Решения задач - Экономико-математические методы и модели - файл n1.docx
приобрестиРешения задач - Экономико-математические методы и моделискачать (80.8 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.docx
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Белорусский государственный
технологический университет»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Эконометрика и экономико-математические модели и методы»
вариант 5
Выполнил студент ЗФ
III курса
Шифр 08-22855
Козловская Т.В.
Минск, 2011
Задача №1
Эконометрическая модель содержит 3 уравнения, 3 эндогенные переменные (у) и 3 экзогенные переменные (х). В таблице задана матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели.
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
I | -1 | 0 |
 |
 | 0 |
 |
II |
 | -1 |
 | 0 | 0 |
 |
III | 0 |
 | -1 |
 |
 | 0 |
Запишите структурную форму модели.
Решите проблему идентификации для данной модели.
Исходя из приведенной формы модели уравнений рассчитайте, если это возможно, структурные коэффициенты третьего уравнения.
Решение:
Структурная форма эконометрической модели с тремя уравнениями имеет вид:
Приведенная форма модели:
Структурная форма модели имеет вид:
В условиях задачи модель имеет три (n=3) эндогенные
и три экзогенные
переменные. Проверяем каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условие индефикации.
I уравнение:
Н: Эндогенные переменные

=2
Отсутствующие экзогенные

p=1.
Необходимое условие:

p+1 – выполнено.
Д: В первом уравнении отсутствуют

Построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение | Отсутствующие переменные |
 |
 |
II | -1 | 0 |
III |
 |
 |

1

и rank A=2

n

1

остаточное условие выполнено. Следовательно, первое уравнение точно идентифицировано.
II уравнение:
Н: Эндогенные переменные

=3
Отсутствующие экзогенные

p=2.
Необходимое условие:

p+1 – выполнено.
Д: Во втором уравнении отсутствуют

Построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение | Отсутствующие переменные |
 |
 |
I |
 | 0 |
III |
 |
 |

и rank A=2

n

1

остаточное условие выполнено. Следовательно, второе уравнение точно идентифицировано.
III уравнение:
Н: Эндогенные переменные

=2
Отсутствующие экзогенные

p=1.
Необходимое условие:

p+1 – выполнено.
Д: В третьем уравнении отсутствуют

Построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение | Отсутствующие переменные |
 |
 |
I | -1 |
 |
II |
 |
 |

1

и rank A=2

n

1

остаточное условие выполнено. Следовательно, третье уравнение точно идентифицировано.
Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.
Путем алгебраических преобразований перейдем от приведенной формы (ПФМ) к уравнению структурной формы модели (СФМ), получая тем самым численные оценки структурных параметров.
По условию требуется рассчитать структурные коэффициенты третьего уравнения. Правая часть третьего уравнения СФМ содержит эндогенную переменную

. Из второго уравнения выразим

(так как его нет в третьем уравнении СФМ):
Данное выражение содержит переменные

которые нужны для третьего уравнения СФМ. Подставим полученное выражение

в третье уравнение приведенной формы модели (ПФМ):
Отсюда находим третье уравнение СФМ

.
Задача №2
Народное хозяйство представлено тремя отраслями:
1) тяжёлая промышленность;
2) лёгкая промышленность;
3) сельское хозяйство.
За отчётный период получены данные о межотраслевых поставках

и векторе объёмов конечного потребления

Рассчитайте:
Матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A=(
), матрицу «затраты – выпуск» (Е
А) и вектор конечного потребления У для заданного вектора валовых выпусков Х. Результат представьте в виде балансовой таблицы.
Матрицу коэффициентов полных материальных затрат В=(
)n*n и валовые объемы выпуска
для заданного вектора конечного потребления
. Определите плановые объемы межотраслевых поставок (
)пл и поясните, как валовые объёмы выпуска продукции (
)i, i=
распределились между отраслями. Результаты представьте в виде балансовой таблицы.
Приросты валовых объёмов выпуска, если конечное потребление изменится на
по сравнению с
.
Матрицы коэффициентов косвенных затрат первого
, второго
и третьего
порядков. Сравните сумму затрат ( Е+А+
) с полными затратами В, найдите относительные погрешности.
Исходные данные:
№ отрасли | Межотраслевые потоки Х |
 | Х |
 |
 |
1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
1 | 55 | 80 | 26 | 125 | 230 | 500 | +20 |
2 | 30 | 90 | 10 | 200 | 350 | 320 | +30 |
3 | 45 | 30 | 95 | 210 | 280 | 145 | +30 |
Решение:
По данным задачи находим вектор объёмов валовых выпусков

=

Находим матрицу коэффициентов прямых затрат по формуле
А=(

)
n*n, где
i=1,n,
j= 1,n.
А=

=

Матрица «затраты

выпуск» примет вид
(Е

А) =

=

Новый вектор конечного потребления найдём по данному вектору валовых выпусков
Х: У=(
Е-А)Х =

Чтобы построить таблицу МОБ на расчётный период нужно определить межотраслевые потоки. Для этого воспользуемся формулой

= 0,24

19,6

= 0,09

Валовая добавленная стоимость (условно чистая продукция) находим по формуле

Межотраслевой баланс на расчётный период представлен в таблице:
Потребляющие отрасли | 1 | 2 | 3 | Продукция |
Производящие отрасли | Конечная У | Валовая Х |
1 | 43,7 | 84 | 19,6 | 82,7 | 230 |
2 | 23 | 94,5 | 8,4 | 224,1 | 350 |
3 | 36,8 | 31,5 | 70 | 141,7 | 280 |
Z | 126,5 | 140 | 182 | 448,5 |
|
X | 230 | 350 | 280 |
| 860 |
2. Найдём матрицу коэффициентов полных материальных затрат
В путём обращения матрицы (Е

А).
В = (Е-А)-1 = 
Объём производства валовой продукции

при заданном объёме конечной продукции

в плановом периоде можно определить используя формулу


Чтобы построить таблицу МОБ на планируемый период, нужно определить межотраслевые потоки. Плановые объёмы межотраслевых потоков найдём из уравнения


= 0,24

= 0,09

30,59

Валовая добавленная стоимость (условно чистая продукция) находим по формуле

Межотраслевой баланс на расчётный период представлен в таблице:
Потребляющие отрасли | 1 | 2 | 3 | Продукция |
Производящие отрасли | Конечная У | Валовая Х |
1 | 156,56 | 136,56 | 30,59 | 500 | 824 |
2 | 82,4 | 153,63 | 13,11 | 320 | 569 |
3 | 131,84 | 51,21 | 109,25 | 145 | 437 |
Z | 453,2 | 227,6 | 284,05 | 965 |
|
X | 824 | 569 | 437 |
| 1830 |
3.Так как по условию задачи

должно увеличиться на 20%,

- 30%, а

то компоненты нового вектора конечного потребления будут равны:

, где
Прирост валовых объёмов выпуска, соответствующий новому вектору конечного потребления, найдём по формуле:
(Е-А)-1
=B
=
Косвенные затраты первого порядка равны
=А
второго

, третьего

Найдём сумму затрат

= (Е+А)+(

и сравним с полными затратами:

= А

=

=

=
Тогда матрица полных материальных затрат равна

+
Относительные погрешности составят (в процентах)

Задача №3
Годовая потребность фирмы в деревоматериалах составляет 105000

, причём материалы расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно, затраты на хранение 1

0,3 ден. ед. Затраты на подготовительно-заключительные операции, не зависящие от величины поставляемой партии и связанные с каждой поставкой равны 8000 ден.ед. Задержка производства из-за отсутствия материалов недопустима.
Определите:
а) оптимальный размер партии поставки;
б) оптимальный интервал между поставками;
в) средний уровень текущего запаса;
г) число поставок;
д) годовые затраты, связанные с работой данной системы.
2. Определите, на сколько процентов увеличатся затраты на создание и хранение запаса по сравнению с минимальными затратами при объёме заказываемых партий 4500 деталей.
3. В условиях задачи предположим, что заказываются не все партии сразу, а каждая отдельно, причём срок выполнения заказа равен 15 дней. Определите точки заказа, т.е. при каком уровне запаса следует заказать следующую партию.
4. Постройте график изменения запасов, отметьте точки заказа.
Решение:
к = 8000 ден.ед. – затраты на одну партию
h = 0,3 ден.ед. – затраты хранения единицы запаса в сутки
Т= 1 год= 365 дней – общий промежуток времени
Q= 105000

интенсивность спроса за этот период
Следовательно, в сутки потребность в деталях равна

а) по формуле
=
– оптимальный размер партии поставки.
б) оптимальный интервал между поставками

в) средний уровень текущего запаса определим по формуле

=

1958,5

г) число поставок равно

=

=

= 26,8

27 поставок в год;
д) годовые затраты, связанные с работой данной системы
= 
Относительное изменение объёма партии по сравнению с оптимальным составляет
=
. В соответствии с формулой
2 относительное изменение суммарных затрат составит
, или лишь 1,1%.
Точку заказа определим по формуле

.
Построим график изменения запасов:
Точки
А и
В – точки заказа.
Задача №4
После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование может оказаться в одном из следующих состояний:
1-ое: - требуется профилактический ремонт;
2-ое: - следует заменить отдельные детали и узлы;
3-е: - требуется капитальный ремонт;
В зависимости от состояния оборудования руководство предприятия может принять следующие решения:
Отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует затрат 9,12,18 денежных единиц для каждого состояния оборудования;
Пригласить специалистов со стороны, при этом расходы составят 7,16,20 денежных единиц;
Заменить оборудование новым, что приведёт к затратам соответственно 17,15,17 денежных единиц;
Задание:
Составьте игровую схему, выявите участников игры и их стратегии.
Составьте платёжную матрицу и матрицу рисков.
Выясните, какое решение целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) заданы вероятности 0,6; 0,1; 0,3 указанных выше состояний оборудования; б) все три состояния оборудования равновероятны.
Найти оптимальные стратегии для руководства предприятия, пользуясь критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица (при заданном
).
Решение:
Представим рассматриваемую ситуацию в виде игры _ математической модели конфликта, рассматриваемого в условиях неопределённости, исход которого заранее неизвестен. Одним из участников игры является руководство предприятия, заинтересованное в минимизации потерь – игрок А. Вторым участником игры является «природа» (совокупность объективных неопределённых факторов) – игрок П, приводящий промышленное оборудование в то или иное состояние. Такие игры относятся к играм с «природой», в которых первый игрок старается действовать осмотрительно, а второй – случайно.
Руководство предприятия может принять одно из трёх решений (стратегий):

=

,

=

=

,
Для «природы» в рассматриваемой ситуации возможны три стратегии (состояния):
В теории игр обычно говорят о выигрыше и максимизации выигрыша, поэтому опишем данную игровую ситуацию с минимизацией потерь в терминах выигрыша. Для этого поставим знак минус перед всеми числовыми значениями затрат на ремонт и замену оборудования, данными в условии. Если игрок А принимает i
ю стратегию
при j
ом состоянии «природы»
то он получит выигрыш
. Например, руководство принимает решение
=
, если
значит его выигрыш
=
. Матрица А=(
) называется матрицей последствий (матрицей игры).
матрицей последствий
-
Матрица
R=(

) –
матрица рисков – позволяет оценить риск, который несёт
i-е решение в условиях неопределённости. Допустим, в
j- ой ситуации принято решение, приносящее небольшой выигрыш

тогда принятие
i- ого решения несёт риск недобрать

.
Имеем

Следовательно, матрица рисков имеет вид :
матрица рисков
-
а) Так как известны вероятности состояний «природы» (частичная неопределённость), для принятия решения примем следующие правила.
Правило максимизации среднего ожидаемого выигрыша рекомендует принять стратегию, для которой

.
Правило минимизации среднего ожидаемого риска рекомендует принять стратегию, для которой

.
Применяя правило максимизации величины среднего выигрыша, получим:

=

9

12;

=

7

11,8;

16,8;
max

=

11,8.
Значит, по величине среднего выигрыша оптимальной является стратегия

,т.е.

.
Применяя правило минимизации величины среднего риска, получим:
min

Значит, по величине среднего риска оптимальной является стратегия

,т.е.

.
б) В случае, когда все состояния природы полагаются равновероятными, применяют
правило Лапласа. Оптимальной считается стратегия, обеспечивающая минимум среднего риска (максимум среднего выигрыша) при

.
min

Значит, по правилу Лапласа оптимальной является стратегия

т.е ремонт оборудования силами заводских специалистов.
Если вероятности состояний природы неизвестны, то для выбора оптимальной стратегии можно использовать несколько критериев.
Критерий Вальда (
правило крайнего пессимизма) предлагает выбрать стратегию, которая в наихудших условиях гарантирует наилучший результат, т.е.

. По матрице игры найдём элементы

. Имеем

max

=

. Значит, оптимальной является стратегия

, т.е. заменить оборудование новым.
Критерий Сэвиджа (
правило минимального риска) предлагает выбрать стратегию, при которой величина максимального риска минимизируется:

. Имеем

4,

Значит, оптимальной является стратегия

т.е ремонт оборудования силами заводских специалистов.
Критерий Гурвица