Сборник всех основных формул и правил - файл n1.doc

приобрести
Сборник всех основных формул и правил
скачать (574.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc575kb.10.09.2012 12:25скачать

n1.doc

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Действия над многочленами

(a + b – c)x=–ax – bx + cx; (a + b – c)(x + y)=ax + ay + bx + by – cx – cy
дроби

; ; ; ; ;
формулы сокращённого умножения

2= a2 ± 2ab + b2 (a ± b)3 = a3 ± 3ab2 + 3a2b ± b3 a2 – b2 = (a–b)(a+b)

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2)
степени




корни




система двух уравнений первой степени

квадратное уравнение

общего вида: с чётным 2–м коэффициентом




приведённое разложение трёхчлена на множители


теорема Виета для приведённого уравнения




неравенства второй степени

D=b2–4ac

a>0

график

ax2 + bx + c>0

ax2 + bx + c<0

D>0 x12

x1 x>x2

x12




D=0 x1=x2

x1 x>x1

нет решений




D<0 корней нет

x R

нет решений





Неравенства с переменной в знаменателе дроби

1. неравенство сводиться к системам: 2.неравенство сводится к системам:

1) 2) 1) 2)
ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия

Общий член d – разность прогрессии, т.е. или

Сумма n – первых членов или

Геометрическая прогрессия

Общий член где q – знаменатель прогрессии сумма членов бесконечно

Свойства геометрической прогрессии: убывающей прогрессии:

Сумма n – первых членов или
ЛОГАРИФМЫ

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получилось число b.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов: ; ; ; ;

; ; ; ;

ЗАМЕЧАНИЕ: все числа a , b , x , y – принимают положительные значения, а если они стоят в основании логарифма, то не равны единице.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. уравнения вида: 1) при b<0, уравнение решения не имеет

2) при

3) при уравнение можно решить логарифмируя по основанию а,

2. уравнения вида: выражение, находящиеся в скобках уравнения (2), является величиной постоянной; обозначим эту величину буквой N, тогда уравнение (2) примет вид , при N ? 0 имеем:

3. уравнение вида: (1) с помощью подстановки обращается в обычное квадратное уравнение , где y1 и y2 – корни. Далее решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений: 1) 2)

4. уравнение вида: легко привести к виду уравнения (1) из 3.

разделив это уравнение на : С помощью подстановки , уравнение принимает вид: и сводится к решению двух уравнений: 1) 2)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

1. 1) при 2) при

аналогично для неравенства .

2. для неравенства вида решение сводиться к решению систем:

1) 2) 3) 4)

аналогично для неравенства:

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

1. неравенство вида сводится к решению одной из систем:

1) при a>1 2) при 0 аналогично для неравенства:

2. неравенство вида сводиться к решению двух систем:

1) 2) аналогично для неравенства

ПРОИЗВОДНАЯ

значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. – уравнение касательной к графику функции в точке

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ



ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Определение Радианная мера углов 1радиан = 1800/? ?57,295779520;

10 = ?/1800 радиан ? 0,001745 рад.

Знаки тригонометрических функций




sin ?

cos ?

tg ?

ctg ?

0< ?

+

+

+

+

?/2< ? < ?

+







?< ? <3?/2





+

+

3?/2< ? <2?



+





Значения функций характерных углов

радианы

0

?/6

?/4

?/3

?/2

?

3?/2

2?

градусы

00

300

450

600

900

1800

2700

3600

sin ?

0

Ѕ

?2/2

?3/2

1

0

–1

0

cos ?

1

?3/2

?2/2

Ѕ

0

–1

0

1

tg ?

0

?3/3

1

?3

?

0

?

0

ctg ?

?

?3

1

?3/3

0

?

0

?

Формулы приведения. Чётность.

аргумент

функция

sin

cos

tg

ctg

–?

–sin?

cos?

–tg?

–ctg?

?/2 ± ?

cos?

sin?

ctg?

tg?

? ± ?

sin?

–cos?

tg?

ctg?

Основные соотношения

sin2? + cos2? = 1; tg? · ctg? = 1; tg? = sin?/cos? = 1/ctg?; ctg? = cos?/sin? = 1/tg?;

1 + tg2? = 1/cos2?; 1 + ctg2? = 1/sin2?; sec? = 1/cos?; cosec? = 1/sin?;

периодичность

функции sin? и cos? имеют период 2?, а функции tg? и ctg? – период ?.

sin(? + 2?n) = sin?, nZ; cos(? + 2?n) = cos?, nZ; tg(? + ?n) = tg?, nZ; ctg(? + ?n) = ctg?, nZ;

формулы для суммы и разности аргументов.

sin(? ± ?) = sin? · cos? ± cos? · sin?; cos(? ± ?) = cos? · cos? sin? · sin?;

tg(? ± ?) = (tg? ± tg?) / (1 tg? · tg?); ctg(? ± ?) = (ctg? · ctg? 1) / (ctg? ± ctg?);

функции двойных углов

sin2? = 2sin? · cos?; cos2? = cos2? – sin2? = 1–2sin2? = 2cos2? – 1; tg2? = 2tg? / (1–tg2?);

ctg2? = (ctg2? – 1) / 2ctg?;

функции половинного угла

sin(?/2) = ± cos(?/2) = ± tg(?/2) = ±

2sin2(?/2) = 1 – cos?; 2cos2(?/2) = 1 + cos?; sin2? = (1–cos2?) / 2

функции полного угла

sin? = 2tg(?/2) / (1+ tg2(?/2)); cos? = (1–tg2(?/2)) / (1+tg2(?/2)); tg? = 2tg(?/2) / (1–tg2(?/2));

функции тройного угла

sin3? = 3sin? – 4sin3?; cos3? = 4cos3? – 3cos?;

произведения тригонометрических функций

sin? · cos? = Ѕ · (sin(? + ?) + sin(? – ?)); cos? · cos? = Ѕ · (cos(? + ?) + cos(? – ?));

sin? · sin? = Ѕ · cos(? – ?) – cos(? + ?));

сумма и разность тригонометрических функций

sin? + sin? = 2 · sin((? + ?)/2) · cos((? – ?)/2); sin? – sin? = 2 · sin((? – ?)/2) · cos((? + ?)/2);

cos? + cos? = 2 · cos((? + ?)/2) · cos((? – ?)/2); cos? – cos? = 2 · sin((? + ?)/2) · sin((? – ?)/2);

tg? ± tg? = sin(? ± ?) / (cos? · cos?); cos? ± sin? = ;

тригонометрические уравнения

sin? = a, ? = (–1)n · arcsin a + ?·n, nZ; cos? = a, ? = ± arccos a + 2?, nZ;

tg? = a, ? = arctg a + ?·n, nZ; ctg? = a, ? = arcctg a + ?·n, nZ;

частные случаи

sin x = ±1, x = ± ?/2 + 2?, nZ; sin x = 0, x = ?n, nZ; cos x = –1, x = ? + 2?n, nZ;

cos x = 0, x = ?/2 + ?n, nZ; cos x = 1, x = 2?n, nZ;

обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента

arcsin(–?) = –arcsin?; arccos(–?) = ? – arccos?; arctg(–?) = –arctg?; arcctg(–?) = –arcctg?;
ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОД КООРДИНАТ

Пусть на (i, j, k) заданы , тогда операции над ними будут равны:

;



Пусть A ( x1; y1; z1); B (x2; y2; z2); тогда:

вектор; модуль вектора

ТРЕУГОЛЬНИК

внешний угол СВД = ; К – точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). ha, hb, hc – высоты треугольника на соответствующие стороны.

где полупериметр .

М – точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).

ma, mb, mc – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1



Т – точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). La, Lb, Lc – биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС = АВ:АС




r – радиус вписанной окружности. О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности). Радиус описанной окружности:




где S? – площадь треугольника; p – периметр треугольника; hc – высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.

MN – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

где R – радиус описанной окружности.



ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ







ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

где – длины сторон треугольника, а – высоты, опущенные на соответствующие стороны.

– формула Герона.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

тогда площадь

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК



ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

а и b – катеты, с – гипотенуза, ас и bc – проекции катетов на гипотенузу.

а2 + b2 = c2 – теорема Пифагора.

S= a·b/2 = c·hc/2; – радиус вписанной окружности.

R = c/2, – радиус описанной окружности.

sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b2 = c·bc;

a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA = a/cosB = 2R;

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ





ПРЯМОУГОЛЬНИК



РОМБ



КВАДРАТ



ТРАПЕЦИЯ

а и b основания, h высота



ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

Длина окружности с =2?R. Площадь круга S = ?R2 = ?D2/4.

Длина дуги l = ?·R·?/1800. Площадь сектора S = ?·R2·?/3600.

где ? – величина угла дуги в градусах.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ

Свойство вписанного четырёхугольника:

ac + bd = ef, где a,b,c,d – стороны, e,f – диагонали.

Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;

S = p·r, pполупериметр.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Внутренний угол где n – число сторон. an = 2R·sin(1800/n);

Sn = Ѕ ·n·an·r; Sn = Ѕ ·Pn·r; r = R·cos(1800/n);

ШЕСТИУГОЛЬНИК



СТЕРЕОМЕТРИЯ

ПРИЗМА

Боковая поверхность наклонной призмы Sб.п. = P1·l, где P1 – периметр перпендикулярного сечения, l – ребро призмы. Боковая поверхность прямой призмы Sб.п. = Pосн ·l; Объём призмы Vпр=Sосн·h;

ПИРАМИДА

I. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (их длины равны), то высота проходит через центр окружности описанной около многоугольника основания.

II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sб.пир.= Ѕ ·Pосн·ha , где ha – апофема.

Sб.пир.= Sосн /cos? , где ? – угол наклона боковой грани к основанию.

Объём пирамиды: Vпир= ⅓·Sосн·h, где h – высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: Sбок= Ѕ ·(P1+P2ha , где P1, P2 периметры оснований (верхнего и нижнего); ha – апофема.

Объём усечённой пирамиды: где Q1 и Q2 – площади оснований.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

ЦИЛИНДР

Площадь боковой поверхности: Sбок =2·?·R·h; Площадь всей пов–ти: S=2·?·R·(R + h); Объём: V = ?R2·h;

КОНУС

Площадь пов–ти конуса: боковой Sб=?rl; полной Sп=?r ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=?r2h/3;

УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

Площадь боковой пов–ти: Sб.у.к.= ?·l·(R + r); Объём: V=⅓·?·h(R2 + r2 +Rr); угол развёртки: ?=(Rr)/l;

ШАР

Площадь пов–ти сферы: Sсф=4?R2; Объём шара: Vш=4/3·?R 3;

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1) 2) 3) 4)
5) 6) 7)
8) 9) 10)
11) 12) 13)
14) 15) 16)
17) 18)
19) 20)
21) 22)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации