Зайцев В.П. Математика. Часть 2 - файл M10_1.DOC

приобрести
Зайцев В.П. Математика. Часть 2
скачать (2188 kb.)
Доступные файлы (30):
M10_1.DOC598kb.25.01.2000 00:42скачать
M10_2.DOC274kb.24.01.2000 12:02скачать
M10_3.DOC377kb.16.01.2000 21:57скачать
M11_1.DOC628kb.18.01.2000 22:00скачать
M11_2.DOC330kb.18.01.2000 23:48скачать
M11_3.DOC208kb.19.01.2000 01:20скачать
M12_1.DOC260kb.20.01.2000 22:08скачать
M12_2.DOC776kb.24.01.2000 00:36скачать
M13_1.DOC675kb.24.01.2000 12:05скачать
M13_2.DOC492kb.24.01.2000 02:28скачать
M13_3.DOC207kb.24.01.2000 02:36скачать
M14_1.DOC322kb.24.01.2000 12:09скачать
M14_2.DOC353kb.24.01.2000 12:11скачать
M14_3.DOC766kb.19.01.2000 15:10скачать
M14_4.DOC304kb.19.01.2000 15:40скачать
M15_1.DOC606kb.20.01.2000 02:42скачать
M15_2.DOC738kb.20.01.2000 13:21скачать
M15_3.DOC285kb.25.01.2000 00:46скачать
M15_4.DOC330kb.25.01.2000 00:49скачать
M15_5.DOC477kb.21.01.2000 22:47скачать
M16_1.DOC192kb.25.01.2000 01:12скачать
M16_2.DOC546kb.25.01.2000 00:56скачать
M16_3.DOC258kb.25.01.2000 00:59скачать
M16_4.DOC736kb.23.01.2000 18:28скачать
M9_1.DOC581kb.16.01.2000 13:26скачать
M9_2.DOC499kb.16.01.2000 13:42скачать
M9_3.DOC544kb.16.01.2000 13:51скачать
M9_4.DOC479kb.16.01.2000 14:05скачать
n29.doc38kb.28.12.1999 17:20скачать
n30.doc38kb.25.01.2000 00:40скачать

M10_1.DOC

МОДУЛЬ 10

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ


В предыдущем модуле мы познакомились с дифференцированием функции. Изучим теперь различные приложения понятия производной. Предварительно нам нужно рассмотреть некоторые весьма важные теоремы и формулы, которые будут использоваться в дальнейшем.



10.1 Теоремы о среднем
Теорема 1 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b) (т.е. во всех его внутренних точках). Если f(a)=f(b), то найдется точка

Доказательство. Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a,b], то на этом отрезке данная функция достигает наименьшее значение m и наибольшее значение М, т.е. имеем Если m=M, то f(x)=const, поэтому в любой точке. Если то, по-крайней мере, одно из этих чисел отлично от f(a)=f(b). Предположим, что тогда существует M=f(c) (рис. 10.1). В этом случае приращение функции

для любого Значит при и при . Поэтому

Т.к. функция дифференцируема в точке с, то что и требовалось доказать.

Замечания.

1. В условиях теоремы Ролля на графике функции y=f(x) найдётся, по-крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна оси OX (геометрический смысл теоремы Ролля ).

2. Нарушение хотя бы одного из условий теоремы Ролля может привести к тому, что производная не обратится в нуль ни в одной точке.

Приведём графические примеры. На рис.10.2 нарушена непрерывность на [a,b]; на

рис. 10.3 нарушена дифференцируемость во внутренней точке; на рис.10.4 нарушено условие f(a)=f(b).





Теорема 2 (Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), причём Тогда существует

(10.1)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x) g(x), где число подберём так, чтобы функция F(x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля. Условия непрерывности и дифференцируемости выполняются при любом , т.к. f(x) и g(x) обладают указанными свойствами. Условие F(a)=F(b) выполнится, если

f(a) g(a)=f(b) g(b), т.е. при Заметим, что т.к. иначе по теореме Ролля для функции g(x) будет в некоторой точке, что противоречит условию. Применим к функции F(x) теорему Ролля:



что и требовалось.

Теорема 3 (Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

(10.2)

Доказательство. Применим теорему Коши для случая g(x)=x. Т.к. g(b)=b, g(a)=a, то, согласно (10.1), получим что и требуется.

Замечания.

1.Равенство (10.2) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений (приращение аргумента b a на отрезке [a,b] не бесконечно мало, как и приращение функции f(b) f(a) в общем случае). Эта формула имеет многообразное применение в математическом анализе.

2. Во всех трех рассмотренных теоремах фигурирует под знаком производных некоторое среднее значение аргумента которое остаётся неизвестным. В связи с этим обстоятельством все приведённые теоремы обычно называют теоремами о среднем значении.

3. Имеется простая геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа (рис.10.5). Величина где - угол наклона хорды, проведённой через точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Т.к. - тангенс угла наклона касательной, то теорема Лагранжа фактически утверждает, что при указанных условиях на дуге графика функции всегда найдётся хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.
Следствие. Если функция f(x) дифференцируема на (a,b) и то f(x)=C - постоянная функция.

Доказательство. Возьмём любые По теореме Лагранжа Т.к. , то f(x1)=f(x2). Это означает, что значения функции во всех точках одинаковы, поэтому функция постоянная.

Пример 1. Пусть f(x)=arcsinx +arccosx, x(-1,1). Показать, что



● Т.к. то имеем f(x)=C. Определим эту постоянную величину С: Итак, т.е.
10.2 Правило Лопиталя
В этом пункте рассмотрим способ вычисления пределов, связанных с раскрытием неопределённостей вида и при помощи производных. Этот способ называют правилом Лопиталя, оно основано на применении следующей теоремы.

Теорема 4 (Лопиталя). Пусть выполнены следующие условия:

1) функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности U(a) точки x=a за исключением, быть может, самой точки;

2) в U(a);

3) предел представляет собой неопределённость вида или (т.е. функции f(x) и g(x) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при );

4) существует

Тогда существует и равен А.

Доказательство проведём только для случая неопределённости вида Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив их равными нулю, т.е. f(a)=g(a)=0. Тогда функции будут непрерывными в окрестности U(a). Применим к этим функциям теорему Коши на отрезке [a,x] (если x >a) или на отрезке [x,a] (если x ), xU(a): с между a и x:

Перейдём в последнем равенстве к пределу при (тогда, очевидно, и ):



Замечания.

1. Теорема Лопиталя справедлива и для случая , т.к. конечность А нигде не использовалась.

2. Правило Лопиталя можно применять и при . Для проверки этого применим замену переменной и правило дифференцирования сложной функции:

Правило Лопиталя можно применять повторно, если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f(x) и g(x).

Пример 2. Вычислить

● Имеем неопределённость вида , т.к. sin 0=0. Другие условия теоремы Лопиталя также выполнены: функции и g(x)=sinx дифференцируемы для всех x; производная в окрестности x=0; предел отношения производных существует и легко вычисляется:



Итак,

Пример 3. Вычислить





Пример 4. Вычислить

● Здесь правило Лопиталя неприменимо, т.к.

не существует. Попытка применения привела бы к ошибочному выводу, что исходный предел не существует. На самом деле



Неопределённости вида предварительно преобразуют к виду или , после чего используют правило Лопиталя. Для неопределённостей можно применять очевидное тождество



Покажем это на примерах.

Пример 5. Вычислить



. ●

Пример 6 Вычислить




10.3 Формула Тейлора
Ставится задача: представить функцию f(x) в некоторой окрестности точки x = a в виде многочлена относительно разности x a (по степеням x a) и найти ошибку такого приближённого представления.
10.3.1 Формула Тейлора для многочлена
Рассмотрим сначала простейшую из элементарных функций  многочлен степени n относительно x:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +...+ anxn, где an0.

Здесь ai (i=0,1,2,...,n)  коэффициенты многочлена (заданные числа). Преобразуем этот многочлен в многочлен той же n й степени относительно разности x a , т.е. получим точное равенство:

P(x) = A0 + A1(x a) + A2(x a)2 + A3(x a)3 +...+ An(x a)n .

Найдем коэффициенты Ai (i=0,1,2,...,n) в этом многочлене. Для этого продифференцируем это равенство n раз подряд:

P / (x) = A1 + 2A2(x a) + 3A3(x a)2 +...+ nAn(x a)n1 ,

P // (x) = 2Ч1ЧA2 + 3Ч2A3(x a) +...+ n(n 1)An(x a)n2 ,

P /// (x) = 3Ч2Ч1A3 +...+ n(n 1)(n2)An(x -a)n3 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P (n) (x) = n(n 1)(n 2)...21An.

Дальнейшие производные равны нулю. Полагая в этих равенствах x = a, получим

P(a) = A0, P /(a) = A1, P //(a)=2!A2, P ///(a)=3!A3, ..., P(n)(a)=n!An,

отсюда

A0=P(a),

Т.о., коэффициенты многочлена выражаются через значения многочлена и его производных в точке x=a. Подставим их выражения в P(x):

(10.3)

Полученное равенство называется формулой Тейлора для многочлена n-й степени. Формула Тейлора даёт возможность многочлен P(x) по степеням x записать по степеням (xa). Этой формулой удобно пользоваться при вычислениях P(x) для значений аргумента, близких к а. В этом случае, начиная с некоторой степени (x-a), слагаемыми из-за их малости можно пренебречь и, тем самым, упростить вычисление.

В частном случае при a=0 формула Тейлора приобретает вид

(10.4)

формула Маклорена для многочлена.

