Лекция - Динамические ряды с примерами решения задач - файл n1.doc

Лекция - Динамические ряды с примерами решения задач
скачать (708 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc708kb.08.09.2012 18:21скачать

n1.doc

1   2   3   4

Из приведенной таблицы видно, что производство холодильников и морозильников в 1996-2004 гг. увеличивалось. Но картина развития станет четче, если взять не годовые, а, допустим, трехлетние интервалы:

1996-1998 гг. – 2349,9 тыс. шт.

1999-2001 гг. – 2450,5 тыс. шт.

2002-2004 гг. – 2707,8 тыс. шт.

Укрупнение интервалов обычно начинают с наименьшего возможного укрупненного интервала (для нашего примера – двухгодичного). Если же первый укрупненный интервал не дает ясной картины, переходят к следующему возможному интервалу. Если в исследуемой совокупности наблюдается периодическое колебание, укрупненный интервал следует брать равным периоду колебания.

Разновидностью рассмотренного приема является способ ступенчатой средней, который заключается в том, что по каждому укрупненному интервалу дается не итог, а средняя, рассчитанная на предыдущий интервал. Так, в нашем примере следует исчислить годовые средние по каждому трехлетию. Они последовательно составляют 783,3 тыс. шт., 816,8 тыс. шт. и 902,6 тыс. шт.

Недостатком рассмотренных способов выявления тенденций является то, что при их использовании из поля зрения исследователя выпадает процесс изменения внутри укрупненных интервалов.

Одним из наиболее широко известных методов сглаживания временных рядов является метод скользящих средних. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов. Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие того, что первоначальные уровни временного ряда заменяются средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного периода. Затем период сдвигается на одно наблюдение и расчет средней повторяется, причем периоды средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом случае средняя центрирована. При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал скольжения, тем более плавным получается тренд (линия выравнивания значений). Сглаженный ряд короче первоначального на к-1 наблюдений (к – величина интервала сглаживания).

Порядок расчета скользящих средних производства холодильников и морозильников в Республике Беларусь по трехлетнему периоду показан в табл. 5.4. (гр. 3-4).

При расчете скользящей средней по четному периоду возникает затруднение с определением даты, к которой следует отнести полученную среднюю. Технически этот вопрос можно решить следующим образом: сначала определяются скользящие средние уровни, допустим, по четырехлетнему периоду (табл. 5.4, гр. 5-7), которые проставляются между серединами периодов; затем находятся новые подвижные средние из уже ранее исчисленных (повторное сглаживание по двум смежным уровням). Такой способ расчета скользящих средних называется центрированием.

В тех случаях, когда известно, что внутри интервалов сглаживания имеет место нелинейная тенденция, для сглаживания временных рядов используются взвешенные скользящие средние. Так, если в интервал сглаживания входят пять уровней, а тенденция может быть представлена параболой второго порядка, то сглаженный серединный уровень во взятом интервале будет выражать значение тенденции в начале ряда. Для расчета сглаженных уровней в этом случае используется формула:

,

где соответствует первому уровню во взятом интервале сглаживания.

Пари расчете скользящих средних по семи членам в интервале сглаживания воспользуемся формулой:

,

где соответствует первому уровню во взятом интервале сглаживания.

Рассчитанные таким способом в приведенных формулах веса обладают свойствами:

1) веса симметричны относительно середины интервала ;

2) их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице;

3) в системе весов кроме положительных величин содержатся и отрицательные. Это обстоятельство приводит к тому, что сглаженная кривая в значительной мере сохраняет различные изгибы кривой тренда.

Достоинством метода скользящих средних является наглядность при определении вида тренда и простота в истолковании скользящей средней.

В то же время скользящая средняя имеет ряд недостатков:

1) при малом числе наблюдений этот метод часто приводит к искажению тенденции;

2) при определении скользящей средней для дальнейших расчетов теряются начальные и конечные уровни ряда;

3) выбор величины интервала сглаживания часто трудно обосновать, а от этого зависит форма кривой.

Кроме того, тренд, полученный с помощью скользящих средних, не имеет количественного выражения.

6. Аналитическое выравнивание динамических рядов

Посредством аналитического выравнивания по способу наименьших квадратов устанавливается не только общая тенденция развития явления, но и дается количественная характеристика изменения уровней ряда. В основе этого способа лежит предположение о том, что зависимость между уровнями ряда и фактором времени может быть аналитически описана соответствующим уравнением. Уравнение, в котором в качестве независимой переменной берется фактор времени , называется уравнением тренда.

В том случае, когда развитие происходит по закону равномерного движения (возрастания или убывания), то такой тип зависимости можно выразить уравнением тренда прямой. Исходный уровень ряда динамики аналитически представим:



где yt – уровень ряда динамики;

- основная тенденция ряда;

- случайная компонента.

Уравнение тренда отражает влияние главных факторов на динамику явлений. Случайная компонента определяется действием случайных причин.

Выравнивание начинается с теоретического анализа динамического ряда, в результате которого устанавливается характер динамики и тип уравнения тренда.

Применительно к динамическим рядам уравнение тренда прямой запишем в таком виде:



- уровень изучаемого явления в момент времени t;

t – порядковый номер времени;

а0 и а1 – параметры уравнения.

Параметр а0 означает осредненное значение начальной точки отсчета; а1 – коэффициент регрессии, показывающий на какую величину в среднем изменится (увеличится или уменьшится) значение уровня ряда динамики при изменении фактора времени на единицу периода.

Параметры уравнения а0 и а1 находятся по способу наименьших квадратов:



Поскольку, то

В результате математических преобразований получим следующую систему нормальных уравнений:



В целях облегчения нахождения параметров а0 и а1 систему можно упростить; для этого отсчет времени следует вести так, чтобы , При таком обозначении фактора времени в рядах динамики с нечетным числом уровней отсчета ведется от центра, взятого за ноль. Вверх пойдут номера –1, -2, - 3 и т.д. вниз симметрично – со знаком полюс +1, +2, +3 и т.д. В рядах динамики с четным числом уровней будем иметь: вверх от центра ряда –1, -3, -5 и т.д.; вниз соответственно +1, +3, +5 и т.д.

В результате такой преобразовательной нумерации фактора времени параметры уравнения тренда прямой вычислим по формулам:

; .

Выравняем ряд производства холодильников в Республике Беларусь за 1990 – 2004 гг. (табл. 5.4, гр. 9-12). Подставив найденные значения в формулы определения a0 и a1, получим:

;

.

Искомое уравнение тренда производства холодильников и морозильников примет вид:

.

Подставив в уравнение значений фактора времени , получим выравненные (сглаженные) значения уровней ряда . При этом следует иметь в виду, что a0 – уровень производства холодильников и морозильников при , то есть в 1997 г., a1 – среднегодовой абсолютный прирост

Совпадение итогов эмпирических и теоретических уровней свидетельствует о правильности произведенных расчетов, т.е. (несовпадение на 0,7 тыс. шт. произошло за счет округлений).

В математической статистике доказано, что в рядах динамики с нечетным числом уровней значение можно вычислить по формуле:

, а в рядах динамики с четным числом уровней – по формуле: .

Мерой оценки колеблемости эмпирических уровней ряда динамики от теоретических выступает среднее квадратическое отклонение, исчисляемое по формуле:

,

где n – число уровней ряда;

m – число параметров уравнения тренда.

Относительным показателем оценки колеблемости выступает коэффициент вариации:

.

Вычислим приведенные показатели колеблемости по данным табл. 5.34 (гр. 13 – 14):

;

.

Выбор уравнения тренда для оценки характера развития того или иного процесса в экономике может быть дан на основе сравнения фактических уровней динамического ряда с эталонами, используя которые можно различать типы развития процессов во времени.

По определенности экономического смысла и возможности последующей содержательной интерпретации результатов математических расчетов целесообразно выделить четыре типа развития экономических явлений во времени, каждому из которых соответствует определенная математическая модель (уравнение тренда).

Равномерное развитие, то есть движение осуществляется по закону арифметической прогрессии с постоянным абсолютным изменением уровней динамического ряда. Эталонной моделью развития этого типа служит уравнение равномерного движения. Этому типу движения соответствует уравнение тренда прямой:

.

Порядок расчета параметров уравнения тренда прямой a0 и a1 рассмотрен выше. Если , то уровни динамического ряда возрастают, а при они снижаются во времени.

Равноускоренное (равнозамедленное) развитие, т.е. с постоянным во времени ускорением (замедлением). Эталонной моделью служит уравнение параболы второго порядка:

.

При имеет место наличие ускорения развития процесса, а при - его замедление.

Параметры уравнения a0 , a1 и a2 найдем из системы нормальных уравнений:



При условии, что значения параметров уравнения параболы определим:

, а значения параметров a0 и a2 – из системы уравнений:



Развитие с переменным ускорением (замедлением). Эталонной моделью его считается уравнение развития с переменным ускорением (замедлением), выраженное трендом параболы третьего порядка:

.

Если , то имеем эффект возрастания ускорения; - его замедления во времени.

Для нахождения параметров уравнения необходимо решить систему нормальных уравнений:



Приняв, что , получим следующие две системы преобразовательных уравнений определения параметров тренда параболы третьего порядка:





Развитие по закону с постоянным темпом роста, т.е. в геометрической прогрессии. Эталонной моделью развития этого типа является уравнение степенной зависимости:

.

Параметр k в этом уравнении соответствует среднему темпу роста.

Если , то темпы роста возрастают, а при - снижаются.

Для нахождения параметров уравнения степенной зависимости a0 и k необходимо произвести линеаризацию, т.е. привести это уравнение к линейному виду. Достигнем этого путем логарифмирования исходного уравнения:

.

Параметры логарифмического уравнения lga и lgk определим на основе системы нормальных уравнений:



Если , то значения параметров уравнения исчислим по формулам:



Исходные значения параметров а0 и к получим, взяв антилогарифмы параметров lga0 и lgk.

Рассчитывая теоретические уровни анализируемого динамического ряда при помощи эталонных моделей, можно установить, какому из названных выше типов развития в большей мере соответствует изучаемый процесс. Подобная задача решается на основе определения средней квадратической ошибки аппроксимации, исчисляемой по формуле:



Сравнивая результаты выравнивания, полученные для различных моделей, по минимальной величине определяют, какая из моделей типа развития наиболее подходит для данного динамического ряда.

Кроме того, полученные модели могут быть использованы и в прогностических целях, а их сопоставление за несколько смежных периодов времени (например, за два пятилетия) позволяет выявить смену типов развития, если она имеет место в действительности.

7. Интерполяция и экстраполяция (прогнозирование) уровней ряда динамики

Интерполяцией называется приблизительный расчет недостающих уровней внутри однородного периода, когда известны уровни по обе стороны неизвестного.

Интерполяция производится исходя из предположения, что изменения в пределах периода, выражающее закономерность развития, относительно устойчивы. Для этого необходимо установить характер динамики, т.е. найти относительно устойчивые производные (средние) показатели: абсолютный прирост, темп роста и др.

Возможны различные варианты интерполяции:

1) рассчитывается средняя арифметическая из прилегающих пропущенному уровней ряда;

2) при относительной стабильности абсолютных приростов интерполяция уровней ряда осуществляется прибавлением среднего абсолютного прироста к уровню предшествующему пропущенному;

3) при относительной стабильности темпов роста необходимо уровень предшествующей пропущенному умножить на величину среднего темпа роста.

Рассмотрим пример

Таблица 6.1

Год

Показатель


1999

2000

2001

2002

2003

2004

Производство холодильников и морозильников, тыс. шт.

802,0

812,0

836,5

868,7

885,8

953,3

Абсолютный прирост

-

10,0

24,5

32,2

17,1

67,5

темп роста, %

-

101,2

103,0

103,8

102,0

107,6
1   2   3   4


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации