Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач - файл n8.docx

приобрести
Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач
скачать (5974.3 kb.)
Доступные файлы (10):
n1.docx95kb.11.03.2008 23:26скачать
n2.docx15kb.01.09.2009 23:53скачать
n3.docx14kb.11.03.2008 23:24скачать
n4.docx834kb.26.09.2008 20:51скачать
n5.docx752kb.26.09.2008 19:14скачать
n6.docxскачать
n7.docx1488kb.18.11.2008 16:03скачать
n8.docx670kb.27.09.2008 22:49скачать
n9.docx1799kb.27.09.2008 21:47скачать
n10.docx1402kb.27.09.2008 22:17скачать

n8.docx




Глава 4 Линейные отображения

Глава 4. Линейные отображения

1.Линейные операторы. Пусть каждому вектору ставится в соответствие по определенному правилу вектор. Это правило называется отображением, или преобразованием, или оператором. Обозначение:

.

Оператор называется линейным, если

,

.

Действие оператора на вектор сводится к умножению матрицы оператора



на матрицу-столбец, составленный из координат вектора , т. е.

.

При переходе от старого базису к новому матрица линейного оператора преобразуется по правилу:

,

где - матрица линейного оператора в новом базисе.

2.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Вектор называется собственным вектором оператора, если существует такое число , что . Число называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору . Величина есть корень характеристического уравнения

=0.

3.Квадратичные формы. Выражение вида



называется квадратичной формой переменных . В матричной форме квадратичная форма имеет вид: , где

, .

Квадратичная форма называется канонической, если все коэффициенты при равны нулю. Пусть среди переменных хотя бы один не равен нулю. Тогда

Название формы

Обозна-

чение

Оценка знакоопределенности формы

по минорам матрицы

по собственным значениям матрицы

Положительно определенная



Если все угловые миноры положительны: , .

Если все собственные значения положительны

Отрицательно определенная



Если в угловых минорах чередуются знаки: , .

Если все собственные значения отрицательны

Положительно полуопределенная



Если все главные миноры неотрицательны: ,

Если все собственные значения неотрицательны

Отрицательно полуопределенная



Если в главных минорах чередуются знаки:

Если все собственные значения неположительны

Неопределенная






Если собственные значения имеют разные знаки

Равная нулю






Если все собственные значения равны нулю


ПРИМЕР 1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы .

Решение. Найдем вначале собственные значения матрицы, решая векторное уравнение

,

где – предполагаемый собственный вектор, - собственное число. Уравнение в матричном виде запишется так:

.

Перенесем слагаемые влево и вынесем Х за скобки. Получим

. (1)

Это уравнение всегда имеет нулевое решение. Чтобы оно имело и ненулевые решения, должно быть выполнено условие

.

Найдем матрицу . Ее вид:

.

Следовательно,

.

Раскроем определитель по правилу треугольников, получим

.

После преобразований будем иметь

или .

Решение уравнения . Это по определению собственные числа матрицы. Для нахождения собственных векторов подставим в уравнение (1). Получим в развернутом матричном виде уравнение

.

Матричное уравнение можно записать в виде системы уравнений



Система уравнений является однородной, определитель матрицы коэффициентов системы равен нулю. Поэтому, кроме нулевого решения, система имеет и другие решения. Найдем их, используя метод Гаусса.

.

Отсюда следует система уравнений ,

общий вид решений которой .

Векторы , где ,

есть собственные векторы исходной матрицы, соответствующие собственным числам .
ПРИМЕР 2. Решить уравнение линейного преобразования, т. е. найти матрицу линейного оператора из равенства

, где , .

Решение. Напишем уравнение в матричной форме

,

а затем в виде системы линейных уравнений

.

Перенеся все члены в одну часть, получим

.

Система имеет решение для любой пары переменных при условии, что все коэффициенты перед переменными равны нулю, т. е.

.

Следовательно, матрица оператора имеет вид

.

ПРИМЕР 3. Найти квадратичную форму , полученную из квадратичной формы



в результате действия линейного оператора

.

Решение. Действие линейного оператора порождает вектор

,

что приводит к преобразованию квадратичной формы



в форму

.

После перемножения матриц получаем

.

ПРИМЕР 4. Найти линейный оператор , под действием которого квадратичная форма



принимает канонический вид. Привести этот канонический вид квадратичной формы.

Решение. Преобразуем квадратичную форму к каноническому виду

.

Введем новые переменные

,

в которых форма будет представлена в каноническом виде

Следовательно, линейный оператор , под действием которого форма преобразуется в форму , имеет вид

.

ПРИМЕР 5. Квадратичную форму



привести к каноническому виду

Решение. После замены переменного форма



переходит в форму

,

которая должна содержать только слагаемые с квадратами переменных. Таким образом, задача равнозначна следующей: найти ортогональную матрицу Р такую, чтобы матрица имела диагональный вид. Это всегда возможно для симметрической матрицы , если в качестве столбцов искомой матрицы Р выбрать ортонормированную систему собственных векторов матрицы формы . Тогда посредством замены квадратичная форма приводится к виду

,

где - собственные значения матрицы Р с учетом кратности.

Итак, находим собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Получим собственные значения и соответствующие им собственные векторы

.

Так как собственные значения попарно различны, то соответствующие им векторы попарно ортогональны. Для получения ортонормированной матрицы их необходимо пронормировать. Тогда ортогональная матрица будет иметь вид



и посредством замены



исходная квадратичная форма переводится в каноническую форму

.

ПРИМЕР 6. Исследовать квадратичную форму



на знакоопределенность.

Решение. 1 способ. Составим матрицу квадратичной формы

.

Найдем угловые миноры:

, .

Поскольку есть миноры, равные нулю, форма не является положительно определенной. Рассмотрим все главные миноры 1-го порядка : ,

главные миноры 2-го порядка ,

главный минор 3-го порядка .

Все они неотрицательны. Следовательно, форма является неотрицательной.

2 способ. Решим задачу на собственные числа и собственные векторы симметричной матрицы квадратичной формы.

.

Собственные значения являются неотрицательными, квадратичная форма неотрицательно определена. Матрица квадратичной формы представима в диагональном виде.





Найти матрицу линейного оператора преобразования , если векторы х и у принадлежат одному векторному пространству и разложены по одному базису.

















Линейный оператор не существует











Линейный оператор не существует









Найти образ у вектора , если линейный оператор задан матрицей .





Найти прообраз х вектора , если линейный оператор задан матрицей





Известно, что , . Найти оператор линейного преобразования .





Известно, что , . Найти оператор линейного преобразования






Найти базис ядра и размер дефекта оператора, представленного матрицей





(1,0,2),(1,2,0); размер дефекта - 2.





(-3,1,1); размер дефекта - 1





(1,-2,1); размер дефекта - 1





(1,-2,1); размер дефекта - 1





(-5,1,2,0); размер дефекта - 1





(0,0,0,1),(-1,1,0,0); размер дефекта - 2





(-1,1,1,1); размер дефекта - 1





(2,-3,0,1),(1,-2,1,0); размер дефекта - 2




Матрица линейного оператора задана в старом базисе . Какой вид имеет матрица оператора в новом базисе ?



. Новый базис .





. Новый базис .





. Новый базис .





. Новый базис .






Матрица линейного оператора задана в старом базисе. Какой вид имеет матрица оператора в новом базисе



. Новый базис: .





. Новый базис: .





. Новый базис: .





Линейный оператор задан в старом базисе матрицей Р, в новом базисе - матрицей Р*. Известна матрица T перехода от старого базиса к новому. Найти Р, зная Р*?

.



Матрица линейного оператора задана в новом базисе . Какой вид имеет матрица оператора в старом базисе?





Доказать, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.



Линейный оператор преобразует линейно независимые векторы , в векторы , т.е. , . Доказать, что матрица линейного оператора равна , где столбцы матриц А и В состоят из координат векторов , и соответственно.



Линейный оператор , заданный матрицей , преобразует векторы и в векторы и , т.е. , . Найти матрицу Р линейного оператора .






Решить уравнение линейного преобразования вектора х (матрично-векторное уравнение), где , т. е. найти матрицу линейного оператора из равенства:



, где и не равно 0.





где .





, где





, где .

Линейный оператор не существует.



Решить уравнение линейного преобразования (матрично-векторное уравнение) в пространстве . , где .






Линейный оператор преобразует векторы соответственно в векторы . Найти матрицу Р линейного оператора .



, и





, и





и







и








Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами





. Собственные векторы .

. Собственные векторы , .





. Собственные векторы .

. Собственные векторы , .





. Собственные векторы .

. Собственные векторы , .





. Собственные векторы .

. Собственные векторы , .





. Собственные векторы .

. Собственные векторы , где , и одновременно.





. Собственные векторы ;

. Собственные векторы ;

. Собственные векторы , где .





. Собственные векторы , где , и одновременно;

. Собственные векторы , где .





. Собственные векторы ;

. Собственные векторы ;

. Собственные векторы , где .





. Собственные векторы ;

. Собственные векторы , где , и одновременно.





. Собственные векторы .

. Собственные векторы , где , и одновременно.





. Собственные векторы , где .





. Собственные векторы , где .





. Собственные векторы , где и одновременно.





. Собственные векторы , где и одновременно.

. Собственные векторы , где .





. Собственные векторы .

. Собственные векторы , где .





. Собственные векторы , где





. Собственные векторы , где

. Собственные векторы , и одновременно.





. Собственные векторы , где и одновременно.

. Собственные векторы , где и одновременно.



Выяснить, можно ли матрицу оператора привести к диагональному виду?








Нет, т.к. на собственных векторах нельзя построить базис.





Да, можно.



Доказать, что определитель матрицы (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса.



Доказать, что собственные векторы линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.



Доказать, что матрица оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, где по диагонали стоят собственные числа



Сформулировать определение ортогонального оператора.



Сформулировать условие ортогональности оператора.



Доказать, что ортогональный оператор сохраняет длины векторов.



Доказать, что ортогональный оператор сохраняет углы между векторами



Доказать, что ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис



Доказать, что собственные векторы ортогонального оператора, принадлежащие различным собственным значениям, взаимно ортогональны



Доказать, что произведение ортогональных операторов является ортогональным оператором



Доказать, что оператор, обратный ортогональному оператору, ортогонален.



Доказать, что транспонированный ортогональный оператор совпадает с обратным



При каких условиях диагональная матрица является ортогональной?

Диагональные элементы равны




Показать, что матрица оператора ортогональна. Привести ее к диагональному виду.




























Доказать, что собственные векторы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.



Доказать, что если в евклидовом пространстве задан симметричный оператор , то в существует ортонормированный базис , составленный из собственных векторов .



Доказать, что матрица P симметричного оператора обладает каноническим разложением, т.е.

, где - ортогональная матрица перехода









Найти ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов симметричного оператора, заданного матрицей





Собственные числа ; например,







Собственные числа ; например,







Собственные числа ; например,







Собственные числа ; например,







Собственные числа ; например,







Собственные числа ;

например,







Собственные числа ;

например,







Собственные числа ;

например,








Собственные числа ; например,





Доказать, что все собственные значения невырожденного оператора отличны от нуля.



Собственное значение оператора равно . Найти собственное значение обратного оператора .





Доказать, что оператор, обратный невырожденному симметричному оператору, является симметричным.



Доказать, что характеристический многочлен симметричного оператора имеет только действительные корни.



Симметричный оператор называется положительно определенным (положительным), если все его угловые миноры положительны. Доказать, что симметричный оператор является положительно определенным в том и только в том случае, когда его собственные значения положительны.



Доказать, что положительно определенный оператор невырожден.



Доказать, что оператор, обратный положительно определенному, также положительно определен.




Матрица линейного оператора задана в некотором базисе. Перейти к новому базису, состоящему из собственных векторов матрицы? Найти этот базис и соответствующую ему матрицу.





.





.















Дана матрица.

1) Найти углы между собственными векторами матрицы.

2) Какой вид имеет матрица Р в новом базисе (обозначим ее через ), построенном на собственных векторах матрицы?

3) Как изменится матрица , если собственные векторы привести к единичному виду? Обосновать.

1) 900, 900, 900.

2) .

3) не изменится.



Дана матрица.

1) Найти угол между собственными векторами матрицы.

2) Какой вид имеет матрица Р в новом базисе, построенном на собственных векторах матрицы?

3) Построить ортонормированный базис, используя собственные векторы, и матрицу в этом базисе

1). 2) .

3) .




Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису? Если это возможно, найти новый базис и соответствующую ему матрицу.





Матрица не приводится к диагональному виду











Матрица не приводится к диагональному виду










Извлечь арифметический корень из матрицы


































































































Квадратичные формы

Записать квадратичную форму в матричном виде





















Записать квадратичную форму



в виде скалярного произведения векторов

, где



Какой вид примет квадратичная форма под действием линейного оператора ?

, где Р – матрица оператора



Какой вид примет квадратичная форма под действием линейного оператора ?

, где – матрица оператора




Найти квадратичную форму , полученную из квадратичной формы в результате действия линейного оператора .



.





.





.





.











.







Привести к каноническому виду квадратичную форму и определить ее ранг.





Например, , где

Ранг равен 2





Например, , где

Ранг равен 3.





Например, , где

Ранг равен 3.





Например, , где

Ранг равен 3.




Найти линейный оператор , под действием которого квадратичная форма принимает канонический вид. Привести этот канонический вид квадратичной формы.





.





.





.





.




Найти линейный оператор , связывающий квадратичные формы и





.

Например,







.

Например,






Используя собственные значения и собственные векторы матрицы квадратичной формы, привести ее к каноническому виду.













































Для квадратичной формы

построить ортонормированный базис из собственных векторов матрицы формы.





Доказать, что характеристический многочлен не изменяется при ортогональном преобразовании квадратичной формы.




Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность





Положительно полуопределенная





Не является знакоопределенной





Положительно определенная





Отрицательно определенная





Положительно определенная





Не является знакоопределенной





Положительно полуопределенная





Отрицательно полуопределенная





Положительно определенная





Найти все значения параметра а, при которых квадратичная форма положительно знакоопределена

















Таких а не существует.





Глава 4 Линейные отображения
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации