Пузанов В.П. Лекции по курсу Теория автоматического управления. Теория линейных систем автоматического управления и регулирования - файл n3.doc
Пузанов В.П. Лекции по курсу Теория автоматического управления. Теория линейных систем автоматического управления и регулированияскачать (1700.3 kb.)
Доступные файлы (7):
n3.doc
Московский государственный технический университет
им. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.
ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет « Специальное машиностроение » Кафедра « Подводные роботы и аппараты » 2000 год. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ. Рассмотрим систему автоматического управления, структурная схема которой имеет вид

К такой структурной схеме (расчётной схеме) можно привести любую систему автоматического управления с помощью правил преобразования структурных схем.
Как следует из расчётной структурной схемы

или

. В случае если

или

для всех значений

, то говорят, что система автоматического управления разомкнута – отсутствует главная обратная связь.
Передаточная функция разомкнутой системы автоматического управления

. Ее, как правило, можно представить в виде

,
где

- передаточная функция элементарных звеньев.
В этом случае модули и аргументы передаточных функций системы и звеньев

;

,

;
связаны между собой соотношением

,

.
Отсюда следует, что логарифмические амплитудно-частотные характеристики разомкнутой системы определяются как

.
Из сказанного следует, что для построения логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы автоматического управления нужно:
передаточную функцию разомкнутой системы представить в виде произведения элементарных звеньев;
построить логарифмические частотные характеристики элементарных звеньев системы, и затем эти характеристики графически суммировать.
Пример 1. Построить логарифмические частотные характеристики системы с передаточной функцией

.
Решение. Передаточную функцию разомкнутой системы

можно представить в виде последовательного соединения элементарных звеньев:

Интегрирующего звена с передаточной функцией
.
Апериодического звена с передаточной функцией
.
Усилительного звена с передаточной функцией
.
Затем строим логарифмические частотные характеристики каждого из этих звеньев и производим их графическое сложение (см. рис.1).
Можно предположить несколько иной, более простой порядок построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы.
Проиллюстрируем это на конкретном примере.
Пример. Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику системы, передаточная функция которой

.
Решение. Представим передаточную функцию разомкнутой системы

в виде

.
Асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика состоит из пяти асимптотических логарифмических амплитудно-частотных характеристик пяти элементарных звеньев.

- усилительное звено.

- интегрирующее звено.

- апериодическое звено.

- дифференцирующее (форсирующее) звено 1-го порядка.

- колебательное звено.
Определим сопрягающие частоты:

;

;

.
Пусть постоянные времени таковы, что

.
Отметим эти частоты на оси

(частот). Напомним, что на этой оси масштаб логарифмический.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика определяется уравнением:

.
Напоминание. При построении асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики элементарных звеньев при частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу, а остальными членами пренебрегают. При частотах, больших сопрягающей частоты, оставляют члены с наивысшей степенью

.
В рассматриваемом примере при

уравнение первой асимптоты будет

.
Согласно этому уравнению, первую асимптоту проводят через точку с координатами

с наклоном

(см. рис. 2).
Она оканчивается на первой сопрягающей частоте

.

При

аналогично имеем

.
Это уравнение второй асимптоты. Её наклон изменился на

и обусловлен апериодическим звеном.
Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопряжённой частоты согласно ее уравнению с наклоном

.
При

имеем

.
Это уравнение третьей асимптоты. Её наклон изменяется на +20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном первого порядка.
Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты с наклоном (-20 дБ/дек).
При

имеем

.
Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Её наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на

и обуславливается колебательным звеном.
Теперь можно сформулировать общее правило построение асимптотической амплитудно-частотной характеристики системы с передаточной функцией

,
где

- передаточная функция элементарных звеньев.
Правило построения асимптотических амплитудно-частотных характеристик разомкнутых систем автоматического управления.
Получить передаточную функцию разомкнутой системы автоматического управления:
Представить передаточную функцию
разомкнутой системы управления в виде

,
где

- передаточная функция

-го элементарного звена.
Определить сопрягающие частоты и значение
и наносят значения сопрягающих частот на ось
и отмечают точку с координатами
.
Через точку с координатами
проводят первую асимптоту с наклоном
дБ/дек до первой сопрягающей частоты.
Проводят вторую асимптоту от правого конца первой до второй сопрягающей частоты. Её наклон изменяется на
или на
в зависимости от того, является ли сопрягающая частота – сопрягающей частотой апериодического, дифференцирующего звена первого порядка и т.п.
Строят каждую последующую асимптоту аналогично второй. Изменение наклона
-ой асимптоты зависит от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена является
.
Если какая-либо сопрягающая частота является кратной и ее кратность равна

(имеется

одинаковых элементарных звеньев), то изменение наклона при этой частоте в

раз больше, чем при соответствующей простой частоте.
Для колебательных звеньев необходимо выполнить поправки в соответствии с графиками, шаблонами и т.п., можно по формуле:
КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЕ. Одной из основных задач теории автоматического управления является изучение характерных особенностей процессов, которые протекают в исследуемой системе. Это осуществляется средствами математики.
Каждую систему управления можно описать системой дифференциальных уравнений - это математическая модель системы в форме дифференциальных уравнений.
Математической моделью процессов в исследуемой системе является решение дифференциальных уравнений, которые описывают динамические процессы в исследуемой системе. Это решение (для выходной переменной) имеет вид

,
где

-собственное движение системы, определяется общим решением соответствующего однородного уравнения;

-вынужденное движение, определяется частным решением неоднородного уравнения и зависит от вида правой части уравнения.
С точки зрения протекания процессов в системе, требования к процессам делятся на три группы:
1.Устойчивость системы
2.Качество переходного процесса
3.Точность отработки заданного входного воздействия
С точки зрения теории автоматического управления

- в основном определяет характер переходных процессов в исследуемой системе; характеризует устойчивость системы.

- установившиеся процессы в системе. На эту составляющую накладывается переходной процесс, влияние которого становится незначительным по истечении времени.
Об устойчивости.
Под устойчивостью системы понимают ее способность возвращаться в состояние равновесия после снятия возмущающих факторов, действующих на систему. Если система неустойчива, то под воздействием внешних возмущений или после их снятия, она переходит из одного состояния равновесия в другие состояния равновесия (или остается в исходном состоянии). Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели, а либо удаляется от него, либо совершает вокруг него недопустимо большие колебания.
Устойчивость системы автоматического управления затухание процессов в системе:

при
О качестве процессов управления, о неточности отработки заданного входного воздействия речь может идти толь для устойчивых систем.
О переходном процессе.
Переходной процесс в системе автоматического управления – это

.
Качество переходного процесса принято часто характеризовать при помощи следующих величин, называемых
показателями качества:
Величина перерегулирования 
Статическое отклонение (установившееся значение)
.
Времени переходного процесса или времени регулирования: наименьшее значение времени, после которого имеет место неравенство
,
,
- заданная малая постоянная величина (обычно 5% от установившегося значения)
N – число колебаний регулируемой величины в течении времени переходного процесса
.
О точности системы.
Точность системы автоматического управления определяется формулой установившегося процесса

. При этом установившаяся ошибка системы будет

при

и характеризует степень близости выходной переменной к заданному значению после окончания переходного процесса в системе.
Переходной процесс в системе автоматического управления как правило рассматривают при подаче на вход системы постоянного входного воздействия

при нулевых начальных условиях.
Если

- тогда математической моделью переходного процесса является переходная функция замкнутой системы.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. Пусть структурная схема системы автоматического управления преобразована к расчетной структурной схеме:
Как следует из ранее изложенного для замкнутой системы справедливы следующие соотношения:

,

.
Изучим временные и частотные характеристики замкнутых систем.
ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. Переходная функция замкнутой системы . Переходная функция замкнутой системы автоматического управления - это ее реакция на единичное входное воздействие:

;

.
Следуя ранее введенным обозначениям,

- переходная функция системы, а ее изображение по Лапласу -

,

.
При

, будем иметь

и, следовательно,

. Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим переходную функцию замкнутой системы:

.

. (1)
Из последнего равенства следует, что для получения переходной функции замкнутой системы управления необходимо:
Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию разомкнутой системы
.
По передаточной функции разомкнутой системы
получить передаточную функцию замкнутой системы
по формуле:

.
Выполнить обратное преобразование Лапласа от выражения:
, т. е.
.
Не используя равенства (1), можно определить установившееся значение переходной функции замкнутой системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем:

.
Следовательно,

(2)
Для замкнутых систем автоматического управления особый интерес представляет изучение изменения во времени ошибки системы

. Для ошибки системы справедливы следующие равенства:

;

.
Таким образом для

имеем
и окончательно

(3)
Для того чтобы получить закон изменения во времени ошибки системы необходимо:
Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию системы
.
По передаточной функции разомкнутой системы
вычислить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по формуле:
.
Выполнить обратное преобразование Лапласа от выражения

, т.е.

.
Не используя равенства (3), можно определить установившееся

и начальное значение ошибки системы, если воспользоваться «предельными» теоремами преобразования Лапласа. Имеем

(4)

,

.
(5) Импульсная переходная (весовая) функция замкнутой системы . Весовой функцией замкнутой системы автоматического управления называется функция, описывающая реакцию замкнутой системы, когда на ее вход подается

-функция при нулевых начальных условиях

;

.
Следуя ранее введенным обозначениям,

– импульсная переходная (весовая) функция системы, а ее изображение по Лапласу –

,

.
При

, будем иметь

и, следовательно,

. Тогда, по передаточной функции разомкнутой системы управления определим весовую (импульсную переходную) функцию замкнутой системы

.

. (6)
Из полученного равенства следует, что для получения импульсной переходной функции (весовой функции) замкнутой системы необходимо:
Преобразовать структурную схему системы к расчетной структурной схеме и получить передаточную функцию системы
.
По передаточной функции разомкнутой системы
получить передаточную функцию замкнутой системы
по формуле:
.
Выполнить обратное преобразование Лапласа от передаточной функции замкнутой системы
.
Для рассматриваемого случая, чтобы определить закон изменения во времени ошибки системы

необходимо вычислить передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

, а затем найти обратное преобразование по Лапласу от

, т.е.

.
Установившееся и начальное значения функций

и

находим на основании предельных теорем преобразования Лапласа:

,

,

,

.
Установим связь между импульсной переходной (весовой) функцией

и переходной функцией

замкнутой системы. Имеем

;

;

;

;

.
Следовательно

. Применим обратное преобразование Лапласа к обеим частям последнего равенства

. Но так как

, то на основании свойства преобразования Лапласа ( при нулевых начальных условиях умножение на

в области изображений соответствует дифференцированию по

в области оригиналов) имеем

.
Московский государственный технический университет