Пример 7. Записать многочлен P(x) = 8 4x + 3x2 x3 по степеням (x 2).

P / (x) =  4 + 6x  3x2, P // (x) = 6  6x, P /// (x) =  6.

P(2) = 4, P / (2) =  4, P // (2) =  6, P /// (2) =  6.

Поэтому, P(x) = 4 4(x 2) 3(x 2)2 ( x 2)3 .
10.3.2 Формула Тейлора для произвольной функции
Переходим к рассмотрению произвольной функции y = f(x), которая имеет производные до n  го порядка включительно в некоторой окрестности точки x = a.

Составим многочлен



который будем называть многочленом Тейлора nй степени для функции f(x).

Легко убедиться, что этот многочлен и его производные (до nго порядка включительно) в точке x = a имеют те же значения, что и функция f(x) и её производные, т.е.

f(a)=P(a) , f( i)(a) = P( i)(a) при i =1, 2, …, n. Однако, если сама функция f(x) не является многочленом (этот случай был рассмотрен в предыдущем пункте), то уже нельзя утверждать, что f(x) = P(x). Часто оказывается, что разность между f(x) и P(x) мала. В этом случае многочлен Тейлора оказывается хорошим приближённым выражением для f(x). А так как P(x) обычный алгебраический многочлен, вычисление которого не вызывает никаких затруднений, то приближенное равенство f(x) »P(x) даёт средство вычислять функцию f(x) c помощью многочлена Тейлора.

В связи с этим, приобретает интерес оценка разности

rn(x) = f(x)  P(x).

Равенство f(x) = P(x) + rn(x) или, в более подробной записи,

(10.5)

называется формулой Тейлора для функции f(x) по степеням x - a или в окрестности точки a, при этом функция rn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.

Остаточный член может быть записан в разных формах, получим два из них, наиболее часто встречающиеся.

Теорема 5. Если функция f(x) непрерывно дифференцируема n раз в окрестности точки x = a (т.е. f(n)(x) непрерывная функция ), то

,

т.е. при x®a функция rn(x) бесконечно малая более высокого порядка, чем (x - a)n (остаточный член в форме Пеано ).

Доказательство. Вычислим предел применяя правило Лопиталя

для раскрытия неопределённости вида ( напомним, что при

i=1, 2, …, n ) :



.

Теорема доказана. Итак, формулу (10.5) теперь можно записать в виде:

(10.6)

формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание. При n = 1 формула Тейлора имеет вид

.

Т.к. приращение аргумента, приращение функции, то получим известное ранее соотношение

.

Т.о., от использования дифференциала (линейного приближения функции) с помощью формулы Тейлора можно перейти к более точному приближению функции многочленом n й степени.

Пример 8. Записать для функции f(x) = lnx формулу Тейлора в окрестности точки x =1 с остаточным членом в форме Пеано.

 Вычислим значения функции и её производных при x=1:

f(x) = lnx , f(1) = ln1 = 0 ; , f / (1)=1 ;

, f // (1) = -1 ;

, ;

,

Нетрудно заметить, что f(n)(x) = (1)n1(n1)!xn, поэтому f(n)(1) = (1)n1(n1)!. Напомним, что 0! = 1. Итак, согласно (10.6) (при a = 1):





.

Теорема 6. Если функция f(x) непрерывно дифференцируема (n+1) раз в окрестности точки x = a , то

,

где с  некоторая точка между а и x (остаточный член в форме Лагранжа ).

Доказательство. Т.к. rn(x) = f(x) P(x), то Рассмотрим функцию g(x) = (x - a)n+1 . Эта функция обладает такими же свойствами:

g(a) = gў(a) =...= g(n)(a) = 0. В дальнейшем будем считать, что x > a (случай x < a аналогичен). Проведём преобразование :

применяем теорему Коши 

Повторим аналогичные преобразования:

,

где an<...1Заметим, что ,

а g(n+1)(c)=(n+1)! Поэтому отсюда ,

что и требовалось. В этом случае

(10.7)

- формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Часто формула Тейлора применяется при a=0 (т.е. в окрестности нуля). В этом частном случае формулу Тейлора называют формулой Маклорена. Например, если остаточный член взять в форме Лагранжа, то формула Маклорена имеет вид :

(10.8)

где с  точка между нулём и x. Заметим, что такая промежуточная точка с обязательно существует , но нет способа её нахождения в общем случае.

Рассмотрим примеры разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

Пример 9. Разложить функцию f(x) = ex в окрестности x = 0. С помощью полученного разложения вычислить e с точностью до 0,01.

 Т.к. (ex)(k) = ex , то f(0) = f(k)(0) = 1 " k=1, 2,... . Подставляем эти результаты в формулу Маклорена (10.8):

. (10.9)





МОДУЛЬ 10ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации