Латыпов И.И. Численные методы. Лабораторный практикум - файл n1.doc

Латыпов И.И. Численные методы. Лабораторный практикум
скачать (5311.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc5312kb.16.09.2012 07:25скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


УДК 519.65(07)




Печатается по решению

ББК 22.192Я73




редакционно-издательского совета

Л-27




Бирской государственной







социально-педагогической







академии



Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, доцент Асадуллин Р.М. (БГПУ),

кандидат физико-математических наук, доцент Чудинов В.В. (БирГСПА)
Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям педагогического образования Министерства образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 050200 Физико-математическое образование.


Латыпов И.И. Численные методы. Лабораторный практикум: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета по основам численных методов. Книга 1.– Бирск: Бирск.гос.соц.-пед.акад., 2007. – 94 с.

ISBN 978-5-86607-349-8
В данном пособии даны темы лекционного курса «Численные методы», необходимый теоретический материал для выполнения лабораторных и контрольных работ; задания к лабораторным и контрольным работам с образцами выполнения данных заданий, требования, предъявляемые к студентам при оформлении лабораторных и контрольных работ; предложен примерный перечень тем для проведения вычислительного практикума.

Учебное пособие адресовано студентам очного и заочного отделений физико-математического факультета, обучающимся по специальностям «информатика», «математика с дополнительной специальностью информатика» «физика с дополнительной специальностью информатика», а также может быть полезно аспирантам, занимающимся проблемами математического моделирования и численного решения практических задач.


ISBN 978-5-86607-349-8





© И.И. Латыпов, 2007

© Бирская государственная

социально-педагогическая

академия, 2007

Содержание

Численные методы

Лабораторный практикум

Учебное пособие. Книга 1
Раздел 1. Введение.

Учебное пособие по курсу «Численные методы» включает тематику курса лекций, практических и лабораторных занятий, контрольных работ; содержит список вопросов выносимых на самостоятельное изучение, а так же темы, которые могут быть изучены в рамках вычислительного практикума и выполнены как курсовые работы. Предлагаются возможные формы отчета по выполняемым лабораторным и домашним контрольным работам, вычислительного практикума.

Дается перечень основной литературы.
Цель курса: ознакомление с различными методами численного решения классических модельных задач прикладной математики и математической физики, с оценками погрешностей вычисления результатов. Построение математической модели, сведение поставленной задачи к модельной задаче с известными методами решения, реализация алгоритма решения на языке программирования, проведение численного эксперимента является необходимым для широкого круга специалистов, в том числе и учителям математики, физики, информатики.

Задачи курса.

Студент должен изучить:

Темы лекционного курса

Введение. Математические модели и численные методы. Решение задач с использованием ЭВМ. Приближенное решение, причины возникновения погрешностей и их классификация. Проблема нахождения приближенного решения, устойчивость и корректность.
Глава 1. Элементы теории погрешностей.

Тема 1.1. Абсолютная и относительная погрешности. Значащая цифра, число верные знаков.

Тема 1.2. Округление чисел. Правило округления по дополнению. Связь относительной погрешности и числа верных знаков.

Тема 1.3. Погрешность суммы, разности, произведения и частного. Общая формула для погрешности.

Тема 1.4. Определение относительных погрешностей степени, корня, предельных абсолютных погрешностей элементарных функций.

Глава 2. Приближенное решение нелинейных уравнений.

Тема 2.1. Методы приближенного решения нелинейных уравнений. Методы отделения изолированных корней уравнения, оценка погрешности.

Тема 2.2. Метод половинного деления, хорд, метод касательных, комбинированный метод. Оценка погрешности приближения.

Тема 2.3. Метод итерации. Графическая интерпретация метода итерации. Теорема о сходимости итерационного процесса. Оценка погрешности решения. Алгоритм численного решения нелинейных уравнений.

Глава 3. Решение систем линейных уравнений.

Тема 3.1. Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод квадратного корня, метод Халецкого.

Тема 3.2. Метод итерации. Теорема о сходимости итерационного процесса. Метод Зейделя. Оценка погрешности приближения.

Тема 3.3. Метод итерации.

Глава 4. Приближение функций.

Тема 4.1. Приближение функции. Метод наименьших квадратов.

Тема 4.2. Приближение функции. Сплайны. Кубические сплайны.

Глава 5. Интерполирование функций.

Тема 5.1. Интерполирование функций. Постановка задачи. Конечные разности. Центральные разности.

Тема 5.2. Интерполяционные формулы Ньютона. Оценка погрешности.

Тема 5.3. Интерполяционная формула Лагранжа. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

Тема 5.4. Обратное интерполирование.

Глава 6. Приближенное дифференцирование.

Тема 6.1. Приближенное дифференцирование. Постановка задачи. Методы приближенного дифференцирования.

Глава 7. Приближенное интегрирование.

Тема 7.1. Приближенное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Тема 7.2 Приближенное интегрирование. Формулы прямоугольников (правых, левых и средних). Оценки погрешностей.

Тема 7.3. Формулы трапеции и Симпсона. Остаточный член.

Тема 7.4. Метод Монте-Карло. Оценка погрешности.

Глава 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 8.1. Постановка задачи. Задача Коши. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Пикара.

Тема 8.2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера, модификации этого метода. Оценка погрешности приближенного решения.

Тема 8.3. Семейство методов Рунге-Кутта. Оценка погрешности метода на шаге. Порядок метода. Классические варианты метода Рунге-Кутта.

Тема 8.4. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка задачи. Задача Коши. Приближенное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

Глава 9. Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 9.1. Постановка задачи. Сведение граничных задач к задачам Коши.

Тема 9.2. Метод Галеркина и метод моментов.

Тема 9.3. Сетки и сеточные функции. Разностные уравнения.

Тема 9.4. Метод сеток решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прогонки.

Глава 10. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.

Тема 10.1. Основные понятия разностных схем. Построение разностной схемы. Погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением. Сходимость и устойчивость разностных схем.

Тема 10.2. Консервативные разностные схемы. Методы построения разностных схем.

Тема 10.3. Численное решение дифференциальных уравнений эллиптического типа. Метод сеток решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Тема 10.4. Численное решение дифференциальных уравнений параболического типа. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Тема 10.5. Численное решение дифференциальных уравнений гиперболического типа. Метод сеток решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа.

Темы спецкурсов.

Тема 1. Приближение функций.

Часть 1. Равномерное приближение.

§ 1.Постановка задачи. Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации.

§ 2. Наилучшее приближение функции многочленами.

§ 3. Многочлены Чебышева и Бернштейна.

Часть 2. Интерполирование функций.

§ 1. Интерполирование функции. Постановка задачи.

§ 2. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта.

§ 3. Интерполирование периодических функций тригонометрическими полиномами.

§ 4. Интерполирование с кратными узлами.

Часть 3. Приближение функций сплайнами.

§ 1. Постановка задачи. Интерполяционные кубические сплайны.

§ 2. Сглаживающие кубические сплайны.

§ 3. Сплайновые кривые. Кривые Безье.

§ 4. В - сплайновые и Бета - сплайновые кривые.

§ 5. Сплайновые поверхности.

Часть 4. Квадратичное приближение

§ 1. Приближение функций по методу наименьших квадратов.

§ 2. Квадратичное приближение периодических функций тригонометрическими многочленами.

§ 3. Квадратичное приближение методом Чебышева.
Тема 2. Методы минимизации функций.

Часть 1. Методы минимизации функций (МФ) одной переменной.

§ 1. Постановка задачи. Глобальные и локальные минимумы (максимумы). Унимодальные функции.

§ 2. Классический метод МФ. Метод деления отрезка пополам.

§ 3. Симметричные методы. Метод золотого сечения.

§ 4. Оптимальные методы. Метод Фибоначчи.

§ 5. Метод ломаных. Метод покрытий.

§ 6. Методы минимизации выпуклых функций. Метод касательных.

§ 7. Методы поиска глобального минимума. Метод парабол.

§ 8. Стохастический метод минимизации.

Часть 2. Методы минимизации функций многих переменных.

§ 1. Постановка задачи минимизации. Теорема Вейерштрасса.

§ 2. Классический метод.

§ 3. Градиентный метод. Методы проекции градиента и субградиента, условного градиента.

§ 4. Метод возможных направлений, сопряженных направлений.

§ 5. Методы Ньютона и Стеффенсена.

§ 6. Метод покоординатного спуска.

§ 7. Метод поиска глобального минимума.

§ 8. Метод модифицированных функций Лагранжа.

§ 9. Метод штрафных функций.

§ 10. Метод барьерных функций, нагруженных функций.

§ 11. Метод случайного поиска.
Тема 3. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

§ 1. Введение в дискретные методы решения задачи Коши. Вопросы реализации алгоритмов.

§ 2. Одношаговые методы типа Рунге-Кутты. Условия порядка. Способы оценки погрешностей одношаговых методов. Распространение одношаговых методов на системы ОДУ.

§ 3. Многошаговые методы и их реализация. Переменный порядок и шаг. Распространение многошаговых методов на системы ОДУ.

§ 4. Экстраполяционные методы.

§ 5. Явление жесткости и его влияние на выбор методов решения задачи Коши.

§ 6. Неявные одношаговые (типа Рунге-Кутты) и многошаговые методы. Вопросы их реализации.

§ 7. Структурный метод интегрирования систем ОДУ. Алгоритмы конструирования и реализации его расчетных схем.

§ 8. Современные численные методы интегрирования, наиболее распространенных в задачах моделирования, систем ОДУ специального вида
Список необходимой литературы дан в конце пособия.

Раздел 2. Тематика лабораторных работ
Форма отчёта:

  1. Постановка задач. Краткая теория (метод решения). Геометрическая интерпретация.

  2. Алгоритм решения поставленной задачи. (Блок-схема).

  3. Текст программы.

  4. Тестовый пример.

  5. Численный расчёт по данным исходной задачи с оценкой погрешности результата. Протокол работы программы.

  6. Анализ полученного результата.


Пояснения к отдельным пунктам отчета.

Постановка задачи включает краткую математическую формулировку задачи с пояснением отдельных моментов, а также необходимые графики и/или рисунки. Должны быть приведены основные моменты применяемых методов.

Алгоритм решения задачи может быть оформлен или в виде блок-схемы, или в словесной форме. Допускается описание алгоритма осмысленными частями (блоками).

Текст программы численного решения задачи должен быть написан на предлагаемом языке программирования, который может быть изменен по согласованию с преподавателем данного курса.

Под тестовым примером или тестом понимается задача (аналогичная по постановке искомой задаче) у которой известно точное решение, что позволяет сравнить численные результаты (приближенное и точное решения) и оценить допускаемую погрешность. По результатам тестирования должен быть сделан вывод.

Протокол работы программы должен включать результаты как по тестовому примеру, так и численного расчета искомой задачи. Результаты численных расчетов должны быть оформлены по всем правилам записи приближенных чисел, т.е. запись приближенного решения только с верными значащими цифрами и допускаемой погрешностью.

Анализ численных результатов должен дать ответ на вопрос, соответствуют ли полученные результаты искомому решению поставленной задачи и почему.
Краткая теория к лабораторным и контрольным работам
Приближенное решение нелинейного уравнения

  1. Метод половинного деления.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывна для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью , а так же необходимое для этого число разбиений отрезка .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

, , ;

где , удовлетворяет условиям , ; из последнего определяется число разбиений отрезка .

  1. Метод хорд.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

если на , то , , ;

если на , то , , .

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .

  1. Метод Ньютона (метод касательных).

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

, ;

если на , то ;

если на , то .

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .

  1. Метод итерации.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .


  1. Метод хорд и касательных.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .

Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .

Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:

если на , то

, ,

, , ;

если на , то

, ,

, , .

Приближенное решение и погрешность приближения :

, .


Приближенное решение системы линейных алгебраических

уравнений

Постановка задачи. Найти приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений , где , , , , .

Если , то система имеет единственное решение.

Явный метод итерации. Представим данную систему в виде приведенной системы

,

где , , , , , ;.

Приближенное решение ищем по следующей итерационной схеме

, или , , .

Для сходимости итерационной последовательности необходимо выполнение следующего условия: . Где канонические нормы:

; ; .

Итерационная последовательность продолжается до выполнения условия

, , .

Тогда за приближенное решение можно взять

, .

Явный метод Зейделя. По данному методу приближенное решение ищется по следующей схеме

, .

Определение сходимости и оценка погрешности производится так же, как и для метода итерации.


Интерполирование функций полиномом.

Постановка задачи. Функция определена на отрезке , задана своими значениями в равноотстоящих узлах , т.е. . Определить значение функции в точке .

  1. Полином Ньютона. Если функция определена на отрезке и задана своими значениями в равноотстоящих узлах , , , то задача интерполяции решается в двух случаях.

    1. Когда точка находится в начале таблицы значений используется первая интерполяционная формула Ньютона

,

, , , .

Тогда , , .

    1. Когда точка находится в конце таблицы значений используется вторая интерполяционная формула Ньютона

,

.

Тогда , , .

  1. Интерполяционная формула Лагранжа. Если функция определена на отрезке и дана своими значениями в не равноотстоящих узлах , , , то задача интерполяции решается с помощью полинома Лагранжа

, , , .
Приближенное решение обратной задачи интерполирования

Постановка задачи. Пусть функция определена на отрезке и задана своими значениями в точках . Необходимо найти значение аргумента по известному значению функции в этой точке .

Предположим, что монотонна на отрезке и , где , .

Задача обратного интерполирования решается для двух случаев: для равноотстоящих и не равноотстоящих узлов.

  1. Случай равноотстоящих узлов, т.е. , , ; предположим так же, что и достаточно мал.

Тогда задача решается использованием первого интерполяционного полинома Ньютона

,

где необходимо определить , чтобы найти . Выделив из полинома получим уравнение , где

.

Решение данного уравнения можно искать например методом половинного деления или методом итерации по схеме , полагая , , и так далее. То предел будет решением уравнения.

Тогда будет решением обратной задачи интерполирования. Погрешность полученного решения будет состоять из погрешностей интерполяционной формулы и метода итерации.

  1. Случай не равноотстоящих узлов, т.е. , , .

В этом случае используется формула Лагранжа, считая независимой переменной, выражая через :

, ,

, .


Приближенное дифференцирование

Постановка задачи. Пусть функция определена на отрезке и задана своими значениями в точках . Для приближенного дифференцирования функцию заменяют интерполирующей функцией и полагают

, , ;

с погрешностью , , .

Тогда при получим

,

при

.

Если , то

, ,

, .


Численное интегрирование

Постановка задачи. Пусть функция определена и интегрируема на отрезке . Необходимо найти значение определенного интеграла , когда первообразная , неизвестна или ее трудно найти, или задана своими значениями , , .

Общий подход в численном интегрировании заключается в следующем:

      1. Для функции строится аппроксимирующая функция , так чтобы на отрезке , при этом класс аппроксимирующей функции может зависеть от свойств функции , от необходимой точности вычисления интеграла, от числа арифметических действий, от времени работы алгоритма и т.д.;

      2. Функция выбирается так, чтобы интеграл легко считался;

      3. Функция выбирается так, чтобы или , где - задаваемая точность вычисления интеграла.


Для применения методов численного интегрирования делят отрезок системой равноотстоящих точек , , , , на отрезки , и рассматривают сумму интегралов .

Исходя из этих соображений и допущений обычно используют следующие формулы численного интегрирования.


        1. Формула левых прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

        1. Формула правых прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .


        1. Формула средних прямоугольников. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .


        1. Формула трапеций. В этом случае на отрезке заменяется функцией , тогда

,

, .

        1. Формулы Ньютона-Котеса. Если на отрезке заменить интерполирующим полиномом Лагранжа , то получим формулы Ньютона-Котеса

, , .

При получим из этих соотношений формулу трапеции.

        1. Формула Симпсона. Получается из формул Ньютона-Котеса при четном числе разбиений отрезка и рассмотрении интерполяции функции на трех точках, т.е. приближается квадратичным трехчленом вида :

, .


Приближенное решение задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Постановка задачи. Найти приближенные значения решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) на отрезке с шагом при начальном условии


  1. Метод Эйлера:




  1. Усовершенствованный метод ломаных:



  1. Метод Эйлера-Коши:



  1. Метод Эйлера с уточнением:

.

  1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка




,

.
Лабораторная работа № 1

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации