Лукинова С.Г. Высшая математика для экономистов. Часть III. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды - файл n1.doc

приобрести
Лукинова С.Г. Высшая математика для экономистов. Часть III. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды
скачать (3744 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc3744kb.18.09.2012 11:47скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6   7





ЛУКИНОВА С. Г.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА



ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Часть III

Интегральное исчисление.

Дифференциальные уравнения.

Ряды.





Красноярск 2004

ФНЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Московский государственный университет экономики,

статистики и информатики

МЭСИ

Красноярский филиал

ЛУКИНОВА С. Г.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Часть III

Интегральное исчисление.

Дифференциальные уравнения.

Ряды.




Учебно-методический комплекс

дисциплины

Красноярск 2004

Лукинова С. Г. Высшая математика для экономистов. Часть III. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды. Учебно-методический комплекс дисциплины. – Красноярск: КФ МЭСИ, 2004, - 105 с.

В учебно-методическом комплексе представлены основные разделы дисциплины «Высшая математика», необходимой для успешного усвоения дальнейших глав математики, а также общетеоретических специальных дисциплин в области экономики, статистики и бизнеса, менеджмента и информационных технологий.

Компьютерная верстка – Власов И. В.

(студент специальности «Прикладная информатика»)

Рецензенты: профессор, д-р физ.-мат. наук А.К. Шлёпкин (КрасГАУ),


© С.Г. Лукинова.
© Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. Красноярский филиал, 2004
Содержание.
Введение.

  1. Программа, цель и задачи дисциплины, сфера профессионального использования

  2. Теоретическая часть

    1. Интегральное исчисление

      1. Неопределённый интеграл, его свойства

      2. Методы интегрирования

      3. Определённый интеграл, его свойства

      4. Теорема Ньютона-Лейбница

      5. Геометрические приложения определённого интеграла

      6. Несобственные интегралы

      7. Понятие двойного интеграла

    2. Дифференциальные уравнения

      1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши

      2. Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка

      3. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

      4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

      5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

      6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Лагранжа

      7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

    3. Ряды

      1. Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости ряда

      2. Достаточные признаки сходимости числовых рядов

      3. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

      4. Функциональные ряды. Степенные ряды

      5. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена

      6. Применение рядов в приближенных вычислениях

    4. Приложения в экономике

      1. Приложения интегрального исчисления в экономике

      2. Приложения дифференциальных уравнений в экономике

  3. Руководство к изучению разделов

  4. Вопросы и задания для самооценки

  5. Итоговый тест

  6. Вопросы к экзамену

  7. Конспект-схемы основных тем лекций

  8. Приложения:

Приложение А Контрольная работа №6

Приложение B Контрольная работа №7

Приложение C Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)

Литература


Введение
Данное учебное пособие, предназначенное для студентов экономических специальностей всех форм обучения, написано на основе курса лекций, которые автор читает студентам на первом курсе.

Программа и содержание курса лекций определены государственным образовательным стандартом 2000 года.

В пособии представлены основные разделы дисциплины «Высшая математика» Знания, полученные студентом, необходимы для усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области экономики, статистики, менеджмента, бизнеса, информационных технологий.

Содержание данного пособия посвящено трём большим разделам высшей математики  "Интегральному исчислению", "Дифференциальным уравнениям" и "Теории рядов". Приводятся основные сведения

из интегрального исчисления: правила и формулы интегрирования, основные методы вычисления неопределенных и определенных интегралов, дано понятие двойного интеграла и методы его вычисления,

в пособии уделено внимание приложениям определённого интеграла в геометрии и экономике,

из теории обыкновенных дифференциальных уравнений: методы решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков,

их приложения в экономике:

из теории числовых и степенных рядов, методы исследования рядов на сходимость, разложение функции в степенные ряды.

Настоящее учебное пособие рассчитано как для самостоятельной работы студентов, так и для обучения в аудитории.

Задачи итогового теста (раздел 5) необходимо выполнить перед сдачей экзамена. В разделе 7 приводятся конспект-схемы основных тем теоретической части.

Данное пособие содержит две контрольные работы (раздел 8). Приложение А. Контрольная работа № 3 "Интегральное исчисление. Применение в экономике",

Приложения В. Контрольная работа № 4 "Дифференциальные уравнения. Ряды. Применение в экономике".

Необходимо решить

контрольные работы своего варианта, чтобы получить допуск к экзамену. Решение типовых задач контрольных работ приведены в данном пособии (примеры 154, раздел 2). Защита контрольных работ осуществляется в письменной форме или в виде собеседования (по решению преподавателя) во время экзаменационной сессии.

1. Программа, цели и задачи дисциплины, сфера профессионального использования
1.1. Цель дисциплины состоит в получении студентами прочных теоретических знаний и твердых практических навыков в области высшей математики. Такая подготовка необходима для успешного усвоения многих специальных дисциплин. Исследование многих процессов в промышленной технологии и экономике связано с разработкой соответствующих математических моделей, для успешного исследования которых будущий специалист должен получить достаточно серьёзную математическую подготовку.
1.2. Задачей дисциплины является изучение фундаментальных разделов высшей математики, которое составит основу математических знаний студента. Прочное усвоение современных математических методов позволит будущему специалисту решать в своей повседневной деятельности актуальные задачи практики, понимать написанные на современном научном уровне результаты других исследований и тем самым совершенствовать свои профессиональные навыки.

Данный курс обеспечивает все математические курсы, в частности, такие как «Методы исследования операций», «Теория вероятностей», «Математическая статистка», «Эконометрика», «Финансовая математика» и другие.
1.3. Программа разделов
Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования:


Определенный интеграл


Обыкновенные дифференциальные уравнения


Теория рядов.


2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
2.1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.1.1 Неопределённый интеграл, его свойства
Первообразная функция и неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке

.

Например, функция F(x)=x3 является первообразной функции f(x)=3x2 на всей числовой оси, так как (x3)/=3x2 при любом x. Отметим, что вместе с функцией F(x)=x3 первообразной для f(x)=3x2 является любая функция вида Ф(х)=х3, где С – произвольное постоянное число.

Лемма о первообразных

Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x) можно записать в виде F(x)+C.

Выражение F(x)+C, где F(x) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом , причём f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dxподынтегральным выражением,

х переменной интегрирования; знак неопределённого интеграла.

Таким образом, по определению



если .

Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл?

Свойства неопределённого интеграла

  1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции



  1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению



  1. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого

или

где С – произвольное число

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла



где k – некоторое число.

  1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций


Интегралы от основных элементарных функций

(Таблица интегралов)



  1. .

  2. , в общем случае

  3. , в частности

  4. 9)

  5. 10)

  6. 11)

  7. 12)


2.1.2 Методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путём преобразований и применения свойств неопределённого интеграла.
Пример 1. Найти интеграл

Решение:

.

Пример 2. Найти интеграл

Решение:



Замена переменной интегрирования

Если , где - функция, имеющая непрерывную производную, тогда ; подставляя в интеграл, получим


Пример 3. Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=t2. Тогда , получим


Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

.
Пример 4. Найти интеграл

Решение:

Пусть u=x du=dx,

; Используя формулу интегрирования по частям, получим


Интегрирование простейших рациональных дробей

Многочленом степени n называется выражение вида , где – действительные числа . Например, 5–7x – многочлен первой степени ,

=2x3 – 3x2 +8x – 1 – многочлен третьей степени.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, – рациональные дроби. Всякая рациональная дробь имеет вид:



где – многочлены степени m и n соответственно.

, если




Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:

I); II) III); IV)

Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:

,



где k – целое, .

От дробей третьего и четвёртого типов вычисляют заменой , или по следующим формулам:




Разложение многочленов на множители

Для любых многочленов имеет место теорема Безу:

, где z0  простой корень

, где z0  корень кратности k.

Если z  корень комплексный: , где i=

и , то , где – сопряженный корень.

Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители





действительные корни;  комплексные корни

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби представлен в виде сомножителей :


Пример 5. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

а) ;

б) .

Решение:

а)

б)
Пример 6. Вычислить интеграл:



Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби



приравнивая числители дробей, получаем:



Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:



Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.


Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где

Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.

В этом случае,







Тогда

.
Пример 7. Найти

Решение:

Положим . Тогда, используя выражения через t для dx и sinx, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен


При вычислении интегралов вида



рассмотрим частные случаи:

n – нечётное



n, m – чётные, .



применяют формулы тригонометрии:




При вычислении интегралов вида делают замену , тогда







Если интеграл имеет вид

,

где n, m – чётные, применяют формулу:



Пример 8. Вычислить интегралы:

а)

б)

Решение:

а)

б)
При вычислении







используют формулы






Интегрирование иррациональных выражений

При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.

Если ,

то , где



Если

то , где

2.1.3 Определённый интеграл, его свойства
Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида



будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения , .


Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора точек , то этот предел будем называть определённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е.



Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dxподынтегральным выражением, а числа a и bпределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма интегральной суммой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла

1.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:



3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:



4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:



5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:

где a

6. Теорема об оценке интеграла

Если для , тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.



7. Теорема о среднем значении

Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение, что f(x0)=fср – среднее значение f на отрезке.


2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то



Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде



Например, =
Замена переменной в определённом интеграле

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функция имеет на отрезке непрерывную производную, при этом и Тогда


Пример 9. Найдём

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=sint; тогда . Найдём новые пределы интегрирования: если х=0, то t=0, если х=1, то . Получим

.

  1   2   3   4   5   6   7


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВЧасть III Интегральное исчисление
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации