Контрольная работа - Экономико-математические методы и модели - файл n1.doc

Контрольная работа - Экономико-математические методы и модели
скачать (244.7 kb.)
Доступные файлы (3):
n1.doc2775kb.25.01.2010 13:39скачать
n2.doc1874kb.24.06.2010 08:47скачать
n3.doc216kb.08.06.2011 11:30скачать

n1.doc

  1   2   3   4




Экономико-математические методы и модели
Введение:

Понятие о математическом моделировании и общая постановка задачи условной оптимизации.
Всю математику условно принято разделять на теоретическую (фундаментальную) и прикладную. Основной задачей прикладной математики является построение, так называемых, математических моделей различных процессов и объектов.
Определение 1. Математической моделью процесса (или объекта) называют некоторого структуру, элементами которой являются математические объекты, с определенными взаимосвязями между ними, в той или иной мере отражающую своиства реального процесса.
Под математическими объектами здесь понимается все, что является предметом изучения в математике: геометрические фигуры, функции, уравнения и неравенства, матрицы, графы, соотношения алгебры логики и т.д.

Как и любая модель (например пластилиновая) математическая лишь в некоторой мере отражает свойства реального процесса. Однако, как показывает практика, и этого зачастую оказывается достаточно для более эффективного принятия решений.

Из сказанного ясно, что формы математических моделей весьма разнообразны. Это и разнообразные графические структуры, и системы логических правил (алгоритмы), и статистические оценки параметров процессов, и т.д. Но чаще всего мат. модель представляет собой отдельное , или целую систему, обыкновенных алгебраических, или дифференциальных, уравнений, или неравенств, описывающих взаимосвязи между параметрами



изучаемого процесса. То есть, чаще всего мат. модель имеет вид



где -некоторые заданные функции, соотношения модели.

Основными целями построения мат. моделей являются:

1) прогноз поведения процесса при заданных значениях его управляемых параметров. Пусть например, известна приближенная зависимость



объёма продаж некоторого товара от цены и расходов на рекламу . Требуется дать прогноз величине объема прдаж, при заданном уровне цены и расходах на рекламу ;
2) оптимизация процесса, то есть нахождение таких значений

,

параметров процесса, при которых следует ожидать наилучшего его протекания с той или иной точки зрения. При этом должна быть определена функция

(1а)

выражающая наиболее интересующий нас показатель качества протекания процесса, которую называют функционалом качества, или функцией цели, или критерием оптимальности и т.д. Например, требуется найти при каких значениях и следует ожидать максимума объёма продаж .
Задача (1а)-(2а) называется общей задачей условной оптимизации. До сих пор не разработано регулярного алгоритма её аналитического решения. Хотя весьма эффективны приближенные, численные методы.

Тема 1. Модель межотраслевого баланса.
1. Модель межотраслевого баланса. Основные понятия и соотношения.

Эту модель можно охарактеризовать, как прекрасный пример, во первых, использования математических методов для анализа экономических процессов, а во вторых, практического использования матричной алгебры.

Впервые серьезные исследования подобного типа с разбиением производственной сферы экономики государства на ряд отраслей (n=12) были проведены в России в начале ХХ в. Они уходят корнями в еще более старые исследования европейских ученых. В 20-х годах в РСФСР эти исследования получили значительное развитие, в т.ч. с участием Леонтьева, позднее на западе Леонтьевым и др. балансовые модели производственных отраслей экономики получили название модели Леонтьева (в работах для Японии n=2500). В Советском Союзе постоянно шли исследования и разрабатывались государственные планы с использованием аналогичной модели, получившей название модели межотраслевого баланса.

Предположим, производственная сфера экономики некоторого государства (или достаточно крупной фирмы) состоит из n отраслей. Пусть:

Тогда

(1)

представляет собой конечный продукт i-ой отрасли. Действительно, выражает продукция i-ой отрасли, которая был в совокупности затрачена при производство во всех отраслях. Соотношение (1) называется балансовым соотношением в натуральном выражении.

Чаще используют балансовое соотношение в стоимостном выражении

(2)

В выражении (2) имеются в виду так называемые хозяйственные отрасли, т.е. мы считаем, что в некоторой одной отрасли может производиться различного рода продукция, как и бывает обычно в действительности. Т.е. у хозяйственной отрасли существует некоторая специализация по нескольким видам продукции, однако имеются и побочные производства.

Особое место в экономических исследованиях вообще, и в особенности в теории межотраслевого баланса, имеет понятие чистой отрасли. Её продукция ограничена единственным видом. Обычно модель рассматривают именно для чистых отраслей. Аналитические выводы, получаемые в этом случае, являются более содержательными.

Для составления модели межотраслевого баланса необходимо заполнить статистическими данными следующую таблицу:

Отрасли

1 2 … n

Конечная

Валовая

1

2

:

:

n



: : : :





:





:



Амортизация








Валовая









Эти данные получаются из отчетности хозяйственных отраслей и составляются в соответствии с тем, что баланс составляется для n чистых отраслей. Здесь величины называются амортизацией, или условно чистой продукцией, и определяются следующим соотношением:

(3)

Таким образом, представляют собой конечный продукт j-ой отрасли в стоимостном выражении с учетом, имевших место при производстве, затрат продукций других отраслей. Величина может оказаться отрицательной, в таком случае говорят об убыточности j-ой отрасли (входит больше, чем выходит).

Просуммировав соотношение (2) по i, получим:

(4)

Просуммируем (3) по j:

(5)

Из (4) и (5) следует одно из важнейших балансовых соотношений модели

(6)

- баланс конечной и чистой продукции.

2. Матричная форма записи модели межотраслевого баланса. Производственная матрица и матрица полных затрат.

Если использовать гипотезу, что при изменении валового продукта пропорционально изменяется потребность продукции других отраслей для организации производства, то модель можно представить в матричной форме.

AX + Y = X ,

где- вектор валовых выпусков, - вектор конечного продукта, А – матрица размерности (n*n), элементы которой находятся по формуле: . Последнее соотношение обычно называют основным балансовым соотношением в матричной форме. Матрица играет очень важную роль в теории и называется производственной матрицей, или матрицей коэффициентов прямых затрат.

Из этой матричной формы записи получаются важные выражения:

(7)

Выражение (7) позволяет ответить на следующий важный вопрос планирования: какой вектор валовых выпусков мы должны запланировать, чтобы получить желаемый вектор конечного продукта Y? При этом возникает еще один важнейший вопрос: при любом ли векторе Y может быть получен вектор X с положительными координатами (иначе полученный ответ о валовом выпуске не будет иметь физического смысла). Ответ на второй вопрос зависит от свойства матрицы А.
Опред. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора конечного продукта Y (разумеется, он имеет неотрицательные компоненты) может быть однозначно рассчитан вектор валового продукта Х по соотношению:

,

причем все.
Не продуктивность производственной матрицы означает не достаточно сбалансированную структуру экономики, что повышает вероятность различных производственных кризисов и в целом снижает устойчивость экономики. Очевидна теорема.
Теорема. Для того что бы матрица была продуктивной необходимо и достаточно, что бы существовала обратная матрица причем все её элементы были положительны.
Справедлива и следующая теорема, дающая однако только достаточное условие продуктивности.
Теорема. Для того что бы матрица была продуктивной достаточно, что бы сумма элементов любого её столбца была бы меньше единицы.
Производственная матрица может оказаться продуктивной, и если не выполняется указанное здесь условие. Однако ясно, что проверка продуктивности по этому условию проще, поскольку не требуется обращения матрицы.

Как следует из уже сказанного большое значение в анализе балансовых моделей имеет матрица

,

называемая матрицей полных затрат. Это название становится ясным из следующих рассуждений.

Во-первых, затраты на производство продукции бывают не только прямые, но и косвенные. Например, в производстве автомобилей расходуется электричество – это прямые затраты. В производстве автомобилей используется металл, а в производстве металла используется электричество. Таким образом, косвенно в производстве автомобилей также используется электричество. Очевидно, что величина

,

(где А – производственная матрица, Y – вектор конечного продукта) выражает прямые затраты продукции отраслей для выпуска продукции в количестве Y. Прямые затраты для выпуска этого необходимого продукта рассчитываются очевидно по формуле

.

Суммируя всевозможные косвенные затраты более высоких порядков получаем величину всех затрат (прямых и косвенных) на выпуск продукции в количестве Y:



Матрица называется матрицей полных затрат.

Во-вторых, в матричной алгебре оказывается справедливым точно такое же соотношение, как для суммы обычной геометрической прогрессии



Т.е. это выражение (левая часть) определяет сумму вектора конечного продукта, а также всех прямых и косвенных затрат всех порядков на его выпуск. Поэтому В и называется матрицей полных потребностей продукции отраслей.

Оказывается, что для продуктивной (и, среди матриц с неотрицательными элементами, только для продуктивной) матрицы имеет место

,

поэтому в принципе для приближенного расчета В можно использовать формулу:

,

где m-некоторое достаточно большое, но конечное число. Однако обычно достаточная точность получается при m не меньше чем 10 15, поэтому такой способ лишь иногда можно предпочесть прямому обращению матрицы (Е-А).
3. Полная трудоемкость и зарплатоемкость продукции. Экономический смысл элементов матрицы полной потребности продукции.

По аналогии с затратами продукции отраслей, можно говорить и о косвенных и полных затратах, например, труда. Обозначим через - прямые затраты труда (в человекочасах) на выпуск продукции на 1 руб в j-ой отрасли, а через - полные затраты труда (включая косвенные). Тогда должно иметь место соотношение

.

Которое в матричной форме запишется в виде

,

где , отсюда

.

Это соотношение позволяет, зная вектор прямых затрат труда, вычислить вектор полной трудоемкости продукции отрасли. Ясно, что это весьма важный показатель для анализа состояния и планирования производства. Весьма важно отметить также, что рассчитать его точно без использования матрицы В и, в целом, методики межотраслевого баланса невозможно.

Аналогично вычисляются:

Важным является следующее, поскольку

,

для любого i=1…n, то

,

т.е. приближенно показывает, на сколько должно возрасти (или уменьшится) производство продукции i ой отрасли для изменения конечной продукции j-ой отрасли на 1. Это экономически важный и практически интересный показатель. Его можно было бы найти и без непосредственного использования элементов матрицы , многократным решением уравнения (7) при изменяющемся векторе , но это с точки зрения необходимых расчетов сравнительно очень не выгодно.

В частности, если задано желаемое изменение вектора конечного продукта , то соответствующее необходимое изменение вектора валового выпуска продукции можно найти по выражению

.

Вывод: Модели межотраслевых производственных связей позволяют количественно определить соответствие между действующими ценами и полными трудовым затратами на производство продукции. Обычно коэффициент полных затрат на 1 рубль продукции в различных отраслях значительно отклоняется от среднего уровня. Это свидетельствует о больших отклонениях цен от реальной полной трудоемкости продукции. Используя такую информацию, органы государственного управления могут и должны влиять на рост или снижение цен на продукцию соответствующих отраслей. В качестве развития рассматриваемой модели, изучают её динамические варианты, где так же имеется ряд очень интересных результатов.

4. Пример.

Пусть экономическая структура некоторого региона (или крупной фирмы) укрупненно представлена тремя чистыми отраслями (например, промышленное производство, сельское хозяйство и экспорт-импорт). Матрица прямых затрат в денежном выражении и вектор валовых выпусков имеют вид:



Выполнить следующее:

а) Кратко описать сущность модели межотраслевого баланса;

б) Вычислить вектор-столбец конечного продукта и вектор-строку условно-чистого продукта, проверить выполнение балансового соотношения между ними, составить таблицу межотраслевого баланса;

в) Построить производственную матрицу , и записать систему балансовых соотношений в матричной форме (проверить её выполнение);

г) Вычислить матрицу полных потребностей продукции отраслей , выяснить продуктивна ли производственная матрица;

д) пусть даны:

- вектор-столбец прямых затрат по оплате труда на рубль продукции ,

- вектор-столбец прямых затрат (в чел/час) труда на рубль продукции ,

— вычислить полную трудоемкость и зарплатоемкость продукции, по отраслям;

е) Пусть известно, что на следующий год планируется изменить вектор конечного продукта на величину

,

как должен быть изменен вектор валовых выпуков?

а) Модель межотраслевого баланса является классическим примером макроэкономической модели. Первые её варианты появились еще в 10-20-х годах ХХ века, и далее имело место их развитие и весьма плодотворное использование на протяжении всего последующего периода, как за рубежом, так и в СССР, и в соцстранах.

Основная идея этой модели – это разбиение экономики некоторой достаточно крупной экономической системы (госсударства, региона или крупного консерна) на n взаимосвязанных отраслей, которые в ходе производства используют продукцию друг друга. Соответствующие балансовые соотношения, составляемые на основе статистики предшествующих перидов, позволяют решать такие задачи как:


  1. Планировать необходимый валовый выпуск продукции при заданном объеме конечной продукции отраслей;

  2. Рассчитывать такие важные экономические показатели, как полная зарплатоемкость, полная трудоемкость, фондоемкость и т.д.

