Троценко Г.А., Жукова О.Г. Практикум по уравнениям математической физики. Уравнения колебаний и диффузии. Часть 1 - файл n1.doc

приобрести
Троценко Г.А., Жукова О.Г. Практикум по уравнениям математической физики. Уравнения колебаний и диффузии. Часть 1
скачать (2171.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc2172kb.16.09.2012 01:42скачать

n1.doc

  1   2   3


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

ПРАКТИКУМ

ПО УРАВНЕНИЯМ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Уравнения колебаний и диффузии
Методические указания

Омск –2005


Составители: Г. А. Троценко, О. Г. Жукова, М. В. Мендзив

Практикум предназначен для методического обеспечения практических занятий по новому годовому курсу “Уравнения математической физики” для студентов специальности 071100 “Динамика и прочность машин”. Содержит решения типовых задач, набор задач для самостоятельного решения с ответами.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.

Редактор С.Г.Восканян

Сводный темплан 2005 г.

ИД 06039 от 12.10.01

Подписано в печать Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.

Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. Уч.-изд. л.

Тираж 100 экз. Заказ
Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр-т Мира, 11

Типография ОмГТУ

Тема 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
1.1. Поток векторного поля.

Формула Гаусса – Остроградского
Решение типовых задач
1. Найти поток векторного поля через сторону треугольника вырезанного из плоскости координатными плоскостями в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью острый угол.

Решение. Пусть задано векторное поле

(1.1)

Потоком поля через поверхность в сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности , называется поверхностный интеграл

где .

Если поверхность задается уравнением то поверхностный интеграл приводится к двойному интегралу по формуле (см. [1], 1.1, 1.2)

(1.2)

где – проекция поверхности на плоскость

В данном случае имеем

– уравнение плоскости

– нормальный вектор плоскости:

– единичный вектор нормали:

Тогда

Вычисляем поток, применяя формулу (1.2), – треугольник со сторонами







2. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность лежащую в первом октанте (нормаль внешняя).

Решение. Поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области , ограниченной поверхностью

(1.3)

Дивергенция гладкого векторного поля (1.1) вычисляется по формуле



Формула (1.3) называется формулой Гаусса – Остроградского.

Найдем дивергенцию данного поля



Искомый поток найдем по формуле (1.3). При вычислении интеграла используем цилиндрические координаты:

z

1

0 1 y

1

x

.







3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность ограниченную сферой и плоскостью

Решение. Имеем



z

1

1 0 1

x y


Тройной интеграл вычисляем в сферических координатах:











Задачи для самостоятельного решения

  1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке

а)

б)

2. Найти поток векторного поля через часть плоскости расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью ):

а)

б)

3. Вычислить двумя способами (непосредственно и по формуле Гаусса – Остроградского) поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограниченную поверхностями (нормаль внешняя).

4. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя):

а)

б)

в)

г)

Ответы

1. а) -1; б) 29. 2. а) б) 1. 3.

4. а) б) в) г)



1.2. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.

ФОРМУЛА СТОКСА
Решение типовых задач

1. Вычислить циркуляцию векторного поля по окружности в положительном направлении.

Решение. Пусть задано векторное поле (1.1) и замкнутая кусочно-гладкая кривая с указанным на ней направлением. Криволинейный интеграл второго рода

(1.4)

называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой .

В данном случае: т. к. при возрастании параметра от 0 до движение по окружности происходит против хода часовой стрелки относительно единичного вектора то параметрические уравнения ориентированной кривой имеют вид Тогда, согласно (1.4), получим:









Ротором гладкого векторного поля называется вектор



(1.5)

Справедлива формула Стокса

(1.6)

т.е. циркуляция векторного поля вдоль замкнутой кривой равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность границей которой является Направление обхода по и сторона поверхности одновременно или положительные, или отрицательные.

  1. Проверить результат задачи 1 с помощью формулы Стокса.

Решение. В качестве поверхности границей которой является кривая возьмём круг

z

3

L



0 2 y

2

x

Тогда Далее







и, согласно (1.6),





  1. Вычислить циркуляцию векторного поля

по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости : с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормали этой плоскости непосредственно и с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости с координатными плоскостями получим и укажем на нем положительное направление обхода контура в соответствии с условием задачи.

z

2 C

B

0 1 y

2 A

x

1) Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле (1.4)





На отрезке АВ имеем:









На отрезке ВС верны соотношения:









На отрезке СА имеем:









Следовательно,

2) Воспользуемся формулой Стокса (1.6). Единичный вектор нормали к плоскости S: Вычислим ротор данного векторного поля по формуле (1.5): ,

тогда

По формуле Стокса


Задачи для самостоятельного решения

  1. Вычислить ротор векторного поля в точке :

а)

б)

2. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии в положительном направлении обхода относительно нормали непосредственно и с помощью формулы Стокса:

а)



:





б)



:





в)



:





г)



:





3. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости S с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормали этой плоскости непосредственно и с помощью формулы Стокса:

а)



:



б)



:



4. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии L в направлении, соответствующем возрастанию параметра t:

а)



:



б)



:



в)



:



Ответы

1. а) б)

2. а) б) в) г)

3. а) -6; б) 0.

4. а) б) в)

1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Решение типовых задач

1. Доказать:

1) для любого поля ;

2)

3)

Решение.

  1. Пусть

По определению имеем







  1. Пусть . По определению имеем







3)



2. Показать, что поле является потенциальным, но не соленоидальным. Найти потенциал данного поля.

Решение. Поле называется потенциальным или безвихревым, если . Поле называется соленоидальным, если

Находим

т. е. поле – потенциальное.

Далее имеем



поэтому поле не является соленоидальным.

В потенциальном векторном поле криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования и справедлива формула



Потенциал векторного поля определяется формулой



z



0 y

A B

x

где – фиксированная, – произвольная текущая точки. Выберем начало координат за фиксированную точку, а в качестве пути интегрирования ломанную , тогда



На отрезке ОА имеем:

на АВ: на ВМ: .

Тогда



Потенциал

3. Доказать, что функция , где является гармонической, и векторное поле – гармоническое.

Решение. Функция удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической. Поле называется гармоническим, если оно потенциальное и соленоидальное.

Проверим, справедливо ли для данной функции уравнение Лапласа.

Находим







Следовательно, данная функция – гармоническая.

Далее находим



Так как (см. задачу 1.2), то одно из условий в определении гармонического поля выполнено. Другое условие также выполняется, поскольку

(см. задачу 1.3).

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найти , если

а)

б)

2. Найти если

а)

б)

3. Установить потенциальность поля и найти его потенциал если

а)

б)

в)

4. Проверить, является ли гармонической функция , .

5. Выяснить, является ли векторное поле гармоническим

а)

б)

Ответы

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б) в)

4. да. 5. а) нет; б) да.



  1   2   3


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации