Лабораторная работа-Математические методы и модели в экономике - файл n6.doc

Лабораторная работа-Математические методы и модели в экономике
скачать (542.6 kb.)
Доступные файлы (9):
n1.jpg52kb.28.02.2011 10:50скачать
n2.jpg246kb.28.02.2011 10:46скачать
n3.doc122kb.06.03.2011 15:14скачать
n4.doc296kb.06.03.2011 15:16скачать
n5.doc26kb.26.02.2011 03:07скачать
n6.doc103kb.06.03.2011 15:20скачать
n7.doc120kb.06.03.2011 15:23скачать
n8.doc114kb.06.03.2011 15:24скачать
n9.doc23kb.06.03.2011 15:10скачать

n6.doc

Задание 5: Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП

Для изготовления четырех видов продукции используются три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы сырья

А

Б

В

Г

I

2

1

0,5

4

2400

II

1

5

3

0

1200

III

3

0

6

1

3000

Цена изделия

7,5

3

6

12




Требуется:

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

  2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

  3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

  4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

а) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

б) определить, как изменятся выручка и план продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида;

в) оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2,4 и 3 единицы.

Решение:

1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования.

Обозначим количество выпускаемых изделий х1, х2, х3, х4.

Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий - 3.

Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных.

Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:





х12 3 4 ?0

Решим полученную задачу симплексным методом, т.е. найдем оптимальный план выпуска продукции.

Приведем систему ограничений к каноническому виду.

х5 6 7 –добавочные коэффициенты.



х12 3 4 5 ,х6 ,х7 ?0

Шаг1. основные переменные: х56 ,х7

неосновные переменные: х1 2 3,х4

Выразим основные переменные через неосновные:



х1 =(0;0;0;0;2400;1200;3000)-допустимое решение

F(х)=7,5х1 +3х2 +6х3 +12х4=0? критерий оптимальности не выполнен.

х4=min{600;?;3000}=600 ? х45

Шаг 2. основные переменные: х46 ,х7

неосновные переменные: х1 2 3,х5

Выразим основные переменные через неосновные, начиная с разрешающего уравнения:



х2 =(0;0;0;600;0;1200;2400)-допустимое решение.

F2)=7200+1,5х1 +4,5х3 -3х5=7200? критерий оптимальности не выполнен.

х3=min{4800;400;408,51}=400 ? х36

Шаг 3. основные переменные: х3, х4 ,,х7

неосновные переменные: х1 2 ,,х56

Выразим основные переменные через неосновные, начиная с разрешающего уравнения:


х3=(0;0;400;550;0;50)-допустимое решение

F3 )=9000-7,5х2 -3х5 -1,5х6=9000 –критерий оптимальности выполнен, т.к. выражение не содержит положительных коэффициентов при неосновных переменных.

F(х3 )=9000=max при Х*=(0;0;400;550;0;50).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от производства продукции следует производить x3*=400 изделий В, x4*=550 изделий Г и не производить изделия А (x1*=0) и Б (х2*=0).

2. Составим двойственную задачу, для этого составим расширенную матрицу прямой системы:



найдем матрицу транспонированную к А



сформулируем двойственную задачу, обозначив двойственные оценки ресурсов I, II, III как y1, y2, y3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи (Z) является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи - 4.

Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

Z=2400y1 +1200y2 +3000y3 ? min , при ограничениях:



у1 2 3 ?0

Согласно I (основной)теоремы двойственности Fmax = Zmin ? Zmin=9000-это оптимальный план двойственной задачи.

Для определения оценок ресурсов двойственной задачи воспользуемся II теоремой : у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7

↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

х5 х6 х7 х1 х2 х3 х4 ? Z(У*)=(3;1,5;0;0;7,5;0)

проверим: Z=2400y1 +1200y2 +3000y3=24003+12001,5+30000=9000 ?

оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Основные показатели исходной задачи показывают количество планированного выпуска продукции, нулевые- не входящие в оптимальный план производства.

Дополнительные переменные – остатки сырья от производства, нулевые –израсходованное сырье, если хi > 0, то сырье осталось.

Основные переменные двойственной задачи характеризуют дефицитность сырья, если уi > 0 ,то сырье дефицитное, если уi = 0, то не дефицитное.

Дополнительные переменные двойственной задачи показывают рентабельность производства, т.е. уi = 0, то продукция рентабельна.

4. а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(0;0;400;550; 0;50) и проверим выполнение неравенств:



Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные от нуля оценки y1*=3 и y2*=1,5. причем ресурс I более дефицитный, чем ресурс II ().

Найдем норму заменяемости для дефицитных ресурсов:



Следовательно, ресурс I в 2 раза более эффективен, чем ресурс II с точки зрения влияния на максимум продукции.

Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 3 ден.ед., а увеличение объема ресурса II на единицу - на 1,5ден.ед.

Ресурс III имеет нулевую двойственную оценку (y3*=0) и является недефицитными, т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

б) Определим, насколько изменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья .Будем считать, что данные изменения объемов ресурсов находятся в пределах устойчивости оптимального решения (в пределах устойчивости двойственных оценок), тогда по третьей теореме двойственности имеем:

ден.ед.

При этом «новая» наибольшая выручка составит:

ден.ед.

Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 75 ден.ед., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись.

Запишем систему уравнений и решим ее:

?



т.о. новый оптимальный план Х* =(0;0;350;581,25).

в) Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия и сравним это значение с ценой реализации:



Следовательно, выпуск продукции Д не следует включать в план выпуска продукции, так как затраты на ресурсы выше цены ее реализации.

Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации