Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач - файл n9.docx

приобрести
Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач
скачать (5974.3 kb.)
Доступные файлы (10):
n1.docx95kb.11.03.2008 23:26скачать
n2.docx15kb.01.09.2009 23:53скачать
n3.docx14kb.11.03.2008 23:24скачать
n4.docx834kb.26.09.2008 20:51скачать
n5.docx752kb.26.09.2008 19:14скачать
n6.docxскачать
n7.docx1488kb.18.11.2008 16:03скачать
n8.docx670kb.27.09.2008 22:49скачать
n9.docx1799kb.27.09.2008 21:47скачать
n10.docx1402kb.27.09.2008 22:17скачать

n9.docx




Глава 5 Векторные функции

Глава 6. Векторные функции
1. Определение вектор-функции скалярного аргумента. Если каждому значению скалярного аргумента ставится в соответствие функций , то набор этих функций называется вектор-функцией скалярного аргумента

.

Пусть - базис -мерного векторного пространства. Разложим вектор-функцию по векторам базиса

.

Если вектор-функцию представить как радиус-вектор , начало которого поместить в начало координат, то конец радиус-вектора будет описывать некоторую кривую, называемую годографом векторной функции.
2. Предел и непрерывность вектор-функции. Вектор называется пределом вектор-функции при , если для любого сколь угодно малого числа существует такое число , что для всех значений аргумента из области справедливо неравенство .

Вектор-функция называется непрерывной в точке , если

.
3. Производная вектор-функции скалярного аргумента и свойства производной. Производной вектор-функции по скалярному аргументу называется предел

.

Свойства производной вектор-функции

1. .

2. Вектор лежит на касательной к кривой

3. при условии =const.

4. .
4. Определение вектор-функции векторного аргумента. Если каждой совокупности переменных соответствует переменных так, что

,

то говорят, что задана вектор-функция векторного аргумента

или , или .

Векторным полем векторной функции в евклидовом пространстве называется совокупность векторов, заданная в каждой точке векторной величиной



Векторное поле вектора называется потенциальным, если существует скалярная функция такая, что . Функция называется потенциалом поля, ее поверхности уровня в евклидовом пространстве эквипотенциальными поверхностями или линиями уровня.

5. Производная вектор-функции векторного аргумента. Производной вектор-функции по вектор-аргументу в точке называется предел

.

Производной от по переменной является матрица Якоби размерами , составленная из частных производных функций

.

Если задана -мерная дифференцируемая вектор-функция от -мерного вектор-аргумента , а вектор-аргумент в свою очередь является дифференцируемой вектор-функцией от -мерного вектор-аргумента , то

.




Рис. 6.1

М

1

ПРИМЕР 1. На одной координатной плоскости построить годограф вектор-функции и ее вектор-производную в заданной точке , если вектор-функция имеет вид .

Решение. Выясним, при каком значении годограф проходит через точку , для чего составим и решим систему уравнений . Ее решение . Найдем вектор-производную в этой точке . На рис. 6.1 изображен годограф вектор-функции. Вектор-производная представлена вектором с координатами , касательным к кривой в точке М.
ПРИМЕР 2. Найти потенциал векторного поля вектора и эквипотенциальные линии поля (линии уровня).

Решение. Наша задача: по известным частным производным

и (1)

восстановить потенциал . Подобные задачи решаются методами, развитыми в теории дифференциальных уравнений. Однако, в простых случаях можно подобрать такую функцию. Например, . Линии уровня получаются из уравнения , где .
ПРИМЕР 3. Найти производную сложной вектор-функции по вектор-аргументу , если , .

Решение. Найдем производные и , которые являются матрицами Якоби

;

.

Производная сложной функции находится как произведение полученных матриц

.



Изобразить на координатной плоскости последовательно координаты вектор-функции и найти , , а также , .

,





Найти область определения вектор-функции








,











Найти область значений вектор-функции, т.е. найти ограничения на .

















Определить период вектор-функции




















Непериодическая





Найти наибольшую и наименьшую координаты вектор-функции








Наибольшая координата ,

наименьшая координата





Исследовать вектор-функцию на четность








Нечетная





Четная





Изобразить на координатной плоскости годограф вектор-функции













.






.






.






.






.






Найти , если





Найти , если





Среди вектор-функций указать функции, ограниченные на заданном промежутке

а), .

б) ,

а) ограничена;

б) не ограничена





Найди предел














не существует









Исследовать вектор-функцию на непрерывность в точке

Непрерывна





Найти производную вектор-функции






.





.

























Не существует





Найти производную функции:
























, если

0



На одной координатной плоскости построить годограф вектор-функции и ее вектор-производную в заданной точке , если вектор-функция имеет вид:



, .







, .







,







, .







Известно, что . Найти вектор-производную .





Доказать, что вектор-производная лежит на касательной к кривой .



Доказать, что скалярное произведение вектор-функции на вектор-производную при условии =const, равно нулю: .



Доказать, что из условия не следует равенство нулю вектор-производной.

Найти и изобразить область определения вектор-функции векторного аргумента




1

1











1























































Все точки внутри части шара радиусом 3, включая ограничивающую плоскость.







Все точки между меньшей и большей полусферами радиусов 1 и , включая границы.







Все точки внутри сферы радиуса 2, включая границы, и вне цилиндра радиуса 1, исключая границы.






Все точки параболоида вращения, ограниченные по оси плоскостью .







Все точки конуса, ограниченные сверху частью сферы.






Все точки конуса, включая границы.







Все точки усеченного конуса, включая границы.







Все точки выше полусферы и ниже поверхности параболоида вращения, включая границы.







Все точки выше поверхности параболоида вращения, вне цилиндра и ниже плоскости , включая границы

Построить фрагмент карты векторного поля вектор-функции



в области


































в области






в области .


Для скалярной функции векторного аргумента найти и построить вектор-функцию того же аргумента (найти и построить градиент скалярного поля по его потенциалу)



























в области






в области





















Для скалярной функции векторного аргумента найти вектор-функцию того же аргумента (найти градиент скалярного поля по его потенциалу)

























Найти потенциал векторного поля вектора и эквипотенциальные линии поля (линии уровня), если:





. Линии уровня – окружности , где .



, ,

. Линии уровня – гиперболы , где .





. Линии уровня – кривые , где .





. Линии уровня – кривые , где .





. Линии уровня – гиперболы , где .





. Линии уровня – гиперболы , где .

Найти производную вектор-функции по вектор-аргументу :





























































Найти производную сложной вектор-функции по вектор-аргументу :



, где





, где





, где





, где





, где





Глава 5 Векторные функции
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации