Чапський Є.О. Математичні методи та моделі в розрахунках на ЕОМ: Посібник до виконання лабораторних робіт - файл n1.doc

Чапський Є.О. Математичні методи та моделі в розрахунках на ЕОМ: Посібник до виконання лабораторних робіт
скачать (4106 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc4106kb.13.09.2012 11:44скачать

n1.doc



Міністерство освіти і НАУКИ України

ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ХОЛОДУ

Чапський Є.О.
Математичні методи та моделі в

розрахунках на ЕОМ
Посібник до виконання

лабораторних робіт
Одеса 2008

Чапський Є.О. Математичні методи та моделі в розрахунках на ЕОМ: Посібник до виконання лабораторних робіт. Одеська державна академія холоду, 2008.- 49 с.
Посібник розроблено згідно з робочою навчальною програмою дисципліни „Математичні методи та моделі в розрахунках на ЕОМ” для студентів спеціальностей „Теплоенергетика”, „Теплофізика”, „Нетрадиційні джерела енергії” за напрямом підготовки 0506 „Енергетика”.
Призначено для виконання лабораторних робіт студентами по закріпленню окремих тем дисципліни.
РЕЦЕНЗЕНТ: доктор фізико-математичних наук, професор Швець В.Т.
Зав. кафедри

вищої математики проф. Швець В.Т.


Голова науково-методичної комісії ФІТ

к.ф.м.н. Богач О.Н..

Лабораторна робота №1

Ознайомлення з інтерфейсом програми Mathcad 2001i Professional”
Mathcad 2001i Professional являється дуже зручним у користуванні і ефективним математичним пакетом, за допомогою якого можна розв’язувати математичні задачі, які постають перед сучасним інженером.

Після запуску програми, користувач бачить перед собою інтерфейсну частину Mathcad, більшість якої являє собою робочу область (worksheet), реалізовану у вигляді білого аркушу, розділеного тонкими лініями, що умовно поділяють документ на аркуші, wt є важливим при друці, але не впливає на обчислення. Згори розміщене меню наступного вигляду:


Функції меню File і Edit є стандартними для будь-якої програми з Windows-інтерфейсом. View - команди, які управляють зовнішнім виглядом документу у вікні редактора MathCAD, а також команди, які створюють файли анімації; Format – команди форматування тексту, формул і графіків; Math (Математика) - команди керування обчислювальним процесом; Symbolics - команди символьних обчислень; Window - команди керування розташування вікон з різними документами на екрані;
Help - команди виклику контекстно-залежної довідникової інформації, доступу до Центру Ресурсів, опції Поради Дня и відомостей про версію програми.

Доступ до вбудованих математичних функцій можна отримати також, відкривши панель Math:View\Toolbars\Math



Панель Math (Математика) слугує для виклику на екран ще дев’яти панелей, за допомогою яких і відбувається вставка математичних операцій в документи. Щоб показати будь-яку з них, треба натиснути відповідну кнопку на панелі Math. Їх призначення:

Calculator- слугує для вставки основних математичних операцій, отримала свою назву завдяки подібності набору кнопок з кнопками типового калькулятора; Graph - для вставки графіків;

Matrix- для вставки матриць и матричних операторів;Evaluation- для вставки операторів керування обчисленнями;

Calculus- для вставки операторів інтегрування, диференціювання, суми;

Boolean- для вставки логічних (булевих) операторів;

Programming- для програмування засобами MathCAD;

Greek- для вставки грецьких символів;

Symbolic - для вставки символьних операторів.
Якщо значення виразу повинно обчислюватись більше ніж один раз, то доречно організувати циклічний процес обчислень, для реалізації яких в панелі Matrix (Матриці) реалізовано опeратор “Range Variable”, який позначається символом m..n даний оператор можна викликати за допомогою клавіші “;” (крапка з комою). Розглянемо таку задачу: знайти значення функції f(x) у точках інтервалу (а,b) з заданим кроком h.





Отримані значення можна зобразити графічно за допомогою панелі Graph



Завдання №1: Обчислення формул.




Обчислити вираз

При заданих значеннях

1






2







3







4







5







6







7







8







9







10








Завдання №2.

Знайти значення функції з завдання №1 в точках, в яких ключова змінна змінюється від заданого значення до подвоєного значення, так, щоб інтервал був розбитий на десять підінтервалів. Результати зобразити графічно.

Коментар: Наприклад в варіанті №12 ключова змінна – Т має значення 10, тому інтервал буде (10, 2*10)=(10,20). Він повинен містити десять підінтервалів, тому крок h=(20-10)/10=1.

Лабораторна робота №2.

Інтерполяція та апроксимація”

Мета: засвоїти на практиці методи обробки табличних даних за допомогою:

  1. Полінома Лагранжа.

  2. Полінома Ньютона.

  3. Метода найменших квадратів.

  4. Вбудованих засобів середовища MathCad, таких як:

а) Лінійна інтерполяція.

б) Лінійна апроксимація.

в) Сплайнова інтерполяція.

г) Поліноміальна інтерполяція.
Зразок виконання лабораторної роботи.

Завдання №1. Скласти поліном Лагранжа L(x) для функції, яку задано таблицею значень

X

-1

2

3

7

Y

1

2

6

17

та знайти його значення при x=2.7. Побудувати графік L(x).

Виконання.








Завдання №2. Для таблиці з попереднього завдання скласти поліном Ньютона, знайти його значення в точці x=2.7 та побудувати графік.Виконання.











Завдання №3. Для функції, заданою таблицею з завдання №1 скласти апроксимаційний поліном першого порядку, побудувати його графік, та знайти значення в точці x=2.7.
Виконання.










Вбудовані можливості MathCad.

Для ілюстрації засобів MathCad по обробці даних, задамо два довільних стовпчика, причому елементи того стовпика котрий є аргументом повинні монотонно зростати або монотонно спадати, щоб функційна залежність була однозначною :





  1. Лінійна інтерполяція



  1. Сплайнова апроксимація

Розв`язання:




  1. лінійна регресія


Розв`язання:



  1. поліноміальна регресія (поліном, що використовується для регресії:)

Розв`язання:


Індивідуальні завдання до лабораторної роботи.

Для функції y=f(x) отримати таблицю значень на вказаному інтервалі з заданим кроком. Скласти поліноми Лагранжа і Ньютона відповідної степені і апроксимаційний поліном першої степені. А також провести лінійну та сплайнову інтерполяцію, і лінійну та поліноміальну апроксимацію, застосовуючи вбудовані можливості MathCad. Результати зобразити графічно.



f1(x)

Інтервал (a,b), крок h

1



a=1, b=4 h=1

2



a=0, b=0.75 h=0.25

3



a=2, b=3.5 h=0.5

4



a=0, b=0.75 h=0.25

5



a=1, b=1.75 h=0.25

6



a=2, b=2.75 h=0.25

7



a=-1, b=0.5 h=0.5

8



a=1, b=7 h=2

9



a=0, b=0.75 h=0.25

10



a=0, b=0.75 h=0.25

11



a=1, b=1.75 h=0.25

12



a=2, b=2.75 h=0.25

Лабораторна робота №3.

Інтегрування і диференціювання.”

1. Інтегрування

1.1. Оператор інтегрування

1.2. Невизначений та визначений інтеграл

1.3. Кратні інтеграли.

2. Диференціювання.

2.1 Похідні першого вищих порядків.

2.2 Частинні похідні.

3. Чисельне інтегрування

3.1. Формула прямокутників.

3.2. Формула трапецій.

3.3. Формула Сімпсона (парабол)
Інтегрування в MATHCAD реалізовано у вигляді обчислювального оператора. Допускається обчислювати інтеграли від скалярних функцій в межах інтегрування, які також повинні бути скалярами. Не дивлячись на те, що межі нтегрування зобов'язані бути дійсними, підінтегральна функція може мати і комплексні значення, тому і значення інтеграла може бути комплексним. Якщо межі інтегрування мають розмірність то вона повинна бути однаковою для обох меж.
1.1 Оператор інтегрування.

Інтегрування, диференціювання, як і безліч інших математичних дій, влаштовано в MATHCAD за принципом "як пишеться, так і вводиться". Щоб обчислити певний інтеграл, слід надрукувати його звичайну математичну форму в документі. Робиться це за допомогою панелі Calculus (Обчислення) натисненням кнопки із значком інтеграла або введенням з клавіатури поєднання клавіш +<7> (або символу "&", що те ж саме). З'явиться символ інтеграла з декількома чорними прямокутниками, в які потрібно ввести нижній і верхній інтервали інтегрування, підінтегральну функцію і змінну інтегрування.

Можна обчислювати інтеграли з однією або обома нескінченними межами. Для цього на місці відповідної межі введіть символ нескінченності, скориставшись, наприклад, тією ж самою панеллю Calculus (Обчислення). Щоб ввести ?? (мінус нескінченність), додайте знак мінус до символу нескінченності, як до звичайного числа.



Щоб отримати результат інтегрування, слід ввести знак рівності або символьної рівності. У першому випадку інтегрування буде проведена чисельним методом, в другому - у разі успіху, буде знайдено точне значення інтеграла за допомогою символьного процесора MATHCAD. Звичайно, символьне інтегрування можливе тільки для невеликого кола нескладних підінтегральних функцій.

Чисельне і символьне обчислення визначеного інтеграла:




1.2. Кратні інтеграли.

Для того, щоб обчислити кратний інтеграл:

1. Введіть, як завжди, оператор інтегрування.

2. У відповідних місцезаповнювачах введіть ім'я першої змінної інтегрування і межі інтегрування по цій змінній.

3. На місці введення підінтегральної функції введіть ще один оператор інтегрування.

4. Так само введіть другу змінну, межі інтегрування і підінтегральну функцію (якщо інтеграл двократний) або наступний оператор інтегрування (якщо більш ніж двократний) і т. д., поки вираз з багатократним інтегралом не буде введений остаточно.

Приклад символьного і чисельного розрахунку двократного інтеграла в нескінченних межах наведено нижче.





2. Диференціювання

За допомогою MATHCAD можна обчислювати похідні скалярних функцій будь-якої кількості аргументів, від 0-го до 5-го порядку включно. І функції, і аргументи можуть бути як дійсними, так і комплексними. Неможливе диференціювання функцій тільки поблизу точок їх сингулярності. Процесор MATHCAD забезпечує чудову точність чисельного диференціювання. За допомогою символьного процесора, можна здійснити рутинну роботу обчислення похідних громіздких функцій, оскільки, на відміну від всіх інших операцій, символьне диференціювання виконується успішно для переважної більшості аналітично заданих функцій.

В MathCAD 2001 для прискорення і підвищення точності чисельного диференціювання функцій, заданих аналітично, автоматично задіюється символьний процесор

2.1 Перша похідна

Для того щоб продиференціювати функцію f (х) в деякій точці:

1. Визначте точку х, в якій буде обчислена похідна, наприклад, х:=1.

2. Введіть оператора диференціювання натисненням кнопки Derivative (Похідна) на панелі Calculus (Обчислення) або введіть з клавіатури знак питання .

3. У місцезаповнювачах, що з'явилися, введіть функцію, залежну від аргументу х, тобто f(х), і ім'я самого аргументу х.

4. Введіть оператор “=” чисельного або “->” символьного виводу для отримання відповіді.




2.2 Похідні старших порядків.
MATHCAD дозволяє чисельно визначати похідні вищих порядків, від 0-го до 5-го включно. Щоб обчислити похідну функції f (х) n-го порядку в точці х, потрібно виконати ті ж самі дії, що і при обчисленні першої похідної, за тим виключенням, що замість оператора похідної необхідно застосувати оператора n-ї похідної (Nth Derivative). Цей оператор вводиться з тієї ж панелі Calculus (Обчислення), або з клавіатури натисненням клавіш +, і містить ще два місцезаповнювача, в які слід помістити число n. У повній відповідності з математичним сенсом оператора, визначення порядку похідної в одному з місцезаповнювачів призводить до автоматичної появи того ж числа в іншому з них. "Похідна" при n=0 за визначенням рівна самій функції, при n=1 виходить звичайна перша похідна. Наступний приклад демонструє чисельне і символьне обчислення другої похідної.


Щоб обчислити похідну порядку вище 5-го, слід послідовно застосувати кілька разів оператор m-ї похідної подібно до того, як вводилися оператори кратного інтегрування. Проте для символьних обчислень цього не буде потрібно - символьний процесор уміє рахувати похідні порядку вище 5-го. Сказане ілюструє приклад, в якому спочатку чисельно, а потім символьно обчислюється сьома похідна косинуса в точці х=3.1415.


2.3 Частинні похідні.
За допомогою обох процесорів MATHCAD можна обчислювати похідні функцій будь-якої кількості аргументів. В цьому випадку, як відомо, похідні по різних аргументах називаються частинними. Щоб обчислити частинну похідну, необхідно, як завжди, ввести оператор похідної з панелі Calculus (Обчислення) і у відповідному місцезаповнювачі надрукувати ім'я змінної, за якою повинне бути здійснене диференціювання. Приклад приведений нижче, в першому рядку визначена функція двох змінних, а в двох наступних рядках символьним чином обчислені її частинні похідні за обома змінним - х і у - відповідно. Щоб визначити частинну похідну чисельним методом, необхідно заздалегідь задати значення всіх аргументів, що і зроблене в наступних двох рядках. Останній вираз знову (як і в третьому рядку) визначає символьну частинну похідну по у. Але, оскільки змінним х і у вже привласнено конкретне значення, то в результаті виходить число, а не аналітичний вираз.



3. Чисельне інтегрування.
Розглянемо наступну задачу: треба знайти значення інтегралу

3.1. За формулою прямокутників, взявши крок h=0.5.

Виконання.





Відповідь 45.841
3.2. За формулою трапецій, взявши крок h=0.25.

Виконання.







7
Відповідь: 47.118
3.3. За формулою Сімпсона (парабол), з кроком h=0.25
Виконання.






Відповідь: 46.692
Індивідуальні завдання.
І. За допомогою операторів інтегрування знайти



якщо:



f1(x)

f2(x), a,b

f(x,y), b,c,d,e

1











2











3











4











5











6











7











8











9











10











11











12












ІІ. Обчислити першу похідну f1(x), другу похідну f2(x) та частинні похідні за змінними х та y від f(x,y). Функції взяти з таблиці для завдання І.
ІІІ. Визначити значення



(умова з завдання №1) за допомогою методів прямокутників, трапецій та парабол, розбивши заданий інтервал на 12 частин. Результати порівняти.

Лабораторна робота №4.
Нелінійні рівняння”
Мета: навчитись розв'язувати трансцендентні рівняння за допомогою як чисельних методів так і вбудованих засобів пакету MathCad, використовуючи:

  1. Метод ділення відрізку навпіл (діхотомії).

  2. Метод дотичних (Ньютона).

  3. Функцію пошуку коренів root.


Зразок виконання лабораторної роботи.
Завдання №1. Знайти найменший додатній корінь рівняння з точністю , використовуючи метод поділу відрізку навпіл
Етапи розв'язку:

  1. Представимо дане рівняння у вигляді f(x)=0.

  2. Локалізуємо корінь на інтервалі, шириною L=1.

  3. Ділимо відрізок навпіл, слідкуючи, щоб знаки на кінцях підінтервалів були різними, доки не досягнемо заданої точності.


Виконання.












Завдання №2. Знайти найменший додатній корінь рівняння з точністю , за допомогою метода Ньютона.

Етапи розв'язку:

  1. Якщо корінь вже локалізовано, і рівняння записано в формі f(x)=0, то слід перевірити на якому боці інтервалу, знак функції співпадає зі знаком її другої похідної.. Позначимо цю точку х0

  2. Використовуючи ітераційну формулу:



наближаємось до розв'язку, доки не досягнемо необхідної точності.

Виконання



Використаємо панель „Програмування”



А саме: функції Add Line та оператор циклу while



Завдання №3. Знайти найменший додатній корінь рівняння з точністю , за допомогою метода хорд.
Етапи розв'язку:

  1. З графіку визначаємо початкове наближення

  2. Визиваємо функцію пошуку коренів root

  3. Отримуємо відповідь з необхідною точністю

Виконання







Для підвищення точності слід, двічі натиснувши на значенні відповіді, у меню, що з'явиться, обрати необхідну кількість знаків після коми.


Індивідуальні завдання до лабораторної роботи:



Завдання №1



Завдання №2



Завдання №3



1







2







3







4







5







6







7







8







9







10







11







12








Лабораторна робота №5.

Дії над матрицями і векторами.
Матрицею називається будь-яка прямокутна таблиця чисел. Числа, які входять до цієї таблиці, мають назву елементів матриці. В матриці числа упорядковані по рядках та стовпчиках.

Якщо кількість рядків матриці m дорівнює кількості стовпчиків n, то така матриця має назву квадратної матриці порядка n. Якщо , то така матриця є прямокутною. Діагональ квадратної матриці, яка йде з лівого верхнього кута до правого нижнього кута, має назву головної діагоналі.

Одиничною матрицею n-го порядка називають квадратну матрицю порядка n, в якій всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи дорівнюють нулю.

Якщо m=1, то така матриця має назву вектора-рядка, якщо n=1, то вектора-рядка.

Робота з матрицями в середовищі MathCAD стає доступною через піктограму:





  1. Транспонування матриці. Якщо в матриці типа m x n замінити рядки відповідними стовчиками, то отримана матриця типу n x m має назву транспонованої по відношенню до вихідної матриці. Для транспонування матриці слід застосовувати команду :





  1. Обернення матриці. Квадратна матриця B є оберненою до матриці A, якщо вона, помножена на матрицю А як ліворуч, так і праворуч, дає одиничну матрицю.






6. Ілюстрація основних арифметичних операцій з матрицями за допомогою режима символьних перетворень.
а) Додавання та віднімання матриць.



З останнього прикладу випливає, що операції додавання та віднімання можна застосовувати тільки до однотипних масивів
б) Множення матриць. Дві матриці можуть бути перемноженими, якщо число стовпчиків однієї матриці дорівнює числу рядків іншої.





7.Звернення до окремого елемента матриці. Якщо в документі MathCAD цього не вказано спеціально, то нумерація елементів матриці як в рядках, так і в стовчиках починається з нуля. Можна звернутися до окремого елемента матриці, якщо вказати його відповідні індекси (при цьому обов'язково слід застосовувати операцію нижнього індекса).



Порядок нумерації встановлюється наперед визначеною змінною ORIGIN. При необхідності значення ORIGIN можна перевизначити, тоді нумерація буде вестись з того значення, яке привласнене змінній ORIGIN
8. Розрахунок детермінанту (визначника) квадратної матриці.

Здійснюється за допомогою піктограми



9. Формування підмасиву з основного масиву


10. Обчислення мінімального, максимального, середнього значень в масивах, визначення числа стовчиків та рядків матриці


11. Cортування елементів в массивах




12. Розв'язання систем лінійних рівнянь.

Якщо М - матриця, складена з коефіцієнтів, які стоять перед невідомими, а v - вектор-стовпчик вільних членів, то для знаходження розв'язки використовується конструкція М-1.v.




В старших версіях пакету конструкція M-1.v об'єднана в вбудовану функцію lsolve


Завдання до лабораторної роботи.
1. В результаті спостережень за деякою величиною Y в трьох дослідах з кроком по змінній X 0.1, були отримані такі значення.
X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Y 95.2 81.4 75.5 66.6 52.1 50.4

Y 99.1 80.2 73.6 67.9 50.1 49.7

Y 95.2 81.4 75.5 66.6 52.1 50.4`
а) Зформувати з результатів експерименту масив даних.
б) Використовуючи основні операції з матрицями зформувати:

новий масив, нульовий стовпчик якого містить значення X, а перший - середні значення Y для 3 дослідів.
в) Нанести експериментальні точки та їх середні значення в кожному з дослідів на графік.


Лабораторна робота №6.

Системи лінійних та нелінійних алгебраїчних рівнянь.”
Мета: Навчитись розв'язувати системи алгебраїчних рівнянь, використовуючи:

1. Метод Жордано-Гаусса розв'язку СЛАР

2. Вбудовані засоби середовища MathCad
1. Метод Жордано-Гаусса розв'язаування СЛАР.
Даний метод полягає в тому, що розширена матриця системи рівнянь, шляхом тотожних перетворень зводиться до діагонального вигляду, таким чином розв'язком системи будуть значення, які знаходяться в правому стовпчику даної матриці. Розглянемо реалізацію даного алгоритму за допомогою MathCad:

Знайти розв'язок системи лінійних рівнянь:


Спочатку задамо таке значення константи, яка відповідає за нумерацію, щоб елементи починались з першого, а не з нульового.



Далі запишемо розширену матрицю системи і проведемо необхідні перетворення:


















Тому розв'язком даної системи є:

x=0

y=1

z=1

2. Розв'язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою вбудованих засобів.
В переважній більшості системи рівнянь взагалі не мають аналітичного розв'язку, і в цьому випадку необхідні засоби чисельного розв'язання.

В середовищі MathCAD розв'язувати системи алгебраїчних рівнянь можна декількома засобами. Розглянемо найбільш загальний засіб, який можна застосовувати для всіх видів систем алгебраїчних рівнянь, як лінійних, так і нелінійних. Цей засіб можна здійснити шляхом формування блоку розв'язку .
Блок розв'язку - це конструкція з таких елементів:

  • ключового слова GIVEN, яке означає початок блоку

  • системи рівнянь або нерівностей, яку необхідно розв'язати.

  • функції розв'язку FIND або MINERR.


Як і в випадку розв'язання рівнянь, перед формуванням блоку GIVEN...FIND необхідно задати початкові наближення для змінних, відносно яких розв'язується система.

Наприклад:





Отже, розв'язок: х = 3,076; у = 0,538. При цьому результат представлено и вигляді вектор-стовпчика. Підставимо знайдені корені до системи для перевірки точності розв'язку:



Отримано доволі таки точний розв'язок. Спробуємо тепер задати інше початкове наближення:







Бачимо, що система має і другий розв'язок. Слід розуміти, що MathCad видає лише той розв'язок, який розташований ближче до початкового наближення.

Щоб дізнатися про кількість коренів, і те, які початкові наближення слід обирати, можна користуватись графічними можливостями пакету:





Графіки перетинаються вдвох точках, тому система має два розв'язки.

Не завжди функція FIND може дати розв'язок системи, через , що при своїй роботі вона використовує наперед задані значення службових констант TOL, CTOL і шукає розв'язок з такою точністю для кожної невідомої змінної. Наприклад, в даній ситуації FIND не знайде розв'язку:





В такому випадку можна використовувати функцію MINERR, яка мінімізує вектор відхилень від точного розв'язку:





Перевіримо отриманий розв'язок:



бачимо, що умова точності не виконується для жодного з рівнянь, але ці три значення відповідають точці, яка знаходиться максимально близько до розв'язку. Слід бути уважними при використанні функції MINERR, у випадку, коли необхідно знайти точний розв'язок.

Завдання до лабораторної роботи.


  1. Методом Жордано-Гаусса знайти розв'язок СЛАР, матриця коефіцієнтів якої має вигляд:




а вектор-стовпчик вільних членів:



2. Розв'язати систему:



N- номер варіанта.
Лабораторна робота №7

Диференціальні рівняння.”


  1. Чисельний розв'язок диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта.

  2. Метод інтегральних перетворень Лапласа розв’язання диференціальних рівнянь

  3. Розв’язання систем диференціальних рівнянь.


1. Для чисельного розв’язання диференціальних рівнянь в середовищі MathCAD передбачений блок Given…Odesolve. Запис диференціального рівняння, а також межових умов виконується з використанням логічного =, який можна отримати одночасно натиснувши клавіші Ctrl та =. Розглянемо розв'язок задачі Коші:



В функції Odesolve перший параметр – змінна інтегрування, а другий – права межа. Після межі через кому можна також вказати крок змінної. Результати обчислень представимо графічно:


Розглянемо крайову задачу для диференціального рівняння другого порядку:





2. Метод інтегральних перетворень Лапласа дозволяє отримати аналітичний розв'язок диференціального рівняння. Розглянемо, наприклад задачу:


Спочатку треба знайти зображення диференціального рівняння, для цього використаємо оператор laplace з панелі символьних обчислень.




Ввівши нові позначення, знайдемо зображення функції laplace(y(t),t,s) за допомогою функції solve:



Задамо початкові умови:



і відшукаємо розв'язок, провівши обернене перетворення Лапласа:



3. Інтегральне перетворення Лапласа дозволяє також розв'язувати системи диференціальних рівнянь, розглянемо, наприклад задачу:



Знайдемо зображення кожного з рівнянь:







Або в нових позначеннях система рівнянь записана відносно невідомих зображень Lx та Ly:



Задамо початкові умови:



і запишемо матрицю коефіцієнтів системи та вектор-стовпчик вільних членів:



Знайдемо матрицю зображень функцій x(t), та y(t), використавши метод оберненої матриці:





Перший рядок отриманої матриці відповідає зображення функції x(t), а другий- y(t). Знайдемо розв'язок системи рівнянь, провівши обернене перетворення Лапласа для відповідних рядків матриці Image(s):





Індивідуальні завдання.




Завдання №1

Завдання №2

Завдання №3

1







2







3







4







5







6







7







8







9







10







11







12







Література.


  1. Дьяконов В. MathCAD 8/2000: специальный справочник – СПб: Изд. "Питер", 2000. – 592 с.: ил.

  2. Волков Е.А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., испр.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.- 248 с.

  3. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы.- М.: Физматлит, 2004.- 400 с.

  4. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972.- 592 с.

  5. Швець В.Т. Методи математичної фізики. Навчальний посібник, Ч1, Одеса: ОДАХ, 2007.- 144с.


Чапський Є.О.
Математичні методи та моделі в

розрахунках на ЕОМ

Посібник до виконання

лабораторних робіт


Підписано до друку хх.06.2008 р.

Формат

Умовних друкованих аркушів .

Наклад примірників.

Надруковано видавництвом ОДАХ

65082, Одеса, вул. Дворянська 1/3



Міністерство освіти і НАУКИ України
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации