Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач - файл n10.docx

приобрести
Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Сборник задач
скачать (5974.3 kb.)
Доступные файлы (10):
n1.docx95kb.11.03.2008 23:26скачать
n2.docx15kb.01.09.2009 23:53скачать
n3.docx14kb.11.03.2008 23:24скачать
n4.docx834kb.26.09.2008 20:51скачать
n5.docx752kb.26.09.2008 19:14скачать
n6.docxскачать
n7.docx1488kb.18.11.2008 16:03скачать
n8.docx670kb.27.09.2008 22:49скачать
n9.docx1799kb.27.09.2008 21:47скачать
n10.docx1402kb.27.09.2008 22:17скачать

n10.docx




Глава 6 Классические методы оптимизации

Глава 7. Классические методы оптимизации
1.Локальный экстремум функции . Точка называется точкой локального экстремума функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех точек из этой окрестности выполнено неравенство (строгий локальный максимум) или неравенство (строгий локальный минимум).

Теорема 1. (Необходимые условия экстремума). Если точка есть точка локального экстремума, то

, .

Теорема 2. (Достаточные условия экстремума). Если в точке выполнены необходимые условия экстремума и все частные производные 2-го порядка непрерывны, то существование экстремума в точке определяется значениями угловых миноров матрицы вторых производных (гессиана)

,

а именно:

1) - локальный минимум;

2) - локальный максимум;

3) - экстремума нет.

Для исследования на локальный экстремум функции трех переменных рассматривается матрица

и изучаются ее угловые миноры.

x

Рис. 7.1

y

2.Условный экстремум. Экстремум функции называется условным, если он достигнут при условии, что аргументы функции связаны уравнением , называемом уравнением связи. Для нахождения условного экстремума составляется функция Лагранжа

,

которая исследуется на экстремум при дополнительном условии .

3.Глобальный экстремум. Глобальные максимум и минимум определяются как наибольшее и наименьшее значения функции в области определения, состоящей из внутренних точек области и множества точек границы области.

ПРИМЕР 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем частные производные 1-го порядка, приравняем их нулю и запишем получившиеся уравнения в виде системы .

Решая систему уравнений, получим единственную стационарную точку .

Найдем частные производные 2-го порядка

, , .

Составим гессиан из вторых производных

.

Рис.7.2.























Угловые миноры матрицы() положительны. Следовательно, в стационарной точке достигается минимум: . График функции в трехмерной системе координат представлен на рис. 7.1. Минимум функции указан стрелкой. Заметен характерный для функции желоб вдоль прямой, образуемой группой слагаемых . Верхняя часть графика срезана для наглядности плоскостью .

ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Делаем преобразования аналогично предыдущему примеру: находим производные, приравниваем их нулю, находим стационарные точки, решая систему уравнений:

.

Получим девять стационарных точек:

, , , , , , , , .

Найдем вторые частные производные и составим из них гессиан

.

Рассмотрим поведение гессиана во всех стационарных точках.

1) Точки . Гессиан .

Угловые миноры. Экстремума нет.

2) Точки . Гессиан . Угловые миноры . Следовательно, функция имеет в этих точках максимум:

.

3) Точка . Гессиан . Угловой минор . Критерий Сильвестра не работает. Для исследования поведения функции в точке рассмотрим приращение функции в этой точке

.

При любых малых отклонениях точки от точки величины и положительны. Поэтому приращение . В точке достигается минимум: .

4) Точки . Угловой минор . Рассуждая способом, аналогичным пункту 3, найдем, что в этих точках экстремума нет. График функции представлен на рис. 7.2.
ПРИМЕР 3. Исследовать на условный экстремум функцию при условии .

Решение. Первый способ решения задачи на условный экстремум, а именно, выражение одной переменной через другую в уравнении связи и подстановка в исследуемую функцию приводит к необходимости рассматривать два случая. Оба случая содержат радикалы, в результате чего исследование становится достаточно громоздким. Использование функции Лагранжа позволяет избежать громоздких преобразований. Составим функцию Лагранжа

.

Найдем частные производные 1-го порядка функции Лагранжа

.

Для нахождения стационарных точек составим систему из трех уравнений, приравняв нулю первые производные и взяв уравнение условия.

Рис. 7.3.





.

Решая систему, выразим х из первого уравнения, у из второго и подставим в третье. Получим две стационарные точки. Для имеем . Для имеем .

Найдем все вторые частные производные функции Лагранжа.

, , .

Составим гессиан из вторых производных

.

1),. Угловые миноры матрицы () положительны. Следовательно, в стационарной точке достигается минимум: .

2) ,. Угловые миноры имеют разные знаки, причем .

Следовательно, в стационарной точке достигается максимум: .

О наличии экстремум можно судить по виду 2-го дифференциала функции Лагранжа

.

При получим , что соответствует минимуму функции Лагранжа, а, следовательно, условному минимуму исследуемой функции: . При получим - максимум функции Лагранжа, соответственно – условный максимум функции : . Графики исследуемой функции и неявной функции, задающей условие, приведены на рис. 7.3. На графике указано положение максимума. Минимум скрыт за поверхностью цилиндра. Для лучшего обзора пересечений поверхностей из цилиндра вырезан сегмент.

ПРИМЕР 4. Исследовать на условный экстремум функцию при условии .

Решение. Воспользуемся функцией Лагранжа:

.

Найдя частные производные, приравняем их нулю



Рис.7.4.





Перенесем вторые слагаемые вправо и разделим одно уравнение на другое. Тогда или . Подставим это соотношение в уравнение связи. Получим координаты критической точки . Вторые частные производные равны:

, , .

Составленный из них гессиан



имеет угловые миноры разного знака, причем

,

.

Следовательно, в точке с координатами достигается максимум

.

Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 7.4, где стрелкой указан максимум функции.
ПРИМЕР 5. Исследовать на условный экстремум функцию

при условии .

Решение. Функция Лагранжа для нашей задачи имеет вид



Необходимые условия позволяют найти стационарные точки



Выразим из первых трех уравнений через ?

.

и подставим в последнее уравнение. Получим

.

Его решение дает две стационарные точки. При имеем (точка ), при имеем (точка ).

Достаточные условия требуют знания вторых производных



Воспользуемся окаймленным гессианом 4-го порядка

.

  1. В этой точке .

Поскольку экстремума нет.

  1. Можно увидеть, что окаймленный гессиан и, следовательно, имеет тот же знак. Экстремума также нет.

Замечание. В предыдущей задаче окаймленный гессиан не был использован. Это связано с тем, знак указывает на минимум или максимум при условии, что отрицательный знак определяет наличие экстремума. В нашей задаче определитель оказался больше нуля.

ПРИМЕР 6. Исследовать на условный экстремум функцию



Решение. Составим функцию Лагранжа

.

Найдем частные производные . Равенство нулю частных производных вместе с уравнениями связи приведет к системе из 5-ти уравнений



Поскольку система уравнений является линейной, построим расширенную матрицу и воспользуемся методом Гаусса-Жордана

.

Следовательно, Вторые производные функции Лагранжа



Составленный из них окаймленный гессиан 5-го порядка имеет вид



Расчет дает число . Отрицательный знак окаймленного гессиана 5-го порядка указывает на условный максимум функции 3-х переменных с 2-мя уравнениями связи. .
ПРИМЕР 7. Исследовать на экстремум неявно заданную функцию :

.

Решение. Введем обозначение

.

Найдем первые частные производные

.

Решая систему уравнений

,

получим стационарную точку . Подставим эти значения в исходное уравнение, найдем : . Итак, имеем и .

Рис. 7.5.





Найдем вторые частные производные

, , .

Составим гессиан из вторых производных для неявно заданной функции

.

1) В точке гессиан имеет вид

. Угловые миноры имеют разные знаки, причем , что соответствует максимуму: .

2) Для точки гессиан указывает на существование минимума: . График неявной функции с вырезанным сектором изображен на рис. 7.5.
ПРИМЕР 8. Определить глобальный экстремум функции



в области .

Решение. Построим заданную область (рис. 7.6. ). Поскольку дифференцируемая в ограниченной замкнутой области функция достигает глобального максимума или минимума в стационарных точках или на границе области, рассмотрим несколько случаев.

Исследование во внутренних точках области.

1) Найдем стационарные точки. Из решения системы



находим единственную стационарную точку . Она принадлежит рассматриваемой области. .

Исследование на границе области.

2) . На прямой функция имеет вид . Критическая точка находится из условия . Это точка . Найдем значения функции в точке , а также на концах отрезка в точках и . Они равны , , .

y

x









-2

2

-1

1

-1

1

Рис. 7.6.

3) . На этой границе функция имеет вид . Условие дает точку . Точки концов отрезка: и . Поэтому , , .

4) . Вид функции в этой области: . Критическая точка . В ней функция принимает значение . Точки и уже рассмотрены.

5) . Вид функции такой же: . Соответствующие точки , , также рассмотрены.

Выбираем из найденных значений функции наибольшее и наименьшее:

, .
ПРИМЕР 9. Найти множество векторов , минимизирующих функцию

,

и найти минимальное значение функции.

Решение. Найдем стационарные точки функции .

,

откуда , т.е существует бесконечное множество пар , удовлетворяющих необходимым условиям экстремума.

Вторые частные производные: . Легко проверить, что критерий Сильвестра не работает. Поэтому найдем второй дифференциал:

.

Следовательно, в точках, связанных соотношением , достигается минимум. Совокупность векторов, для которых функция принимает наименьшее значение, которое оказывается равным 4, имеет вид

, где .

ПРИМЕР 10. Найти экстремум в системе функций



Решение. На этой простой задаче, которая может быть решена элементарными методами, продемонстрируем, как работает метод Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа

.

Из условий 1-го порядка найдем критические точки



Второе уравнение дает , т.к. . Из 1-го уравнения найдем : . Решим третье уравнение, в котором Его корни









Рис. 7.7





Для имеем систему Ее решение: Первая критическая точка .

Для имеем систему Ее решение: Вторая критическая точка .

Найдем вторые частные производные

и составим матрицу Гессе .

  1. В точке матрица Гессе равна . Угловые миноры

  2. В точке матрица Гессе равна . Угловые миноры

На рис.7.7 представлено графическое изображение задачи. Верхняя часть параболоида вращения срезана.

Замечание. Достаточные условия могут быть реализованы с использованием окаймленного гессиана.

В точке вычисляем гессиан

, т.е. имеем минимум.
В точке величина гессиана положительна и равна 9. Получаем максимум.





Локальный экстремум



Сформулировать определение локального экстремума функции двух переменных



Для функции 3-х переменных написать необходимые условия локального экстремума.



Что называется критической точкой функции? стационарной точкой?



Чему равен 1-й дифференциал функции в стационарной точке?



Что можно сказать о существовании локального экстремума в критической точке?



Сформулировать достаточные условия локального экстремума, используя угловые миноры.



Сформулировать достаточные условия локального экстремума, используя квадратичную форму.




Исследовать функцию на локальный экстремум:






.











.

Экстремума нет



.

Нестрогий минимум в точках прямой .























Экстремума нет.











Экстремума нет.





,





,



.





.





.

; нестрогий минимум ; нестрогий максимум .



.

.



.

; .



.

Экстремума нет.





.



.

;.





, , где х, у связаны уравнением









, .

















.

.



.

.









































Убедившись, что точка является стационарной для функции , исследовать функцию на локальный экстремум в этой точке





Экстремума нет.











Найти множество векторов , минимизирующих функцию , и найти минимальное значение функции.





;





;





, где ;





, где ;



Найти множество векторов , минимизирующих функцию, и найти минимальное значение функции.

, где ;

.



Найти множество векторов , максимизирующих функцию



и найти максимальное значение функции.

;



Найти базис векторного пространства, на котором функция принимает наименьшее значение: .



Например .



На координатной плоскости построить векторное множество, заданное условием , если . Построить векторное множество, для которого (начало любого вектора совпадает с началом координат).



На координатной плоскости построить векторное множество, заданное условием , если . Построить векторное множество, для которого (начало любого вектора совпадает с началом координат).





Экстремум неявной функции



Сформулировать определение экстремума функции двух переменных, заданной неявно.



Для неявной функции 2-х переменных написать необходимые условия.

  1. н

Написать матрицу Гессе квадратичной формы для неявной функции.




Исследовать на экстремум функцию , заданную неявно:





,



.

, .





,



.

,





, , где



в области .





в области .





.









Условный экстремум



Сформулировать определение условного экстремума функции двух переменных



Сформулировать задачу исследования функции 2-х переменных с одним уравнением связи на условный экстремум.



Сформулировать задачу исследования функции 3-х переменных с двумя уравнениями связи на условный экстремум.



Сформулировать задачу исследования функции переменных с уравнениями связи на условный экстремум.



В чем заключается метод Лагранжа исследования функции на условный экстремум?



Для функции 2-х переменных написать необходимые условия условного экстремума с использованием функции Лагранжа



С каким знаком следует взять множитель ? при составлении функции Лагранжа в задаче на условный экстремум?



Для функции 2-х переменных привести в геометрической форме (с помощью градиентов) необходимые условия условного экстремума с использованием функции Лагранжа



Может ли условный экстремум функции совпадать с ее локальным экстремумом? Существует ли такой множитель Лагранжа?



Сформулировать достаточные условия условного экстремума функции 2-х переменных с одним уравнением связи, используя окаймленный гессиан.



Сформулировать достаточные условия условного экстремума функции 3-х переменных с одним уравнением связи, используя окаймленный гессиан.



Сформулировать достаточные условия условного экстремума функции 3-х переменных с двумя уравнениями связи, используя окаймленный гессиан.




Найти условный экстремум функции:






.

.



.





.











.





.











.





, где .

.



.





.

; .



.

; .





; .





;











; ;







; ;





; ;









.













.











.











.











,

.





,

.





,

.











,

.























Найти условные экстремумы функции при заданном уравнении связи:



.

, где





, где











, где





, где





, где ;

, где .





Глобальный экстремум



Сформулировать определение глобального экстремума функции двух переменных



Почему при исследовании функции на глобальный экстремум достаточные условия можно не использовать?



Может ли глобальный экстремум функции быть меньше (больше) локального?



Если функция имеет условный экстремум, существует ли у нее локальный или глобальный экстремум?



Если функция имеет глобальный экстремум, существует ли у нее локальный экстремум?




Найти глобальные экстремумы функции :






.





.





.











.





.





.





.





.





.





.





.





.





.





.





.





.





.





.







Найти и вычислить глобальные экстремумы функциис точностью до 2-го знака после запятой.



.





.






Студент расходует часть своего дохода в сумме 1000 ден. ед. на потребление хлебобулочных и мясных изделий в количестве и вес. ед., стоимость которых 10 и 100 ден. ед. Количество калорий, которые он при этом получает (функция полезности), имеет вид: . Какое количество этих продуктов он должен покупать, чтобы обеспечить себя максимальным количеством калорий? Найти уравнение кривой безразличия (линию уровня), соответствующей оптимальному выбору продуктов. Построить график этой кривой и бюджетного ограничения. Указать на графике точку максимума.





Производственная функция фирмы имеет вид: . Рыночная цена продукции фирмы равна , рыночные цены первого и второго ресурсов равны . Определить (используя необходимое и достаточное условия) комбинацию ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль: . Найти эту наибольшую прибыль , а также выручку и издержки фирмы. Построить на плоскости найденную точку , а также эскиз линии уровня (изокванты) , где , и линии уровня (изокосты) , где , а также градиент.





Найти решение задачи на максимум выпуска фирмы: при ограничении по затратам: . Дать эскизом графическую иллюстрацию. Достаточные условия можно не использовать.





Функция полезности индивидуума имеет вид: , где и - количества продовольственных и непродовольственных товаров. Их цены равны . Доход индивидуума равен 600. Какой набор благ выберет потребитель? Дать эскизно графическую иллюстрацию. Достаточные условия можно не использовать.





Решить задачу потребительского выбора при ценах благ и доходе . Дать эскизно графическую иллюстрацию. Достаточные условия можно не использовать.





Найти решение задачи на максимум выпуска фирмы: при ограничении по затратам: . Дать эскизно графическую иллюстрацию при Достаточные условия можно не использовать.





Точка есть локальное рыночное равновесие индивидуума, имеющего доход . Функция полезности индивидуума . Чему равны рыночные цены и ? Дать эскизно графическую иллюстрацию. Достаточные условия можно не использовать.





Найти решение задачи на минимум издержек производства при заданном объеме выпуска у0: , где . Дать эскизно графическую иллюстрацию при . Достаточные условия можно не использовать.





Найти решение задачи на минимум издержек производства: при заданном объеме выпуска у0: . Дать эскизно графическую иллюстрацию при Достаточные условия можно не использовать.







Экстремум в системах функций



Написать функцию Лагранжа для нахождения экстремума в системах функций



Привести необходимые условия экстремума в системах функций с двумя переменными



Привести достаточные условия экстремума в системах функций с двумя переменными с использованием окаймленного гессиана.



Сформулировать задачу на условный экстремум с двумя переменными с обратной связью





Найти экстремум в системах функций











Нет экстремума























Нет экстремума





















Используя только необходимые условия, найти стационарную точку в задаче

,

где













Глава 6 Классические методы оптимизации
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации