Курсовая работа - Применение теории массового обслуживания в исследовании рынка - файл n1.doc

Курсовая работа - Применение теории массового обслуживания в исследовании рынка
скачать (643 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc

643kb.

26.08.2012 17:40

скачать

---

Смотрите также:
• Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания (Документ)
• Смолич В.П. Тесты по теории массового обслуживания (Документ)
• Лабораторная работа №3 (6) (Лабораторная работа)
• Лабораторная работа №3 (12) (Документ)
• Крылов. Теория телетрафика (Документ)
• Лабораторная работа №2 Лабораторная работа № «Модель простейшей системы массового обслуживания» (Документ)
• Практическая работа «Модель простейшей системы массового обслуживания» (Документ)
• «Теория массового обслуживания» (Документ)
• Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания (Документ)
• Лифшиц А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания (Документ)
• Лившиц Б.С., Пшеничинков А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. Учебник для вузов (Документ)
• Программа - Система массового обслуживания (Программа)

n1.doc

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Теоретические аспекты теории массового обслуживания

1.1. Математическое моделирование систем массового обслуживания

1.1.1. Элементы теории массового обслуживания

1.1.2. Классификация систем массового обслуживания

1.1.2.1. Классификация входных потоков

1.1.2.2. Классификация процессов обслуживания. Обозначения Кендалла систем массового обслуживания.

1.1.2.3. Классификация систем массового обслуживания по характеру обслуживания.

1.1.2.3.1. СМО с отказами.

1.1.2.3.2. СМО с ожиданием.

1.2. Имитационное моделирование систем массового обслуживания

1.2.1. «Когда другие методы беспомощны…»

1.2.2. Построение имитационной модели

1.2.3. Языки имитационного моделирования

Глава 2. Практическое применение теории массового обслуживания

2.1. Решение задачи математическими методами

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Решение задачи

2.2. Решение задачи методом моделирования на GPSS

Заключение

Библиография


ВВЕДЕНИЕ

Буквально с момента рождения всем нам приходится сталкиваться с очередями. Наши родители сидели в очереди в Загсе, чтобы официально зафиксировать этот факт... Мы стоим в очереди в гардероб... Мы набираем телефонный номер нашей подруги и слышим продолжительные гудки ... Не дозвонившись, мы решаем для экономии времени воспользоваться своим личным авто, и попадаем в традиционную "пробку"...

Юрий Ильич Дружников, русский писатель, журналист, писал в своем произведении «Я родился в очереди» 1995 года издания:

«Так уж получилось, что я действительно родился в очереди.

Мою мать привезли в родильный дом у Яузских ворот в Москве, который сохранился по сию пору. Мать стояла в длинной очереди к регистраторше. Схватки начались еще дома, и причиной этих схваток было мое непреодолимое желание появиться на свет. К несчастью, мать забыла захватить паспорт, и отец что было сил помчался за ним обратно домой. И хотя отец чуть не стал чемпионом в беге на длинную дистанцию, к тому времени, когда он вернулся, я уже родился».

В. А. Емеличев же говорит о том, что "очереди являются бедствием нашей эпохи, бедствием неизбежным, если мы не устраним всякую свободу выбора и не будем планировать каждую мелочь, касающуюся людей и продуктов производства, - a это нетерпимо для цивилизованного общества и, как правило, неосуществимо. Но, если ожидание неизбежно, его можно в какой-то степени контролировать: систему или организацию, на входе которой образуется очередь, можно преобразовать и улучшить с точки зрения обслуживания" (Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990).

Очереди возникают практически во всех системах массового обслуживания (СМО) и теория массового обслуживания (теория очередей) занимается оценкой функционирования системы при заданных параметрах и поиском параметров, оптимальных по некоторым критериям.

Таким образом, актуальность данной темы обусловлена тем, что при грамотном подходе и глубоких знаниях теории очередей, можно задать такие параметры функционирования системы, которые сведут затраты на содержание СМО к минимуму.

Работа вносит определенный вклад в обобщение знаний о теории массового обслуживания, что подтверждает теоретическую значимость.

Практическая значимость состоит в возможности применения результатов исследования в курсе теории массового обслуживания при создании пособий, написании курсовых работ и т.п.

Целью данной курсовой работы стало изучение теоретических аспектов эффективного построения и функционирования СМО.

Указанная цель исследования определила постановку следующих задач:

1. 
   Выделить основные элементы СМО.
   
2. 
   Привести классификации СМО.
   
3. 
   Изучить характеристики, отражающие эффективность функционирования СМО.
   
4. 
   Провести практический анализ эффективности функционирования СМО.
   

Объектом изучения данной курсовой работы является применение теории массового обслуживания в исследовании рынка.

Предметом исследования являются системы массового обслуживания их моделирование на языке GPSS.

Цель и задачи исследования определили конкретную структуру курсовой работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

Теоретической и методологической основой для данной работы явились труды Косорукова О.А., Кремера Н.Ш., Вагнера Г., Вентцель Е.С., Шелобаева С.И. и многих других.
Глава 1. Теоретические аспекты теории массового обслуживания.

1.1. Математическое моделирование систем массового обслуживания.

1.1.1. Элементы теории массового обслуживания.

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания [4, 333].

Согласно Т.Ю. Новгородцевой и Д.С. Матусевичу, под системой массового обслуживания понимают объект (предприятие, организация и др.), деятельность которого связана с многократной реализацией исполнения каких-то однотипных задач и операций [5, 5].

Авторы Бережная Е.В. и Бережной В.И. утверждают, что системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Требованием или заявкой называется объект, который необходимо обслужить: железнодорожные составы, проходящие через железнодорожный узел, покупатели, приобретающие товар и т.д. Как видно, объект является носителем запроса. Поэтому в дальнейшем под требованием понимается и сам запрос на обслуживание. Например, запрос на ремонт станка, запрос на продажу товара покупателю и т.д.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединится к очереди других требований (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование, из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• 
  посты технического обслуживания автомобилей;
  
• 
  персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования для решения тех или иных задач;
  
• 
  отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;
  
• 
  аудиторские фирмы;
  
• 
  телефонные станции и т.д.
  

Каждая СМО (рис.1) включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или иные операции, - кассиров, операторов, менеджеров и т.п.), обслуживающих некоторый поток заявок (требований), поступающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслуживание заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО – перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке – с простаиванием каналов.

Таким образом, в СМО имеются: входящий поток заявок, дисциплина очереди, поток необслуженных (покинувших очередь) заявок, каналы обслуживания с механизмом обслуживания и выходящий поток обслуженных заявок.



^{Рис.1. Структура СМО.}

Раскроем содержание каждого из указанных выше компонентов.

Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе облуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди – это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

• 
  первым пришел – первый обслуживаешься;
  
• 
  пришел последним – обслуживаешься первым;
  
• 
  случайный отбор заявок;
  
• 
  отбор заявок по критерию приоритетности;
  
• 
  ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
  

Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обсуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т.д.). Прежде всего, следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система подобного рода способна обслуживать сразу несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т.е. в обслуживающей системе процедура обслуживания требований реализуется последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

• 
  вероятностным распределением моментов поступления заявок на обслуживание (единичных или групповых);
  
• 
  вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
  
• 
  конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
  
• 
  количеством и производительностью обслуживающих каналов;
  
• 
  дисциплиной очереди;
  
• 
  мощностью источника требований.
  

В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• 
  вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
  
• 
  вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
  
• 
  относительная и абсолютная пропускная способность системы;
  
• 
  средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
  
• 
  среднее время ожидания в очереди;
  
• 
  средняя длина очереди;
  
• 
  средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.д.
  

Итак, предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие систему массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам [2, 82 – 85].
1.1.2. Классификация систем массового обслуживания.

Согласно общей классификации система массового обслуживания разделяется на три подсистемы.

Первая подсистема - это система массового обслуживания без потерь. Под термином система без потерь (с полным ожиданием) понимают систему, в которой, если все приборы заняты, требование становится в очередь и не покидает ее до тех пор, пока не будет обслужено.

Вторая подсистема - это система с частичными потерями. Подобная подсистема характеризуется тем, что требование либо не становится в очередь, если эта очередь превышает по длине некоторую величину (система с ограниченной длиной очереди), либо становится в очередь, но покидает ее, если время пребывания в ней превышает определенную величину (система с ограниченным временем пребывания), или, если время ожидания в очереди начала обслуживания превышает определенную величину (система с ограниченным временем ожидания начала обслуживания).

Третья подсистема - это система без очередей. Под этим термином понимают систему, в которой требование покидает систему, если все обслуживающие устройства (приборы) заняты. В такой системе, очевидно, очереди не может быть.

Системы, имеющие очередь, подразделяются на системы с одной очередью и системы с несколькими очередями.

Все системы массового обслуживания делятся на системы с одним каналом и системы с конечным числом каналов обслуживания. Под термином канал понимают обслуживающее устройство в цехе, пропускающее через себя требование. В тех случаях, когда приборов много удобно (математически более просто) считать, что их бесконечное число.

Все системы массового обслуживания можно разделить на системы с бесконечным числом требований (например, запросы на телефонные переговоры, на обслуживание покупателей, автомашины на бензозаправках и т.д.) и с конечным числом требований в системе (группа ремонта станков в цехе: число станков известно, тренировка футболистов футбольной команды, лечение больных студентов в институтской поликлинике и т.п.).

Представленная классификация, конечно, не исчерпывает все множество различных систем массового обслуживания. Эти системы могут классифицироваться и по другим признакам.

Так, весьма важной характеристикой является дисциплина обслуживания, под которой понимают порядок выбора требований из очереди. В соответствии с этим системы подразделяются на четыре вида.

1. 
   СМО с типом дисциплины "первый пришел - первый обслуживается" - дисциплина "живой очереди";
   
2. 
   СМО с типом дисциплины "последний пришел - первый обслуживается" - примером такой системы является склад, заполненный изделиями, из которого на доработку удобно брать изделия, поступившие последними;
   
3. 
   СМО с типом дисциплины выбора требований случайным способом;
   
4. 
   СМО с типом дисциплины выбора требований в соответствии с присвоенными приоритетами.
   

Другими вариантами классификаций могут быть следующие.

Поступление требований может быть единичным и групповым.

Требования могут обслуживаться параллельно работающими приборами, но может быть и система, в которой приборы расположены последовательно так, что как только будет обслужено требование первым прибором, то начнет обслуживаться и другое и т.д.

Интенсивность обслуживания прибором может быть постоянной или зависеть от длины очереди, приоритетов или каких-либо других факторов.

Наконец, системы массового обслуживания различают по характеру входного потока и по характеру обслуживающих устройств.

1.1.2.1.Классификация входных потоков

По характеру входной поток требований разделяется на детерминированный поток требований и стохастический (рис.2).

Детерминированный входной поток может быть двух видов. В первом случае требования поступают через равные промежутки времени. Другим видом детерминированного потока является поток, в котором требования поступают по известной программе – расписанию, когда моменты поступления новых требований известны заранее.


Пуассоновский (совершенно случайный) поток требований (M)
_{Рис. 2. Классификация входного потока}

Если промежутки времени между поступлениями требований случайны, то это будет стохастический процесс.

Стохастический поток требований подразделяется на три вида: поток с произвольными стохастическими свойствами, рекуррентный поток и совершенно случайный или пуассоновский поток требований.

Произвольный поток требований характеризуется тем, что на него не накладывается никаких ограничений на стохастическую независимость интервалов между поступлениями требований, а также на характер вероятностных законов, описывающих интервалы между требованиями.

Входной поток называется рекуррентным, если он характеризуется следующими свойствами:

1. 
   продолжительность интервалов между поступлениями требований стохастически независимы;
   
2. 
   продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения.
   

Входной поток называется совершенно случайным или простейшим, если для него характерно:

1. 
   продолжительность интервалов между поступлениями требований статистически независимы;
   
2. 
   продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью
   распределения;
   
3. 
   вероятность поступления требований на достаточно малом интервале ?t
   зависит только лишь от величины ?t (это свойство называется стационарностью или однородностью прихода);
   
4. 
   вероятность поступления требований на интервале ?t не зависит от
   предыстории процесса;
   
5. 
   характер потока требований таков, что в любой момент времени может
   поступить только одно требование.
   

Таким образом, простейший поток требований или совершенно случайный поток - это поток, определяющейся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия одновременно.

Предположения о совершенно случайном входном потоке требований эквивалентно тому, что плотность распределения интервалов времени между последовательными поступлениями требований описывается экспоненциальным законом:

(1.1)

где ?– интенсивность поступления заявок в систему.

Если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский. Такие процессы называются М-процессами (Марковскими).

Кроме закона Пуассона часто применяется закон распределения Эрланга.

(1.2)


1.1.2.2. Классификация процессов обслуживания.

Обозначения Кендалла систем массового обслуживания.

Аналогично входному потоку процесс обслуживания требований может быть детерминированным и стохастическим.

Детерминированный процесс обслуживания характеризуется постоянной величиной времени обслуживания



где - интенсивность обслуживания, которая представляет собой число требований, обслуживаемых в единицу времени.

Стохастический процесс обслуживания может быть произвольным, рекуррентным или совершенно случайным, как и при описании входного потока требований [15].

При рассмотрении систем массового обслуживания часто используются обозначения предложенные Кендаллом. Они позволяют описать СМО с помощью следующих трех элементов: вид входного потока, распределение продолжительности обслуживания, число обслуживающих приборов.

Используются следующие обозначения:

M - пуассоновское или экспоненциальное распределение;

D - постоянная величина;

E_k - распределение Эрланга;

G – общий вид распределения;

GI – рекуррентный входной поток.

Общий вид, характеризующий систему массового обслуживания, представляет собой следующую последовательность:



где Н₁ – характеристика входного потока, H₂ – характеристика времени обслуживания прибора, i – число приборов.

Например, система M /D /s - система с s приборами, обслуживающая поступающие требования за строго определенный интервал времени, поступающие требования образуют пуассоновский поток [16].

1.1.2.3. Классификация систем массового обслуживания

по характеру обслуживания.

1.1.2.3.1. СМО с отказами.

Одноканальная СМО содержит один канал (n = 1), и на ее вход посту­пает пуассоновский поток заявок П_вх интенсивность (среднее число событий в единицу времени) которого inП_вх=?. Так как интенсивность входящего потока может изменяться во времени, то вместо ? записывают ?(t). Тогда время обслуживания каналом одной заявки Т_об распределено по показательному закону и за­писывается в виде: , где ? — интенсивность отказов.

Состояние СМО характеризуется простаиванием или занято­стью ее канала, т. е. двумя состояниями: S₀ — канал свободен и простаивает, S₁ — канал занят. Переход системы из состояния S₀ в состояние S₁ осуществляется под воздействием входящего потока заявок П_вх, а из состояния S₁ в состояние S₀ систему переводит поток обслуживании П_об: если в данный момент времени система находится в некотором состоянии, то с наступлением первого по­сле данного момента времени СМО переходит в другое состояние. Плотности вероятностей перехода из состояния S₀ в S₁ и обратно равны соответственно ? и µ. Граф состояний подобной СМО с двумя возможными состояниями приведен на рис. 3.



_{Рис. 3. Граф состояний одноканальной СМО с отказами.}

Для многоканальной СМО с отказами (n > 1) при тех же ус­ловиях состояния системы обозначим по числу занятых каналов (по числу заявок, находящихся в системе под обслуживанием, так как каждый канал в СМО либо свободен, либо обслуживает только одну заявку). Таким образом, подобная СМО может на­ходиться в одном из следующих (n+1) состояний: s₀ — все n ка­налов свободны; s₁— занят только один из каналов, остальные (n—1) каналов свободны; s_i — заняты i - каналов, (n-i) каналов свободны; s_n —заняты все n каналов. Граф состояний такой СМО приведен на рис. 4.



_{Рис. 4. Граф состояний многоканальной СМО с отказами.}

При этом имеет место а

Пользуясь общим правилом составления дифференциальных уравнений Колмогорова, можно для приведенных на рис. 2 и рис. 3 графов состояний составить системы дифференциальных уравнений:

1. 
   например, для одноканальной СМО (рис. 2) имеем:
   

2. 
   для многоканальной СМО (рис. 3) соответственно имеем:
   

……………………………



……………………………





Решив первую систему уравнений, можно найти значения p₀(t) и p₁(t) для одноканальной СМО и построить графики при трех случаях: 1) ? >µ; 2) ?=µ; 3) ?<µ (рис. 5 а, б, в). Можно также определить предельную пропускную способность СМО. Решение второй системы уравнений для многоканальной СМО в аналитическом виде получить вручную сложно, и его обычно получают с помощью ЭВМ в численном виде.



_{Рис. 5 а, б, в, г.}

В целом, характеристики одноканальной СМО с отказами приведены ниже и особых пояснений не требуют [17].

Характеристика в момент времени t	Обозначения, формулы
Вероятность того, что канал свободен
Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию
Вероятность занятости канала
Вероятность отказа заявки
Относительная пропускная способность СМО (средняя доля обслуженных заявок среди поступивших)
Абсолютная пропускная способность СМО (среднее число обслуженных заявок за единицу времени)
Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
Среднее время обслуживания заявок
Среднее время пребывания заявки в системе

^{Таблица 1. Характеристики одноканальной СМО с отказами.}

Характеристика в момент времени t	Обозначения, формулы
Вероятность того, что канал свободен
Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживания
Вероятность занятности канала
Вероятность отказа заявке
Относительная пропускная способность СМО
Абсолютная пропускная способность СМО
Интенсивность выходящего потока Пвых обслуженных заявок
Среднее время обслуживания заявок
Среднее время пребывания заявки в системе

1.1.2.3.2. СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание — простейший поток с интенсивностью ?. Интенсивность потока обслуживания равна µ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать µ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость. Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 6.



^{Рис. 6. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием}

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ – канал свободен;

S₁ – канал занят (очереди нет);

S₂ – канал занят (одна заявка стоит в очереди);

……………………………………………………

S_n – канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);

………………………………………………….

S_N – канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

---

Глава 1. Теоретические аспекты теории массового обслуживания