Малютіна Т.І., Дахер К.А. Вища математика для економістів. Часть 4. Теорія ймовірностей і математична статистика. Практикум - файл n1.doc

приобрести
Малютіна Т.І., Дахер К.А. Вища математика для економістів. Часть 4. Теорія ймовірностей і математична статистика. Практикум
скачать (5720 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc5720kb.09.09.2012 00:10скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20


Державний вищий навчальний заклад

“Українська академія банківської справи

Національного банку України”

Кафедра вищої математики та інформатики


Т.І. Малютіна, К.А. Дахер

ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ



Частина 4

Теорія ймовірностей і математична статистика
Практикум

У 4 частинах
Для студентів економічних спеціальностей

вищих навчальних закладів
Суми

ДВНЗ “УАБС НБУ”

2009

УДК 519.86(075.8)

М18
Рекомендовано до видання вченою радою Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи Національного банку України”, протокол № 3 від 28.11.2008.

Рецензенти:

кандидат технічних наук, доцент

В.В. Яценко;

кандидат технічних наук, доцент

С.В. Кунцев
Відповідальний за випуск

кандидат технічних наук, доцент

В.В. Яценко


Малютіна, Т. І.

В

М18

ища математика для економістів. Ч. 4. Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст] : практикум : у 4 ч. / Т. І. Малютіна, К. А. Дахер ; Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”. – Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. – 159 с.

Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.

Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.



УДК 519.86(075.8)


© Малютіна Т.І., Дахер К.А., 2009

© ДВНЗ “Українська академія банківської справи
Національного банку України”, 2009

ЗМІСТ


ЗМІСТ 3

Вступ 5

Розділ І
ВИПАДКОВІ ПОДІЇ 6

1.1. Простір елементарних подій. Випадкові події
та операції над ними. Комбінаторика 6

1.2. Ймовірність випадкової події.
Способи обчислення ймовірностей
випадкових подій 11

1.3. Теореми додавання і множення ймовірностей.
Умовна ймовірність 16

1.4. Формула повної ймовірності. Формула Байєса 21

1.5. Послідовні незалежні випробування 24

Розділ ІІ
ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 31

2.1. Одновимірні випадкові величини.
Способи задання 31

2.2. Числові характеристики випадкових величин 41

2.3. Рівномірний, показниковий,
нормальний розподіли 52

2.4. Граничні теореми теорії ймовірностей.
Закон великих чисел і центральна
гранична теорема. Нерівність ЧебишОва 58

2.5. Двовимірна випадкова величина 63

Розділ III
ЕЛЕМЕНТИ
МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ 92

3.1. Предмет та основні завдання
математичної статистики 92

3.2. Генеральна та вибіркова сукупності.
Вибірка. Способи відбору 92

3.3. Статистичний розподіл вибірки 94

3.4. Графічне зображення статистичних розподілів 99

3.5. Емпірична функція розподілу. Кумулята 101

3.6. Числові характеристики
статистичного розподілу вибірки 103

3.7. Статистичні оцінки параметрів
генеральної сукупності 110

3.8. Інтервальні оцінки параметрів розподілу 118

3.9. Елементи теорії кореляції 127

3.10. Статистична перевірка статистичних гіпотез 137

Список використаної
та рекомендованої літератури 156

Додаток А 158

Додаток Б 159

Додаток В 160

Додаток Г 161

Додаток Д 162

Додаток Е 163

Додаток Ж 164



Вступ


Практикум укладено відповідно до програми з курсу “Вища математика для економістів”.

Дане видання ставить за мету допомогти студентам самостійно оволодіти методами розв’язання задач з курсу “Теорія ймовірностей і математична статистика”.

Це визначило структуру посібника.

У кожному розділі (підрозділі) наведені короткі теоретичні відомості і формули, необхідні для рішення задач, дані зразки розв’язання задач, що сприяє глибокому засвоєнню теоретичного матеріалу. Після кожного підрозділу даються завдання для самоконтролю у вигляді питань, а також вправ для самостійного розв’язання.

Завдання для самостійної роботи слід виконувати після опрацювання теоретичного матеріалу і розгляду зразків розв’язування прикладів.

Завершується книга довідковим матеріалом для розв’язання практичних задач – статистичними таблицями.

Написання матеріалу між авторами розподіляється так: розділи І, ІІ – Т.І. Малютіна, розділ ІІІ – К.А. Дахер.

Книга орієнтована на студентів економічних спеціальностей.

Розділ І
ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

1.1. Простір елементарних подій. Випадкові події
та операції над ними. Комбінаторика

1.1.1. Основні поняття теорії ймовірностей.
Операції над подіями


У теорії ймовірностей розглядаються випадкові експерименти – ті експерименти, результат яких не можна напевно передбачити. Такі експерименти називатимемо випробуваннями.

Найпростіший результат випробування називається елементарною подією і позначається . Сукупність усіх можливих елементарних подій випробування називається простором елементарних подій і позначається Ω.

Будь-яка підмножина А простору елементарних подій називається випадковою подією (рис. 1а). Елементарні події, що входять в А, називаються сприятливими для А. Сама множина Ω називається достовірною подією, порожня множина Ш – неможливою подією.

Сумою подій А і В називається подія А + В (АВ), яка складається з елементарних подій, що належать хоч б одній із подій А або В (рис. 1б).

Добутком АВ (А?В) називається подія, яка складається з елементарних подій, що належать одночасно А і В (рис. 1в).

Різницею А-В подій А і В називається подія, яка складається з тих елементарних подій, що входять в А і не входять у В (рис. 1г).

Подія називається протилежною події А, якщо Ш і (рис. 1д).

Події утворюють повну групу подій, якщо Ш і (рис. 1е).



АВ А?В А\В

Приклад 1.1. В урні лежать 4 кулі, занумеровані цифрами 1, 2, 3, 4. Витягують по одній дві кулі:

а) описати простір елементарних подій;

б) записати елементарні події, сприятливі для події А, яка полягає в тому, що витягнуто дві кулі з парними номерами.

Розв’язання

а) простір елементарних подій:



б) подія

Питання для самоконтролю


1. Що розуміють під випробуванням, подією?

2. Дати означення простору елементарних подій, випадкової події.

3. Що називається сумою подій, добутком подій, різницею подій?

4. Які події називаються несумісними?

5. Дати означення повної групи несумісних подій.

6. Які події називаються рівноможливими?

Вправи


1. Монету підкидають три рази підряд. Під наслідком випробування будемо розуміти послідовність , де кожний із означає випадання “герба” (Г) або “цифри” (Ц):

а) побудувати простір Ω елементарних подій;

б) описати подію А, яка полягає в тому, що випало не менше двох “гербів”.

2. Нехай А, В, С – три довільні події. Знайти вирази для подій, які полягають в тому, що із А, В, С:

а) відбулась тільки А;

б) відбулися А і В, але С не відбулась;

в) всі три події відбулися;

г) відбулося дві і тільки дві події;

ґ) жодна подія не відбулася;

д) відбулося не більше двох подій.

3.

Записати, у чому полягають події:

4.

Яка з подій утворює з подією A повну групу?

5. Записати, у чому полягають події:

6.

Яка з подій утворює з А повну групу?

7. Кидають два гральні кубики. Побудувати простір елементарних подій, а також записати такі події: А – на кубиках випадуть парні цифри, В – хоча б на одному кубику випаде цифра, кратна трьом,

8. У книжковій шафі стоять підручники з математики, теорії ймовірностей, статистики. Студент навмання бере три підручники. Побудувати простір елементарних подій, а також записати такі події: А – студент взяв принаймні один підручник з математики, В – студент не взяв підручник з теорії ймовірностей, С – студент взяв два підручники зі статистики,

1.1.2. Елементи комбінаторики


При розв’язуванні імовірнісних задач часто використовують елементи комбінаторики.

Нехай М – множина, що містить п елементів.

Розміщенням з п елементів по т називається довільна впорядкована підмножина з т елементів з множини М. Число розміщень з п елементів по т знаходиться за формулою

(1.1)

Приклад 1.2. Студенти вивчають 10 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок, якщо в цей день повинно бути 3 різні дисципліни за розкладом?

Розв’язання. За формулою (1.1) одержимо:



Розміщення з п елементів по п називаються перестановками. Різні перестановки відрізняються лише порядком елементів. Число перестановок з п елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п.

(1.2)

Приклад 1.3. Скількома способами можна розставити на одній полиці 6 різних книг?

Розв’язання. Шукане число способів дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобто
Таблиця 1.1

Розв’язування комбінаторних задач


Вибір правила

Правило суми

Правило добутку

Якщо елемент а можна
вибрати п способами,
а після цього елемент

bт способами, причому
будь-який вибір елемента
а не збігається з вибором
елемента b, то а або b
можна вибрати п + т
способами

Якщо елемент а можна вибрати п способами,
а елемент bт способами, то а і b, тобто пару (а, b)
можна вибрати пт способами

1. Вибір виду сполуки і відповідної формули

Чи враховується порядок розміщення елементів?

Так

Ні

Чи всі елементи входять до сполуки?

Так

Ні

















2. Модель

Впорядкована множина
з п елементів

Впорядкована множина
з т різних елементів,
кожний з яких вибрано
з п-елементної множини

Довільна множина
з т різних елементів,
кожний з яких вибрано
з п-елементної множини

3. Характеристичні ознаки

1) елементи різні

1) елементи і місця різні

1) елементи різні

2) усі місця зайняті

2) 0

2) 0

3) порядок елементів
важливий

3) усі т місця зайняті

3) порядок вибору елементів
не має значення

4) порядок елементів
важливий


Комбінацією (сполукою) з п елементів по т називається довільна підмножина з т елементів з множини М. Порядок елементів у комбінаціях неістотний. Число комбінацій з п елементів по т знаходиться за формулою

(1.3)

Умовимось, що 0! = 1.

Приклад 1.4. У бригаді з 25 чоловік потрібно вибрати чотирьох для роботи на певній ділянці. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. Оскільки порядок вибраних чотирьох чоловік не має значення, то це можна зробити способами. За формулою (1.3) знаходимо


Питання для самоконтролю


1. Що таке комбінаторика?

2. Які задачі вважаються комбінаторними?

3. Дати означення:

а) перестановки з п елементів;

б) розміщення з п по т елементів;

в) комбінації з п по т елементів.

4. Записати формули для обчислення числа:

а) перестановок з п елементів;

б) розміщень з п по т елементів;

в) комбінацій з п по т елементів.

5. Чого більше – розміщень чи комбінацій з п по т елементів?

Вправи


1. Скількома способами можна скласти список із 15 студентів групи?

2. Скількома способами 6 осіб можна розмістити за круглим столом?

3. Скількома способами можна призначити трьох осіб на три різні посади з 8 кандидатів на них?

4. Скільки можна утворити телефонних номерів, кожен з яких містить п’ять різних цифр (номер не може починатися з нуля)?

5. У банку працюють 15 співробітників, три з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків:

а) із 8 співробітників;

б) із 6 кваліфікованих співробітників?

6. Правління підприємства складається з 9 осіб. Скількома способами можна вибрати:

а) три особи у відрядження;

б) президента, директора та комерційного директора?

7. На книжковій полиці вміщується 10 томів енциклопедії. Скількома способами їх можна розташувати так, щоб:

а) томи 1 і 2 стояли поруч;

б) томи 3 і 4 не стояли поруч?

8. Вісім груп навчається в десяти розміщених поряд аудиторіях. Скільки існує варіантів розміщення груп в аудиторіях, при яких:

а) групи № 1 і 2 знаходитимуться в сусідніх аудиторіях;

б) групи № 5 і 7 знаходитимуться не в сусідніх аудиторіях.

9. Скількома способами з 12 учасників змагань можна скласти:

а) команду з чотирьох осіб;

б) 3 групи по 4 особи?
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   20


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации