізнання Людиною суті природних та суспільних явищ різного рівня складності. Цей метод набув повсюдного поширення у ХІХ-ХХ ст.; його можна зустріти в усіх галузях науки і техніки. Особливо широкого поширення він набув у зв'язку з розвитком обчислювальної техніки, що дала змогу створювати комп'ютерні моделі. Яскравим прикладом таких моделей є загальновідома "віртуальна реальність".

1. АНАЛІЗ І РОЗВ'ЯЗАННЯ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ ЗАДАЧ

1.1. Графічне моделювання системи «хижак - жертва»

Моделювання багатокомпонентних систем – основа розв’язку найрізноманітніших еколого-економічних задач. Однією з найпростіших систем такого роду є двокомпонентна система «хижак - жертва». Схема взаємовпливу популяцій у цій системі показана на рис..1; тут 1 – «хижак» (наприклад, народонаселення); 2 – «жертва» (наприклад, навколишнє середовище).

Найважливішою характеристикою хижака є його функціональна реакція – залежність швидкості видання жертви від густини її популяції в розрахунку на 1 особину хижака. Основні типи функціональної реакції зображені на рис. 1.2а.

Р

ис 1.2. Основні типии функціональної реакції (а) та кривих видання (б)

а) тип 1 характеризується тим, що хижак виїдає постійну кількість жертви незалежно від густини її популяції (це так званий «дурний» хижак);

б) тип 2 характеризується тим, що хижак виїдає постійну частку популяції незалежно від густини популяції жертви (це так званий «розумний»хижак);

в) тип 3 відповідає наявності насичення активності хижака при високій густині популяції жертви;

г) тип 4 спостерігається тоді, коли за малої кількості жертви є запізнювання споживання (втеча жертви, відсутність образу жертви).

Помноживши функціональну реакцію на чисельність хижака і поділивши на чисельність популяції жертви, одержують криві виїдання – залежність специфічної смертності жертви за рахунок хижацтва від густини її розселення (див. рис. 1.2б).

Важливою характеристикою жертви є криві поповнення – залежність швидкості розмноження від густи популяції.

Типова крива поповнення зображена на рис.1.3.

П

ри малій густині популяції і за відсутності хижака швидкість розмноження дорівнює потенційній швидкості природного росту (r). З ростом густини популяції швидкість розмноження спадає до нуля через внутрішньовидову концентрацію (екологічні обмеження) і далі стає негативною.

Для графічного моделювання системи «хижак - жертва» необхідно накласти криві виїдання і поповнення на один графік. Приклад такої моделі наведено на рис. 1.4. У загальному випадку може спостерігатися до трьох точок перетину цих двох кривих (точка А, В і С). На ділянці АВ і правіше точки С чисельність популяції зменшується з часом, а в решті випадків – зростає. Отже, точки А і С є точками притягання, яким відповідають два розглянуті раніше можливі механізми встановлення рівноваги з рівноважною чисельністю популяції, відповідно, N_А і N_с.

Рис. 1.4. Графічна модель системи «хижак-жертва»

Користуючись сучасною термінологією, стани системи, зображені цими точками, є атракторами: система в ході свого розвитку еволюціонує до одного з них.

Точка В – це точка хиткої рівноваги: будь-яке відхилення від неї викликає подальше відхилення чисельності жертви і перехід у стан А або С.

Таким чином, N_B– це критична густина популяції; при N <N_B популяція прагне до стану А; при N > N_B вона прагне стану С.

1.2. Основні типи двокомпонентних систем "хижак – жертва"

1) Неефективний хижак (див. рис. 1.5, а).

Хижак слабо впливає на кількість жертви; тут є тільки одна точка рівноваги, а саме – рівноваги типу С.

2) Помірно ефективний хижак; велика місткість середовища (рис.1.5, b).

Є обидві точки стійкої рівноваги: точка А, зумовлена ефективністю виїдання і поповнення, і точка С, обумовлена місткістю середовища, – а також критична точка В.

3) Помірно ефективний хижак, низька ємність середовища (рис.1.5, с).

Тут є тільки точка рівноваги типу А; хижак ефективно регулює чисельність жертви при будь-якій її початковій чисельності.

4) Надміру ефективний хижак, низька ємність середовища (рис.8.5, d).

Точка рівноваги відсутня: жертва виїдається хижаком повністю.

5) Надміру ефективний хижак – низький біотичний потенціал жертви і висока ємність середовища (рис. 1.5,f).

У цьому випадку при малій густині популяції жертви існує поріг виживання (точка В), тобто при N< N_В хижак повністю вищає жертву, а при високій спостерігається рівновага, обмежена місткістю середовища (точка С).

Отже, сильна зміна кількості особин у системі "хижак – жертва" здатна викликати катастрофічні зміни і перехід системи у новий стан рівноваги. Зокрема, в умовах обмеженої ємності середовища сильне зменшення чисельності може привести до повного зникнення тварин чи рослин. Наявність альтернативної жертви може вплинути на рівновагу даної жертви через зміну чисельності хижака і, відповідно, кривої виїдання.

1.3. Моделювання екосистем на основі мереж харчування

1.3.1. М е р е ж і х а р ч у в а н н я.

Базою для побудови моделей складних екосистем з конкуренцією і відносинами типу "хижак-жертва" служить розробка мереж харчування.

Мережа харчування являє собою орграф, у вершинах якого знаходяться елементи системи, що моделюється, а дуги проведені від хижака до жертви. Зворотний вплив жертви на хижака не враховується. На рис. 1.6 подано приклад мережі харчування для лугової екосистеми.

Рис. 1.6. Мережа харчування для лугової екосистеми

1.3.2. Г р а ф к о н к у р е н ц і ї.

Найважливішою характеристикою екосистеми є наявність конкуренції. Мережа харчування дозволяє моделювати міжвидову конкуренцію. Для цього будують на її підставі граф конкуренції. Він являє собою простий, неорієнтований граф, у вершинах якого знаходяться види, що складають систему. Вершини зв'язуються ребрами (орієнтованими зв'язками) тільки в тому випадку, якщо на графі мережі харчування з них виходять дуги, що закінчуються в одній і тій самій третій вершині. Іншими словами, ребра між двома вершинами проводять тільки тоді, коли є вид, що є жертвою одночасно для обох перших видів.

Розробка графа конкуренції дозволяє виділити конкурентні види і проаналізувати вразливість системи.

Наприклад, для попередньої мережі харчування граф конкуренції має вигляд, зображений на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Граф конкуренції для лугової екосистеми

Найпростіше будувати граф конкуренції, виділяючи на мережі харчування вершини, в які входять дві або більше дуги, а потім простеживши вершини, з яких ці дуги виходять. У даному випадку є тільки одна така вершина, що символізує рослинність – траву.

1.3.3. О ц і н к а с т і й к о с т і е к о с и с т е м и н а о с н о в і т р о ф і ч- н и х р і в н і в. Для оцінки стійкості чи вразливості екосистеми широко застосовується принцип, що встановлює відповідність: чим складніша система, тим вища її стійкість і тем менша уразливість.

Ступінь складності системи можна оцінити на основі аналізу мережі харчування і графу конкуренції, підраховуючи відношення числа дуг до числа вершин. Можна також оцінювати вразливість окремих видів, підраховуючи і зіставляючи число вхідних і вихідних дуг.

Одне з понять, що допомагають оцінити складність системи – це поняття трофічного рівня. Трофічним рівнем називають порядковий номер виду в ланцюзі харчування за одним з можливих шляхів харчування. У простого ланцюга харчування з єдиним шляхом харчування кожен вид займає один визначений рівень (див., наприклад, рис. 1.8).

Рис.1.8. Простий ланцюг харчування

У розглянутий раніше мережі харчування деякі види займають різні рівні по різних шляхах харчування. В енергетичному плані найбільш вигідний найкоротший шлях, але він є основним далеко не завжди. Наявність множинних шляхів харчування збільшує стійкість екосистеми.

Таблиця 1.1. Трофічні рівні

	Популяція	Найкоротший шлях	Далекий шлях
1.	Лисиці	3	4
2.	Зайці	2	2
3.	Птахи	2	3
4.	Комахи	2	2
5.	Трава (рослини)	1	1

1.4. Моделювання екосистем на основі теорії графів

1.4.1. Е л е м е н т и т е о р і ї г р а ф і в. Екологічні об'єкти являють собою багатокомпонентні системи з численними внутрішніми зв'язками між компонентами. Істотною особливістю екосистем є деяке запізнення реакції компонентів на зміну стану зовнішнього середовища та інших компонентів цієї ж системи, зв'язаних з ними безпосередніми чи опосередкованими зв'язками. Іншими словами, в екосистемах існує елемент пам'яті: події, що відбувалися в минулі моменти часу, безпосередньо позначаються на подіях поточного моменту. За таких умов динамічна модель системи, що характеризується системними змінними V_k, набирає вигляду інтеграла:

(1.1)

Якщо параметри зовнішнього середовища незмінні, то всі моменти часу рівноправні (цю властивість називають однорідністю часу). Тому характеристики системи, що існує в стабільних умовах зовнішнього середовища, не можуть залежати від вибору початку відліку на осі часу (точки t = 0). Саме з цієї причини явна залежність функції F_k від моментів часу t і t' може містити тільки їхню різницю t – t', оскільки тільки в цьому випадку F_k не залежить від вибору моменту початку відліку t= 0.

Могутнім математичним інструментом розв'язання задач моделювання систем, описуваних рівняннями виду (1.1), є теорія графів, що сформувалася як самостійна дисципліна в 30-і роки XX століття. Ця теорія багатогранна, як і напрямки її застосування. У моделюванні екосистем застосовуються, головним чином, орієнтовані графи (орграфи), що дозволяють моделювати потоки в системі й зворотні зв'язки.

Завдяки простоті й наочності реалізації математичний апарат теорії графів знаходить широке застосування серед фахівців, що не володіють глибокими пізнаннями прикладної математики.

Основа теорії графів – геометричний підхід до задачі моделювання об'єкта. Основне поняття теорії графів (граф) являє собою множину вершин (точок) і дуг (ребер), що з'єднують деякі з пар вершин (чи всі вершини).

Орграф (орієнтований граф) – це геометричний об'єкт, складений з вершин, що символізують компоненти системи, і дуг, що з'єднують попарно деякі з вершин і символізують зв'язки між компонентами. На відміну від простого графа, початок і кінець дуг орграфа строго визначені шляхом завдання певного напрямку (орієнтації). З цієї причини дуги зображуються направленими відрізками прямих, кривих чи ламаних ліній. З вершини k у вершину j йде дуга тільки тоді, коли до складу аргументів функції F_j входить параметр V_k.

Прикладом орієнтованого графа є мережа харчування (див. рис. 1.6).

Орієнтовані графи дозволяють моделювати системи з потоками енергії, речовини тощо. Крім того, з їхньою допомогою можна моделювати причинно-наслідкові зв'язки в системі.

Початковими називають вершини, з яких виходять дуги, але в які не заходять дуги. Початкові дуги символізують джерела і першопричини.

Кінцевими називають вершини, в які заходять, але з яких не виходять дуги. Кінцеві вершини символізують стоки.

Вершини зручно позначати числами, тоді як дуги позначають за допомогою впорядкованої пари чисел, з яких перше – це номер вихідної вершини, а друге – номер наступної вершини.

Залежно від глибини моделювання, система може бути зображена у вигляді простого, знакового чи зваженого орграфа.

Знаковим називають граф, кожній дузі якого, крім напрямку, приписують знак "+" або "–". Знак "+" приписують дузі тоді, коли посилення компонента з номером k веде до посилення компонента з номером і, тобто коли дF_i/дV_k> 0. Якщо посилення компонента k послабляє компонент і, тобто коли дF_і /дV_k< 0, дузі приписують знак "–".

Зваженим називають граф, дугам якого приписують не тільки знак, але і певне числове значення – вагу. Вага дуги пропорційна похідній дF_i /дV_k.

Якщо зв'язок між компонентами системи можна охарактеризувати цілком визначеним запізненням, на дугах орграфа позначають також час затримки (чи величину, пропорційну часу затримки).

Дуги орграфа можуть утворювати шлях. Шлях – це такий ланцюжок послідовно з'єднаних між собою вершин, у якому кінець кожної попередньої дуги (крім, можливо, останньої) одночасно є початком іншої, наступної дуги. Шлях записують як послідовність вершин: {1; 2; 5; 7; 4...} або дуг {(1,2); (2,5); (5,7)...}.

Контуром називають замкнутий шлях, у якому початкова і кінцева вершини збігаються. Присутність контуру в графі системи свідчить об наявність у системі зворотного зв'язку.

Зворотний зв'язок – це такий ланцюг взаємозв'язку в системі, коли зміна якого-небудь з компонентів системи, що входить у ланцюг зворотного зв'язку викликає таку послідовність змін інших компонентів, що врешті-решт позначається на стані вихідного компонента ланцюга.

Зворотні зв'язки бувають позитивними і негативними. Зворотний зв'язок називається позитивним, якщо зміна стану деякого компонента системи викликає в ній такий ланцюг змін, що в остаточному підсумку сприяє посиленню первинного відхилення. Зворотний зв'язок називається негативним, якщо ці зміни протидіють вихідній зміні.

Система без зворотних зв'язків зображується графом без контурів – дерево-графом.

Системи зі зворотними зв'язками моделюють знаковими і зваженими графами. Тип зворотного зв'язку можна визначити за кількістю дуг зі знаком мінус у відповідному їй контурі. Якщо контур містить парну кількість дуг, позначених знаком "–", зворотний зв'язок є позитивним, а якщо непарну – негативним.

Важливою характеристикою будь-якої системи є її стійкість, тобто її здатність протистояти будь-яким змінам свого стану. Системи без зворотних зв'язків при стабільних зовнішніх умовах більш стійкі, оскільки їхній стан визначається винятково станом середовища.

Наявність одного контуру позитивного зворотного зв'язку робить систему абсолютно нестійкою, тобто будь-яка зміна її стану неминуче буде підсилюватися, викликаючи в системі радикальні, необоротні зміни.

При наявності в системі одного негативного зворотного зв'язку система має тенденцію до розвитку в ній коливальної нестійкості: незначне відхилення від рівноваги веде до появи періодичних коливань значень параметрів системи. Коливання виникають, якщо для системи характерне запізнювання реакції компонентів контуру зворотного зв'язку. При відсутності запізнювання коливання не виникають, тому що флуктуація не встигає розвиватися в помітне відхилення і придушується послідовністю змін у ланцюзі зворотного зв'язку.

При наявності декількох контурів поводження системи стає складним і вимагає спеціального аналізу.

Стійкість системи підвищується, якщо в ній присутні механізми згасання флуктуацій. Згасання викликається звичайно процесами необоротного розсіювання потоків через наявність множинних шляхів розвитку флуктуацій. Іншими словами, у такій системі повинні бути або могутні стоки енергії та речовини (кінцеві вершини), з яких би йшли відгалуження від основного контуру, або кілька контурів зворотного зв'язку, що перетинаються.

У стійкій системі малі відхилення від рівноваги поступово згасають, і система повертається у вихідний стан або ж, у загальному випадку, переходить у новий стаціонарний стан, близький до попереднього. У нестійкій системі малі флуктуації викликають або коливання, або катастрофічні зміни з установленням нової рівноваги, далекої від вихідної.

1.5. Аналіз стійкості екосистем методами теорії графів

1.5.1. О с н о в и в а р і а ц і й н о г о ч и с л е н н я. Аналіз екосистем на предмет стійкості ведуть варіаційним методом.

Нескінченно малою варіацією ??(t) довільної функції ?₀(t) називають таку функцію її аргументу, що всі значення нової функції ?(t) = ?₀(t)+ ??(t) відрізняються від значень початкової функції ?₀ (t) на нескінченно малу величину при будь-яких значеннях аргументу.

Нехай стан системи характеризується деяким набором системних змінних

. Нехай далі при t=0 новий стан

нескінченно мало відрізняється від стану

. Тоді система буде, за означенням, стійкою, якщо ці два стани відрізняються на нескінченно малу величину також і при t?? (тобто коли варіації ?V_і(t) є нескінченно малими при t?? ).

У загальному випадку, коли модель системи описується інтегральними рівняннями виду (8.1), аналіз стійкості моделі, як і сама модель, занадто складний. Тому при побудові моделі приймають, що кожен із зв'язків між компонентами можна охарактеризувати цілком визначеним часом затримки ?_ik Тоді замість інтегро-диференціального рівняння (8.1) одержимо звичайне диференціальне рівняння, але із запізненнями в аргументах системних змінних:

(1.2)

1.5.2. М а т р и ц я с у м і ж н о с т і. Зведення інтегрального зв'язку до функціонального значно спрощує як саму модель, так і процедуру аналізу її стійкості. Дійсно, варіюючи рівняння (1.2) згідно з правилами обчислення похідних і варіацій, одержимо:

(1.3)

Похідні функцій f_i.у (8.3) утворюють квадратну матрицю n  n:

, (1.4)

яку називають матрицею суміжності орграфа. Елементи е_l_т матриці суміжності відмінні від нуля

тільки в тому випадку, якщо в списку аргументів функції f₁, присутній параметр V_т, тобто коли з вершини т у вершину l орграфа йде дуга.

Наприклад, орграфу:

відповідає матриця суміжності:

.

Початковому компоненту (вершині) відповідає рядок, що складається з одних нулів. Кінцевій вершині відповідає стовпець, що складається з нулів.

Подальше спрощення моделі полягає в тому, що початковий стан

системи вважають рівноважним, тому функції V_і⁽⁰⁾(t) не залежать від часу. Відповідно, у цьому випадку компоненти матриці суміжності орграфа також є сталими величинами – числами. У найпростіших моделях беруть до уваги тільки знак чисел e_ik. Тоді відмінні від нуля елементи матриці суміжності e_ik можуть дорівнювати +1, – 1 або ж нулю (якщо з вершини k у вершину i відповідного орграфа дуга не йде), а час затримки буде однаковим для всіх зв'язків: _lk = _l. Відповідно, зважений граф у цьому випадку зводиться до знакового.

1.5.3. І м п у л ь с н і п р о ц е д у р и. На практиці аналіз систем на стійкість і прогнозування динаміки зміни їхнього стану ведуть числовими методами, що базуються на рівняннях (8.2)-(8.4), приймаючи, що елементи матриці суміжності орграфа системи є сталими величинами. Процедуру такого аналізу називають імпульсною процедурою.

Імпульсна процедура полягає в наступному.

Будують орграф екосистеми, виділяючи в ньому лише найважливіші, з погляду експерта, зв'язки. Залежно від глибини задачі й мети моделювання обмежуються побудовою простого, знакового чи зваженого графа і задаються однаковими або ж специфічними для кожного зв'язку значеннями часу затримки ?_ik Далі знаходять найбільший загальний дільник чисел ?_ik (позначимо його буквою ? без індексів) і привласнюють кожній дузі відповідне їй число Т_ik= ?_ik / ?, яке в такому випадку буде цілим числом, пропорційним часу затримки ?_ik.

Побудувавши в такий спосіб орграф, будують його матрицю суміжності е_ik і задаються початковим станом системи, привласнюючи кожній з вершин початкове значення V_ik(0).

Далі активізують одну або декілька вершин шляхом присвоєння їм відмінного від нуля початкового приросту p_i(0). Іншим вершинам приписують нульове значення початкового приросту, покладаючи для них p_k(0) = 0. Приріст р_і показника вершини відіграє ту саму роль, що і варіація, але, на відміну від варіації, приріст є обмеженою величиною.

Починаючи з моменту t = 0, вісь часу розбивають на однакові відрізки тривалістю ?, утворюючи послідовність моментів часу з загальним членом виду t_k=kt

Потім, спираючись на аналогію між приростом і варіацією, розраховують значення приростів у наступні моменти часу за їхніми значеннями у попередні моменти відповідно до формул (8.2)-(8.4):

. (1.5)

Якщо всі часи затримки ?_ik однакові, то всі T_ik=1.

Значення показників вершин розраховують за формулою:

(1.6)

На основі цих даних будують графіки імітації – графіки залежності значень показників вершин V_i(k) і приростів р_i(k) від номера кроку імітації для всіх i від одиниці до п. Значення показників звичайно виражають у відносних одиницях – балах.

1.5.4. О ц і н к а с т і й к о с т і с и с т е м и. За даними покрокової імітації за допомогою імпульсних процедур визначають стійкість системи.

Система називається абсолютно стійкою, якщо послідовність V_i(k) обмежена; імпульсна стійкість має на увазі обмеженість послідовності p_i(k).

Якщо система абсолютно стійка, а граничні значення членів послідовності ?_i(k) для деякого її стану збігаються з початковими значеннями, такий стан є рівноважним (до цих станів буде прагнути сукупність показників V_i^(k) при k??).
1.6. Приклади застосування системного моделювання

1.6.1. Е к о л о г і ч н а к р и з а в С а н-Д і є г о. Починаючи з 1940 р., поблизу берегів Сан-Дієго стали зникати водорості Macrocystis, що складають основу біоценозу, внаслідок скидання стічних вод. На ділянках, що звільнилися, розплодилися морські їжаки.

Раніше слідом за водоростями зникали і морські їжаки; це давало можливість водоростям відновитися. Проте морські їжаки, як виявилося, можуть харчуватися органікою, що надходить зі стічними водами, тому вони перестали реагувати на зменшення популяції водоростей. Тим самим виникла екологічна катастрофа для Macrocystis. Спроби врятувати водорості разовими скиданнями негашеного вапна чи підсадження молодняку водоростей (вони розвиваються в дорослу рослину з однієї-єдиної клітки) не привели до успіху. Тільки після припинення скидань рівновага відновилася. Цю ситуацію можна було передбачати, побудувавши і проаналізувавши знаковий граф екосистеми (див. рис. 8.9-8.11). Вектор-рядок, що активізує граф, має тут такий вигляд:

або

Рис. 1.9. Граф екосистеми міста Сан-Дієго

Рис. 1.10. Тенденції динаміки Рис. 1.11. Тенденції динаміки

Популяції Macrocystis морських їжаків
1.6.2. Екосистема "наїзник – квасолева зернівка". Знаковий орграф може дати тільки прогноз тенденцій розвитку екосистеми. Для побудови точного прогнозу необхідно врахувати не тільки характер, але і силу впливу однієї вершини на іншу. Це досягається за допомогою зважених орграфів. У цих орграфах кожній дузі привласнюють числове значення – вагу, для чого потрібні розширені дані про систему.

Як приклад розглянемо систему "квасолева зернівка – наїзник". Ця система може бути зображена двокомпонентним знаковим графом, показаним на рис. 1.12.

Рис. 1.12 Рис. 1.13

Наїзник Heterospilus має такий самий репродуктивний потенціал, як і зернівка, тому для опису цієї годиться звичайний знаковий орграф. Репродуктивний потенціал наїзника Heterospilus у 6 разів вищий. Це значить, що зміни в популяції наїзника Neocatolactus при тій самій зміні в популяції зернівки виявляться в 6 разів більше, ніж у попередньому випадку з наїзником Heterospilus.

Таким чином, популяція наїзника Neocatolactus у 6 разів менш чутлива до змін у популяції зернівки, ніж популяція зернівки стосовно змін у популяції наїзника, тому коефіцієнт ваги на дузі, що йде від наїзника Neocatolactus до зернівки, повинен бути в 6 разів меншим (див. рис. 1.13). Моделювання динаміки екосистеми, виконане на основі такого орграфа, дає криві імітації, наведені на рис. 1.14. Видно, що коливання в цьому випадку загасають, а число членів популяції встановлюється на певному рівні. Це цілком відповідає даним експерименту.

Рис 1.14. Динаміка системи зернівка – наїзник (1-зернівка; 2–наїзники)

1.7. Базові траєкторії оцінки стійкості орграфа

Стійкість екосистеми – найважливіша її характеристика. У цьому зв'язку важливо мати критерії стійкості графа, що моделює систему.

У випадку наявності контурів зворотного зв'язку стійкість орграфа можна визначити за характеристиками контуру.

Нехай у графі G є простий контур m₁, що об'єднує певне число вершин орграфа, тобто ?₁

G. Коефіцієнти при дугах e_ij – це компоненти матриці суміжності орграфа G.

Характеристикою контуру називають число:

; (1.7)

(добуток береться по всіх дугах, що входить до складу контура).

Якщо в орграфі G можна виділити не один, а декілька простих контурів (?₁; 1=1,2,... ?), тоді загальною характеристикою графа є число

. (1.8)

Таблиця 1.2. Базові траєкторії
Залежно від значення U₁ (чи U) можливі G базових варіантів стійкості контуру і, відповідно, системи в цілому; всі ці варіанти наведені в табл. 1.2. Тут імпульсна стійкість означає, що приріст p^t_j у кожній вершині на кожному кроці імітації обмежений: N< p^t_j < М, де N, М – деякі числа; абсолютна стійкість означає, що обмеженими є всі показники вершин ?^t_j, тобто N < ?^t_j < М. Під абсолютною рівновагою мається на увазі, що всі р^t_j? 0 при t??, тому за цієї умови V^t_j?V^?_j, де V_j^?– рівноважне значення. Про імпульсну рівновагу говорять тоді, коли система у певні моменти часу t = s повертається до початкового стану: V^s_j=V⁰_j.

Ці результати випливають із співвідношення, справедливого для простого контуру, що містить п вершин: (e_ij)ⁿ = US_ij_.

Висновки:

Орграфи складають основу рішення багатокомпонентних задач. Орграфи можуть бути простими, знаковими і зваженими. Числові значення на дугах (компоненти матриці суміжності та час затримки) проставляються експертами на базі дослідних даних.

Моделювання на орграфах здійснюють за допомогою імпульсних процедур.

В орграфі можуть бути позитивні й негативні зворотні зв'язки, що визначають стійкість (нестійкість) системи.

Біологічні принципи стійкості екосистем реалізуються в моделях на орграфах. Моделювання на мережах харчування дозволяє знаходити точки стійкої рівноваги.

1.8. Моделювання розвитку тваринного світу в регіоні

Метою розвитку тваринного світу в регіоні є:

визначення оптимального співвідношення між чисельністю популяцій різних – видів (груп видів) тварин;

– визначення швидкості росту популяцій;

– визначення стримуючих факторів росту;

– визначення можливого впливу господарської діяльності людини на – –––--– чисельність популяцій.

Моделювання ведуть за періодами часу (роками) на базі:

а) побудови мереж харчування;

б) врахування мінімальної та граничної чисельності особин кожного виду;

в) врахування швидкості росту популяції;

г) врахування початкової чисельності кожного виду.

База для моделювання – експериментальні факти й модельні умови.

Логічна схема моделювання подана на рис. 1.15. За цією схемою на початку моделювання задається початковий стан системи.

Рис. 1.15. Моделювання розвитку тваринного світу в регіоні

На кожному кроці імітації обчислюється природний приріст за рахунок народжуваності (на базі демографічної таблиці) й виживання (на базі мережі харчування з урахуванням альтернативних джерел харчування). Коли це необхідно, враховуються зміни антропогенного походження.

Рис. 1.6. Мережа харчування

Мережа харчування для такого моделювання будується у виді зваженого графа. На кожній дузі графа проставляється норма харчування для однієї особини хижака. Наприклад, знайомий нам граф лугової екосистеми може виглядати так, як показано на рис. 1.16; тут 2, 3, 4, 6 – умовні одиниці – бали.

Рис. 1.17. Граф елемента системи, здатного до саморозвитку

Розмноження популяції можна врахувати за допомогою компонентів графа типу внутрішня петля позитивного зворотного зв'язку (див. рис. 1.17); тут число на дузі може позначати, наприклад, середню швидкість росту.

Якщо втручання людини регулярне, його можна внести в мережу харчування у виді елемента мережі (наприклад, так можна врахувати регулярну косовиця трави, відстріл лисиць і зайців). Але найчастіше таке втручання нестабільне, тому воно повинне розглядається окремо у вигляді разових утручань.

На рис. 1.18 наведено приклад результату розрахунку стану екосистеми після масового відстрілу лисиць і зайців, а також масової косовиці трави.

Рис. 1.18. Динаміка розвитку лугової екосистеми після антропогенного втручання.

Рис.1.19. Ділянки стійкості лугової екосистеми

Видно, що відстріл лисиць не приводить до катастрофи: їхня чисельність цілком відновлюється протягом 6-8 років. Навпаки, косовиця трави, відстріл зайців, труїння комах викликає катастрофічні наслідки: система переходить у новий рівноважний стан.

Це викликано тим, що птахи, зайці й комахи зв'язані між собою графом конкуренції (конкурують одне з одним).

Малі відхилення від рівноваги не порушують її; через якийсь час система повертається в початковий стан. Великі відхилення викликані катастрофічним перевищенням деякої межі.

Моделювання показує, що при довільних варіаціях початкового стану кінцевий стан прагне до одного з фіксованих рівноважних станів (див. рис. 1.19). Ці стани (А, Б, ...) розділені границями ділянок притягання. Якщо відхилення від рівноваги не виходить за границі впливу, система повернеться у вихідну точку, а якщо виходить – повернеться в іншу.

1.9. Приклади розв'язання задач

Задача 1

Проаналізувати стійкість системи, заданої орграфом:

Розв 'язання:

Будуємо матрицю суміжності орграфа:

Задаємо деякий довільний початковий стан і активізуємо одну з вершин (першу):

За формулою (1.6) будуємо послідовність значень компонентів вектора приросту:

Видно, що кожна колонка на четвертому кроці обчислення повторюється, тобто процес є періодичним.

Будуємо послідовність значень компонентів вектора стану системи:

Будуємо графіки зміни з часом компонентів векторів стану системи та приросту компонентів:

1.10. Задачі для самостійного розв’язання
Задача 1

Побудувати матрицю суміжності такого орграфа:

Задача 2

Проаналізувати динаміку системи, заданої орграфом:

Задача 3

Проаналізувати динаміку:

а) системи хижак-жертва б) системи з антагонізмом

Задача 4

Проаналізувати стійкість системи, заданої орграфом:

Запитання для самоперевірки:

Які властивості системи "хижак-жертва" враховують при побудові моделі її динаміки?
Що таке ізокліни і як за їх допомогою виконати аналіз динаміки популяції?
У чому полягають переваги графічного моделювання динаміки популяції?
Що таке функціональна реакція хижака?
Як класифікують системи "хижак-жертва"?

2. ДВОКОМПОНЕНТНІ МОДЕЛІ

2.1. Двокомпонентні моделі. Модель взаємодії РК-БСК

РК – це вміст розчиненого кисню у воді. РК є ефективним кількісним показником життєдіяльності у водному середовищі. Кисень, розчинений у воді, бере участь у багатьох хімічних процесах у воді, у тому числі, у процесах метаболізму організмів і окислювання забруднень (органічних і неорганічних); його кількість залежить від інтенсивності цих процесів, а, отже, й від якості води (якщо РК = 0, то така вода непридатна для життєдіяльності й споживання).

Через численність факторів взаємодії зміну РК з часом важко охарактеризувати за допомогою прямої формалізованої математичної моделі, оскільки така модель містить численні змінні, взаємозалежні з РК й одна з одною. З цією метою вводиться показник біологічного споживання кисню (БСК) – інтегральна характеристика, що описує середньостатистичне споживання кисню в біохімічних процесах. БСК – це основна причина зниження РК, тобто погіршення якості води.

Внутрішня структура моделі взаємодії РК і БСК визначається множиною {S₁} функцій споживання РК і множиною {S₂} функцій споживання виробництва БСК. Аргументами кожної функції, що входять до {S₁} і {S₂}, є РК і БСК (що, в свою чергу, є функціями координат і часу), а також їх похідні та фактори зовнішнього середовища – функції сторонніх джерел і стоків РК і БСК.

Класичною динамічною моделлю взаємодії РК і БСК у воді є модель Стрітера і Фелпса. Вона описує розподіл РК у річці нижче за течією від джерела скиду далеко від естуарію (естуарій – це дельтаподібне розширення устя ріки при впаданні її в море або у велике озеро).

Взаємодія РК-БСК – це складний багатокомпонентний і багатостадійний процес, якій можна відобразити за допомогою графа, зображеного на рис. 2.1. Для спрощення моделі Стрітер і Фелпс поклали, що головними, визначальними процесами взаємодії РК – БСК є наступні:

– реаерація потоку води;

– споживання РК при окислюванні (розпаді, розкладанні) БСК. В їхній моделі:

(2.1)

де х₁,х₂ - концентрації РК і БСК, відповідно;

– концентрація насиченого розчину РК;

- константи швидкості реакцій реаерації води і взаємодії РК-БСК, відповідно.

Рис. 2.1. Блокова модель взаємодії РК-БСК

Задля подальшого спрощення моделі Стрітер і Фелпс припустили стаціонарність (незмінність у часі) водного потоку, стаціонарність функцій S₁ і S₂ (потоків РК і БСК) для всіх точок річки та рівномірність розподілу х₁, х₂ по перерізу потоку. У цьому випадку х₁ = х₁(z, t), х₂ = х₂(z, t ), де z – відстань від джерела скиду вздовж русла річки, t – час, а незалежні змінні z і t зв'язані одне з одним простим співвідношенням: z =ut (тут и – швидкість течії). Відповідно, модель Стрітера і Фелпса зводиться до системи звичайних диференціальних рівнянь і набирає наступного вигляду:

(2.2)

Розв'язок цієї системи рівнянь має такий вигляд:

(2.3)

де х₁₀, х₂₀ – концентрації, відповідно, РК і БСК у початковій точці. Видно, що в цій моделі показники РК і БСК змінюються за експоненціальним законом, причому вдалині від точки скиду х₁ = С_S, тобто вода насичується киснем, а х₂= 0, тобто вода самоочищується від активних домішок.

Модель Стрітера-Фелпса є найпростішим наближенням опису взаємодії РК – БСК. Порівняння її з блоковою моделлю взаємодії показує низький ступінь реалістичності моделі.

Більш досконалу і реалістичну модель, що розвиває модель Стрітера-Фелпса, запропонував Доббенс. Він урахував у своїй моделі взаємодію РК і БСК із придонними муловими відкладеннями і фотосинтез. У підсумку він одержав наступний вираз:

(2.4)

де k₃ – константа швидкості осадження БСК у придонні відкладення (константа адсорбції БСК);

D_В – швидкість приросту БСК, що узагальнює швидкості зміни РК за рахунок фотосинтезу, дихання рослин, розкладання придонних мулових відкладень;

L_Н – загальна швидкість зміни БСК за рахунок різних процесів, таких як поверхневі стоки тощо.

Через те, що швидкості, описувані за допомогою D_В і L_Н, розподілені нерівномірно по перерізу водного потоку, модель Доббенса – це система рівнянь у частинних похідних. Вона враховує вплив поперечного розподілу РК і БСК на стаціонарний розподіл РК, а також пропонує теоретичний механізм реаерації.

2.2. Нітрифікація

Нітрифікація – це процес окислювання азоту з відновленої форми (аміак) у нітрати. Нітрифікація вносить певний вклад у процеси споживання РК і, таким чином, у процеси самоочищення води.

Розрізняють наступні види нітрифікації:

а) автотрофна нітрифікація;

б) гетеротрофна нітрифікація.

Автотрофна нітрифікація здійснюється бактеріями-нітрифікаторами, що використовують процес окислювання амонію для синтезу органіки; гетеротрофна нітрифікація здійснюється різними мікроорганізмами (грибами).

Нітрифікація – це основний шлях утворення нітратів у природі; він завершує процес мінералізації води.

2.2.1. Б а л а н с о в і м о д е л і н і т р и ф і к а ц і ї.

У цих моделях розраховують баланс відповідних речовин шляхом урахування РК. А саме: враховується надходження кисню в річку за рахунок притоку й аерації через поверхню і втрати його внаслідок окислювання аміаку (тобто азотного БСК, або БСК_N) і карбонатного БСК (БСК_С). Зміна потоку кисню описується в рамках моделі Стрітера–Фелпса, в якій витратний член, що описує втрати РК за рахунок взаємодії РК – БСК, розділяється на дві частини: взаємодія з карбонатним БСК_С і взаємодія з азотним БСК_N.

У такому підході нітрифікація розглядається напівемпірично, оскільки БСК_С визначається шляхом вимірювань. Повний БСК розглядається як результат повного окислювання аміачних нітритів до нітратів, причому кількість останніх також визначається емпірично. При розрахунку реакція нітрифікації вважається реакцією першого порядку.

Моделювання ведеться у декілька етапів.

1) Урахування діяльності бактерій-нітрифікаторів (автотрофної нітрифікації).

Рівняння росту біомаси бактерій має вигляд:

(2.5)

Питома швидкість росту ц залежить від концентрації субстрату (S) і описується рівнянням Міхаеліса–Ментеня:

(2.6)

Після інтегрування рівняння одержимо:

. (2.7)

Згідно із співвідношенням Моно, ?x = -Y?S; тут ?S = S – S₀; ?x = x – x₀; Y – економічний коефіцієнт. Це співвідношення враховує, що приріст х здійснюється за рахунок споживання субстрату. Використовуючи співвідношення Моно, знайдемо:

(2.8)

Отримане співвідношення використовують для оцінки початкової кількості бактерій-нітрифікаторів за результатами посіву проби. Значення х₀ надалі можна використовувати для розрахунку БСК, пов'язаного з автотрофною нітрифікацією.

2) Визначення карбонатного БСК_С ведуть шляхом пригнічення нітрифікації в пробі води за допомогою спеціальних добавок – інгібіторів нітрифікації. У цих умовах БСК_N = 0, тому БСК_С = БСК.

3) У підсумку БСК_N визначають як різницю загального БСК, розрахованого за результатами вимірювань, виконаних за відсутності інгібітору, і БСК_С, знайденого за умови пригнічення нітрифікації в пробі води.

4) Розрахунок повного БСК у річці ведуть за допомогою рівняння Стрітера-Фелпса, використовуючи результати дослідження проб води і вимірювання початкового вмісту БСК у воді, а також літературні дані про величину констант насичення й економічного коефіцієнта в співвідношеннях Міхаеліса-Ментена та Моно.

Запитання для самоперевірки:

1. Що таке балансові моделі якості води і на якому законі природи вони ґрунтуються?

2. Назвіть основні види рівняння самоочищення води в природі та запишіть вигляд їх розв'язку.

3. Чим відрізняються рівняння розповсюдження консервативних і неконсервативних домішок?

4. У чому полягає суть моделі Стрітера - Фелпса?

5. В чому полягає суть поправок Доббенса?

6. Що таке карбонатне і азотне БСК?

7. Як враховують дію бактерій-нітрифікаторів при моделюванні процесів нітрифікації БСК?

8. Як враховують процеси гетеротрофної нітрифікації при моделюванні самоочищення води від БСК?

Додаток. Розв’язування систем диференціальних рівнянь методом рунге-кутта четвертого порядку

Систему звичайних диференціальних рівнянь вищого порядку за допомогою введення нових функцій можна звести до системи рівнянь першого порядку [3].

Розглянемо таку систему

(5)

де

Система (5) роз’вязиватимемо методом Рунгe - Кутта 4-го порядку обчислюючи у_і за формулою

кількість кроків інтегрування.

У програме використовуються змінні: n- кількість інтегрованих функцій; m – кількість кроків інтегрування; х₀ – початкове, потім поточне значення аргументу; х1 – кінцеве значення аргументу; у – масив, що містить початкові, а потім поточні значення функцій; у1 – те саме для попереднього наближення; j – масив, що містить праві частини рівнянь (5); k – масив, що містить

крок інтегрування;
i , j – змінні циклів.

Контрольний приклад. При n =20, m = 20, y₁(0)=0 в точці х = 2 роз’язки системи

Дорівнюють у₁ = -0.416145269, у₂ = -0.909297992. Точний розв’язок у₁= cos(x), y₂ = -sin(x) при х=2 набуваe значення у₁(2) = -0.41614683…,

У₁(2) = -0.90929742… Процедура FF(y,F) має вигляд:

PROCEDURE FF(y:ar:VAR F:ar);

BEGIN F[1]: = y[2]; F[2]: = -y[1] END;

Програма D.4. Метод Руннге – Кутта четвертого порядку для системи диференціальних рівнянь

CONST dim = 10

TYPE ar = ARRAY [1…dim] OF Real;
ROCEDURE rkn(n,m : Integer; x, x1 : Real; y :ar;Var y1 : ar);

{заголовок процедури та опис локальних змінних;}

VAR i,j : Integer;

k,F : ar;

h : Real;

BEGIN

h : =(x1-x)/m; {обчислення h, }

y1 : =y; {задання початкового значення змінної у1;}

FOR j:=1 TO m DO

BEGIN FF(y,F);

FOR i: = 1 TO n DO

BEGIN k[i]: = h*F[i]; y[i] : =y1[i]+k[i]/2 END;

x:=x+h/2; FF(y,F);

FOR i: = 1 TO n DO

BEGIN k[i]: = k[i]+2*h*F[i]; y[i]: = y1[i]+h*F[i]/2 END;

FF(y,F)

FOR i : = 1 TO n DO

BEGIN k[i]: = k[i]+2*h*F[i]; y[i]: = y1[i]+h*F[i] END;

x: = x+h/2; FF(y,j);

FOR i: = 1 TO n DO

BEGIN y[i]: = y1[i]+(k[i]+h*F[i])/6; {обчислення

}

y1[i]: = y[i] END

END

END;
Література

1. Богобоящий В.В. та ін. Принципи моделювання та прогнозування в екології: Підручник .- Київ: Центр навчальної літератури, 2004.-216 с.

2. Ковальчук П. І. Моделювання і прогнозування стану навколишнього середовища: Навч. посібник. – К.: Либідь, 2003. – 208 с.

3. Кучерявий В. П. Екологія. – Львів: Світ, 2001. – 499 с.

4. Ковалюк Т. В. Основи програмування. – К.: Видавнича група BHV, 2005. – 384 с.

Диханов С.М.

МОДЕЛЮВАННЯ І ПРОГНОЗУВАННЯ

СТАНУ ДОВКІЛЛЯ

Посібник та збірник завдань до самостійної та індівідуальної роботи

Підписано до друку р. Формат .

Умовн. друк. арк. , . Наклад прим.

Надруковано видавницьким центром ОДАХ.

65082, Одеса, вул. Дворянська, 1/3

Міністерство освіти і науки України