  3. Проводить общий анализ структуры экономики, необходимый для оценки её устойчивости, перспектив развития и т.д.

  4. Ставить и решать различные оптимизационные задачи промышленного производства.

б) Вычисляем вектор-столбец конечного продукта



вектор-строку условно-чистого продукта





Видим – баланс выполняется.

в) строим производственную матрицу




г) Вычисляем матрицу полных потребностей продукции отраслей . Получаем







Тема 4.2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Во многих ситуациях, встречающихся в промышленности, сельском хозяйстве, экономической деятельности и т.д., задача оптимизации плана некоторых экономико-производственных действий может быть записана в виде линейных уравнений и неравенств с линейным же относительно искомых переменных определяющих этот план переменных целевым функционалом. К задачам этого же вида сводятся очень многие задачи оптимизации и принятия решений из некоторых самостоятельных направлений прикладной математики.

Соответственно возникает потребность в математической теории позволяющей решать такие задачи. Такая теория существует и называется линейным программированием [3,4]. Как отмечается многими, данное название не является удачным. Оно возникло в 30-е годы, когда представления о программировании на компьютере ещё не существовало. В данном случае под программированием, фактически подразумевается планирование. Однако, этот термин уже укоренился, и не только в линейном случае. Имеются так же и такие названия математических теорий решения задач оптимизации, как нелинейное программирование или динамическое программирование.
2.1 Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП).

В общем вида за­дача ЛП заключается в отыскании таких неотрицательных чисел х1,х2,. ..,хn, которые максимизируют дан­ную линейную функцию

C = с1x1 + с2x2 +...+ сnхn = (2.1)

при условии выполнения системы неравенств:
bi0, (i=) (2.2)

xi0, (i=) (2.3)

Используют следующие основные понятия и термины:

Ограничение-неравенство исходной задачи ЛП, имеющее вид “”, можно преобразовать в ограничение-равенство добавлением к его левой части некоторой новой неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида “” - в ограничение-равенство вычитанием из его левой части неотрицательной переменной. Таким образом, ограничение-неравенство

,

можно преобразовать в ограничение-равенство

, (xn+1  0),

а ограничение-неравенство

,

— в ограничение-равенство

, (xn+10).

Переменные вводимые для преобразования ограничений-неравенств в ограничения-равенства называют дополнительными. Ясно, что их число равно числу преобразуемых неравенств.

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражаются расход и наличие производственных ресурсов, то численное значение некоторой дополнительной переменной равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.

Если переменная хk не подчинена условию не отрицательности, то ее следует заменить двумя вспомогательными неотрицательными переменными uk и vk, приняв xk = uk - vk.
2.2 Стандартная и основная задачи ЛП.
Если все ограничения (2.2) имеют вид неравенств “”, то такая задача ЛП называется стандартной (или симметричной). Её удобнее записать в, гораздо более компактной, матричной форме

C=<c,x>max, (2.4)

Axb, (2.5)

xi0, (i=), (2.6)

здесь <c,x>-скалярное произведение векторов (с1, с2,…, сn) и (x1, x2,…, xn); A –матрица размерности (mn) составленная из коэффициентов системы ограничений (2.2) (в которой однако же, как мы считаем, только неравенства вида “”); b - вектор-столбец (b1, b2,…, bm), составленный из правых частей системы ограничений (2.2).

Если все ограничения (2.2) имеют вид равенств “=”, то такая задача ЛП называется основной (или канонической). Её также удобнее записать в матричной форме

C=<c,x>max, (2.7)

Ax=b, (2.8)

xi0, (i=). (2.9)
2.3 Симплекс-метод решения задачи линейного про­граммирования.
Разработан и широко применяется универсальный метод решения любой задачи ЛП, называемый симплекс-методом. Рассмотрим его использование на примере решения конкретной задачи.
Пример 2.2. Для изготовления различных изделий А, В и C предприятие использует три вида оборудования. Нормы затрат станко-часов каждого вида на обработку одного изделия А, В и С, цена одного изделия, а также общее имеющееся количество станко-часов приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.


Вид оборудования

Нормы затрат станко-часов на одно изделие.


Общее количество




A B C

станко-часов.

Фрезерное

18 15 12

360

Токарное

6 4 8

192

Шлифовальное

5 3 3

180

Цена одного изделия

9 10 16



  1   2   3   4


Экономико-математические методы и модели
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации