Шпаргалки по теоретической механике - файл n1.doc

приобрести
Шпаргалки по теоретической механике
скачать (1696 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1696kb.13.09.2012 18:32скачать

n1.doc

1.1.Разделение переменных.

m(t)= — (1) — ур-е дв-я.

— определение силы.
(1) – диф. ур. II порядка отн-но . Задаем нач. коорд. . Так формируется задача для движения 1 ч-цы в заданном внешнем поле. Для решения ур-я надо знать __ и …. .

Но (1) — это не 1 ур. а 3:
;;

— это и есть разделение переменных. Вместо того, чтобы рассматривать движение точки в трехмерном пространстве, рассмотрим решение трех одномерных движений.

В частном случае может оказаться так, что — это уравнение можно решать отдельно от других уравнений: — проекция точки, — проекция скорости движения только вдоль оси . Такое движение называется одномерным.

1.2. Одномерное движение под действием силы F(t).

Рассматривая двух- и трехмерное движение обозначают вектора скорости, силы и ускорения. Абс. величину этих векторов обозначаем , то они не могут быть ни “—“ ни “+”, а их проекции — могут. Но в одномерных задачах индекс опускается, т.к. не рассматриваются другие проекции. В одномерных — - проекции, а в многомерных - абс. величины.

Рассм. конденсатор.

. В одном.

случае получ. ДУ 2 пор. с пост. коэф-ом m. ; ; ; ; ; — результат 1-го интегрирования Ур-я Ньютона в этой задаче. Интегрируем еще раз.; ; (*) Предположим, что F не зависит от времени, тогда преобразуем в одинарный интеграл. Применим правило Дирихле: Если бы пределы интегрирования были постоянными, то можно поменять местами. Но здесь 1 из пределов является переменной величиной, тогда переходим к дополнительной области интегрирования от t?? до t: — правило Дирихле. Применяя его к (*), получим: ; Сосчитаем внутр. Интеграл, тогда получим: t- t??

(замена двойного штриха одинарным).

1.3. Одномерное движение под д-ем силы F(v).

Разделили переменные. Интегрируем: Получаем решение в виде: здесь t=f(v) — некот. ф-я от верхнего предела. А надо найти v как ф-ю от t. Это делается переходом к обр. ф-ии v = f-1(t). v=dx/dt. dx/dt=f-1(t)

Для существования ф-ии надо, чтобы t=f(v) была монотонной.

1.4 Движение частицы в поле, зависящем от координат F(x).

Интегрируем и вводим новую ф-ю. Эта ф-я наз-ся потенц. энергией. Другой вид при проектировании на Ох: . Сила, которая может быть представлена в виде градиента потенц. энергии наз-ся потенц. энергией. В многомерном случае не всякая сила м.б. представлена в таком виде. Чтобы узнать явл-ся ли сила потенциальной, надо вычислить ротор. Если он во всех точках = 0, то сила является потенциальной. Но в одномерном случае любая интегрируемая сила зависящая от координаты является потенциальной. Наличие пот. силы означает, что имеет место закон сохранения энергии. Он получается т.о.: берется ур-е Ньютона в таком виде: , умножая на dx: . Лев. часть переписывается в виде: ;

В итоге получается: И общий диф-ал: ф-я постоянна, т.к. диф-ал = 0. полная энергия. Закон сохранения энергии нужен для решения ур-я: Здесь старшая производная 1-го порядка, то можно разделить переменные ;

dt переносим направо: . Получили зависимость t от x. Найдем обратную ф-ю x = f-1(t)— это и есть решение задачи. Отметим св-ва корня. Е-U: кинет. энергия mv2/2. Массу сократили, осталось v2 извлекли корень, получили v. По определению скорости dx=vdt. Корень — абс. величина ск-ти, заданная как ф-я координаты. Знак + или – определяет направление движения.

1.5. Классификация одномерных движений.



Положения равновесия: устойчивое, неустойчивое.

Кинетич. энергия: . Потенц. энергия как ф-я координат. сила каждой точки . Инфинитное движение — уходит и приходит из бесконечности. Точки a, в, с удовлетворяют ур-ю: U(a)=E, U(в)=E, U(с)=E.

Отрезок [а,в] — потенциальная яма. Движение финитное.

Отрезок [в,с]: разность м\д полной энергией и потенц. — отрицательна. Эта область не имеет физич. смысла. Это потенц. барьер. Частица не может его пройти. Имея дело с малыми частицами, там возникают специфические свойства: потенц. барьер становится полупрозрачным — туннелирование. В случае финитного движения в потенц. яме движение периодическое. Скорость в точке х: (*) если она фиксирована, то скорость изменяется только по знаку. период — время м\д уходом и возвращением в точку а. Из (*) найдем dt.

7.1. Понятие связи.

1 k k — пружина. Пусть и в
2 пределе она превращается в
жесткий стержень длиной ℓ.
Чтобы задать положение такой
системы: если стержень не сжимают.

— голономная связь.

S-уравнений,
… S голономных связей



7.2. Принцип Даламбера.

Пусть есть N частиц. меняется. Его изменение за dt: .

1. Координата и ее перемещение зависит от начальных условий.

2. Реальное перемещение частиц удовлетворяет уравнениям движения.

3. Эти приращения должны быть совместимы со связями.

Введем новый термин «виртуальные перемещения» «ВП» .

1. Не зависят от начальных условий. 2. Не удовлетворяют уравнениям перемещения. 3. Рассматриваются как мгновенные перемещения. 4. Должны быть совместимы со связями.

Рассмотрим самый пред. случай, когда связь G(x1,x2)=0. Дадим системе ВП так, что . Эти ВП должны быть совместимы со связями G(x1,x2); . Разложим левую часть в ряд: Осталась сумма: . Пусть k=1,2,…,S. Каждой связи соответствует своя функция Gk. Для каждой функции свое уравнение. Введем обозначение: (i — по какой координате частная производная). . Рассмотрим простейший случай связи:

Вычислим град. от G. ;



Пусть между двумя точками д-ет центр. сила, кот.направлена вдоль 12. Вирт. раб., совершаемая реакциями связи = 0. Это положение, распространяемое на все механич. системы, называется принципом Даламбера.

F12 — реакция связи со стороны стержня на м.т.

7.3.Уравнение Лагранжа I рода.

Чтобы уменьшить число неизвестных используем ур-е связи: Выражение для ВП: Показ. связь м\д ВП. Перепишем их в скалярной форме. Добавилось еще S ур-ий. Всего 6N неизвестных, 3N+S ур-ий. Чтобы число уравнений совпало с числом неизвестных исп-ем пр-п Даламбера. Вирт. раб. сил реакций: Если бы ?xi , были независимы, то (*) было бы 3N ур-ий, но они не все независимы. Из 3N вариаций ?xi независимых только 3N-S. 3N+S+3N-S=6N независимых переменных. Т.о. можно решить сист. ур-ий. x1,…,x3N переменных, F’1,…,F3N. Пр-п Даламбера: .

Берем любое ? для получения симметричной формы ур-я (чтобы выделить зависимые и независимые переменные). Получим: Разделим сумму на 2 части:

Ввели неопределенный множитель ?j = количеству связей — неопределенные множители Лагранжа. запишем ур-я дв-я со связями в сим. виде. Из ?xi (i=1,…,3N) независимыми является 3N-S переменных, а S зависимы от других. Выберем ? таким, чтобы все квадратные скобки I части суммы обратились в 0, при i=1,…, S. т.к. во II части суммы ?xi независимы, то выберем ?xS+1 не равным 0, а ?x2…S =0, то ?xS+2 не равным 0 и т.д. Все эти компоненты удовлетворяют одному и тому же ур-ю. Запишем их в общем виде: 3N ур-ий. 3N+S неизвестных. Необходимо добавить еще S ур-ий для решения задачи.

S ур-ий, т.е. S ур-ий связи.

Перепишем.

Ур-е Лагранжа I рода.

8.1. Обобщенные координаты и скорость.

Существует мн-во координат. Найдем такое соотношение ур-я движения, для любой СК. Пусть . 3N-S — число степеней свободы системы. qi — любая ЛНЗ пар-ры , через которые можно однозначно определить все координаты системы — обобщенные координаты.

Обобщ. корд-ты — любой набор 3N-S пар-ров, позволяющих однозначно определить положение системы в любой момент времени. Леммы

Если система движется, то все qj явл-ся функциями времени, тогда xi, зависящее от qj зависящих от t, то декартовы координаты тоже будут зависеть от t.

произв. сл. ф-ии.

Когда будем брать приращение в процессе движения, то получим:

делим на dt:



Возьмем (2 лемма) и диф-ем по dt и записываем:

(3 лемма).

символ Кронекера.

8.2. Работа и энергия в обобщенных координатах.

За dt координата изменится на dxi и взяв скал. произведение на силу, получим работу.

.

где обобщенная сила. каждой ОК соответствует свой ОС.



3.4. Общая ф-я теории рассеяния.

Получим общую формулу, завис. от предельного параметра и угла. b=b(?). N(>?)=N(b2.

dN величина «-». Если понимать под dN число частиц dN(?< ?’< ?+d ?) чтобы она была «+», надо

4.1.Угловая скорость.

ИС бескон. мн-во, они движутся поступательно. Неин. сист. — вращающиеся. В ней закон Ньютона несправедлив. Чтобы был справедлив, нужно добавить силу инерции Fин.

Если не изменять размер вектора, а лишь его направление, то Эл. приращение всегда перпендикулярно вектору. Введем един. вектор вдоль радиуса, то можно представить: .В Декар.

в Цилиндр.:

в сферич.:

Введем угл. ск-ть Возьмем модуль





фиксир. вокруг оси

4.2. Абсолютная и относительная ск-ть.

Рассм. 2 сист. координат: неподв К и К’ (дв-ся отн-но К) R – рад.вектор означает начало штрихованной отн-но центра нештрихованной.
Только в случае поступательного движения.

.

если сист. к’ движ. отн. к поступат., то продиф. это равно . Если нет, то: в K . и в K’ .



Выразим v абс. через v отн. -связ. ск-ть дв-я в одн. системе с другой системой.

4.3. Абсолютн. и относительн. ускорение.











если вращ. с пост. ск-ю послед. слогаем.



ускорение точки, которая неподвижна в K’ СК.

= ускорению геом. точки K’ (переносное) + (ускоренеи ч-цы отн-но K’) + кореолисово ускорение
4.5. Силы инерции

В инерциальной С.О.:;в неинерц.С.О.:

; }-cилы инерции (*)

Если предположить, что в любой СК F=ma, то если определять F только в ИСК, то надо добавить (*).

; если начало координат общих систем совп., а скорость является постоянной величиной, то

;

оси вр. и напр. от нее



5.1. Импульс системы.

Система — конечная или бесконечная совокупность мат. точек, взаимодействующих м\д собой. В общем случае. Fi=внешн Fij – сила со стороны j частицы на i частицу. m1v1=F12+F13+…+F1N+F1внешн



mNvN=FN1+FN2+…+FN,N-1+F1внешн

=внешн ,i=1,2,…,N

Просуммируем это выражение по всем i:

Лев. часть:

Прав. часть:

N=2:

Такой же результат будет при любом N. Тогда:

— главный вектор внешних (*) сил. Если он равен 0, то Скорость каждой частицы зависит от времени, но (*), то импульс системы. импульс i частицы. - закон сохранения импульса: если главный вектор внешних сил = 0, то импульс системы const. Или Если x-проекция Fx внеш = 0, то соответствующая проекция Px=const. Если главный вектор внеш. сил не равен 0, то - закон изменения импульса системы.

5.2. Момент импульса системы.

Умножим векторно обе части на и после этого сложим:

Найдем величину: Правая часть: N=2

(для центральных сил). Если силы центральные, то сила взаимодействия лежит на одной прямой с вектором . т.е. вектор и F12 коллинеарны.

L — мом. имп. М — гл. мом.

системы внеш. сил сист.

— момент импульса i-ой мат. точки. Для центр. ил скорость изменения момента импульса системы = главному моменту внешних сил системы. . Если M=0, то L=const. — закон сохранения момента импульса системы. Момент импульса системы, как и импульс системы, обладает свойством аддитивности:

5.3. Энергия системы.

Умножим dri

Суммируем по i. n — полное число ч-ц системы: Изменение некоторой величины (кин. эн. сист.) Кин. эн-я сохр-ся, если работа внешних сил = 0. Предположим, что внутр. сиды явл-ся силами потенциальными, напр. они центрально-симметричны



(Зависит от координаты и имеет определенную структуру). — несимметричная запись внутр. энергии. Но для удобства перепишем: (завышение потенциальной энергии)

(U12+U21+

+U23+U31+

+U23+U32+…+

+UN-1,N,UN,N-1)1/2=

(1): dE=dA — закон сохранения энергии. Полная мех. энергия не обладает св-ми аддитивности, а кин. обладает. Рассмотрим сист., состоящую из 4-х ч-ц. N=4.

Раздвинем подсистемы далеко друг от друга.



UAB=UA+UB+UAB (3)

Энергия не аддитивна. Сложим (2) и (3). Получим: ЕА+ВАВ+UАВ.

5.4. Теорема о вариале сил.

Рассмотрим кин. энергию как ф-ю времени. T=T(t) она не является постоянной величиной. Возьмем интеграл: Разобьем S на основания. Интеграл зависит от t. Чтобы этого не было, устремим t в бесконечность, тогда: средняя кин. энергия.

Th о вариале сил: если движение системы происходит в ограниченной области пр-ва и с ограниченными по модулю скоростями, то средняя по времени кин. энергия системы равна среднему по времени вариалу сил.

Док-во: Возьмем ур-е Ньютона и просумир-ем:

Левая часть. Приравниваем к правой:

Интегрируем:



Разделим на dt:



если движение происходит с ограниченными по величине скоростями, то |vi|ii|


5.5. Система центра масс (СЦМ).

центр масс

СМЦ не вращ-ся вокруг ЛСК, а движется поступательно, то можно диф-ть по времени: . Запишем импульс системы: Последнее слагаемое — вектор, проведенный из начала штрихованной СК в центр масс, но нач. штрих. сист. нах-ся в центре масс, то он = 0. То импульс сист. P=mV , V — ск-ть, воображаемой точки из центра масс. Момент импульса в ЛСК:

Тогда Кин. энергия От i зависит только m, то Кин. энергия ЛСК = кин. эн. ЦМ имеющего суммарную массу. T’ — внутр. кин. эн. сист. отн-но ее ЦМ. Т.к. сист. замкнута, то

— внутр. энергия.

3.1. Соотношение м\д углом рассеяния и эксцентриситетом.

Инфинитное движение – точка приходит из бесконечности и уходит в бесконечность.

ro-минимальное расстояние между частицой и силовым центром От точки наименьшего сближения отсчитываем угол В положение ro r* В силу симметрии угол - угол рассеяния частицы.

Из рисунка видно что

(1)



Из (1) >1

соотношение между углом рассеяния и эксцентриситетом.

3.2 Прицельный параметр и угол рассеяния

b (прицельный параметр)- расстояния на котором прошла бы частица от силового центра, если частица двигалась по прямой , т.е. не было взаимодействий.С пом. b можно определить момент импульса L=mvb Полная энергия: . Свяжем момент импульса с углом рассеивания. Перепишем в виде:

3.4. Сечение рассеивания Резерфорда.

Частицы отталкиваются от пластинки и проходят сквозь нее. Телесный угол d? на угол ?, j — число частиц, падающих на площадку. N(d?) — число рассеянных частиц в тел. угле d? за то же время. Отношение этого числа к плотности потока падающих частиц j и является то, тчо мы называем диф-ым сечением рассеивания ч-ц в телесный угол d?. Рассмотрим число частиц, рассеиваемых на угол N(>?)=. Найдем число этих частиц. Возьмем плотность потока, умножим на величину площади круга, подсчитаем телесный угол, соответствующий Если рассеяние азим.-симметрично, то интегр. по азимуту можно провести в самом диф-ле: Возьмем диф-ал от N(>0):

— формула Резерфорда.

2.1.Сохранение энергии и момента импульса в центральном симметричном поле (ЦСП).

Рассм. матер. точку — физ. Тело разм. к-ого можно принебр. В усл. данн. задачи (но! излуч., вращ.). мат. точка – физ. тело для к-ого существ (характерна) только масса и дв-е его под дейсв физ силы. Матер точка (наз её «точка») – это не геом точка. Дв-е мат точки – дв-е от одной к др геом точке . Центр силой наз сила, напр к-ой коллин радиусу вектору и удовл усл-ю: – центр. поле

- ед вект осей и r умнож обе части векторно на (1) т.к. sin м/у векторами = 0, то ?=0 или ? (коллин усл) (2)

из (1) и (2) видно, что -импульс, момент силы и мом импульса соотв. Момент «чего-то» – это вект произвед «чего-то» на радиус вектор. Измен мом F тела только при нал. Внешн сил. Если

-опр-е мом-а имп-а

-изменяются

НО! , т.к. , dt1=dt2=dt3... - не меняется и он ┴ и ┴

нов точка треуг, плоск к-ого перп L, след частица двиг в плоск перп L след рассм двумерн дв-е в ОХУ

Ось Z вдоль вектора L тогда пл-ть ОХУ. Пусть вект F- вект ЦСП



В центр поле закон сохр мом импульса: - диф опер., след, когдаего примен к произв, то он 1 раз действует на первый сомножитель. -действ оператора. rot ЦСС=0 , след она потенц., след — з-н сохр энерг в ЦСП потенц энерг зависит от расст до нач корд т.к. ЦСП-част случ ЦП, то оба уравнен верны для ЦСП.

2.2 Эффективная потенциальная энергия.

Выберем плоскость ОХУ

x = rcos?

y = rsin?

дифференцируя

эти выражения



возведём с квадрат и сложим:



получим

, т.о.





полярные

координаты







найдём из 2-го и подставим в первое









от скорости



от кинетической энергии распалось на 2 сост.: 1-остат., 2-потенц., т.к. зависит только от коорд.

Но! Только при в ЦП потенц. Энерг. в виде кинетич. энерг. радиальн. дв-я




Эффективная потенциальная энергия

2.3 Траектория в ЦСП



опр. из п.1.4 из закона сохранения импульса следует, что

(*) – обр. к иск. ф-ии , найдя r(t) подст. в (**) и тогда задача будет решена.

2.4. Эффективный потенциал Кулоновского поля.

Кул поле Сила на част. В Кул поле Ф-я от расст-я f=f(r) Если ?>0, то притяжение ?<0, то отталкивание

Так же для Ньютоновского закона.

Рассм частн случ: притяж-е R-раст до мин зн-я эф энерг Найти полож-е R r>0

потенц. Энерг в R Энерг частиц наход в потенц яме должна быть

В случае когда Частица движется по окружности

2)отталкивание (?<0)



только инфинитное дв-е

Разделение переменных в уравнении Ньютона.

    1. Одномерное движение под действием силы F(t).

    2. Одномерное движение под действием силы F(v).

    3. Движение частицы в поле силы, зависящей от координаты F(x)/

    4. Классификация одномерных движений.

2.1. Сохранение энергии и момента импульса в центральном симметричном поле.(ЦСП)

2.2. Эффективная потенциальная энергия.

2.3. Траектория в ЦСП.

2.4. Эффективный потенциал Кулоновского поля.

    1. Радиальная скорость в кулоновском поле.

    2. Траектория в кулоновском поле.

    3. Классификация траекторий в кулоновском поле

    1. Соотношение «угол рассеяния — Эксцентриситет»

    2. Прицельный параметр и угол рассеяния

    3. Сечение рассеяния Резерфорда.

    4. Общая формула теории рассеяния.

4.1. Угловая скорость.

    1. Абсолютная и относительная скорости.

    2. Абсолютное и относительное ускорение.

    3. Силы инерции.

    1. Импульс системы.

    2. Момент импульса системы

    3. Энергия системы.

    4. Теорема о вириале сил.

    5. Система центра масс (СЦМ)

6.1. Движение замкнутой системы двух тел.

6.2. Момент импульса и энергия системы 2-х тел.

6.3. Законы Кеплера.

6.4. Упругое столкновение — диаграмма импульса.

6.5. Упругое столкновение — диаграмма скоростей.

7.1. Понятие связи.

7.2. Принцип Даламбера.

7.3. Уравнение Лагранжа I рода.

8.1. Обобщенные координаты и скорость.

8.2. Работа и энергия в обобщенных координатах.

6.4. Упругое столкновение-диаграмма импульсов.

упруг. столк. – где нал. эн. част. и конечн. энерг. част. остаётся неизменным.

До:-нолики у 1и2-нач. ск-ти

После Задолго?

;



; ; ,где штрих озн.-с.ц.м. Лабораторн. сист. к.:где т.1-движется, а т.2-покоится(первоначально)

до: , после:, т.к.,то

закон сохр. энерг.:



2.5.Радиальная скорость в Кулоновском поле.

Е-Uэфr

Эф потенц энерг=потенц энерг+азимутальная часть кинетическаой энергии (?-азимут) Тr-кинетич энергия радиальн дв-я

дополним до полного квадрата.

Введём диф. вел.





из-за усл. мин Е данн потенц вел положит.



обозначим



2.6 траектории в Кулоновском поле.

Возьмём из п.2. 3 формулу

Пользуясь формулой

получим



подставим z в :



2.7. Классификация траекторий в кулоновском поле

- уравнение канонических сечений в полярной системе координат.

Притяж-е: ?>0

?<1, то r
траект планет солнечной системы

1+?cos?*=0, ?>1

траект

в поле притяж-я с полож энерг опис эллиптич траект. Если отр энерг , то парабол. Если Е=0, ?=1, то парабол.

В случ отталкив-я всегда по гипербол траект


Разделение переменных
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации