Деордица Ю.С. Решение задач по теории вероятностей с использованием MATHCAD - файл n1.doc

приобрести
Деордица Ю.С. Решение задач по теории вероятностей с использованием MATHCAD
скачать (3592.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3593kb.18.09.2012 13:32скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

им. Владимира Даля

ДЕОРДИЦА Ю.С.




Решение задач

по теории вероятностей

с использованием MATHCAD


Учебно-методическое пособие
Луганск 2011

УДК 681.5


Рекомендовано

Методическим советом факультета

математики и информатики

как учебно-методическое пособие.


Деордица Ю.С. Решение задач по теории вероятностей с использованием MATHCAD. Учебно-метод. пособие..  Луганск: ВНУ, 2011.  120 с.


Учебно-методическое пособие состоит из четырех разделов: «Случайные события», «Случайные величины», «Цепи Маркова» и «Метод Монте-Карло». Каждый раздел пособия содержит краткие теоретические сведения и примеры решения типовых задач с использованием системы MATHCAD.


 Деордица Ю.С.

 ВНУ им. В. Даля

1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ


Случай является одним из наиболее загадочных явлений на свете, он внезапно возникает и так же внезапно исчезает, – столь внезапно, что не позволяет нам проникнуть в свою сущность. Только в XX веке математики научились оперировать с вероятностью, хотя отдельные задачи о подсчете шансов в азартных играх рассматривались еще в ХV-ХV1 веках. Древние греки, приучившие нас к количественному взгляду на мир, пришли бы в ужас, если бы узнали, что мы научились с помощью теории вероятностей вычислять шансы и оценивать, какие события более вероятны, а какие менее вероятны, например, в актуарных расчетах или азартных играх.

В середине XVII века французские математики Паскаль и Ферма разработали математическую модель, описывающую вероятность исходов в играх, зависящих от случая, по заказу известных игроков в азартные игры. При игре в «кости», рулетку, как и при опросах, исследованиях (физических, экономических, социологических и т.д.), результаты меняются от раза к разу даже при сохранении неизменных условий.

Деловые люди принимают решения в таких же условиях. Например, специалист по маркетингу никогда не сможет точно предсказать объемы реализации нового товара. Так же, как и заключая пари, невозможно предвидеть, выиграешь или проиграешь. И в том, и в другом случае присутствует неопределенность. Теория вероятностей как раз и оперирует этим понятием. Изучение теории вероятностей, основанной на игре случая, обеспечит надежный инструмент измерения и контроля различных форм неопределенности, с которыми имеют дело люди самых различных профессий.

Для начала несколько основных определений.

Опыт – действие, результат которого заранее неизвестен. Например, результат бросания монеты или игральной кости.

Эксперимент – один или несколько опытов. Например, бросание монеты 6 раз.

Исход – возможный результат эксперимента. Например, монета брошена 6 раз, результат: «решка», «решка», «решка», «орел», «орел», «решка».

Событие – один или несколько исходов эксперимента. Например, монета брошена 6 раз, событие: 2 «орла», 4 «решки».

Хотя может существовать неопределенность в отношении результата единственного эксперимента, ряд идентичных экспериментов определяет наиболее вероятный результат, который и используется в анализе ситуации в бизнесе.

ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ


В теории вероятностей каждый исход эксперимента рассматривается как случайный. Это означает, что заранее неизвестно, какой из исходов будет иметь место при проведении эксперимента. Однако ясно, что, во-первых, в результате каждого испытания обязательно должен иметь место какой-то исход и, во-вторых, в результате одного испытания не может быть двух исходов.

Интуитивно под вероятностью исхода понимают численную меру, которая характеризует объективную возможность данного исхода эксперимента. Это означает, что каждому из элементов приписывается некоторое положительное вещественное число, на которое наложены следующие ограничения:

1) р тем больше, чем больше уверенность в том, что будет иметь место именно данный исход эксперимента;

2) сумма значений р для всех возможных исходов эксперимента должна быть равна единице.

Пусть некоторый эксперимент состоит из N равновозможных исходов (т. е. нет объективных причин считать, что какой-то исход испытания наступает чаще, чем другой). Допустим, что из общего числа всех исходов событию А благоприятствуют NA исходов. Тогда вероятностью события А при данном испытании называется число

(1.1)

Такое определение вероятности называется классическим. Классическое определение служит хорошей математической моделью при решении задач из области азартных игр, лотерей, организации выборочного контроля, выборочных статистических исследований и т.п., поскольку здесь предположение о равновозможности всех исходов испытания заложено в самой постановке вопроса.

Рассмотрение задач, связанных с вычислением вероятности по классическому определению, удобно проводить по следующей схеме:

СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ


Из того, что вероятность является соотношением, следуют два важных вывода. Если мы обозначим вероятность исхода эксперимента р, то можно сказать следующее:

  1. Числовое значение вероятности находится в интервале от 0 до 1 включительно:

0  р  1,

т.е. р не может быть отрицательным или быть больше 1.

  1. Сумма вероятностей результатов (вероятность полной группы событий) равна 1, т.е. вероятность того, что что-то произойдет, равна 1:.

Следовательно, вероятность события A есть Р(A), тогда:

0 ? Р(A) ? 1.

Пример 1.1. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Решение.

Для начала найдем все возможные исходы: (ррр, рро, pop, opp, роо, оро, оор, ооо).

Чтобы убедиться, все ли возможные варианты мы нашли, воспользуемся диаграммой в виде дерева.

Итак, имеются 8 равновозможных исходов. Событие A – два «орла» и «решка» – произошло три раза (роо, оро, оор). Поэтому:



Пример 1.2. Бросается две игральные кости, на каждой из которых может выпасть от одного до шести очков. Какова вероятность того, что сумма очков равна 9 или больше?

Решение. Исходы эксперимента удобно изобразить с помощью таблицы 1, из которой видно, что количество исходов эксперимента равно 36.

Таблица 1.1.




Очки на второй кости

1

2

3

4

5

6

Очки на

первой кости

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12


В 10 из 36 возможных исходов сумма очков равна 9 или больше, следовательно:


ВЕРОЯТНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ЭМПИРИЧЕСКИ


При общем числе экспериментов n, из которых m удачных, вероятность требуемого результата подсчитывается так:

Р (успешных исходов) = m/n при большом n.

Отношение m/n есть относительная частота появления определенного результата при достаточно продолжительном эксперименте. Вероятность обычно подсчитывается либо на основе данных проведенного эксперимента, либо на основе прошлых данных.

Пример 1.3. Из пятисот протестированных электроламп 415 проработали более 1000 часов. На основе данных этого эксперимента можно заключить, что вероятность нормального функционирования лампы данного типа более 1000 часов составляет:



Примечание. Контроль имеет разрушающий характер, поэтому не все лампы могут быть проверены. Если бы была протестирована только одна лампа, то вероятность составила бы 1 или 0 (т.е. сможет проработать 1000 часов или нет). Отсюда следует необходимость повторения эксперимента.

Пример 1.4. В табл. 2. приведены данные о стаже мужчин, работающих в фирме. Какова вероятность того, что следующий принятый на работу в фирму человек проработает не меньше двух лет.
Таблица 2.2.

Стаж,

лет

Число

работников

Менее 1

26

От 1 до 2

36

От 2 до 3

16

От 3 до 4

20

От 4 до 5

2

5 и более

0

Всего: 100





Решение.

Из таблицы видно, что 38 из 100 работников работают в компании больше двух лет. Эмпирическая вероятность того, что следующий работник останется в компании на срок более двух лет равна:

38/100 = 0,38.

При этом мы предполагаем, что новый работник «типичен», а условия работы неизменны.

СУБЪЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ


В бизнесе часто возникают ситуации, в которых отсутствует симметрия, и экспериментальных данных тоже нет. Поэтому определение вероятности благоприятного исхода под влиянием взглядов и опыта исследователя носит субъективный характер.

Пример 1.5.

  1. Прогноз менеджера по маркетингу: вероятность продажи 1000 единиц товара в первый месяц после его появления на рынке равна 0,4.

  2. Эксперт по инвестициям считает, что вероятность получения прибыли в течение первых двух лет равна 0,6.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15


ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации