Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач - файл n5.docx

приобрести
Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач
скачать (5974.3 kb.)
Доступные файлы (10):
n1.docx95kb.11.03.2008 23:26скачать
n2.docx15kb.01.09.2009 23:53скачать
n3.docx14kb.11.03.2008 23:24скачать
n4.docx834kb.26.09.2008 20:51скачать
n5.docx752kb.26.09.2008 19:14скачать
n6.docxскачать
n7.docx1488kb.18.11.2008 16:03скачать
n8.docx670kb.27.09.2008 22:49скачать
n9.docx1799kb.27.09.2008 21:47скачать
n10.docx1402kb.27.09.2008 22:17скачать

n5.docx




Глава 2 Системы линейных уравнений

Глава 2. Системы линейных уравнений.

1. Системы линейных уравнений. Система из линейных уравнений с переменными имеет вид:

,

где - коэффициенты перед переменными и свободные члены.

Краткая запись .

Если ввести матрицу коэффициентов , матрицу переменных и матрицу свободных членов , то система линейных уравнений может быть записана в матричной форме .

2. Методы решения системы линейных уравнений.

1) Метод Гаусса. Метод заключается в последовательном исключении переменных путем некоторых элементарных преобразований, в результате чего система приводится к ступенчатому виду с нулями ниже главной диагонали. Переменные находятся, начиная с последних по номеру переменных.

2) Метод Гаусса-Жордана. Представляет собой продолжение метода Гаусса, заключающийся в том, что нули получают также выше главной диагонали. Элементы на главной диагонали приводят к единицам, в результате чего из полученной матрицы выписывается сразу решение системы.

3) Метод Крамера. Переменные могут быть найдены по формулам Крамера , где - определитель матрицы коэффициентов перед переменными , - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой j-го столбца на столбец свободных членов.

4) Метод обратной матрицы. Из матричного уравнения следует . Найдя обратную матрицу и умножив ее на матрицу свободных членов, получаем матрицу переменных.

3. Условие существования решения.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений имела решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы, т.е .

Если , причем , система имеет единственное решение.

Если , причем , система имеет бесконечное множество решений, которое может быть определенным образом структурировано. r переменных могут быть найдены через остальные n-r переменных. Эти r переменных называются базисными, остальные n-r переменных называются свободными. Переменная может быть включена в число базисных переменных, если определитель матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Решение системы уравнений, в котором n-r свободных переменных кладутся равными нулю, называется базисным.

4. Однородные системы уравнений. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю. Общий вид однородной системы уравнений:



Если ранг , система имеет n-r независимых решений, причем любое решение однородной системы является линейной комбинацией этих независимых решений. Каждое из n-r независимых решений называется фундаментальным решением, а совокупность этих n-r фундаментальных решений называется фундаментальной системой решений.
ПРИМЕР 1. Преобразовать матрицу по методу Гаусса-Жордана.

Решение. Основной элемент, на который будем ориентироваться, образуя в столбцах нули, выделим скобками.



Переставим 3-й столбец на место 5-го столбца, 4-й и 5-й столбцы передвинем на один столбец влево:
.
ПРИМЕР 2. Решить систему линейных уравнений

1) методом Гаусса,

2) методом Гаусса-Жордана,

3) с помощью обратной матрицы,

4) методом Крамера.

Решение.

1) Метод Гаусса. Образуем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду:

.

Отсюда . Итак, решением системы уравнений является тройка чисел .

2) Метод Гаусса-Жордана. Продолжим элементарные преобразования с расширенной матрицей, образуя треугольник нулей выше главной диагонали

. Тогда .

3) Метод обратной матрицы. Представим систему уравнений в виде матричного уравнения

, где ,,.

Решение матричного уравнения имеет вид . Вычислим определитель матрицы коэффициентов перед неизвестными:

.

Найдем присоединенную матрицу и разделим ее на определитель :

.

Перемножив матрицы и . Получим значения неизвестных:

.

4) Метод Крамера. Найдем главный определитель и определители матрицы коэффициентов, у которой один из столбцов заменен на столбец свободных членов. Неизвестные находятся по формулам Крамера

, , .
ПРИМЕР 3. Найти какое-либо базисное решение системы уравнений .

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы



Минор в квадратных скобках, составленный из коэффициентов при переменных , отличен от нуля. Ранг матрицы коэффициентов равен трем, ранг расширенной матрицы – также три. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система имеет решения. Найдем те из них, которые называются базисными. Положим переменные основными, переменные - свободными и равными нулю. Тогда получим систему . Решая ее, найдем базисное решение .

ПРИМЕР 4. Найти какой-либо фундаментальный набор решений системы уравнений



Решение. Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных

.

Используя метод Гаусса-Жордана, приведем угловой минор к диагональному виду

.

Угловой минор 3-го порядка не равен нулю. Ранг матрицы равен трем. Пусть являются основными переменными, - свободными. Тогда из полученной матрицы следует решение системы в виде

.

Это решение удобно записать в следующем виде

.

Обозначим свободные переменные , которые могут принимать любые значения, соответственно через . Общее решение однородной системы уравнений теперь можно записать так:

, где .

Два столбца элементов и есть по определению фундаментальные решения системы уравнений. Они образуют фундаментальный набор решений. Столбцы фундаментального набора линейно независимы. Любое решение однородной системы есть линейная комбинация фундаментального набора решений.
ПРИМЕР 5. Найти одно из решений матричного уравнения , где , .

Решение. Первый сомножитель уравнения есть матрица размерами 2х3, свободный член – матрица размерами 2х4. Следовательно, матрица неизвестных должна иметь размеры 3х4. Напишем матричное уравнение в развернутом виде



Перемножив матрицы, получим систему из 8 уравнений с 12-ю переменными. Система расщепляется на 4 системы, не связанные между собой по переменным. Рассмотрим 1-ю из них.

.

Ранг матрицы коэффициентов системы равен 2. Пусть основными переменными будут , свободной переменной . Найдем и : . Тогда общее решение 1-й системы имеет вид:

, где .

Одно из решений получим, положив . Итак, .

Аналогичным образом можно решить три другие системы. В окончательном виде одно из решений задачи можно записать, например, так

.
Задачи для самостоятельного решения.

Методы решения систем линейных уравнений




Преобразовать матрицу по методу Гаусса-Жордана.






.





.





.





.





.





.





.





.





.





.





.











.























.







Решить систему уравнений методом Гаусса












.





.





.





а)

Бесконечное множество решений, которые можно записать, например, так:

где




б)

Бесконечное много решений, которые можно записать, например, так:

, где



.













Нет решений



.





.





.





.





.






.

Нет решений



.

Нет решений



.





.





.





.







Система имеет бесконечно много решений, которые можно записать, например, так:

, где



.





.





.






Какому условию должна удовлетворять система уравнений, чтобы можно было использованием метода Гаусса получить решение системы?

Быть линейной.



Что можно сказать о решении системы линейных уравнений, если:

1) ;

2) при 3 переменных;

3) ,?

1) Имеет решения;

2) имеет бесконечное множество решений;

3) несовместна.





Решить систему уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса-Жордана


















.





.






.






.





.























.





.





.





.





.





.





.






Какому условию должна удовлетворять система уравнений, чтобы можно было использованием метода обратной матрицы получить решение системы? Обосновать.

Определитель матрицы коэффициентов при неизвестных не равен нулю.





Не решая системы уравнений, на основе теоремы Кронекера-Капелли сделать вывод о наличии или отсутствии решений у системы.








. Система имеет единственное решение.





. Система имеет бесконечное множество решений.



.

. Система не имеет решений.





. Система имеет бесконечное множество решений.





. Система не имеет решений.





. Система имеет единственное решение.





Базисные решения







Может ли система линейных уравнений не иметь базисных решений? Обосновать.

Да, если:

1) система уравнений является однородной;

2) система уравнений, являясь неоднородной, несовместна.



Как определить максимальное число возможных базисных решений системы линейных уравнений?

Это число сочетаний из n неизвестных по r, где r – ранг матрицы коэффициентов при неизвестных, n – число неизвестных.





Найти все базисные решения системы уравнений






.

,,,,.



.

,,,,.



.

,




.

,




.

, , , ,





Найти какое-либо одно базисное решение системы линейных уравнений:






.

Свободная переменная - :



.

Свободная переменная - :





.

Свободная переменная - :





.

Свободная переменная - :





.

Свободная переменная - :





.

Свободные переменные - :







Свободные переменные - :





.

Свободные переменные -:







Свободные переменные - :





.

Свободные переменные -:







Свободные переменные -:








Фундаментальные решения







Может ли однородная система линейных уравнений не иметь фундаментальных решений? Обосновать.

Да, если определитель матрицы, составленной из коэффициентов перед неизвестными, отличен от нуля.



Какому условию должна удовлетворять система линейных уравнений, чтобы сумма двух решений этой системы также являлась бы решением данной системы?

Быть однородной.



Чему равен ранг набора фундаментальных решений, входящих в фундаментальную систему решений? Обосновать.

Количеству фундаментальных решений в наборе.



Как определить число фундаментальных решений в наборе, представляющем общее решение однородной системы линейных уравнений?

Это величина равна n-r, где r – ранг матрицы коэффициентов при неизвестных, n – число неизвестных



Как определить максимальное число возможных наборов фундаментальных решений системы линейных уравнений?

Это число сочетаний из n неизвестных по r, где r – ранг матрицы коэффициентов при неизвестных, n – число неизвестных.



Можно ли для любой однородной системы линейных уравнений с рациональными коэффициентами построить целочисленные фундаментальные решения (при условии, что ранг матрицы коэффициентов меньше числа переменных)? Обосновать.

Можно



Показать, что любые два решения однородной системы линейных уравнений пропорциональны, если ранг системы на единицу меньше числа переменных (случай нулевого решения исключить).








Решить системы линейных уравнений, выделив фундаментальные решения:








Свободные переменные , где





Свободные переменные , где





Свободные переменные где





Свободная переменная где





Свободные переменные : где



.

Свободная переменная : , где



.

Свободная переменная : , где



.

Свободные переменные :



.

Свободные переменные : , где



.

Фундаментальная система не существует. Есть только нулевое решение.




.

Свободные переменные :





.

Свободная переменная : , где



.

Свободная переменная : , где



.

Свободная переменная : , где



.

Свободные переменные - : , где



.

Свободные переменные - : , где



Что можно сказать о решении неоднородной системы из 10 линейных уравнений с 5-ю переменными, если ?

Система имеет бесконечное множество решений, которые представляют собой набор из 2-х фундаментальных решений плюс базисное решение.



Какому условию должен удовлетворять ранг неоднородной системы уравнений, чтобы система имела решение, но в нем отсутствовала фундаментальная составляющая?

Ранг матрицы коэффициентов системы должен быть равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе.



Что можно сказать о решении неоднородной системы из уравнений с переменными, если для ранга выполнено условие ?

Система имеет бесконечное множество решений.



Какому условию должна удовлетворять переменная в системе уравнений, чтобы ее можно было причислить к базисным переменным?

Она не должна приводить к обнулению определителя, составленного из коэффициентов перед базисными переменными.





Общее решение

Найти общее решение линейного уравнения, выделив в ответе фундаментальную совокупность решений, если она есть, и базисное решение.






.

Возьмем в качестве базисной переменной, .- свободной.

, где



.

Базисной переменной возьмем , свободными переменными будут

, где





Базисной переменной возьмем , свободными переменными будут .

, где



.

Базисными переменными возьмем , свободной переменной будет

, где .



.

Базисными переменными возьмем , свободной переменной будет

, где .



.

Базисными переменными возьмем , свободными переменными будут

, где



.

Система не имеет решений



.

Базисными переменными возьмем , свободными переменными будут

, где



.

Базисными переменными возьмем , свободными переменными будут . , где




.

Система не имеет решений



.

Базисными переменными возьмем , свободными переменными будут . , где



.

Базисной переменной возьмем , свободными переменными будут . , где



.





.

Базисными переменными возьмем , свободной переменной будет .

, где .



.

Базисными переменными возьмем , свободной переменной будет .

, где .



.

Система не имеет решений.



.

Базисными переменными возьмем , свободной переменной будет .

, где .



.

Базисными переменными возьмем , свободными переменными будут

, где .



.

Базисной переменной возьмем , свободными переменными будут

, где .



.

Базисными переменными возьмем , свободными переменными будут .

, где





Исследовать систему и найти ее решения в зависимости от :






.

При решений нет; при - бесконечное множество решений , где .



.

При решений нет; при - единственное решение .



.

При решений нет; при - бесконечное множество решений , где .



.

При единственное решение ;

при - бесконечное множество решений ; при - бесконечное множество решений , где .





.

При единственное решение ;

при - бесконечное множество решений , где ; при решений нет.





.

При нет решений, при - бесконечное множество решений , где



При каком условии линейная комбинация решений неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?

Сумма коэффициентов линейной комбинации равна единице.



Какой вид имеет линейная функция, проходящая через точки с координатами и ?





Какой вид имеет квадратный трехчлен , если , , .





Какой вид имеет многочлен третьей степени , если , , , ?





Какой вид имеет дробно-рациональная функция , если , , , ?







Матричные уравнения







Перечислить основные отличия в правилах преобразований матричной алгебры от правил обычных алгебраических преобразований.






При каком условии обе части матричного равенства можно разделить на матрицу?

Если матрица состоит из одного элемента и этот элемент ненулевой.





Решить матричное уравнение:






.





.





.





.







Решить матричное уравнение






, если , , .





, если , .





, если , .





, если , .





, если , .





, если , .





, если , -невырожденная матрица.





, если , .





, если





Предприятие использует три вида сырья, выпуская два вида продукции. В таблице приведены данные производства в условных единицах затрат на производство одного изделия. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.


Вид сырья

Расход сырья по видам продукции

Запас сырья

Продукция 1

Продукция 2




░1░

░2░

░3░

2

1

5

3

4

1

1200

2400

1000








Обувная фабрика выпускает 4 вида продукции: мужскую обувь, женскую обувь, детскую обувь и изделия по уходу за обувью. В таблице приведены данные производства в условных единицах затрат на производство одного изделия. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Вид сырья

Расход сырья по видам продукции

Запас сырья

Мужская

Обувь

Женская обувь

Детская обувь

Изделия по уходу




░1░

░2░

░3░

░4░

20

30

20

10

10

40

60

50

10

20

10

5

0

1

1

0

5000

12000

11000

7000








В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период между двумя отраслями промышленности в условных единицах. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если объем выпуска конечного продукта первой отрасли возрастет на 10%;


Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

1

2







░1░

░2░

5000

10000

15000

10000

80000

180000

100000

200000




Матрица конечного продукта

Матрица валового выпуска

Матрица прямых затрат

Необходимый объем валового выпуска каждой отрасли при увеличении валового выпуска первой отрасли на 10%



В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период между тремя отраслями промышленности в условных единицах. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если:

1) конечный продукт 1-й отрасли возрастет на 20%;

2) конечный продукт 2-й отрасли увеличится вдвое;

3) конечный продукт по каждой отрасли возрастет на 50%.


Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

1

2

3







░1░

░2░

░3░

20

30

20

70

60

40

10

10

90

1000

500

1000


1100

600

1150


Коэффициенты матрицы прямых затрат считать, беря 4 значащие цифры после запятой.



Матрица конечного продукта .

Матрица валового выпуска .

Матрица прямых затрат .

1) . 2) .

3) .



В таблице приведены данные об исполнении баланса за определенный период между десятью отраслями промышленности в условных единицах. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если:

1) конечный продукт всех отраслей должен увеличиться на 10%;

2) конечный продукт 1-й отрасли должен возрасти на 50%, а конечный продукт 10-й отрасли должен уменьшиться при этом на 25%;

3) конечный продукт 10 отрасли должен возрасти в 10 раз.

(Задачу следует решать на компьютере; В ответе оставить одну значащую цифру после запятой).


Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой выпуск

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10







░1░

░2░

░3░

░4░

░5░

░6░

░7░

░8░

░9░

░10░

2

0

2

0

10

2

1

7

16

4

2

1

0

10

2

0

4

0

4

3

2

0

6

0

5

4

0

3

10

4


0

4

0

5

0

6

1

0

10

2

7

0

4

0

3

0

1

7

50

0

0

2

3

4

0

3

0

3

0

3

1

0

9

0

10

2

1

0

0

0

1

2

3

4

10

2

0

10

0

1


0

0

13

6

0

1

1

0

10

1


5

11

0

1

10

0

1

10

0

2

80

80

160

170

250

280

90

360

900

480

100

100

200

200

300

300

100

400

1000

500

Каково соотношение между валовым выпуском отрасли и внутренним потреблением каждой отрасли?

Ответы: 1) 2) 3)








Глава 2 Системы линейных уравнений
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации