Лапчик Д.Р. Лекции по метрологии в телекоммуникации - файл n1.doc

Лапчик Д.Р. Лекции по метрологии в телекоммуникации
скачать (1111.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc1112kb.12.09.2012 08:46скачать

n1.doc

  1   2   3
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

дисциплины

"Метрология, стандартизация и сертификация

Составил ст. преподаватель кафедры ТС Д.Р. Лапчик.


Уфа 2006

СОДЕРЖАНИЕ:

  1. Введение

  2. Раздел 1.Основы метрологии

  3. Раздел 2. Погрешности и обработка результатов измерений

  4. Раздел 3. Электрорадиоизмерения

  5. Раздел 4. Основы стандартизации и сертификации

  6. Учебно-методические материалы

ВВЕДЕНИЕ

Данный курс лекций позволяет получить общие представления о метрологии, как науке об основах проведения метрологического эксперимента и об обработке результатов измерений, а также об общих положениях стандартизации и сертификации.

Традиционное понятие “метрология”, как науки об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности, не охватывает экономических аспектов современного развития производства и товарообмена. Выпуск однотипной продукции фирмами – производителями разных стран создает конкуренцию на рынке товаров. Для приобретения качественной продукции покупатель должен иметь сертификат соответствия продукции стандартным образцам. Поэтому современным метрологам необходимы знания не только традиционной метрологии, но и процессов установления и применения стандартов на продукцию (стандартизация ), а так же порядка подтверждения соответствия продукции требованиям стандарта (сертификации ).

Курс читается студентам дневного (заочного) факультета, обучающимся по специальностям 201000 (210404) «Многоканальные телекоммуникационные системы», 201100 (210405) «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» и 201200 (210402) «Средства связи с подвижными объектами», рассчитан на 32 (12) часа лекций и 16 (4) часов лабораторного практикума. Завершающим этапом изучения курса является экзамен в 7 (9)-м семестре.

Список лабораторных работ:

1. Измерение напряжения и тока.

2. Исследование электронного осциллографа.

3. Измерение частоты и временных интервалов.

4. Измерение параметров пассивных элементов электрических цепей.

В процессе изучения дисциплины предусматривается текущий контроль знаний студентов по каждому лабораторному занятию.


  1. ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИИ




    1. Предмет и задачи метрологии.

Метрология – наука об измерениях физических величин, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Основные задачи метрологии (ГОСТ 16263-70) – установление единиц физических величин, государственных эталонов и образцовых средств измерений, разработка теории, методов и средств измерений и контроля, обеспечение единства измерений и единообразных средств измерений, разработка методов оценки погрешностей, состояния средств измерения и контроля, а также передачи размеров единиц от эталонов или образцовых средств измерений рабочим средствам измерений.

Измерение физической величины выполняют опытным путём с помощью технических средств. В результате измерения получают значения физической величины

Q = q*U

где q – числовое значение физической величины в принятых единицах; U – единица физической величины.

Значение физической величины Q, найденное при измерении, называют действительным. В ряде случаев нет необходимости определять действительное значение физической величины, например при оценке соответствия физической величины установленному допуску. При этом достаточно определить принадлежность физической величины некоторой области Т:

Т < Q <=T .

Следовательно, при контроле определяют соответствие действительного значения физической величины установленным значениям. Примером контрольных средств являются калибры, шаблоны, устройства с электроконтактными преобразователями.

1.2 Методы измерений.

При измерениях используют разнообразные методы (ГОСТ 16263-70), представляющие собой совокупность приемов использования различных физических принципов и средств. При прямых измерениях значение физической величины находят из опытных данных, при косвенных – на основании известной зависимости измеряемой величины от величин, подвергаемых прямым измерениям.

Абсолютные измерения основаны на прямых измерениях основных величин и использовании значений физических констант. При относительных измерениях величину сравнивают с одноимённой, играющей роль единицы или принятой за исходную. Примером относительного измерения является измерение диаметра вращающейся детали по числу оборотов соприкасающегося с ней аттестованного ролика.

При методе непосредственной оценки значение физической величины определяют непосредственно по отсчётному устройству прибора прямого действия, при методе сравнения с мерой измеряемую величину сравнивают с мерой. Например, с помощью гирь уравновешивают на рычажных весах измеряемую массу детали. Разновидностью метода сравнения с мерой является метод противопоставления, при котором измеряемая величина и величина, воспроизводимая мерой, одновременно воздействуют на прибор сравнения, позволяющий установить соотношение между этими величинами (например, измерение сопротивления по мостовой схеме с включением в диагональ моста показывающего прибора). 

При дифференциальном методе измеряемую величину сравнивают с известной величиной, воспроизводимой мерой. Этим методом, например, определяют отклонение контролируемого диаметра детали на оптиметре после его настройки на ноль по блоку концевых мер длины. Нулевой метод – также разновидность метода сравнения с мерой, при котором результирующий эффект воздействия величин на прибор сравнения доводят до нуля. Подобным методом измеряют электрическое сопротивление по схеме моста с полным его уравновешиванием. При методе совпадений разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, определяют используя совпадения отметок шкал или периодических сигналов. Поэлементный метод характеризуется измерением каждого параметра изделия в отдельности. Комплексный метод характеризуется измерением суммарного показателя качества, на который оказывают влияния отдельные его составляющие.

1.3 Основные термины и определения.

Понятия и определения, используемые в курсе, регламентированы ГОСТ 16263-70.

Измерение – информационный процесс получения опытным путем численного соотношения между данной физической величиной и некоторым ее значением, принятым за единицу измерения.

Результат измерения – именованное число, найденное путем измерения физической величины. (Результат измерения может быть принят за действительное значение измеряемой величины).

Погрешность измерения – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. (Погрешность измерения характеризует точность измерения).

Точность измерения – степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины.

Измерительный эксперимент – научно обоснованный опыт для получения количественной информации с требуемой или возможной точностью определения результата измерений.

Средство измерений – техническое устройство, используемое в  измерительном эксперименте и имеющее нормированные характеристики точности.

Метрология – учение о мерах, наука о методах и средствах обеспечения единства измерений и способах достижения требуемой точности.

Законодательная метрология – раздел метрологии, включающий комплексы взаимосвязанных и взаимообусловленных правил, требований и норм, а также другие вопросы, нуждающиеся в регламентации со стороны государства, направленные на обеспечение единства измерений и единообразия средств измерения.

Контроль – процесс установления соответствия между состоянием объекта контроля или его свойством и заданной нормой.

Мера – средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера.

Измерительный прибор – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.

Измерительный преобразователь – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения, но не поддающегося непосредственному восприятию наблюдателем.

Измерительная информационная система – совокупность средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей и пр.) и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи и предназначенных для получения измерительной информации доступной для наблюдения, обработки и управления объектами.
2. ПОГРЕШНОСТИ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1 Основные понятия и определения

При анализе значений, полученных при измерениях, следует  разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их опытные проявления - результаты измерений.

Истинные значения физических величин - значения, идеальным образом отражающие свойства данного объекта, как в количественном, так и в качественном отношении. Они не зависят от средств нашего познания и являются абсолютной истиной.

Результаты измерений представляют собой приближенные оценки значений величин, найденные путем измерения, они зависят не только от них, но еще и от метода измерения, от технических средств, с помощью которых проводятся измерения, и от восприятия наблюдателя, осуществляющего измерения.

Разница  между результатами измерения X' и истинным значением А измеряемой величины называется погрешностью измерения.

(2.1)

Но поскольку истинное значение А измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и погрешности измерения, поэтому для получения хотя бы приближенных сведений о них приходится в формулу (2.1) вместо истинного значения подставлять так называемое действительное значение.

Действительным значением физической величины - называется ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него.

В качестве причин возникновения погрешностей являются: несовершенство методов измерений, технических средств, применяемых при измерениях, и органов чувств наблюдателя. В отдельную группу следует объединить причины, связанные с влиянием условий проведения измерений.

Описанные причины возникновения погрешностей определяются совокупностью большого числа факторов, под влиянием которых складывается суммарная погрешность измерения - см. формулу (2.2). Их можно объединить в две основные группы.

1. Факторы, постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерительного эксперимента, например плавные изменения влияющих величин или погрешности применяемых при измерениях образцовых мер. Составляющие суммарной погрешности (2.2), определяемые действием факторов этой группы, называются систематическими погрешностями измерения. Их отличительная особенность в том, что они остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. До тех пор, пока систематические погрешности больше случайных, их зачастую можно вычислить или исключить из результатов измерений надлежащей постановкой опыта.

2. Факторы, проявляющиеся весьма нерегулярно и столь же неожиданно исчезающие или проявляющиеся с интенсивностью, которую трудно предвидеть. К ним относятся, например, перекосы элементов приборов в их направляющих, нерегулярные изменения моментов трения в опорах, малые флюктуации влияющих величин, изменения внимания операторов и др.

Доля, или составляющая, суммарной погрешности измерения (2.2), определяемая действием факторов этой группы, называется случайной погрешностью измерения. Ее основная особенность в том, что она случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

При создании измерительной аппаратуры и организации процесса измерения в целом интенсивность проявления большинства факторов данной группы удается свести к общему уровню, так что все они влияют более или менее одинаково на формирование случайной погрешности. Однако некоторые из них, например внезапное падение напряжения в сети электропитания, могут проявиться неожиданно сильно, в результате чего погрешность примет размеры, явно выходящие за границы, обусловленные ходом эксперимента в целом. Такие погрешности в составе случайной погрешности называются грубыми. К ним тесно примыкают промахи - погрешности, зависящие от наблюдателя и связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов.

Таким образом, мы имеем два типа погрешностей измерения:

В процессе измерения оба вида погрешностей проявляются одновременно, и погрешность измерения можно представить в виде суммы:



(2.2)

где o- случайная, а - систематическая погрешности.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей математической обработкой опытных данных. Поэтому наибольшее значение имеет изучение погрешности как функции номера наблюдения, т. е. времени (t). Тогда отдельные значения погрешностей можно будет трактовать как набор значений этой функции:



(2.3)

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятности появления ее значений в том или ином интервале.

Погрешность измерений, соответствующая каждому моменту времени , называется сечением случайной функции . В каждом сечении в большинстве случаев можно найти среднее значение погрешности , относительно которого группируются погрешности в различных реализациях. Если через полученные таким образом точки провести плавную кривую, то она будет характеризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени. Нетрудно заметить, что средние значения определяются действием факторов второй группы и представляют собой систематическую погрешность измерения в момент времени , а отклонения от среднего в сечении, соответствующие -й реализации, дают нам значения случайной погрешности. Последние являются уже представителями случайных величин - объектов изучения классической теории вероятностей.

Предположим, что (ti)=0, т.е. систематические погрешности тем или иным способом исключены из результатов наблюдений, и будем рассматривать только случайные погрешности, средние значения которых равны нулю в каждом сечении. Предположим далее, что случайные погрешности в различных сечениях не зависят друг от друга, т.е. знание случайной погрешности в одном сечении как ординаты одной реализации не дает нам никакой дополнительной информации о значении, принимаемом этой реализацией в любом другом сечении. Тогда случайную погрешность можно рассматривать как случайную величину, а ее значения при каждом из многократных наблюдений одной и той же физической величины - как ее эмпирические проявления, т.е. как результаты независимых наблюдений над ней.

В этих условиях случайная погрешность измерений o определяется как разность между исправленным результатом Х измерения и истинным значением А измеряемой величины:



(2.4)

причем исправленным будем называть результат измерений, из которого исключены систематические погрешности.

При проведении измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.


2.2 Классификация погрешностей измерений.

Разница между результатами измерения X' и истинным значением А измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения:



(2.5)

Абсолютная погрешность, взятая с обратным знаком, называется поправкой измерительного прибора.

Относительная погрешность измерений: - отношение абсолютной погрешности к истинной величине. Определяется, как правило, в %.



(2.6)

Приведенная погрешность  измерения: - отношение абсолютной погрешности к некоторому нормированному значению Хn



(2.7)

Основная погрешность измерительного прибора: - погрешность, возникающая при нормальном использовании прибора. Её можно представить в виде суммы погрешностей - аддитивной и мультипликативной.

=a+b*X,

(2.8)

где а – аддитивная погрешность;

      b – мультипликативная погрешность;

Х – текущее значение измерений.

Аддитивная погрешность – не зависит от чувствительности прибора и является постоянной для всего диапазона измерений.

Мультипликативная погрешность – зависит от чувствительности прибора и изменяется пропорционально текущему значению входной величины.

Интерпретация сказанного приведена на рисунке 2.1.



рис. 2.1.

У измерительных приборов, как правило, нормируется основная приведенная погрешность во всем диапазоне измерений, которая называется классом точности прибора. В соответствии с ГОСТ 8.401-80 классы точности выбирают из ряда: 1*10n ; 1.5*10n ; 2*10n ; 2.5*10n ; 4*10n ; 5*10n ; 6*10n, где n=1, 0, -1,  -2, -3, ... .

У цифровых измерительных приборов погрешность определяется из выражения:

,  

(2.9)

где Хк – конечное значение диапазона измерения,

Х – текущее значение измеряемой величины,

c и d – составляющие погрешности, приведенные на шкале или в паспорте цифрового прибора.

2.3 Обработка погрешностей измерений.

Если результат измерения определяется как совместное измерение, тогда погрешность результата можно определить воспользовавшись таблицей:

Функция

Погрешности

- абсолютная погрешность

- относительная погрешность

X+Y+Z





X-Y





X*Y











Xn

± n*Xn-1*x









Sin X

± cos Xx

± ctg Xx

Cos X

± sin Xx

± tg Xx

Tg X





Ctg X











Arctg X






2.4 Краткие сведения из теории вероятности.

Следует считать, что если событие может произойти, то оно обязательно произойдет. Все решает только вопрос времени. Возможность происхождения события в данный момент характеризуется вероятностью происхождения события – р. Если, например, событие А может происходить независимо от всех других событий – оно называется независимым, обозначается р(А) и не может превышать 1.



Вероятность осуществления события А называется в этом случае безусловной вероятностью.

Вероятность того, что событие А не произойдет, обозначается р( ).

р( )=1-р(А).

Если событие А не может произойти вне зависимости от события В, то оно называется зависимым.

Вероятность осуществления события А при условии, что произошло событие В, обозначается р(A/B) и называется условной вероятностью события А.

Если события А и В независимы друг от друга, то имеет место математическая запись:



Степень зависимости событий оценивается коэффициентами регрессии и корреляции.

Коэффициент регрессии события А относительно события В записывается как:

r(А,В)=р(А/В)-р(А/ )

Коэффициент регрессии события В относительно события А записывается как:

r(В,А)=р(В/А)-р(В/ ).

Коэффициент корреляции (совпадений) событий А и В выражается формулой:

К(А,В)=

В том случае, если результаты опыта сводятся к схеме случая и общее число случаев (опытов) равно N, то вероятность события А выражается как:

р(А)=NA/N,

где NA-число случаев благоприятных событию А (или число случаев, при которых событие А произошло).

Для достоверной оценки вероятности проявления события необходимо провести ряд опытов, количество которых определяет степень достоверности результата. В метрологии принято считать, что если произведено 30 или более опытов, то ряд называется репрезентативным или представительным. Если опытов было меньшее количество, то ряд называют нерепрезентативным (не представительным).

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения

Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения будем называть результатами отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х:



(2.10)

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие - значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:



На рисунке 2.2 показаны примеры функций распределения вероятности.



Рис. 2.2.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:



(2.11)

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + x , т.е.



Свойства плотности распределения вероятности:

-вероятность достоверного события равна 1;иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице;

- вероятность попадания случайной величины в интервал от до .

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:



(2.12)

Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы, обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность - величина безразмерная.

Используя понятия функций распределения, легко получить выражения для вероятностей того, что результат наблюдений Х или случайная погрешность примет при проведении измерения некоторое значение в интервале или .

В терминах интегральной функции распределения имеем:


т.е. вероятность попадания результата наблюдений или случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения на соответствующие плотности распределения вероятностей согласно выражению, получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения:





Таким образом, вероятность попадания результата наблюдения или случайной погрешности в заданный полуоткрытый интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала. Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения, и называемую математическим ожиданием результатов наблюдений:



(2.13)

В заключение можно дать более строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины:



(2.14)

а случайной погрешностью - разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов



(2.15)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет



(2.16)

Виды распределения результатов наблюдения и случайных погрешностей.

Случайная погрешность измерения образуется под влиянием большого числа факторов, сопутствующих процессу измерения. В каждой конкретной ситуации работает свой механизм образования погрешности. Поэтому естественно предположить, что каждой ситуации должен соответствовать свой тип распределения погрешности. Однако во многих случаях имеются возможности еще до проведения измерений сделать некоторые предположения о форме функции распределения, так что после проведения измерений остается только определить значения некоторых параметров, входящих в выражение для предполагаемой функции распределения.

Случайная погрешность характеризует неопределенность наших знаний об истинном значении измеряемой величины, полученных в результате проведенных наблюдений. Согласно К. Шеннону мерой неопределенности ситуации, описываемой случайной величиной X, является энтропия:



(2.16)

являющаяся функционалом дифференциальной функции распределения . Можно предположить, что любой процесс измерения формируется таким образом, что неопределенность результата наблюдений оказывается наибольшей в некоторых пределах, определяемых допускаемыми значениями погрешности. Поэтому наиболее вероятными должны быть такие распределения , при которых энтропия обращается в максимум.

Для выявления вида наиболее вероятных распределений рассмотрим несколько наиболее типичных случаев.

1. В классе распределений результатов наблюдений , обладающих определенной зоной рассеивания между значениями х = b и х = а шириной b-а=2а, найдем такое, которое обращает в максимум энтропию при наличии ограничивающих условий:

,

,

, где - математическое ожидание результатов наблюдений. Решение поставленной задачи находится методом множителей Лагранжа.

Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением



Такое распределение результатов наблюдений называется равномерным.

Значения дифференциальной функции распределения равномерной распределенной случайной погрешности постоянны в интервале [- а; + а], а вне этого интервала равны нулю (см рисунок 2.3).

 

Рис. 2.3

Поэтому выражение для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать в виде



Определим числовые характеристики равномерного распределения. Математическое ожидание случайной погрешности находим по формуле:



(2.17)

 

  Дисперсию случайной равномерно распределенной погрешности можно найти по формуле:



(2.18)

В силу симметрии распределения относительно математического ожидания коэффициент асимметрии должен равняться нулю



(2.19)

Для определения эксцесса найдем вначале четвертый момент случайной погрешности:



(2.20)

поэтому



В заключение найдем вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал [ ], равный заштрихованной площади на рисунке.





2. В классе распределений результатов наблюдений , обладающих определенной дисперсией , найдем такое, которое обращает в максимум энтропию при наличии ограничений:

, , , .

Решение этой задачи также находится методом множителей Лагранжа. Искомая плотность распределения результатов наблюдений описывается выражением



(2.21)

где - математическое ожидание и - среднеквадратическое отклонение результатов наблюдений.

Учитывая, что при полном исключении систематических погрешностей и , для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать уравнение



(2.22)

Распределение, описываемое этими уравнениями, называется нормальным или распределением Гаусса.

На рисунке изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения .



Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

Вычислим вероятность попадания результата наблюдения в некоторый заданный интервал :



Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики - Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

1. Предположим, что результаты наблюдений распределены нормально, но их среднеквадратическое отклонение является величиной случайной, изменяющейся от опыта к опыту. Такое предположение более осторожное, чем предположение о неизменности в течение всего времени измерений. В этом случае, рассуждая таким же образом, как и прежде, легко найти, что энтропия обращается в максимум, если результаты наблюдений имеют распределение Лапласа с плотностью



(2.23)

где - математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение результатов наблюдения. Распределением Лапласа следует пользоваться в тех случаях, когда точностные характеристики заранее неизвестны или нестабильны во времени.

Дифференциальная функция распределения случайных погрешностей получается подстановкой и в предыдущее выражение:



Асимметрия распределения равна нулю, поскольку распределение симметрично относительно нуля, а эксцесс составляет:



(2.24)

Таким образом, по сравнению с нормальным распределением (Ех = 0) равномерное распределение является более плосковершинным (Ех = -1.2), а распределение Лапласа - более островершинным (Ех=3).

Оценка с помощью интервалов

Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия . Найдем вероятность попадания результата наблюдений в интервал . Согласно формуле:




Но



и, если систематические погрешности исключены ,



Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью находится между границами доверительного интервала .

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0.95 или Р=0.995 и по формулам



определяют соответствующее значение интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным находят значение коэффициента и вычисляют доверительное отклонение . Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений (i=l, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины , а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство.



где определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала



(2.25)

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде



Моменты случайных погрешностей.

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами.

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида



(2.26)

представляющий собой математическое ожидание степени .



При n=1

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида



(2.27)

Вычислим первый центральный момент:



(2.28)

Таким образом, первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю. Важно отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.



(2.29)

При n=2

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратичным отклонением результатов наблюдений:



(2.30)

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины , т. е. вероятность . Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева:

или

Полагая , можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше :



Вероятность того, что погрешность измерения не превысит , составит соответственно



Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности , меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно значительно больше 0.89. Так, например, в случае нормального распределения погрешностей эта вероятность составляет 0.9973.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Действительно, если распределение обладает свойством симметрии, то все функции вида , где s = l, 3, 5..., являются нечетными функциями (см.  рисунок).

Поэтому все нечетные моменты, являющиеся интегралами этих функций в бесконечных пределах, должны равняться нулю. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения. Простейшим из нечетных моментов является третий момент . Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень среднеквадратического отклонения и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Sk распределения:



(2.31)

 

 

Рис. 2.4

Для иллюстрации сказанного на рис.2.4 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением



(2.32)

Число 3 вычитают из отношения потому, что для широко распространенного нормального распределения погрешностей . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плосковершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные - положительным (см. рисунок 2.5).



Рис. 2.5.

  1.   1   2   3


    Федеральное агентство по образованию
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации