Суслов Ю.В. (МГОУ) Теоретические основы электротехники - Основы теории цепей - файл n1.doc

приобрести
Суслов Ю.В. (МГОУ) Теоретические основы электротехники - Основы теории цепей
скачать (986 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc986kb.14.09.2012 23:57скачать

n1.doc




Теоретические основы электротехники

(Основы теории цепей)


Лекции по предмету

«Теоретические основы электротехники»

(«Основы теории цепей»)

Суслов Юрий Васильевич
ТОЭ изучает электромагнитные явления и процессы в электротехнических устройствах, а также развивает методы их расчета.

Основы: 1) математические алгебраические обыкновенны дифференциальные уравнения; 2) комплексные числа; 3) законы Ома, Кирхгофа, Джоуля-Ленца, анализ электрических цепей.


Основные сведения об электрических цепях.

Электрическая цепь - идеализированная совокупность устройств, предназначенных для производства, передачи, распределения электрической энергии и преобразования ее в другие виды.

Основные элементы: источники и приемники электроэнергии.

Источники энергии носят названия активных элементов эл. цепи.

Часть эл. сетей, состоящая только из последовательно включенных источников ЭДС и R и ограниченно с обеих сторон узлами, называют ветвью.

Последовательные соединения - элементы цепи, обтикаемые одним и тем же током.

Электрическая схема - условное графическое изображение реальной эл. цепи.

Узлом эл. цепи - место соединения 3-х и более ветвей.

Различные ветви образуют контура (замкнутая цепь, образованная несколькими ветвями).

Независимый контур - контур, в который входит хотя бы 1 ветвь, не вошедшая в предыдущие контура.
Здесь

два независимых

контура


Эквивалентные цепи источников энергии.

1. Источник ЭДС (напряжение) - идеализированный источник эл. энергии, внутреннее сопротивление которого равно нулю.

по ГОСТу (обозначение):




- положительное направление


Реально:





2. источник тока j - идеализированный источник эд. энергии, внутреннее сопротивление которого бесконечно велико.



- положит. направление тока




Законы Кирхгофа.

Пусть ЭДС и сопротивления нам известны.

Выберем произвольно положительное направление тока.

В данной схеме 3 узла, 5 ветвей.
Первый закон Кирхгофа. (применяется к узлам)

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.



Токи, подтекающие к узлу берут со знаком «-», а оттекающие - «+».



----------------------------------

0=0

По 1-му закону Кирхгофу количество уравнений - (n-1), где n - число узлов эл. схемы.
Второй закон Кирхгофа (применяется к контурам).

В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях входящих в этот контур равна алгебраической сумме ЭДС.



Обход тока по контуру выбирается положительным по часовой (с «+») и отрицательный против часовой стрелки (с «-»).


Количество уравнений по 2-му закону Кирхгофа всегда будет совпадать с количеством независимых контуров.

Недостаток метода расчета по з. Кирхгофа - неограниченное количество уравнений.
Обобщенный закон Ома.

Ток всегда течет от более высокого к более низкому потенциалу.

- Закон Ома в потенциальной форме.

(g-проводимость)


- обобщенный закон Ома.

Преобразование электрических цепей

Преобразовать часть эл. схемы значит представить ее в другом виде, но таким образом, чтобы ток во всех ветвях и потенциалы всех узлов непреобразованной части эл. схемы остались без изменения.

Замена последовательных сопротивлений одним эквивалентным.


,

где Rэкв= R

Следовательно, если включены несколько сопротивлений последовательно, то их можно заменить эквивалентным.
Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным.



- сопротивление проводимости.



Частный случай:


Пример:






Следствие из схем 1 и 2



Метод эквивалентного генератора




Электрические цепи однофазного синусоидально тока

Синусоидальный ток и основные величины, характеризующие его

Ток, изменяющийся во времени называется переменным и обозначается i(t)

Ток, для которого справедливо равенство i(t+T), называется периодическим, где T - постоянный промежуток времени (период переменного тока).

Значение переменной величины в какой либо момент времени называется ее мгновенным значением.



Синусоидальный (гармонический) ток -ток, мгновенное значение которого определяется равенством:



Imax -амплитуда

T - период колебания, min интервал времени, когда функция повторяет все свои значения

- частота (Герц) - число циклов повторения в 1 сек.

(Т=0,02сек. при f=50 Герц)

//** Добровольский изобрел трансформатор, генератор, линии эл. передач)**//

В радиотехнике применяются 3*10-10 Герца

- угловая частота, характеризующая скорость изменения функции.

, 50 Герц- промышленная частота

-фаза, характеризует состояние колебания, т. е. численное значение величины в данный момент времени.

При t=0 - фаза называется начальной.

Любая синусоидальная изменяющаяся функция определяется 3-мя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.
Действующее значение тока

Действующее значение переменного тока - такое эквивалентное значение постоянного тока, при котором постоянный ток, совершает ту же работу, что и переменный ток с заданной амплитудой за одно и то же время.

(А-работа= мощность*время)



Действующее значение переменного тока обладает при протекании через аналогичное активное сопротивление таким же тепловым воздействием, как и постоянный ток за один и тот же период.

Комплексная плоскость
Изображение комплексных чисел в различных формах

- комплексное число

- комплексная величина, алгебраическая форма записи комплексного числа.

+j,-j - комплексная ось

+1,-1 - действительная ось

А - модуль комплексного числа

- тригонометрическая форма записи комплексного числа

е=2,712
- показательная форма записи комплексного числа

Действия с комплексными числами


П
+j






+1
усть даны



Сложение и вычитание производить в алгебраической форме записи

Деление и умножение желательно производить в показательной форме
Умножение вектора комплексного числа на j





- значит повернуть вектор на 90град. против часовой стрелки

- значит повернуть вектор на 90град. по часовой стрелки
Изображение синусоидальной функции времени векторами на комплексной плоскости

(Символический метод)

- текущая фаза



Im - модуль комплексного числа

-мнимая часть комплексного числа

Если этот вектор будем вращать против часовой стрелки с угловой скоростью =const, то его проекция на мнимую ось комплексной плоскости даст мгновенное значение синусоидальной величины .



Im*ej - неподвижный вектор при t=0

ejt - единичный вектор, вращающийся против часовой стрелки

При таком подходе любую синусоидальную функцию можно изобразить на комплексной плоскости в виде вектора:

( - соответствует)

Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать вектора синусоидально изменяющихся во времени функции для момента времени t=0 (т.е. выражение ejt не пишем, но держим в уме).








*Пример
А
А - амплитудное комплексное значение тока А- амплитудн. знач.

А - действующее комплексное значение тока А действ. знач.
Операции с синусоидальными функциями одной частоты

Преамбула:

Если все синусоидальные величины (I, U, E) одной частоты, то все эти величины можно изображать на одной комплексной плоскости.

// обратный переход (*пример)



-тогда говорят, ток опережает напряжение на угол 

Опережение -поворот вектора против часовой стрелки.

Отставание -поворот вектора по часовой стрелки.

Изображения называются векторной диаграммой. При повороте векторной диаграммы - все части фиксированы (длины векторов и углы между ними не меняются)

Векторной диаграммой называется совокупность комплексных векторов, изображающих на одном чертеже нескольких синусоидальных функций одной частоты в начальный момент времени.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении синусоидальных функциях времени комплексными числами называют символическим методом, и он был введен в электротехнику американским ученым инженером Штейнметцом.

Дифференцированные синусоидальные функции





Операции дифференцирования синусоидальной величины эквивалентна операции умножения действующей величины на j.

А операция интегрирования синусоидальной величины эквивалентна операции деления комплекса этой величины на j.


Идеализированные элементы электрической цепи на переменном токе
Для того, чтобы упростить исследование процессов в реальной эл. цепи переменного тока, ее заменяют идеализированной расчетной схемой, составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из явлений, происходящих в реальной эл. цепи.

В цепях переменного тока выделяют 3 пассивных элемента (потребители): сопротивление, индуктивность, емкость.

1) сопротивление (активное):




- это элемент эл. цепи, связанный с превращением эл. энергии в тепло. (ед. изм. Ом)

В нем происходит расход энергии.

2) индуктивность:




- это элемент эл. цепи, связанный с образованием магнитного поля при протекании по нему переменного тока. (ед. изм. Гн (Генри))

Магнитное поле обладает энергией, следовательно, элемент способен запасать энергию, но не расходовать.

3) емкость:




- это элемент эл. цепи, связанный с образованием эл. поля при протекании по нему переменного тока. (ед. изм. Ф (Фарада))

Эл. поле обладает энергией, следовательно, емкость обладает способностью накапливать энергию, но не расходовать.

Прохождение переменного тока через активное сопротивление






Если по активному сопротивлению пропустить синусоидальный ток, то и напряжение синусоидальное.

Напряжение и ток на активном сопротивлении всегда совпадает по фазе.

Если i, а u, то - в виде з. Ома в комплексной форме.


Мгновенная мощность



- активная мощность Вт(Ватт)

I

U


P=UI





Индуктивность в цепи переменного тока



Если по катушке индуктивности протекает ток, изменяющийся во времени, то в катушке возникает ЭДС самоиндукции



напряжение на индуктивности опережает ток на угол 900.

Комплексная форма записи тока и напряжении в индуктивности





,

- Ом

- индуктивное сопротивление

- комплексное индуктивное сопротивление

Емкость в цепи синусоидального тока

Напряжение на емкости отстает от тока на угол 900.

С
+j

+1



опротивление на емкости- емкостное сопротивление.



- комплексное емкостное сопротивление, где j2=-1

Законы Кирхгофа в комплексной форме все соблюдаются


Неразветвленная цепь переменного тока

По 2-му з. Кирхгофа:



- в комплексном виде




- з. Ома в комплексной форме

- полное комплексное сопротивление

- реактивное сопротивление

R - активное сопротивление



где ,

Величина, обратная сопротивлению Z, называется комплексной проводимостью (ед. изм. -См-сименц).

-См

g- активная проводимость

b- реактивная проводимость
**Пример



Определить показания приборов (V), (A) и построить векторную диаграмму

Решение:

определяем реактивное сопротивление

- Ом

- Ом

-Ом ()

-В () (V)=100 В

-А (А)=2 А

- В (VR)=80 В
- В (VL)=120 В

- В (VC)=60 В

графически (масштаб по i и по u -произвольно)

Угол между напряжением и током называется 

=u-i=10605/-700=3005/

Комплексная мощность

Среднее значение мощности за период:

- (Вт) - активная мощность (идет на выделения тепла в окружающую среду)

 - разность фаз между напряжением и током

cos  - коэффициент мощности, важнейший энергетический показатель.

- (ВА) - полная (кажущаяся) мощность, т.е. та максимальная мощность, которую можно получить, если cos  =1 (i и u совпадают по фазе)

- реактивная мощность ( теоретически: мощность, которой обмениваются генератор и нагрузка).

0, если нагрузка носит индуктивный характер.

0, если нагрузка носит емкостной характер

Ед. измерения реактивн. мощности «вар» (вольт ампер реактивное)



-сопряженное к число



Топографическая диаграмма



Первый индекс U напряжения (ab) указывает к какой точке направить стрелку вектора напряжения

Каждой точке на электрической схеме соответствует точка на комплексной плоскости.

Т
5 R1 4 C 3
L

1 R2 2
опографическая диаграмма (ТД) - разновидность векторной диаграммы (ВД), при которой каждая точка на комплексной плоскости соответствует определенной точке электрической цепи. Координаты точки на комплексной плоскости равны соответственно действительной и мнимой частям потенциала данной точки электрической цепи, при этом, векторная диаграмма токов ВСЕГДА совмещается на одном чертеже с топографической диаграммой напряжения.



(индекс против тока)







Цепи со взаимной индуктивностью

Индуктивность - элемент эл. цепи, связанный с образованием магнитного потока Ф, когда по нему протекает ток i(t).

Возьмем единичный виток и пропустим по нему ток i(t), тогда ток проходя по этому контуру создает магнитный поток Ф=L*i.

Положительное направление потока определяется по правилу буравчика



- число витков

Явление наведения ЭДС в каком-либо контуре при изменении тока в другом контуре называют явлением взаимной индукции, а наведенная (индуцированная) ЭДС называется ЭДС взаимоиндукции. Пример: трансформатор.















, -самоиндукция

М - коэффициент взаимоиндуктивности между катушками 1 и 2 или взаимоиндуктивность 2-х катушек.

В линейных эл. цепях по правилам взаимности:

, отсюда следует





Величина М, как и L измеряется в Гн (Генри).

- коэффициент магнитной связи контуров, показывающая какая часть магнитного потока одного контура попадает во второй.

1) k=0; M=0 - магнитная связь отсутствует.




Ф1 Ф2
Ф2

i1 (+) i2 i2 (+)
2) k=1; - полная магнитная связь

Чтобы увеличилось k, часто создают среду (магнитопровод), по которому замыкается магнитопоток.
Зажимы 2-х катушек называют одноименными, если при одинаковом направлении токов к этим 2-м зажимам магнитные потоки в магнитопроводе складываются.
По ГОСТу

- одноименные зажимы
При одноименных зажимах включение согласно, тогда
Согласное включение:





Встречное включение:





Комплексная форма записи

, ()

- сопротивление взаимной индукции

Правило знаков: если положительное направление токов одинаково сориентированы относительно одноименных зажимов 2-х магнитосвязанных катушек, то на каждой катушке напряжение взаимной индукции пишется с тем же знаком, что и напряжение самоиндукции.


R1 L1 M13 L3 начало

обаотки
L2 M23 R2

M12







Состав по 2-му закону Кирхгофа:







Резонанс в электрических цепях

Резонанс - режим пассивной эл. цепи, содержащая катушки индуктивности и емкости, при которой ее реактивное входящее сопротивление или входящая реактивная проводимость равно нулю.

При резонансе ток на входе в цепи всегда совпадает по фазе с напряжением.

Резонанс (напряжения) не разветвленной цепи









`Ом` `Ом`
Угловая частота, при которой наступает резонанс называется резонансной частотой



- характеристическое сопротивление контура 0

- добротность контура- указывает во сколько раз напряжение индуктивности на емкость больше, чем на входе напряжение

Параллельный резонанс

(резонанс тока)



/**/





-резонанс

-частный случай резонансов в параллельных ветвях

сопротивление емкости мы считаем идеальным R2=0. Отсюда следует




Периодические несинусоидальные токи в линейных эл. цепях

Периодические несинусоидальные токи и напряжение - это токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому не синусоидальному закону.

Любая периодическая функция f(x) с периодом 2 и x=t и удовлетворяющая условию Дирихле может быть разложена в тригонометрический ряд Эйлера-Фурье.



A0 - постоянная составляющая

A1max*sin(t+1)- основная синусоида (первая гармоника)

Все остальные гармоники называют высшими гармониками.

Те гармоники, которые обозначаются четными числами называют четными гармониками (2, 4, 6 и т.д.).



Задачи решают через мгновенные i и u.





-показания счетчика всегда действующие значения




Задача:

- В

R=3Ом; XL=8 Ом; XC=4Ом

Определить показания приборов, написать мгновенные значения несимметричного тока.
У нас 3 гармоники

1) Нулевая гармоники

Постоянное напряжение - 100В постоянно. L можно убрать

I0=0; P0=0

2) Первая гармоника

(сопротивление R дается по 1-ой гармонике)

-



-A

- A

-Вт

3)Третья гармоника

-Ом

-Ом

-Ом

-A


-Вт



-А (показания (А))

В(показания (V))

Вт

Классический метод

(заключающийся в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающий токи и напряжения в переходном режиме. В результате этого появляются постоянные интегрирования, которые определяются из законов коммутации).

Возникновение переходных процессов



до коммутации момент коммутации после коммутации

I (0-) I (0) t=0 I (0+)

u (0-) u (0) t=0 u (0+)

1-ый закон коммутации

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации (при t=0) сохраняет те же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией и далее начинают изменяться с этих значений.

Математ. запись:

iL (0-) = iL (0) , т.е. ток на индуктивности не может измениться скачком

Док-во:

 2-ой закон Кирхгофа не соблюдается.

-энергия магнитного поля.

2-ой закон коммутации

В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняет в момент коммутации (при t=0) те же значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией и далее начинают изменяться с этих значений.

uc(0-)= uc(0) , т.е. напряжение на емкости не может измениться скачком

Док-во



Переходный, принужденный (установившийся) и свободный

процессы

Для любого момента времени в переходном режиме 2-ой закон Кирхгофа:

(1)

где i – ток переходного режима

R*iпринужденный (установившийся).

(2)

i-iпринужд. = iсвободн. (3)

(4)


Это разложение токов и напряжений на свободные и принужденные соответствует лишь правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решений неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

iсв. – представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (1) и записывается в виде показательной функции:

iсв. = А*ерt,

где А – постоянная интегрирования,

р –корень характеристического уравнения

iприн – представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2). Определяется теми же методами, что и при законах Кирхгофа.

i= iприн + iсв. = iприн + А*ерt – общее решение

(i= iприн + А1р1t+ А2р2t – в зависимости от количества накопителей, в нашей схеме их два: L и C)

Независимые начальные условия

- значения переходных токов на индуктивности и напряжения на емкости при t=0, т.е. величины не изменяющиеся в момент коммутации скачком.

Все остальные называются зависимыми начальными условиями и определяются при помощи независимых начальных условий и з. Кирхгофа.

Короткое замыкание в цепи RL



i=iсв. iприн.=0



, где А - постоянная интегрирования

t=0

=L/R (сек.) – время

Постоянная времени в цепи RL может быть определена, как время , в течение которого iсв., затухая, уменьшается в е раз по сравнению со своими первоначальным значением, а  - коэффициент затухания цепи RL.

С переходным процессом в цепи RL приходится считаться особенно при размыкании, т.к. бывает очень велика ЭДС самоиндукции

Короткое замыкание в цепи RC

Начальные условия

i=0, UC=E=U0.

переходный процесс:

i=iсв.

(1)

(2)

(3) – однородное дифференциальное уравнение

решение:

,

где = RС – постоянная времени цепи RС

=( RС) – коэффициент затухания цепи RС

переходный режим:

из (2)


Переходные процессы в цепи RLC

Принужденный режим =0

(1)

(2)

Из уравнения (2) подставляем в уравнение (1)

(3)

(4)

Решение любого из этих типов уравнений упрощается, если составить характеристическое уравнение.

Математ. экс

Решение свободн. тока:

iсв. = А*ерt,

, т.е. производная от iсв. м.б. заменена рiсв..







подставим все в уравнение (4)
алгебраизация диф. уравнения для свободных токов

разделим на iсв.

- характеристическое уравнение для диф. уравнения (4) /** и (3) **/

Характер свободного процесса зависит от корней этого уравнения:



А-периодический разряд конденсатора, заряженного до U0 через R и L, называется разряд, при котором напряжение на конденсаторе UC моментально спадает от U0 до 0, т.е. не происходит перезарядки конденсатора.

А-периодическое решение однородного дифференциального уравнения имеет место, если корни характеристического уравнения вещественные, т.е.

Если - это когда процесс еще носит а-периодический характер.

Общее решение такого процесса:




Независимые начальные условия:

t=0 UC=UCсв-U0 i=iсв=0
U0=A1+A2,



0=p1A1+p2A2,
UC=UCсв=



i=iсв=
Предельный случай А-периодического разряда конденсатора будет иметь место, когда ,т.е. корни характеристического уравнения р12=р=-R/(2L) (случай, когда переходный процесс носит А-периодический разряд.

Периодический (колебательный) разряд конденсатора – имеет место, если сопротивление контура , корни характеристического уравнения при этом комплексные или сопряженные.

Введем обозначение:



-угловая частота собственных колебаний контура, Т0 – период собственных колебаний





Вернемся к рассмотрению уравнения (3)

Если характеристическое уравнение этого диф. уравнения имеет пару комплексных корней, то в этом случае и не имеет действительных значений ни при каком t, кроме t=0, тогда применяют формулу Эйлера , и переходят к расчету переходного процесса, к функциям вида:

,

и тогда решение нашего диф. уравнения будет иметь вид:

для напряжения:

(1)

для тока:

(2)

независимые начальные условия

при t=0 UC=UCсв=U0 i=iсв=0





Готовые уравнения









-декремент колебания –постоянная величина, независящая от времени

Порядок расчета переходных процессов


Общий случай расчета п.п. классическим методом.

Задается положительное направление тока (произвольно)

1) Определяем принужденное значение токов и напряжения до коммутации (ТОЭ, ч.1)

2) Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для свободных токов и напряжений, где



3) Производим алгебраизацию системы диф. уравнений, т.е. заменяем , .

4) Находим определитель системы и приравниваем его к 0, т.е.



5) Отсюда, определяем корни характеристического уравнения р1, р2, р3, …,рn.

Примечание.

Если в электрической цепи отсутствует индуктивно связанные элементы, то характеристическое уравнение можно получить, не составляя диф. уравнения, пользуясь выражением для входного сопротивления одной из ветвей, заданной после коммутационной цепи на переменном токе. Z вх(j) заменив в нем j на р (оператор р) и уже Z вх(р)=0.

/**

после переходного процесса

Z вх(j)=R+jL

Z вх(р)= R+pL=0

p=R/L (c-1)
**/

6) С учетом полученных корней записываем выражение для искомого тока (напряжения)



Если характеристическое уравнение 1-го порядка, то выражение для свободного тока содержит одну постоянную интегрирования.

iсв. = А*ер1t – это значит всего один накопитель в цепи.

Если характеристическое уравнение 2-го порядка, то выражение для свободного тока содержит две постоянных интегрирования.

iсв. = А1р1t + А2р2t .

Количество индуктивности и емкости в целом соответствует количеству А.

Если корни характеристического уравнения действительные и разные, то

iсв.1р1t2р2t+..+ Акркt.

Если корни действительные и равные, то (р=р12=..=рм), то

iсв.1рt2*t*ерt3*t3рt+..+ Ак*tm-1рt.

Если корни пара комплексно сопряженных корней, то

p1,2=-j0,

, где постоянными интегрирования являются А,.

7) На основании 1-ого и 2-ого законов коммутации определяем независимые начальные условия, т.е. iL (0-) = iL (0)

uc(0-)= uc(0)

8) Определяем зависимые начальные условия, необходимые для нахождения постоянных интегрирования.

Определение зависимых начальных условий производится на основе независимых начальных условий и законов Кирхгофа.

При составлении уравнений по 2-му закону Кирхгофа следует выбирать контуры так, чтобы они содержали минимум накопителей энергии.

В уравнении 1-ого порядка для определения единственной постоянной интегрирования достаточно найти начальное значение искомого тока (напряжения).

В уравнении 2-ого порядка для определения 2-х постоянных интегрирования требуется найти начальное значение исходной функции и ее 1-ой производной.

И т.д.

9) Определяем постоянные интегрирования

а) при одной постоянной интегрирования

iсв. = А*ерt





ток при t=0 не может измениться скачком.

б) при 2-х постоянных интегрирования. Для их определения необходимо иметь два уравнения .Второе получаем путем дифференцирования 1-ого по времени.

- если корни характеристического уравнения 2-ого и выше порядка действительны и неравны

iсв.1р1t2р2t.

i/св1122р2t.

При t=0 iсв(0)=А12. - независимые начальные условия

i/св(0)=А1122. - зависимые начальные условия

Отсюда следует А1, А2.

- если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными числами, то

,

p1,2=-j0,

,

При t=0 - независимые начальные условия

- зависимые начальные условия

Отсюда следует А,.

10) Записываем выражения искомых функций:





По окончанию решения проверить удовлетворяет ли оно начальным условиям, подставить в решение t=0.
Операторный метод расчета переходного процесса.

Для инженерной практики более удобный метод решения диф. уравнений, при котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения и при этом не требуется дополнительно определять постоянные интегрирования (аналогия с логарифмированием).

Сущность метода:

Некоторую функцию f(t), где (t) – вещественная переменная и t – время, и называемая оригиналом, сопоставляют с другой функцией F(p), где р –комплексная переменная p=s+j и называемая изображением.

Сопоставление производится по формуле:

- Прямое преобразование Лапласа от функции f(t).

- математ. обозначение

Преобразование Лапласа имеет смысл в том случае, если интеграл сходится.

И практически все функции электротехнические этому условию удовлетворяют.

Некоторые свойства преобразования:

1. , где с- константа.

2.



следствие



оригинал



изображение

А



А/р

























Таким образом изображение можно определить для любой функции диф. уравнения.
Изображение напряжения на L и на С





i(0), UC(0) – внутрение ЭДС (величины при t=0 не могут измениться скачком и учитывают не нулевые начальные условия и они прямо включаются в электрич. схему.

Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования к делению.

Для расчета переходных процессов необходимо и обратное преобразование от изображения к оригиналу. Для этого используют таблицы и справочники.

Могут встречаться изображения для которых оригиналы не известны.

Используется один из следующих способов решения.

а) Изображение искомой функции представляют виде отношения полиномов по степеням р.



б) Осуществляют разложение сложной дроби на простые;

в) по простым дробям находят оригиналы.

Разложение сложной дроби на более простые



при условии, что mn, дробь не сократимая и полином М(р)=0 не имеет нулевого корня, тогда можно представить в виде суммы простых дробей:

,

где рк будут корни уравнения М(р)=0, а А0, А1, А2, … Ак находятся по формулам ; ; .

Иногда оригинал - изображения находят по формуле, называемой теоремой разложения


Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме





заменим



- закон Ома в операторной форме

/*/ - классический з.Ома /*/

Внутренняя ЭДС всегда совпадает по направлению с током .

Внутренняя ЭДС всегда направлена навстречу току IC.

Выражение в знаменателе называют операторным сопротивлением цепи RLC. Величина, обратная носит название операторной проводимости цепи RLC.

Если начальные условия нулевые, то полностью аналогичен закону Ома в комплексной форме.

1-ый закон Кирхгофа:

i1+i2+in=0

Ik(p)ik(t)



2-ой закон Кирхгофа:



Полагаем, что

,


Эквивалентные операторные схемы




2узла, 3 ветви
Порядок расчета переходных процессов операторным методом

1. Составим эквивалентную операторную схему для цепи, в которой исследуется переходный процесс (после коммуникации)

2. Пользуясь тем или иным расчетным методом, а именно з. Кирхгофа, метод контурных токов и т.д., составляем уравнения относительно изображений токов и напряжений.

3. Составленные уравнения решают алгебраически относительно изображений искомых функций.

4. На основе полученного изображения находят оригинал искомой функции.

Примечание:

При синусоидальной ЭДС целесообразно операторным методом определять только свободные составляющие искомых величин, которые обусловлены свободными составляющими внутренних операторных ЭДС.

Принужденные составляющие определяются также, как и в классическом методе расчетов установившихся режимов в электрических цепях.

Теоретические основы электротехники
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации