Пугачёв В.И. Теория автоматического управления (Конспект лекций). Часть 1. Линейные непрерывные системы управления - файл n1.doc

Пугачёв В.И. Теория автоматического управления (Конспект лекций). Часть 1. Линейные непрерывные системы управления
скачать (4887.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc4888kb.14.09.2012 22:07скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5



Министерство образования Российской Федерации

Кубанский государственный технологический университет


Кафедра автоматизации производственных процессов


Пугачев В.И.
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Конспект лекций


по курсу "Теория автоматического управления" для студентов дневной и заочной формы обучения специальности 210100 - Управление и информатика в технических системах

Часть 1

Краснодар 2004
Составитель: канд. техн. наук, профессор В.И.Пугачев

УДК 62-50.007 07

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГ УПРАВЛЕНИЯ Часть 1


Приведены сведения из теории линейных непрерывных систем управления. Предназначены для студентов дневной и заочной формы обучения специальности 21.0100 - Управление и информатика в технических системах. / Сост. В. И. Пугачев ; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. автоматизации производственных процессов. Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2004.-156 с.

Рассмотрены основные понятия и определения, используемые в системах автоматики, вопросы, связанные с анализом непрерывных линейных систем управления с целью оценки их качества и возможности их синтеза с заданными показателями качества

Табл. Ил.2 Библиогр: 6 назв.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета

Рецензенты: канд.техн.наук,зав.лабораторией автоматизации Краснодарского филиала " В Н И И З " Ю.Ф. Марков

канд.техн.наук, профессор КубГТУ З. Г. Насибов


СОДЕРЖАНИЕ

1 Основные понятия теории автоматического упра­вления - - - - - - - -5

1.1 Введение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

1.2 Краткая историческая справка развития теории управления - - - -7

1.3 Основные элементы САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 9

1.4 Классификация САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10

1.5 Замкнутые и разомкнутые САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

1.6 Статика и динамика регулирования- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15

2 Методика составления уравнений динамики объектов

регулирования - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16

2.1 Уравнение динамики одноемкостного объекта - - - - - - - - - - - - - - 16

2.2 Уравнение динамики двухъемкостного объекта - - - - - - - - - - - - - 28

2.3 Уравнение динамики объекта с двумя регулируемыми величинами 31

3 Анализ САУ в пространстве состояний - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 35

3.1 Вектор состояния непрерывной САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -35

3.2 Переходная матрица состояния - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39

4 Основные характеристики простейших звеньев - - - - - - - - - - - - - -43

4.1. Типовые входные сигналы - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 43

4.2. Типовые звенья САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -47

4.3. Основные законы регулирования - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62

5 Устойчивость систем управления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73

5.1. Общие положения об устойчивости - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73

5.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица - - - - - - - - - - - - 76

5.3. Частотный критерий устойчивости Михайлова - - - - - - - - - - - - - 78

5.4. Критерий устойчивости Найквиста-Михайлова - - - - - - - - - - - - - - 82

5.5. Устойчивость САУ с запаздыванием - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86

5.6. Логарифмический частотный критерий устойчивости - - - - - - - - - 88

6 Анализ линейных САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90

6.1. Структурные преобразования САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90

6.2. Связь частотных характеристик и переходных функций - - - - - - - 94

6.3. Методика построения переходного процесса по обобщенной

вещественной частотной характеристике - - - - - - - - - - - - - - - - - - 99

6.4. Ошибки и их составляющие в САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 102

6.5. Ошибки САУ при типовых режимах работы - - - - - - - - - - - - - - - - 104

6.6. Метод коэффициентов ошибок - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -106

6.7. Структурная неустойчивость САУ- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 108

6.8. Граница устойчивости и область устойчивости в плоскости одного

и двух параметров - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 110

7 Анализ качества САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 116

7.1. Критерии апериодичности переходного процесса - - - - - - - - - - - - 117

7.2. Оценка качества САУ по расположению корней характеристичес-

кого уравнения - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 119

7.3. Интегральные оценки качества САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 125

7.4. Оценка качества САУ по частотным характеристикам - - - - - - - - - 127

8 Улучшение качества САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -131

8.1. Введение производной в закон регулирования - - - - - - - - - - - - - - -131

8.2. Введение интеграла в закон регулирования - - - - - - - - - - - - - - - - 133

8.3. Создание инвариантных САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --136

8.4. Создание комбинированных САУ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 138

8.5. Многомерные автоматические системы - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. 142

8.6. Управляемость стационарных линейных систем - - - - - - - - - - - - -145

8.7. Наблюдаемость линейных стационарных систем - - - - - - - - - - - - 149

8.8. Модальное управление при неполной информации о сос­тоянии

системы - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 153

Литература - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 156

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1.1 Введение

Теория управления (ТУ) есть наука, разрабатывающая принципы управления системами и необходимые для этого средства, методы анализа и синтез этих систем.

За последние годы сфера применения теории управления расширилась на столько, что к ней стали относить статистическую динамику, процессы управления движением летательных аппаратов, проблемы игровых ситуаций, вопросы адаптации, теорию оптимального управления, аналитическое конструирование приборов и регуляторов. Управление стало проникать в сферу социальной деятельности человека.

Принципиально новый оттенок теории управления придали вычислительные машины. Развившись самостоятельно, они стали постепенно входить составной частью в сложные автоматические системы.

Теория управления в настоящее время стала составной частью и техническим фундаментом науки ХХI века - технической кибернетики, главную сущность которой составляет всеобъемлющая теория управления живой и неживой природой.

Греческое слово «кибернетика» обозначает искусство управления. А.А. Ампер (француз) предложил назвать кибернетикой науку об управлении обществом. Современная наука кибернетика исследует наиболее общие закономерности для всех процессов управления, в какой бы области они не протекали. Она получила развитие с того момента, когда было обращено внимание на общность развития проблем управления машинами и живыми организмами. Такие проблемы стала изучать с 1942 года группа американских ученых во главе с математиком Норбертом Винером и мексиканским физиологом Артуром Розенблютом. Как заметил английский кибернетик Уильям Росс Эшби, «много интересных и многообещающих параллелей между машиной, мозгом и обществом».

Академик А.И. Берг, возглавивший кибернетическое направление в СССР, говорил: «Кибернетика стала наукой об общих принципах управления и о применении их в технике, человеческом обществе и в живых организмах».

Кроме умения ставить задачу по жизненным явлениям, т.е. уметь формализовать жизненную ситуацию в данной области науки и техники, инженер должен уметь решать неспецифические задачи (задачи, связанные с добыванием информации, ее хранением, умением сотрудничать с людьми, распределять функции между ними, управлять человеческими коллективами, производственными процессами).

Хотя принципы управления человеческими коллективами и производственными процессами имеют свои специфические особенности, однако они имеют и много общего. Поэтому, изучая курс «Теории автоматического управления», специалист получает интересную информацию, которую можно использовать в самых разнообразных сферах человеческой деятельности. Широкое внедрение в производ­ство автоматизированных систем управления требует от инже­нера более высокой обшей культуры и особенно по вопросам управления.

Управление с применением ЭВМ можно рассматривать как со­во­купность организационных, методических и технико-экономических решений для осуществления воздействий на управляе­мый объект с целью поддержания или улучшения его функцио­нирования.

Для осуществления управления необходимо иметь:

а) цель управления;

б) ресурсы для обеспечения работы управляемых объектов;

в) органы управления, обладающие правом изменять или перераспределять ресурсы с целью достижения цели управле­ния.

Природа системы может быть различна, но во всех слу­чаях в ней можно выделить управляющую часть, управляемый комплекс процессов или объектов, контрольно-измерительные и задающие устройства.

Функционирование реальных систем ограничивается обла­стью их допустимых состояний, как в части многомерных переменных, так и их количественных значений процесс управ­ления заключает­ся в том, чтобы из множества состояний, которые может принимать система, выбрать наиболее рациональные с точки зрения поставленной цели. В частном случае задача сводится к стабилизации управляемого объекта, когда необходимо скомпенсировать все внешние и внутренние возмущения.

В условиях современной экономики теория автоматического управления является одним из главных направлений технического про­цесса, она является основой правильного выбора решения (управления), организации труда.
1.2 Краткая историческая справка раз­вития теории автоматического управления

Хотя первые сведения об автоматах появились в начале нашей эры в работах Герона Александрийского "Пневматика" и "Механика", действие их изучалось в рамках прикладной меха­ники. Герон и его учитель Ктесибий изобрели пневмоавтомат для открывания дверей храма при зажигании жертвенного огня, водяной орган, при­бор для из­мерения протяженности дорог, автомат для про­дажи священной воды (прообраз наших автоматов).

В XIII веке немецкий философ-схоласт и алхимик Альберт Больштадт в период «андроидной» автоматики создает чело­века из железа для открывания и закрывания дверей. В ХУII - ХУIII вв. интересные андроиды были созданы швей­царскими часовщиками Пьером Дро и Анри Дро. Они создали механического писца, выводившего фразы, художника, рисо­вавшего головки и фигурки людей, пианистку.

Театр автоматов был создан в XУIII в. русским механиком-самоучкой Н.П.Кулибиным. Его «театр» помещен в часах яич­ной формы, хранящих­ся в Государственном Эрмитаже в Санкт-Петербурге.

К первым промышленным регуляторам относятся регуля­торы уровня паровой машины Н.Н.Ползунова (1765 г.).

Начало теории управления было положено работами Максвелла в 1868г. «О регуляторах», и в 1876 г. И.А.Вышнеградского «О регуляторах прямо­го действия». До этих работ исследователи изучали регулятор отдель­но от ма­шины.

Максвелл и Вышнеградский впервые исследовали регулятор и машину как единую динамическую систему, упростили за­дачу, линеаризовав ее, что позволило дать общие методы ис­следования динамики систем регу­лирования.

Ответом на запросы теории были критерии устойчивости Рауса (1874 г.) и Гурвица (1895 г.), откликнувшихся на просьбу Максвелла и Стодолы, который ввел безразмерную форму записи уравнений динамики. Н.Е.Жуковским был написан первый русский учебник «Теория регулирования хода машин». Основы общей теории устойчиво­сти были заложены А.М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения», 1829 г.

Н.Н.Вознесенский является создателем одной из круп­ных школ в области теории автоматического управления (ТАУ), основоположником теории автономных систем.

В 1932 г. американский ученый Найквист предложил кри­терий устойчивости, основанный на частотных характеристи­ках, для анализа работы радиотехнических усилителей. В 1938 г. А.В. Михайлов обоб­щил этот критерий для систем ав­томатического регулирования.

Крупный вклад в развитие ТАУ внесли и вносят выдаю­щиеся советские ученые А.А.Андронов, Л.С.Понтрягин, А.Г.Ивахненко, А.А.Фельдбаум, В.ВСолодовников, Е.П.Попов, Л.С.Гольдфорб, Я.З.Цыпкин, М.А.Айзерман, В.А.Трапезников, А.А.Воронов и другие.


    1. Основные элементы САУ

Системой автоматического управления (САУ) называется динами­ческая система, обладающая свойствами сохранять требуемую функциональную связь между некоторыми, описывающими ее по­ведение величинами пу­тем сравнения функций этих величин и использования полученных разностей для управления источ­никами энергии.

В качестве величин, характеризующих состояние САУ, могут слу­жить заданное (управляющее) и действительное значение регулируе­мой величины.

Регулируемой величиной называется физическая вели­чина, кото­рой необходимо управлять.

Управляющей называется физическая величина, в соот­ветствии с которой необходимо управлять регулируемой вели­чиной.

Исходя из определения САУ, она может быть в общем виде предс­тавлена, как это показано на рисунке 1.1



Рисунок 1.1 - Элементная схема САУ
1 - управляющий или задающий элемент; 2 - эле­мент сравнения заданного и измеренного значения регулируемой величины, выделяющий сигнал ошибки (рассогласования) ; 3 - корректирующий элемент (регулятор), служащий для придания системе требуемых динамических свойств; 4 - усилительный элемент, усиливающий управляющий сигнал, полученный в регуляторе; 5 - исполнительный элемент (механизм); 6 - регулирующий орган; 7 - объект регулирования; 8 - местная обратная связь; 9 - измерительный элемент; 10 - главная обратная связь; -возмущающее воздействие; -регулируемая ве­личина.

Всякое воздействие, которое стремится нарушить требуемую функциональную связь между управляющей и регулируемой ве­личиной называется возмущающим.

Разность между заданным и измеренным зна­чением регулируемой величины в установившемся режиме назы­вается статической ошибкой (отклонением) регулирования .

В каждом конкретном случае САУ может иметь дополнитель­ные элементы или не иметь некоторых из указанных выше, например, элемента внут­ренней или главной обратной связи, усилителя.
1.4 Классификация систем управления

Наиболее удобным классификационным признаком для САУ является используемая информация об управляемом процессе или системе, рисунок 1.2.


Рисунок 1.2 - Структура классификации САУ
Информацией называется совокупность сведений, первоисточником которых является опыт, служащих для описания состояния физической системы.

Единицей количества информации является бит, харак­теризующий степень неопределенности системы, имеющей два равновероятных состояния. Степень неопределенности сис­темы характеризуется энтропией , которая численно равна математическому ожиданию логарифма со зна­ком минус вероятности любого состояния системы

(1.1)

где - вероят­ность -го состояния системы.

При вычислении энтропии можно выбрать любое основание для логарифмирования, но чаще всего используют двоичные единицы энтропии или бит. Для системы с двумя равновероят­ными состояниями

дв.ед. (бит).

Количество информации, полностью определяющее состояние систе­мы, численно равно энтропии, которой обладала система до получе­ния информации. В общем случае количество инфор­мации определяется величиной уменьшения энтропии системы

, (1.2)

где индексы и относятся к моментам времени до и после получения получе­ния информации.

При измерении объемов информации часто применяется бай­товая система. Байт состоит из 8 битов. В этом случае в каждом байте запоминаются две десятичные цифры или бук­венный знак.

При классификации САУ по информационному признаку сле­дует раз­личать два вида информации: начальную или априор­ную и рабочую ин­формацию.

Априорной называется информация об управляемом про­цессе, необходимая для построения и функционирования САУ, имеющаяся до нача­ла функционирования САУ.

В системах, которых изменение свойств процессов не оп­ределяется, необходимо большое количество априорной ин­формации в целях управления. Такая информация называется полной начальной информацией и характеризует не ее объем, а относительное ее ко­личество, потребное для управления системами других классов.

Необходимость полной информации присуща обыкновенным система не обладающим способностью приспособления к из­меняющимся услови­ям и свойствам управляемого процесса.

Самонастраивающиеся системы - это системы, которые требуют меньше априорной информации для обеспечения требуемой точ­ности и обладают способностью в той или иной мере приспо­сабливаться к изменяющимся внешним условиям. К ним отно­сятся системы экстремального регулирования, системы с самонастраивающимися устройствами, самооптимизирующиеся системы.

Игровые системы - это такие системы, формирование ко­манд кото­рых осуществляется на основе сопоставления множе­ства решений и вы­бора на каждом этапе управляющей операции. Критерием сопоставле­ния решений является показатель, име­нуемый функцией выгод.

Наиболее распространенными являются обыкновенные САУ, которые могут быть замкнутыми и разомкнутыми. Разомкнутые системы в свою очередь делятся по виду рабочей информации на системы компенса­ции и системы программного управления.

В замкнутых системах рабочей информацией является от­клонение координат регулируемого процесса от заданных значений.

Замкнутые системы по виду рабочей информации, опреде­ляющей характер воздействий, разделяются на стабилизирую­щие, следящие и программные САУ.

Существует большое многообразие других признаков для класси­фикации САУ: прямого и непрямого действия, линейные и нелинейные, импульсные, дискретные и непрерывные, элек­трические, пневматиче­ские, гидравлические и др.
1.5 Замкнутые и разомкнутые САУ

В разомкнутых системах автоматического управления (рисунок 1.З а,б) регулирующее устройство РУ вырабатывает управляющее воздействие без учета значения регулируемой величины . Так, например, на рисунке 1.З(а) представлена сис­тема, позволяющая открывать регули­рующий орган и, если заранее известна функциональная связь , управлять регулируемой величиной . Однако, если функ­циональная связь нарушается из-за наличия возму­щений, то возникает необходимость их учета. С этой целью измеряется наиболее существенное возмущение (или не­сколько возмущений) и через корректирующее устройство КУ сигнал, пропорциональный воз­мущению, вводится в РУ, рисунок 1.3(б). КУ вырабатывает управляющее воздействие с учетом возмущения, что позволяет компенсировать влияние на .

Принцип управления по возмущению обладает высоким бы­стродей­ствием, поскольку управляющее воздействие появля­ется одновремен­но с возмущающим, однако не может быть ре­ализован при большом ко­личестве возмущений из-за сложности системы и большого количест­ва измерительных и корректирую­щих устройств.

Индикатором наличия возмущения по любому каналу САУ яв­ляете отклонение измеренного значения регулируемой величины от заданного. Оно является интегральной оценкой влияния всей совокупности возмущений на САУ. Это обстоятельство по­зволяет создавать САУ, работающие по отклонению регулируе­мой величины (рисунок 1.3в). Однако у таких систем имеется не­достаток, заключающийся в появлении управляющего воздейст­вия только после наличия отклонения, т.е. система обладает низким быстродействием. Для устранения указанного недостатка используются комбинированные системы (рисунок 1.3г), позволяющие объединить достоинства систем, работающих по возмущению и отклоне­нию. Кроме того, система, работающая по отклонению, является замк­нутой системой. Управляющее воздействие выра­батывается с учетом текущего значения регулируемой вели­чины. Это достигается благода­ря наличию главной обратной связи и элемента сравнения, позволяю­щего сравнить заданное и действительное значение регулируемой ве­личины и исполь­зовать результаты сравнения для создания управляющего воз­действия

. (1.3)



а) в)




б) г)






Рисунок 1.3 – Принципы управления в САУ

1.6 Ста­тика и динамика регулирования

Статика - установившийся режим работы САУ, когда все величины, характеризующие ее состояние, не зависят от вре­мени, а уравнения и характеристики системы не содержат время.

Динамика характеризует переходный процесс в САУ, изучает не­стационарные режимы. Основной режим работы САУ - динами­ческий. Он описывается дифференциальными уравнениями, соде­ржащими в ка­честве независимой переменной время.

Одной из основных задач динамики является анализ работы систе­мы регулирования, т.е. составление уравнений динамики, совместное их решение и исследование процесса регулирования по найденным результатам.

Более распространенной является задача синтеза, когда необхо­димо найти структуру и параметры звеньев, обеспечи­вающие задан­ное качество процесса регулирования. В задачу синтеза САУ входят вопросы определения настроечных параметров элементов, обеспечивающих требуемое качество переходного процесса при заданной структуре САУ. При этом может иметь место статическая или динамическая нелиней­ность, которая сущест­венно усложняет задачу исследования. Мы ограничимся рассмотрени­ем линейных САУ, для каждого из элементов которой должно быть известно линейное дифференциальное или алгебраическое уравнение, описывающее его статические и динамические свойства.

Статическая характеристика звена или системы характери­зуется коэффициентом усиления, определяемым как отношение приращения выходной величины к приращению входной в уста­новившемся режиме. Для объекта регулирования (рисунок 1.3) это

. (1.4)

Динамическая характеристика звена или системы определя­ется ее переходной функцией, которую получают решением дифференциального уравнения при единичном ступенчатом входном воздействии.
2. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНА­МИКИ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

2.1 Уравнение динамики одноемкостного объекта

Качество работы систем автоматического регулирования зависит от правильной настройки. Как правило, свойства объ­ектов регулирова­ния зависят от их конструктивных особенно­стей и технологических режимов, а хорошее качество ра­боты всей САУ получают при измене­нии параметров настройки регулятора. Для правильного выбора настро­ек регулятора не­обходимо знать статические и динамические свойст­ва объектов регулирования.

И.А.Вышнеградский впервые показал, что изучать только свойст­ва регуляторов недостаточно, для правильной оценки регулятора необходимо рассматривать действие объекта регу­лирования и регулятора в нестационарных режимах. Математи­чески эта задача сводится к сос­тавлению уравнений динамики объекта и регулятора и совместному их решению.

Процессы, протекающие в объектах регулирования, как правило, описываются дифференциальными уравнениями, которые можно получить различными способами: аналитически, экспери­ментально или экспери­ментально-аналитиче-ски, когда коэффициенты дифференциального урав­нения, полученного ана­литически, определяются экспериментально.

Сложность составления дифференциальных уравнений со­стоит в том, что нельзя совершенно точно описать реальные процессы, необходимо прибегать к идеализации, учитывать ос­новные свойства и пренебрегать второстепенными. В зависимо­сти от степени точности и постановки задачи могут быть и различные идеализации. Например, шар подвешен на пружине и совершает колебания. Если мы рассматриваем колебания в течение малого промежутка времени (1-2 колеба­ния), то шар можно представить как материальную точку массы и пренебречь силами трения. Если мы рассматриваем этот процесс в течение дли­тельного промежутка времени, то нужно учитывать силы трения, ибо в конце процесса рассмотрения эти силы внесут существенные изме­нения в процесс.

Таким об­разом, одна и та же идеализация может быть целесообразной и нецелесообразной в зависимости от того, на какие во­просы мы хотим получить ответ.

Составим дифференциальное уравнение, описывающее про­цесс изме­нения уровня жидкости в баке.

На рисунке 2.1 приняты следующие обозначения:

- объемный приток и расход жидкости; - на­поры жидкости в питающем трубопроводе и у потребителя; , - перемеще­ние штоков регулирующих органов; - уро­вень жидкости в баке; -площадь бака.



Рисунок 2.1 - Расчетная схема одноемкостного объекта
Для определенности принимаем за положительные изменения переменных следующие: увеличение уровня, увеличение открытия регули­рующих органов, увеличение расходов через регулирующие органы. Этот выбор является условным, однако должен сохраняться при сос­тавлении всех уравнений.

Прежде чем приступить к составлению дифференциальных уравнений на основании анализа состояния и условий работы объекта необходи­мо сделать упрощающие допущения. Пусть условия работы объекта позволяют допустить:

1) уровень жидкости в баке не зависит от температуры (жидкость не изменяет своего объема, т.к. температура изменяется незначительно);

2) инерцией потока жидкости пренебрегаем;

3) считаем, что характер движения жидкости через регулирующие органы - ламинарный;

4) давление жидкости в питающем трубопроводе и у потребителя не изменяется.

На основании закона сохранения материи за бесконечно малый промежуток времени при небалансе между и имеем изменение уровня, равное

, (2.1)

или . (2.2)

В установившемся режиме изменение уровня жидкости

отсутствует, т.е. , поэтому

, (2.3)

где и - объемный расход жидкости в установившемся режи­ме.

Если учесть, что и и вычесть из уравнения динамики (2.2) уравнение статики (2.3), то получим уравнение в приращениях: . (2.4)

В левой части уравнения (2.4) имеется производная вместо . Такая замена правомерна, поскольку , т.к. дифференциал от постоянной величины .

В системах регулирования значения и обычно являются неизвестными. Регулятор воздействует на регулирующие органы, положение которых легко определить, поэтому в уравнении динамики (2.4) необходимо заменить расходы и на соответствующие открытия регулирующих органов.

С учетом сделанных допущений расходы через регулирующие орга­ны можно записать следующим образом:

, (2.5)

, (2.6)

где -постоянный коэффициент пропорциональности. Эти зависимости считаем справедливыми как в статике, так и в динамике, поскольку мы сделали допущения, что пренебрегаем инерцией потока. Зависимости (2.5) и (2.6) нелинейные, поскольку имеет место произведение пере­менных.

Для малых отклонений и от установившегося режима зависи­мости (2.5) и (2.6) можно линеаризовать, что значительно упрощает совместное решение системы уравнений. С этой целью функции и разложим в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки установившегося режима:
. (2.7)

Частные производные взяты в рабочей точке , .

Ограничиваясь членами ряда с , и в первой степени, т.е. принимая линейное приближение, получаем:

. (2.8)

Аналогично

. (2.9)

Из выражения (2.7) следует, что указанным методом линеариза­ции можно пользоваться тогда, когда сама функция и ее производные по всем переменным непрерывны, однозначны и конечны.

Из выражений (2.8)и (2.9) находим:

, (2.10)

. (2.11)

Подставим полученные выражения для и в уравнение (2.4):

, (2.12)

или, перенося в левую часть все члены с , находим

. (2.13)

Таким образом мы получили линеаризованное уравнение динамики, ко­торое будет иметь постоянные коэффициенты при переменных лишь при малых отклонениях от исходного статического режима .

В уравнении (2.13) все слагаемые имеют размерность объема. Размерный вид дифференциальных уравнений затрудняет сравнение ди­намики различных по своей природе процессов. Словацкий профессор А.Стодола, разработавший теорию непрямого регулирования, ввел безразмерную форму записи уравнений динамики, повсеместно приня­тую в настоящее время. С этой целью вводятся безразмерные переменные:

; ; ,

где , , - относительное изменение регулируемой величи­ны, регулирующего органа, нагрузки.

Для стационарного режима номинальной и максимальной нагрузки справедливы соотношения:

(2.14)

Разделим все слагаемые выражения (2.13) на

:

. (2.15)

Если в выражениях (2.14) почленно разделить левые и правые части, то получим , где - коэффициент нагрузки.

Введя безразмерные величины, уравнение (2.15) можно записать в виде:

, или , (2.16)



(2.17)

- коэффициент саморегулирования. Он характеризует способность объекта приходить к новому установившемуся состоянию при нали­чии возмущения. Саморегулирование объекта появляется в результате того, что само изменение регулируемой величины стремится обеспечить баланс притока и расхода жидкости. Пусть . В этом случае растет, создает противодавление на клапане , уменьшает перепад давлений на нем и, соответственно, уменьшает расход . Кроме того, при возрастании Н увеличивается пере­пад давлений на клапане , что приводит к возрастанию , т.е. стремится к . Как видно из зависимости (2.17), коэффициент само­регулирования тем больше, чем меньше перепад давлений на регули­рующих органах и чем больше номинальное значение регулируемой величины.

Если стремится к нулю, а перепад давлений на регулирую­щих органах растет, то коэффициент саморегулирования стремится к нулю. Например, если вместо клапана поставить насос пос­тоянной производительности, а давление ,т.е. расход не зависит от , то . Малейший разбаланс между и приведёт либо к переливу, либо к полному опорожнению емкости.

У некоторых промышленных объектов имеется отрицательное само­регулирование. Например, подача в шаровую мельницу угля больше определенного количества приводит к ухудшению условий работы ша­ров, перемалывание ухудшается и производительность ее падает, что приводит к еще большему накоплению угля внутри мельницы и последующей остановке.

Рассмотрим изменение во времени уровня жидкости в баке для случая положительного и нулевого саморегулирования. С этой целью запишем уравнение (2.16) в виде



(2.18)

где - постоянная времени объекта регулирования,

- коэффициент усиления.

Решим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (2.18). Полное его решение состоит из двух слагаемых:



(2.19)

где - свободная составляющая решения, определяемая как об­щее решение линейного однородного дифференциального уравнения; - вынужденная составляющая решения, определяемая частным решением неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид



(2.20)

откуда , где - корень характеристического уравнения. В итоге:






В установившемся режиме из уравнения (2.16):






поэтому (2.21)

Постоянную интегрирования находят по начальным услови­ям. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, или











поэтому (2.22)

Если на графике построить кривую изменения во времени при скачкообразном возмущении, то она будет иметь вид изображен­ный на рисунке 2.2.

Проведя касательную в точке к кривой до пересечения с установившимся значением , получим отрезок , чис­ленно равный постоянной времени . Действительно, из уравнения (2.22) :






.




Из рисунка и уравнения (2.22) видно, что ==k(m-l),

(2.23)




На основании изложенного следует правило определения постоян­ной времени объекта .

  1   2   3   4   5


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации