Лекция - Динамические ряды с примерами решения задач - файл n1.doc

Лекция - Динамические ряды с примерами решения задач
скачать (708 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc708kb.08.09.2012 18:21скачать

n1.doc

1   2   3   4

Допустим, пропущен уровень 2002 г.

Используя первый способ интерполяции, определим его как среднюю арифметическую из уровней 2001 и 2003 гг.:



.Произведем интерполяцию по второму способу расчета. Для этого необходимо вычислить среднегодовой абсолютный прирост за 2000-2004 г.:



Уровень 2002 г. определим:



Интерполяция по третьему способу требует предварительного расчета среднегодового темпа роста за 2000-2004 гг.:



Уровень 2002 г. составит:



Сравнивая три способа интерполяции уровня производства холодильников и морозильников для 2002 г., отметим, что наилучшее приближение к фактическому уровню дает расчет по величине среднегодового абсолютного прироста.

Экстраполяцией называется приблизительный расчет недостающего уровня по одну сторону неизвестного. Если расчет уровней осуществляется на перспективу, то такой способ представляет собой прогнозирование.

Прогноз уровней осуществляется на основе исходного ряда динамики (база прогноза). К нему предъявляется ряд требований:

1) полнота и непрерывность уровней исходного ряда динамики;

2) качественная его однородность с точки зрения наличия общей закономерности развития явлений;

3) число уровней, входящих в исходный ряд динамики должно быть достаточно значительным, с тем чтобы закономерность развития явлений была достаточно четкой и поддавалась количественному измерению.

Идея прогноза базируется на том постулате, что закономерности развития явлений, присущие исходному ряду динамики, сохраняются и в прогнозируемом периоде. При среднесрочном прогнозе рекомендуется прогноз уровней осуществлять не более чем на одну треть длины исходного ряда динамики. Используется дискретные и интервальные методы прогноза уровней социально-экономических явлений. В первом случае для каждого периода времени определяется одно значение прогнозного уровня. Во втором случае, наряду с основными оценками прогноза дается вероятностная интерпретация нижних и верхних границ прогнозных уровней.

Дискретный (точечный) прогноз уровней базируется на характере закономерностей развития явлений в исходном ряду динамики. Если развитие процесса идет по закону арифметической прогрессии (с относительно стабильными абсолютными приростами), то уровни прогноза (точечные) определим по формуле:



где Уi – последний уровень в исходном ряду динамики; ti – порядковый номер периода прогноза (ti=1,2…n); - средний абсолютный прирост в исходном ряду динамики.

По данным табл. 6.1 вычислим прогноз производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь 2005-2006 гг.:





В рядах динамики, где развитие явлений происходит по закону геометрической прогрессии (с относительно стабильными темпами роста), то уровни прогноза вычислим по формуле:



где - средний темп роста в исходном ряду динамики.

Применительно к нашему примеру (табл. 6.1) будем иметь следующие прогнозные значения производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь:





Сравнивая первый и второй способы расчета дискретных прогнозных уровней, можно сделать, что прогноз по величине среднегодового абсолютного прироста является более корректным, так как исходит из принципа равномерного возрастания уровней производства холодильников и морозильников в прогнозном периоде.

Особенность интервального метода прогнозирования состоит в том, что он осуществляется на основе расчета соответствующих уравнений тренда. При этом определяется прогноз уровней по самому уравнению тренда (основная составляющая тренда), а также с доверительным уровнем значимости вычисляются прогнозные значения случайной компоненты. Они то и служат основанием для интервальных оценок прогнозных уравнений (находятся нижние и верхние границы прогноза показателей ряда динамики).

Если t=i +L, то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L едини времени. Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но и возможность отклонения от тренда, т.е.



где

Значение критерия t определяется на основе данных таблицы Стьюдента по параметрам доверительной значимости и числу степеней свободы (n-число уровней в исходном ряду динамики, m – число параметров в уравнении тренда).

Для определения вариации случайной компоненты при обозначении границ прогнозных уровней необходимо вычислить значение по формуле (для случая линейного уравнения тренда):



где - среднее квадратическое отклонение тренда в исходном ряду динамики; n – число наблюдений (длина исходного ряда динамики); L – порядковый номер периода упреждения (прогнозного периода).

Рассмотрим процедуру интервального прогноза производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь по данным исходного динамического ряда за 1990-2004 гг. (табл. 5.4). Уравнение тренда прямой имеет вид:



Осуществим основной прогноз на 2005 г. и 2006 г. по вышеприведенному уравнению тренда:

для 2005 г. значение тогда



для 2006 г. , а



Вычислим прогнозные значения для 2005 и 2006 гг. и на их основе предельные величины случайной компоненты. :

Для 2005 г. L=1;



Для 2006 г. L=2.



Относительная ошибка прогноза случайной компоненты определяется по формуле:



Результаты произведенных расчетов оформим в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Прогноз холодильников и морозильников в Республике Беларусь на 2005 и 2006 гг.

Год

Нижняя граница прогноза, тыс. шт.

Прогноз по тренду, тыс. шт.

Верхняя граница прогноза, тыс. шт.

Относительная ошибка прогноза, %



2005

846,4

909,2

972

6,9

2006

858,9

923,3

987,8

7,0

Прогноз уровней может осуществляться и по другим, отличной от линейной, типам уравнений тренда. Выбор того или иного уравнения тренда зависит от характера закономерностей, присущих исходным рядам динамики. Так, по программе «Статистика» на ПЭВМ рассчитываются тренды уравнений прямой, параболы второго порядка, степенной и логарифмической зависимости. По оценочной процедуре выбирается уравнение тренда с наибольшим коэффициентом детерминации.

8. Статистический анализ и прогнозирование сезонных явлений

К сезонным относят такие явления, которые обнаруживают в своем развитии определенные закономерности, регулярно повторяющиеся через определенные промежутки времени. В торговле, например, сезонность возникает из-за сезонного спроса на товары, производимые промышленностью (плодоовощные консервы, определенные виды обуви, одежды и т.п.).

Статистическое изучение сезонности ставит следующие задачи: численно выразить проявление сезонных колебаний, выявить их силу, вскрыть факторы, вызывающие сезонные колебания, выяснить экономические последствия проявления сезонности.

В статистике используются различные приемы исследования сезонных колебаний. Числовым выражением измерения сезонности являются индексы сезонности. Наиболее доступным способом исчисления индексов сезонности являются результаты сравнения средних, исчисленных по годовым данным для каждого сезонного периода (месяца или квартала), с общей средней, т.е.:



Для определения индексов сезонности широко используется способ скользящих средних. В этом случае фактические уровни (Уi) сравнивается со сглаженными средними:



Такие индексы сезонности рассчитываются по всем сезонным периодам (допустим кварталам) каждого года, а затем на их основе определяются общие индексы сезонности, а именно:



is – индивидуальные индексы сезонности;

n – число лет, данные которых используются в исследовании сезонности.

Если при изучении сезонных колебаний четко проступает тенденция в развитии явлений, то в подобных случаях индексы сезонности рассчитываются в результате сравнения уровней данного месяца или квартала с уровнями, исчисленными при выявлении основной тенденции для того же месяца или квартала:

общие индексы сезонности для каждого квартала вычислим:

Уровни тренда данного ряда определяют методом наименьших квадратов.

Рассмотрим методику анализа прогноза сезонных колебаний по данным реализации верхнего трикотажа.

Таблица 8.1

Реализация верхнего трикотажа


Год


Квартал


ti

Фактически реализовано трикотажа, тыс.р. Yti

Выравненные уровни, тыс. р.

Индексы сезонности, %

1

2

3

4

5

6

2001

I

1

8568

8602

99,60

II

2

7970

8764

90,94

III

3

9549

8926

106,98

IV

4

10560

9088

116,20

2002

I

5

8960

9250

96,86

II

6

8044

9412

85,46

III

7

9306

9574

97,20

IV

8

10347

9736

100,27

2003

I

9

9862

9898

99,26

II

10

9407

10060

93,51

III

11

11499

10222

112,49

IV

12

10689

10384

102,94

2004

I

13

10534

10546

99,89

II

14

9238

10708

86,27

III

15

10724

10870

98,66

IV

16

11831

11032

107,24

На основе данных временного ряда видно, что спрос на изделия верхнего трикотажа подвергается колебаниям, связанным со сменой сезонов. Минимальный объем реализации приходится на второй квартал (летние месяцы). Максимальный объем реализации трикотажа приходится на IV квартал (осенние и зимние месяцы). При этом наблюдается четкая тенденция роста реализации трикотажа по соответствующим кварталам год от года, что дает основание применить уравнение тренда прямой.

Уравнение тренда, рассчитанное по данным табл. 8.1, имеет вид:



Подставив в уравнение тренда порядковые номера кварталов, получим выровненные (расчетные) значения уровней. Отношением фактических значений (Yti) к расчетным , вычислим индивидуальные индексы сезонности. Средние (выровненные) величины показателей сезонности по одноименным кварталам составят:

Is(Iкв.) = (99,60+96,86+99,26+99,89):4=99,00;

Is(IIкв.) = (90,94+85,46+93,51+86,27):4=89,04;

Is(IIIкв.)= (106,98+97,20+112,49+98,66):4=103,83;

Is(IVкв.) = (116,20+100,27+102,94+107,24):4=108,16.

Индексы сезонности, рассчитанные как средние процентные отношения, позволяют предполагать, что сезонный фактор постоянно влияет на величину реализации трикотажа, так как при нахождении средних индексов сезонности в основном элиминированы случайные факторы.

Полное элиминирование влияния несезонных факторов достигается тогда, когда средняя из индексов сезонности равна 100. В нашем примере она равна (99,00+89,04+103,83+108,16):4=100,007, что мало отличается от 100, поэтому можно сказать, что индексы сезонности выровнены.

Показателем колеблемости временного ряда за счет сезонности служит среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле:



Для выравненных индексов сезонности среднее квадратическое отклонение, вычисленное по вышеприведенной формуле равно 7,11, что говорит о влиянии сезонного фактора.

Определив влияние сезонного фактора, можно найденные закономерности использовать для прогнозирования развития изучаемого процесса.

Сезонный временной ряд можно разложить на следующие компоненты:



где - соответственно тенденция, сезонные волны, случайные колебания.

Тенденция отражает общий характер показателя за длительный промежуток времени: постоянное возрастание или убывание.

Сезонные волны – это более или менее регулярные изменения временного ряда, возникающие с наступлением определенного времени года, и повторяющиеся с небольшими отклонениями из года в год по определенным сезонным периодам.

Случайные колебания вызываются внешними случайными причинами. Они искажают тенденцию и сезонные колебания.

Определив все три составляющие временного ряда, можно использовать найденные закономерности для экстраполяции на перспективу. Значение тренда и краткосрочных сезонных колебаний определим, используя известные уже нам способы расчета. Случайную компоненту практически определить нельзя, ее можно оценить только вероятностным путем.

В общем виде модель прогноза уровней на любой квартал представим выражением:



где Yt – величина фактического уровня в момент времени t;

Ik – индекс сезонности к-го квартала;

- выравненные уровни по уравнению тренда в момент времени t;

- случайная величина.

Модели товарооборота для расчета по кварталам в соответствии с вышеприведенным выражением будет:

Yt(Iкв.)= 0,99(8440+162t1)+;

Yt(IIкв.)= 0,8904(8440+162t2)+;

Yt(IIIкв.)= 1,0383(8440+162t3)+;

Yt(IVкв.)= 1,0816(8440+162t3)+;

Определив скорректированные на величину средних индексов сезонности выравненные уровни, вычислим значение случайной компоненты :



Необходимые расчеты составляющих уровней ряда представим в табл. 8.2.
Таблица 8.2

Расчет составляющих элементов уровней товарооборота


Год


Квартал



ti

Фактически реализовано трикотажа, тыс.р. Yti

Скорректированные значения товарооборота, тыс. р.

Отклонения, тыс. р.

1

2

3

4

5

6

2001

I

1

8568

8515

53

II

2

7970

7803

167

III

3

9549

9268

281

IV

4

10560

9830

730

2002

I

5

8960

9157

-197

II

6

8044

8380

-336

III

7

9306

9941

-635

IV

8

10347

10530

-183

2003

I

9

9862

9799

63

II

10

9407

8957

450

III

11

11499

10614

885

IV

12

10689

11231

542

2004

I

13

10534

10440

94

II

14

9238

9534

-296

III

15

10724

11286

-562

IV

16

11831

11932

101

Подсчитаем по кварталам значения среднеквадратического отклонения случайной компоненты:



Средние показатели в одноименных кварталах составят: ; а показатели примут значения:

Доверительные границы случайной компоненты для каждого квартала вычислим по формуле:



При Р=0,95 (t=1,96). Значение (n) в нашем примере равно четырем (числу лет).

Доверительные границы случайной компоненты, рассчитанные по вышеприведенной формуле составят:



Используя ранее приведенные модели и значения расчетов случайной компоненты, осуществим прогноз размера товарооборота верхнего трикотажа на 2005 и 2006 гг.

Таблица 6.3

Прогноз уровней товарооборота верхнего трикотажа на 2005 и 2006 гг.


Год


Квартал



ti

Нижняя граница прогноза, тыс. р.

Прогноз по уровню тренда с учетом поправки на индекс сезонности, тыс. р.

Верхняя граница, тыс. р.

2005

I

17

10969

11082

11195

II

18

9791

10111

10431

III

19

11344

11959

12574

IV

20

12181

12633

13085

2006

I

21

11611

11724

11837

II

22

10368

10688

11008

III

23

12017

12632

13247

IV

24

12181

13334

13785

Из табл. 6.3 видно, что и в последующие годы минимум реализации трикотажа падает на второй квартал, а максимум – на четвертый. Общая тенденция роста товарооборота, которая была характерна для изучаемого периода, сохранится и на прогнозируемый период.

Гармонический анализ (модель сезонной волны)

При исследовании периодических явлений для построения модели сезонной волны может быть применен гармонический анализ. Гармонический анализ – это аппроксимация наблюдений тригонометрическими многочленами, в частности, рядами Фурье. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косиносоидальных функций. Нахождение конечной суммы членов с синусами и косинусами называется гармоническим анализом. Каждый член суммы представляет собой гармонику с определенным периодом. Первая гармоника имеет период, равный длине исследуемого периода. Вторая равна половине основного, третья – одной трети основного и т.д. Вообще, если есть Р наблюдений, то число гармоник не будет превышать

Если величину изучаемого показателя записать как:



где Р – число значений изучаемого показателя или величина периода, то есть представить как части длины окружности, то зависимость соответствующих им значений запишется суммой:

,

где Р – полный период;

i - номер гармоники;

- переменная;

а0 – свободный член уравнения;

аi и вi - коэффициенты гармоник.

Приведенное выражение в развернутом виде запишется так:

Коэффициенты ряда Фурье определяются способом наименьших квадратов. Их оценками служат:







Для гармонического анализ наиболее удобным является период с 12 наблюдениями (три года по четыре квартала). Брать более 12 наблюдений не всегда оправдано, так как гармонический анализ основывается на исследовании колебаний вокруг среднего уровня. Тенденция ряда при этом не учитывается. Использование среднего уровня за три года, конечно, даст меньшие погрешности, чем замена тенденции средним уровнем за более длительный промежуток.

Проведение гармонического анализа ручным способом довольно трудно. В пакете программ «Статистика» разработан алгоритм решения показателей модели на ПЭВМ. Задача исследователя заключается в том, чтобы содержательно использовать результаты гармонического анализа. Так, например, нет необходимости рассчитывать параметры гармоник за весь период, если, допустим, первые три из них дают высокое значение сходимости ряда по величине коэффициента детерминации.

1   2   3   4


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации