Завада О.П. Конспект лекцій з курсу Математичне програмування для студентів спеціальності Фінанси. Частина 1 (на укр. языке) - файл n1.doc

приобрести
Завада О.П. Конспект лекцій з курсу Математичне програмування для студентів спеціальності Фінанси. Частина 1 (на укр. языке)
скачать (806.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc807kb.14.09.2012 16:43скачать

n1.doc

  1   2   3


Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Інститут підвищення кваліфікації та перепідготовки кадрів

Фінансово-економічний факультет
Конспект лекцій з курсу

Математичне програмування

для студентів спеціальності “Фінанси”

(частина 1)

Львів ІПК ПК ЛНУ 2000




Рекомендовано до друку

Методичною Радою

ІПК ПК ЛНУ ім. І. Франка
Уклав: Олександр Петрович Завада
Відповідальний за випуск: О. М. Ковалюк
Конспект лекцій з курсу

Математичне програмування

для студентів спеціальності “Фінанси”

(частина 1)
 О. П. Завада 2000

Львів ІПК ПК ЛНУ 2000



ВСТУП
Дисципліна “Математичне програмування” - це один із розділів математики, який займається розв’язуванням оптимізаційних задач. Мета багатьох економічних дисциплін - з використанням кількісних методів знаходити оптимальні плани. Розв’язування таких задач полягає у послідовному виконанні трьох етапів:

- побудова економіко-математичної моделі;

- розв’язання такої математичної задачі (вручну або за
допомогою комп’ютерної техніки);

- економічна інтерпретація результатів.

У цій роботі розглядаємо усі три етапи. Насамперед застосування математичного програмування в мікроекономіці як у дисципліні, яка викладається паралельно.

Термін “математичне програмування“ виник набагато раніше, ніж з’явилися перші комп’ютери і розпочалося програмування на них. Цей термін близький до таких понять, як “планування”, “прийняття рішень”.
РОЗДІЛ 1. ОСНОВНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
1.1. Загальна постановка задачі математичного програмування.
Потрібно знайти найбільше або найменше значення функції від декількох арґументів за певних обмежень:


i(x1,...,xn) = (<,>,,) bi (i=1,...,m)


Основними математичними методами розв’язання цієї задачі є дослідження функції z = f(x1,...,xn) за допомогою похідних, пошук найбільшого (найменшого) значення за допомогою знаходження ґрадієнтів, дослідження функції Лаґранжа, побудова спеціальних таблиць згідно із симплексним методом.
1.2. Дослідження критичних точок за допомогою похідних
Випадок n = 1

z = f(x)

a  x  b

Приклад 1.

Знайти найбільше значення функції z = f(x) = 6x-x2    max
в області 1  x  5 (рис. 1,а).

6 - 2x = 0 , отже, точка x = 3 є критичною.

- 2 < 0 , отже, точка x = 3 є точкою максимуму.
Z Z

9 zmax

8 zmax




X X

1 3 5 4 5

xmax xmax

а б

Рис. 1

Приклад 2.

Знайти найбільше значення цієї ж функції z = f(x) = 6x-x2 в області 4  x  5 (рис. 1,б).

Оскільки критична точка x = 3 знаходиться поза областю, то найбільше значення функції f(x) слід шукати на межі області. Воно досягається, якщо x = 4.

Випадок n = 2

Приклад 3.

z = f(x1,x2) =2x21 + 4x22 + x1x2 -11x1 - 26x2 +106  min

0  x1  10

0  x2  10

z





f=z(x1;x2)
zmin




2 10 x1

3 xmin

10


x2

Рис. 2
Критична точка знаходиться із системи двох рівнянь з двома невідомими



Розв’язавши цю систему, отримуємо критичну точку xmin =(2;3), тобто

x1,min=2; x2,min=3.

Для дослідження знайденої точки на екстремум будуємо матрицю із других похідних (матрицю Ґессе):
=
Оскільки ця матриця в точці (2;3) додатньо визначена (усі її власні числа додатні), то знайдена точка є точкою мінімуму, який дорівнює zmin = f(2;3) = 56.

Примітка. Власні числа побудованої матриці знаходять із рівняння з одним невідомим

(у нашому випадку обидва власні числа додатні).

Випадок n - довільне

З курсу вищої математики відомі дві теореми :

Теорема 1. Якщо в деякій точці =(x10,...,xn0) неперервна функція z = f(x1,...,xn) має екстремум, то всі її перші похідні у цій точці дорівнюють нулеві.

Теорема 2. Якщо у точці , де всі похідні функції f(x1,...,xn) дорівнюють нулеві, матриця Ґессе (складена із других похідних)



від’ємно визначена, то у цій точці досягається максимум. Якщо ця матриця додатно визначена, то досягається мінімум.

Зрозуміло, що існують випадки, коли матриця не є ні додатно, ні від’ємно визначеною.

Отже, якщо маємо довільне n, складається система із n, взагалі кажучи, нелінійних рівнянь з n невідомими


Із цієї системи знаходимо всі критичні точки та за допомогою матриці Ґессе перевіряємо їх на екстремум (максимум та мінімум).

Приклад 4.  z=f(x1,x2,x3) =

= x12+x22+x32+2x1x2+3x1x3+4x2x3-5x1+10  min
Критична точка знаходиться як розв’язок системи трьох рівнянь

2x1 + 2x2 + 3x3 -5 = 0

2x1 + 2x2 + 4x3 = 0

3x1 + 4x2 + 2x3 = 0
З допомогою одного з відомих методів (Ґауса, Крамера тощо) знаходимо цю критичну точку :

x1=30; x2=-20; x3= -5.

Якщо невідомі мають бути невід’ємними (x1,x2,x3  0), то потрібно дослідити функцію z ще й на межі, тобто на площинах x1=0; x2=0; x3=0 та на прямих x1=x2=0; x1=x3=0; x2=x3=0. Отримаємо остаточно x1=2,5; x2=0; x3=0; Zmin =3,75.

У загальному випадку розв’язання подібної системи рівнянь є складною математичною задачею. Найчастіше застосовують наближені методи, зокрема метод Ньютона. Складною математичною задачею є також аналіз матриці Ґессе. Задача ще більше ускладнюється, якщо наперед невідомо, де знаходиться екстремум функції - всередині заданої області чи на її межі.

Пошук та дослідження на екстремум критичних точок (які в математичному програмуванні ще називаються стаціонарними) може бути набагато полегшений, якщо відомі деякі властивості функції z = f(x1,...,xn). Ці властивості можуть бути відомими, наприклад, внаслідок аналізу економічного сенсу задачі.

Зокрема, коли ця функція випукла, то її локальний екстремум завжди буде найбільшим або найменшим значенням (розділ математичного програмування, який займається випуклими функціями, називається випукле програмування).


1.3. Ґрадієнтний метод розв’язування задач математичного програмування
Цей метод є наближеним числовим методом. Він полягає у виконанні послідовності кроків (етапів), кожен з яких щораз ближче підходить до точки екстремуму.

Проте цей метод дає змогу знаходити тільки локальні екстремуми, тому його зручно застосовувати до задач випуклого програмування. Випадок функції з двома екстремумами зображено на рис. 3.







20

10 20




Рис. 3
Як видно із рисунка, основною проблемою ґрадієнтного методу є вибір початкової точки , напряму та довжини кроку.

Означення. Ґрадієнтом функції в точці називається вектор



Відповідно антиґрадієнтом називається вектор .

Ґрадієнт задає для кожної функції у заданій точці напрям найшвидшого росту цієї функції. Антиґрадієнт відповідно задає напрям найшвидшого спадання.

На рис. 4 зображено переміщення з точки у напрямку ґрадієнта на крок :







Рис. 4
Початкове наближення знаходиться в результаті якісного економічного аналізу; для вибору кроку  щоразу потрібно розв’язати одне (взагалі кажучи, нелінійне) рівняння з одним невідомим.
Крок  вибирається, наприклад, так, щоб приріст функції z=f(x1,...,xn) був якнайбільшим :





Останнє рівняння визначає крок . Це рівняння, взагалі кажучи, нелінійне. Проте його завжди набагато легше розв’язати, ніж систему нелінійних рівнянь. Зокрема, коли відомо, що на деякому інтервалі існує рівно один корінь, то можна використати опцію Tools. Goal seek системи EXCEL.

Знаходимо . Повторюємо процес доти, поки не виконається умова =0 або .
Приклад 5. Знайти ґрадієнтним методом мінімум функції z =

= 9 + 500 ,

якщо початкова точка є точкою ()=(0;0).

Розвязання:

+ 500


=(18x1-90;32x2-128)

(180-90;320-128)=(-90;-128)

Оскільки в нашому прикладі шукається не максимум, а мінімум, то потрібно здійснювати рух у напрямку антиґрадієнта, тобто в напрямку, який задається вектором (-).



(18-90;32-128)=(18 (90)-90;32 (128)-128)=

=(1890-90;32128-128)
=90 (1890-90)+128 (32128-128)=

= (909018+12812832)-(9090+128128)

Із рівняння

= 0

визначаємо довжину першого кроку :  0,03654.

Отже, із початкової точки = (0;0) ми здійснюємо перехід до точки = (0+900,03654;0+1280,03654)=(3,288; 4,677).

Значення функції у цій точці ) =f(3,288; 4,677) = 52,7.
Виконуючи дії аналогічні до попередніх, отримуємо :

(183,288-90;324,677-128) = (-30,80; 21,66)

 (18 (3,288-(-30,80))-90; 32 (4,677-(21,66))-128 )=

(-30,80+554,5; 21,66-693,2)

Із рівняння   =  0 знаходимо довжину другого кроку =0,044.

Далі, =(3,288+0,04430,80; 4,677-0,04421,66)=

= (4,65; 3,72)

) = 21,4

Аналогічно, на третьому кроці маємо :

 = 0,022

=(4,90; 3,95)

) = 19,1

Оскільки другі та треті значення як арґументів, так і значень функції вже не дуже відрізняються, то процес обчислень закінчуємо і вважаємо, що при =(4,9;  5,0) функція набуває свого мінімального значення, яке дорівнює z = 19,1.
1.4.  Метод множників Лаґранжа розв’язування задач математичного програмування
Цей метод зручно використовувати тоді, коли всі обмеження є рівностями, тобто для розв’язування задачі



i(x1,...,xn) = bi (i = 1,...,m)
Згідно з цим методом будується функція Лаґранжа такого вигляду:

L(x1,x2,...,xn,1,...,m) = f(x1,x2,...,xn)+i[bi - i(x1,x2,...,xn)]

Якщо функції f та i - диференційовні, то шукається точка екстремуму функції L із системи рівнянь :



У знайденій точці ) може знаходитися умовний екстремум функції z=f(x1,...,xn) при обмеженнях i(x1,...,xn)=bi.

Зазначимо, що проблема розв’язання отриманої системи рівнянь залишилася.

Приклад 6. Знайти найменше значення функції z=2(x 1)2+3(y 3)2 за умови x+y=6.

L =2(x-1)2+3(y-3)2+(6-x-y)

:

Розв’яжемо систему:



Далі, x=(+4)/4 ; y=(+18)/6 . Підставивши ці значення в третє рівняння, отримаємо:

6= (+4)/4)+ (+18)/6 = (3+12+2+36)/12,

звідки =4,8. Отже, x=2,2 ; y=3,8. Точка (2,2; 3,8) є підозрілою на екстремум. За допомогою других похідних (або графічно : знаючи вигляд рівняння еліпса) встановлюємо, що знайдена точка є точкою мінімуму. Найменше значення функції z дорівнює 2 (2,2 1)2+3 (3,8 3)2=4,8.

1.4. Метод послідовного покращання плану (симплексний метод)
Нехай функція

L = f(x1,...,xn) є лінійною і обмеження gi(x1,...,xn) також усі є лінійними.
L = c1x1+c2x2+...+cnxn min (1)

(2)

x1, x2,..., xn  0 (3)
Ця задача називається задачею лінійного програмування (задачею ЛП), записаною в канонічній формі. Як правило, в економічних застосуваннях коефіцієнти cj та aij є додатніми.

У загальному вигляді задача ЛП може полягати як у пошуку мінімуму, так і максимуму. Обмеження (2) можуть мати як вигляд “=“, так і “<”, “>”, “”, ““.

Будь-яка задача лінійного програмування легко зводиться до канонічного вигляду.

Якщо, наприклад, потрібно знайти max L, то шукають такі значення невідомих x1,...,xn, які приводять до min (-L).

Якщо деяке обмеження має вигляд

ai1x1+...+ainxn  bi ,

то вводять додаткову змінну xn+1 і так отримують канонічний вигляд
ai1x1+...+ainxn+1xn+1 = bi

xn+1  0
Задачу (1-3) записують також у матричній формі
,
а також у вигляді



Означення. Вектор, який задовольняє умовам (2) та (3), називається планом задачі ЛП (1-3).

Означення. План =(x1,...,xj,...,xn) задачі ЛП називається опорним, якщо вектори , які відповідають додатнім величинам xj плану , є лінійно незалежними.

Означення. Опорний план задачі ЛП називається невиродженим, якщо він містить рівно m додатніх компонент.

Означення. Опорний невиродженй план, який, крім того, задовольняє умові (1), називається оптимальним.

Алґоритм методу послідовного покращання плану (симплексного методу) полягає у тому, щоб спершу знайти довільний опорний невироджений план, а потім послідовно переходити до усе кращих планів, поки не буде знайдено оптимальний план.

Приклад 7.

L = x1-x2+2x3-x6  min (1)

x1 +2x4+2x5-2x6 = 1

x2 -3x4 - x5+3x6 = 2 (2)

x3 + x4 +x5 +x6 = 3

x1,x2,...,x6  0 (3)

Маємо задачу ЛП у канонічній формі.

Легко бачити, що вектор = (1;2;3;0;0;0) є планом, бо він задовольняє (2) та (3). Цей план є опорним, оскільки вектори, що відповідають змінним x1=1>0; x2=2>0; x3=3>0, тобто вектори

є лінійно незалежними.
Наш план також невироджений, бо він містить рівно m=3 додатні компоненти. Отже, (Р123) утворюють базис (базу).

У загальному випадку проблема знаходження початкового опорного плану (а, отже, і базису) є значно складнішою. Використовують різні способи, зокрема, метод штучних змінних.

Приступимо до другого етапу виконання симплексного методу - до пошуку оптимального плану на основі початкового.

Оскільки базисні вектори (Р12,Р3) утворюють одиничну матрицю , то будуємо таку першу симплекс-таблицю:

База

c

(план)

c1=1

c2= -1

c3=2

c4=0

c5=0

c6= -1

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P1

c1= 1

1

1

0

0

2

2

-2

P2

c2= -1

2

0

1

0

-3

-1

3

P3

c3= 2

3

0

0

1

1

1

1







L=

1=

2=

3=

4=

5=

6=

Значення функції L при початковому плані знаходимо, перемножуючи елементи другого та третього стовпців:

L = cjP0j =11 + (-1)  2 + 23 =5

Величини i обчислюються за формулами

i = cjPij - ci (i= 1,...,6)

Наприклад,

1= [11+(-1)  0+20] -1 = 0, 4= [12+(-1)  (-3) +21]-0 = 7

Отже, перша симплекс-таблиця для нашої задачі має такий вигляд :

База

c

(план)

c1=1

c2= -1

c3=2

c4=0

c5=0

c6= -1

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P1

c1= 1

1

1

0

0

2

2

-2

P2

c2= -1

2

0

1

0

-3

-1

3

P3

c3= 2

3

0

0

1

1

1

1







L=5

1=0

2=0

3=0

4=7

5=5

6=-2

Аналізуємо нижній рядок. Якщо у ньому немає додатніх величин, то мінімум досягнуто і план, представлений у третьому стовпці (стовпці P0)

є оптимальним.
Якщо ж існує хоча б одне таке таке j>0, що всі коефіцієнти вектора Pj (три числа, розміщені понад величиною j) є недодатніми, то це означає, що задача ЛП не має розв’язку (множина планів необмежена).

В усіх інших випадках потрібно знайти найбільше додатнє значення j. У нас це 4=7. Згідно з алґоритмом симплексного методу розглядається вектор Р4 = і будується множина відношень {Р0/P4}, тобто множина чисел {1/2; 2/(-3); 3/1}. Вибираємо з цієї множини додані числа: {}. Шукаємо найменший серед елементів останньої множини. Цей елемент утворився від ділення на знаменник 2, котрий знаходиться на перетині рядка Р1 та стовпця Р4. Елемент симплекс-таблиці 2 є так званим розв’язковим елементом. На його основі будується друга симплекс-таблиця.

Зауваження. Оскільки як на етапі пошуку найбільшого додатнього елемента останнього рядка, так і на етапі пошуку найменшого додатнього відношення у відповідному стовпці можливі різні варіанти (наприклад, дві різні величини j набувають однакові значення), то в алґоритмі можливі зациклення. У цій роботі такі випадки ми не розглядаємо.

Знайдений розв’язковий елемент (число 2 на перетині рядка Р1 та стовпця Р4) вказує, що в нову базу слід увести вектор Р4 замість вектора Р1 :


База

c

(план)

c1=1

c2= -1

c3=2

c4=0

c5=0

c6= -1

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P4

c4= 0





















P2

c2= -1





















P3

c3= 2



























L=

1=

2=

3=

4=

5=

6=



Другу симплекс-таблицю заповнюємо так:
Рядок, у якому знаходився розв’язковий елемент, ділимо на цей елемент.
У стовпець з цим розв’язковим елементом (стовпець P4) записуємо нулі.


База

c

(план)

c1= 1

c2= -1

c3= 2

c4= 0

c5= 0

c6= -1

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P4

c4= 0

1/2

1/2

0

0

1

1

-1

P2

c2= -1













0







P3

c3= 2













0













L=

1=

2=

3=

4=

5=

6=



Усі інші елементи обчислюються на основі першої таблиці за правилом чотирикутника:

2-1 (-3)/2 = 7/2 (елемент на перетині Р2 та Р0)

1-(-2)  1/2 = 2 (елемент на перетині Р3 та Р6 ; ділимо
на розв’язковий елемент 2)

Величини L та j розраховуємо, як і раніше,:

L = 01/2+(-1)  7/2+35/2=3/2

1=01/2 +(-1)  3/2 +3 (-1/2) - 1 = -7/2

Друга симплекс-таблиця є такою:


База

c

(план)

c1=1

c2=-1

c3=2

c4=0

c5=0

c6= -1

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P4

c4= 0

1/2

1/2

0

0

1

1

-1

P2

c2= -1

7/2

3/2

1

0

0

2

0

P3

c3= 2

5/2

-1/2

0

1

0

0

2







L=3/2

1=-7/2

2=0

3=0

4=0

5= -2

6=5


В останньому рядку другої таблиці міститься один додатній елемент 5, а у стовпчику над ним (стовпчику Р6) лише одне додатнє число 2 (на перетині Р3 та Р6 ). Воно стає новим розв’язковим елементом.

Вводимо у базу вектор Р6 замість Р3.



База

c

(план)

c1=1

c2=-1

c3=2

c4=0

c5=0

c6=-1

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P4

c4= 0



















0

P2

c2= -1



















0

P6

c6= -1

5/4

-1/4

0

1/2

0

0

1







L=

1=

2=

3=

4=

5=

6=


Ми сформували рядок та стовпець з розв’язковим елементом.

Згідно з правилом чотирикутника отримуємо решту елементів таблиці :


База

c

(план)

c1=1

c2= -1

c3=2

c4=0

c5=0

c6= -1

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P4

c4= 0

7/4

1/4

0

1/2

1

1

0

P2

c2= -1

7/2

3/2

1

0

0

2

0

P6

c6= -1

5/4

-1/4

0

1/2

0

0

1







L=

1=

2=

3=

4=

5=

6=



Після обчислення величин L та  маємо третю симплекс-таблицю.

Ба-

c

(план)

c1=1

c2= -1

c3=2

c4=0

c5=0

c6= -1

за

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P4

c4= 0

7/4

1/4

0

1/2

1

1

0

P2

c2= -1

7/2

3/2

1

0

0

2

0

P6

c6= -1

5/4

-1/4

0

1/2

0

0

1







L=-4,75

1=-9/4

2=0

3=-5/2

4=0

5=-2

6=0

В останньому рядку уже немає додатних величин. Остаточною базою є база (Р2,  Р4,  Р6). Їй відповідає оптимальний план  =
= (0; 7/2; 0; 7/4; 0; 5/4). Отже, при x1=0; x2=3,5; x3=0; x4=1,75; x5=0; x6=1,25 функція L набуває мінімальне значення, яке дорівнює  4,75.

Розглянемо задачу лінійного програмування з двома невідомими (n=2).

Приклад 8.

L =3x1 + 2x2  max (1)

x1+3x2  27

4x1+x2  32 (2)

x1 + x2  10

x1 , x2  0 (3)

Геометрична інтерпретація цієї задачі зображена на рис. 5.

x2

x1+3x2=27

B C

x1+x2=10

L=46

M D

L=40

A E x1

L=0 4x1+x2=32
Рис. 5
Обмеження (2) та (3) задають область планів М. Очевидно, що як найбільше, так і найменше значення лінійної функції L досягаються в якихось крайніх точках множини М. Кожній такій крайній точці відповідає певна база та певний опорний план.

Симплексний метод (метод послідовного покращання плану) здійснює послідовні переходи з однієї крайньої точки до іншої, у якій значення функції L є кращим (більшим чи меншим). Як видно з рис. 5 для останнього прикладу точкою максимуму є точка D, а точкою мінімуму - точка А.

Спосіб розв’язування залач лінійного програмування з двома змінними за допомогою побудови графіка називається графічним методом.

Легко бачити, що при трьох та більшій кількості невідомих (n>2) розв’язок задачі ЛП також знаходиться на межі допустимих значень (у деякій крайній точці множини M, на відрізку, на гіперплощині). Тому задачі лінійного програмування в принципі не розв’язуються ні за допомогою похідних, ні ґрадієнтними методами.
РОЗДІЛ 2. ЕКОНОМІЧНІ ЗАДАЧІ, ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
2.1. Задача споживача як задача математичного
програмування

Розглянемо математичні основи теорії споживання. Ця теорія широко використовується в країнах з ринковою економікою у маркетинґових дослідженнях.

Аксіома С1. Кожен споживач завжди бажає в межах можливого отримати якнайбільше користі.

Нехай споживач користується n благами в кількостях відповідно x1, x2 ,..., xn.

Аксіома C2. Кожен споживач здатний розрізняти кращі, гірші та однакові (байдужі, індиферентні) для себе набори благ = (x1 ,x2 ,..., xn).

Теорема (Дебре, 1959 р.).  Якщо множина благ задовольняє цим аксіомам, то існує числова функція корисності U() = U(x1 ,..., xn).

Як правило, для цієї функції виконуються ще й такі аксіоми:

Аксіома C3. Функція U зростаюча, тобто з умови випливає умова U()>U(). Ця аксіома представляє властивість ненасичуваності споживача.

Оскільки похідна від зростаючої функції є додатньою, то ця аксіома має таке математичне представлення:

   ,
тобто гранична корисність благ є величиною додатньою (корисність від споживання благ збільшується зі збільшенням кількості споживання).

Аксіома С4. Із збільшенням кількості споживання благ гранична корисність цих благ зменшується (закон Госсена).

Математично це означає, що функція корисності U є опуклою, тобто друга похідна від U є від’ємною (від’ємно визначеною):



Звичайно деякі економісти не визнають цих аксіом і вважають, що можна виховати людину, для якої основною метою є не отримати власну корисність, а піклуватися про народ. Якщо стати на таку точку зору, то не варто далі читати цих вказівок, а слід звернутися до марксистсько-ленінської економіки та до досвіду господарювання таких держав, як Куба та Північна Корея.

Функції корисності, що найчастіше трапляються в економіці, подані у таблиці 1.

Таблиця 1




Назва

функції

Загальний`

вигляд

U=f(x1,..,xn)

Приклади

функцій

Графічне

зображення

(випадок n=1)




1. Лога-рифмічна


U=aj

logb[cj (xj+1)]

U=1,5ln(x+1)
U=2lg(x1+1)+
+3lg(x2+1)

U(x)
x

(масло)




2. Степе-

нева


U=ajxbj

U=0,8x0,6

U=x10,6+x20,5

U(x)

x

(взуття)




3. Лінійна


U=ajxj

U=1,2x
U=2x1+3x2

U(x) з погляду

директора

x

(зарплата

лампочками)




4. Квад-

ратична


U=bijxixj+

+ckxk

U=-x2+10x
U=4x1+5x2-x12-
-2x22+x1x2

U(x)


x

(пиво)




5. Функція

Леон-

тьєва

U=min[b1x1,…

...,bnxn]

U=min[2x1;3x2]







6. Функція

типу

Кобба-

Дугласа

U=b0x1b1…

...  xnbn

U=b0x1b1x2b2

(01,b2<1)
U=10x10,6x20,7






У таблиці подані графіки перших чотирьох функцій корисності (для часткового випадку - однієї змінної, тобто набору лише з одного блага). За винятком лінійної функції, всі вони випуклі догори. Квадратична функція, починаючи з деякої величини споживання, починає спадати (аксіома 3 з цього місця не справджується).

Цікавішим є, звичайно, дослідження функції U від двох і більше змінних. На рис. 6 зображені лінії однакового рівня корисності (так звані криві байдужості) для випадку набору з двох благ (x1;x2). Розглянуто лінійну функцію корисності, функцію Леонтьєва та функцію типу Кобба-Дугласа.


x2 (чай) x2 (ложки) x2 (грушки)

U=2x1+x2 U=min[2x1;x2] U=x11x20,5

6 4

4 U=4 U=4

4

U=6 2 U=2 1 U=2

U=4 x1 x1 U=1 x1

2 3 (кава) 1 2 (виделки) 1 2 (яблука)
а б в

Рис. 10

Перша з цих функцій орієнтована на повне взаємозаміщення благ (авторові цих вказівок 100г кави приносять стільки ж задоволення, що й 200г чаю), друга - повного взаємодоповнення, і тільки третя вважає, що ці блага є частково замінними та частково доповнювальними. Тому останньою функцією найчастіше користуються у практиці.

На рис. 6,в зображено класичну “модель бажаного” для споживача двох благ. Якщо кількість благ більша, то графічне зображення неможливе, проте математичний апарат, звичайно, залишається чинним.

Розглянемо тепер “модель можливого“ для цього ж споживача.

Нехай ціни на блага 1,...,n становлять відповідно (p1,...,pn), а загальний капітал споживача, який він може витратити на ці блага, дорівнює I. Тоді бюджетне обмеження споживача матиме вигляд

= p1x1+...+pnxn  I

Для випадку двох благ (n=2) бюджетне обмеження при різних значеннях цін та доходу зображене на рис. 7.
x2 x2 x2

7,5

p1=5 p2=3 p1=5 p2=3 p1=3 (ціна зменшилася)

5 I=15 5 I=22,5 5 p2=3 I=15

(доход зріс)

5x1+3x2=15 5x1+3x2=22,5 3x1+3x2=15



3 x1 3 5 x1 3 5 x1

а б в

Рис. 7
Зіставимо тепер бажане з можливим. Тобто накладемо рисунки 6,в та 7,а. Оптимальне споживання відповідає точці, у якій відповідна крива байдужості дотикається до прямої, що задає бюджетне обмеження.

x2
p1=5 p2=3

I=15

x2opt U=x11x20,5


x1

x1opt
Рис.8
Зрозуміло, що споживач для знаходження оптимального варіанту свого споживання не будує математичних моделей. Він виходить на свій оптимальний варіант інтуїтивно, проте маркетолоґ зобов’язаний прораховувати ці варіанти.

Розглянемо загальний випадок багатьох (n>2) змінних і розв’яжемо задачу споживача як задачу математичного програмування.

Задача раціонального вибору благ споживачем формулюється так:
  1   2   3


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации