Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач - файл n4.docx

приобрести
Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач
скачать (5974.3 kb.)
Доступные файлы (10):
n1.docx95kb.11.03.2008 23:26скачать
n2.docx15kb.01.09.2009 23:53скачать
n3.docx14kb.11.03.2008 23:24скачать
n4.docx834kb.26.09.2008 20:51скачать
n5.docx752kb.26.09.2008 19:14скачать
n6.docxскачать
n7.docx1488kb.18.11.2008 16:03скачать
n8.docx670kb.27.09.2008 22:49скачать
n9.docx1799kb.27.09.2008 21:47скачать
n10.docx1402kb.27.09.2008 22:17скачать

n4.docx

  1   2   3



Глава 1. Матричная алгебра

Глава 1. Матричная алгебра
1. Понятие матрицы. Матрицей с размерами называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются , где . Обозначение матрицы: .

Матрица называется квадратной, если у нее число строк и число столбцов одинаково.

Элементы квадратной матрицы , у которых номер строки совпадает с номером столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Квадратная матрица называется единичной, если по главной диагонали стоят единицы, остальные элементы равны нулю.

2. Операции над матрицами.

1) При умножении числа на матрицу это число умножается на каждый элемент матрицы.

2) При сложении (вычитании) матриц одинаковых размеров соответствующие элементы матриц складываются (вычитаются).

3) Умножение матрицы на матрицу: элемент новой матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы. Операция определена при условии, что число столбцов 1-й матрицы равно числу строк 2-й.

4) Транспонирование матрицы: переход к матрице, у которой строки и столбцы меняются местами.

Свойства транспонирования

, , , .

3. Понятие определителя. Определитель квадратной матрицы есть число, введенное по определенному закону.

Определитель матрицы 1-го порядка есть элемент матрицы 1-го порядка.

Определитель матрицы 2-го порядка есть число .

Определитель матрицы 3-го порядка можно вычислить так:

и так далее.

Минором матрицы называется определитель, полученный из этой матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется ее минор , взятый со знаком .

Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

4. Свойства определителей.

1) Если все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, определитель равен нулю.

2) Если элементы двух строк или столбцов равны или пропорциональны, определитель равен нулю.

3) При транспонировании матрицы величина определителя не меняется.

4) Если к элементам одной строки или столбца прибавить умноженные на одно и тоже не равное нулю число элементы другой строки или столбца, величина определителя не изменится.

5) При перестановке строк или столбцов местами определитель меняет знак.

6) Если элементы какого-либо столбца (строки) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

5. Обратная матрица. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если .

Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была не вырождена.

Теорема. Если обратная матрица существует, она единственна.

6. Свойства обратных матриц.

1.;

2.;

3. ;

4. ;

5. .

7. Ранг матрицы. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Элементарные преобразования, не изменяющие ранга матрицы.

1) Изменение порядка строк или столбцов.

2) Умножение элементов одной строки или столбца на любое не равное нулю число.

3) Сложение строк с предварительным умножением любой из них на произвольное не равное нулю число.

4) Транспонирование.

5) Отбрасывание нулевой строки или столбца

Линейная зависимость строк или столбцов. Строки (столбцы) матрицы называются линейно независимыми, если из равенства следует, что . В противном случае строки (столбцы) называются линейно зависимыми.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.
ПРИМЕР 1. Вычислить произведение матриц .

Решение. Перемножим матрицы, умножая элементы каждой строки на соответствующие элементы каждого столбца


ПРИМЕР 2. Доказать, что матрица удовлетворяет уравнению , где , , .

Решение. Подставим матрицу в исходное уравнение. Получим

,

,

.

Следовательно, матрица является корнем матричного уравнения .
ПРИМЕР 3. Вычислить величину определителя .

Решение. Рассмотрим три способа нахождения величины определителя.

1 способ основан на разложении определителя по первой строке.

.

2 способ использует правило треугольников.

.

3 способ. Используя свойства определителя, приведем его к треугольному виду. Определитель же треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Для пояснения преобразований обозначим 1-ю строку через , 2-ю и 3-ю строки соответственно, как и . Тогда

=

=

Последний способ прекрасно работает с большими определителями.
ПРИМЕР 4. Для матрицы найти обратную .

Решение. 1 способ - метод присоединенной матрицы.

Найдем определитель матрицы. .

Транспонируем матрицу . .

Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам транспонированной. Например и так далее.

Тогда присоединенная матрица.

Обратная матрица вычисляется по формуле .

2 способ – метод Гаусса-Жордана. Составим расширенную матрицу из исходной и единичной. Посредством элементарных преобразований преобразуем расширенную матрицу так, чтобы исходная матрица превратилась в единичную. Тогда на месте единичной матрицы образуется обратная. Делаем следующие элементарные преобразования:

1) складываем элементы 1-й строки с элементами 3-й и размещаем на месте 3-й строки;

2) умножаем 2-ю строку на 2 и складываем с 3-й, предварительно умноженной на 3, результат размещаем на месте 3-й строки, левая часть матрицы стала треугольной;

3) образуем треугольник нулей выше главной диагонали, для чего умножаем 3-ю строку на -3 и складываем со 2-й, результат размещаем на месте 2-й строки;

4) умножаем 3-ю строку на 2 и складываем с 1-й, результат размещаем на месте 1-й строки;

5) складываем 2-ю строку с 1-й и размещаем на месте 1-й строки;

6) умножаем 3-ю строку на -1, 2-ю строку на -0,5.

Таким образом, слева удалось получить единичную матрицу, но тогда справа образовалась обратная.

.
ПРИМЕР 6. Решить матричное уравнение .

Решение. Воспользуемся свойствами транспонированной и обратной матриц:

или .

Вынесем матрицу за скобки и умножим уравнение слева на матрицу

, .

Таким образом, решением матричного уравнения является матрица .
ПРИМЕР 7. Найти ранг матрицы .

Решение. Используя элементарные преобразования, приведем матрицу к треугольному виду

.

В полученной матрице имеется минор 2-го порядка, отличный от нуля. Он находится в левом верхнем углу матрицы и равен . Следовательно, .
Матрицы





Вычислить произведение матриц:






.





.





.





.





.

2



.





.





.





.





.





.





.





.

-26



.





Какие из следующих операций можно провести с матрицами и ?

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6), 7) , 8) , 9)

4, 6, 9.




Вычислить , где n задано конкретными условиями задачи.



, .





, .





, .





, .





, .





, .





, .





, .





, .







Перемножить матрицы с буквенными элементами.






.





.





.





Даны произвольная матрица пятого порядка и другая матрица также пятого порядка, образованная из единичной матрицы, у которой вторая и четвертая строки поменялись местами. Найти матрицу

и объяснить, в чем отличие матрицы от матрицы .



Второй и четвертый столбцы поменялись местами.



Даны произвольная матрица пятого порядка и другая матрица также пятого порядка, образованная из единичной матрицы, у которой вторая и четвертая строки поменялись местами. Найти матрицу

и объяснить, в чем отличие матрицы от матрицы .



Вторая и четвертая строки поменялись местами.



Даны произвольная матрица пятого порядка и другая матрица также пятого порядка, образованная из единичной матрицы заменой диагонального элемента на не равное нулю число , Найти матрицу

и объяснить, в чем отличие матрицы от матрицы .



Второй столбец умножен на число .



Даны произвольная матрица пятого порядка и другая матрица также пятого порядка, образованная из единичной матрицы заменой диагонального элемента на не равное нулю число , Найти матрицу

и объяснить, в чем отличие матрицы от матрицы .



Вторая строка умножена на число .



Даны произвольная матрица пятого порядка и другая матрица также пятого порядка, отличающаяся от единичной наличием одного внедиагонального элемента, не равного нулю. Найти матрицу

и объяснить, в чем отличие матрицы от матрицы .



К четвертому столбцу матрицы прибавлен ее второй столбец, предварительно умноженный на .



Даны произвольная матрица пятого порядка и другая матрица также пятого порядка, отличающаяся от единичной наличием одного внедиагонального элемента, не равного нулю. Найти матрицу

и объяснить, в чем отличие матрицы от матрицы .

Ко второй строке матрицы прибавлена ее четвертая строка, предварительно умноженная на .



Вычислить , где , , .

1



Вычислить , где , , .





Вычислить , где , E- единичная матрица.





Найти значение многочлена от матрицы .





Найти значение многочлена от матрицы .





Является ли матрица корнем уравнения ?

Да



Доказать, что матрица удовлетворяет уравнению .



Для квадратных матриц одинаковых размеров выяснить справедливость равенств: 1);

2);

3).


1) нет, 2) нет, 3) да




Упростить: , где А и В квадратные матрицы одинаковых размеров.





Для матрицы найти такую матрицу (она называется перестановочной), что .

, где



Для матрицы найти такую матрицу , что .

, где



На примере матрицы 3-го порядка доказать свойства транспонирования:

1); 2); 3)

  1. Д

Для квадратной матрицы 2-го порядка доказать свойство транспонирования



Найти все квадратные матрицы второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице.





Найти все квадратные матрицы второго порядка, квадрат которых равен единичной матрице.







Определители

Вычислить величину определителя:






.





.

-2



.

0



.





.

0



.





.

0



.





.





.

0



.

-3



.

0



.

40



.

-8



.

40



.

100



.

2



.

0



.





.





.





.





.

0



.





.





.





.





.

144



.

160



.

-144



.

-3



.

-9



.

0



.

0



.

10



.

258



.

-49



.

1560



.

995



.





.

0



.

0



.





.





.







Доказать тождество:






.






.







Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями .

1



Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями .

-6





Решить уравнение:






.





.





.





.





.

,
  1   2   3


Глава 1. Матричная алгебра
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации