Шпоры по физике - файл n1.doc

приобрести
Шпоры по физике
скачать (309.2 kb.)
Доступные файлы (3):
n1.doc588kb.25.01.2009 13:41скачать
n2.doc59kb.23.01.2009 22:34скачать
n3.doc682kb.23.01.2009 22:16скачать

n1.doc

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо­образной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распро­страняться в среде от частицы к частице с некоторой скоро­стью ?. Процесс распространения колебаний в пространстве на­зывается волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В попереч­ной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендику­лярных к направлению распространения волны. Упругие попереч­ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Н
Рис. 1.1


Рис. 1.2

а рис. 1.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час­тицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ј ?T, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час­тицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положе­ния; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положе­ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав­новесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь ?T, достигнет частицы 5.

На рис. 1.2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведе­ния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско­ростью ?.

На рис. 1.1 и 1.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблют­ся не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис­точника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и но­вые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред­ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть простран­ства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко­лебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую по­верхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых по­верхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют со­бой множество параллельных друг другу плоскостей, в сфериче­ской волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия кото­рых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

Н
Рис. 1.3

а рис.1.3 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными x в некоторый мо­мент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Р
(1.1)
асстояние ?, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

? =?T,

где ? скорость волны, T период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ­ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2 (см. рис. 1.3).

З
(1.2)
аменив в соотношении (1.1) T через 1/v (v — частота коле­баний), получим

?v = ?.

К
Рис. 2.1

этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле­бание, первый «гребень» успеет пройти путь ?. Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине ?.

Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает сме­щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:


(2.1)
= (х, у, z, t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре­мени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что описывает колебания час­тицы с координатами х, у, z. Периодич­ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя­ние ?, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции , в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер­пендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверх­ности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от х и t: = (х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид

(х, t) = a cos (t + ).

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время = x/? (? – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

(х, t) = a cos [ ( t ? ) + ] = a cos [ ( t ? x/? ) + ].

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:


(2.2)
= a cos [ ( t ? x/? ) + ]

Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны определяется выбором начал отсчета х и t. При рас­смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы была равной нулю. При совмест­ном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

З
(2.3)
афиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив

( t ? x/? ) + = const

Э
dt –


1

?

dx


=

0,
то выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим

о
?.

?.
ткуда


(2.4)

Таким образом, скорость распространения волны ? в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

С
(2.5)
огласно (2.4) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

= a cos [ ( t + x/? ) + ]

Д

?,
ействительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продиф­ференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.

У
?

k =


2?

(2.6)

,
равнению плоской волны можно придать симметричный отно­сительно х и t вид. Для этого введем величину

к
?

k =


?

(2.7)
оторая называется волновым числом. Умножив числи­тель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно пред­ставить волновое число в виде

(
(2.8)
см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

= a cos ( t + kx +  )

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (2.8) только знаком при члене kx.

При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a = a0 e?x. Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:


(2.9)
= a0 e?x cos ( t + kx +  )

(a0 – амплитуда в точках плоскости х = 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна t + . Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой

( t – r/ ? ) = t – kr + 

(
(2.10)

a
чтобы пройти путь r, волне требуется время ? = r/?). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид


r
= cos ( t + kx + )

где a постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность а равна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно доба­вить множитель e?x.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x, y, z углы ?, ?, ?. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид


(3.1)
= a cos ( t +  )

В
?

?

(3.2)
озьмем волновую поверхность (пло­скость), отстоящую от начала коорди­нат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время ? =l/?:


Рис. 3.1
= a cos [ ( t ? ) +  ] = a cos ( t ? kl +  ).

(k = ?/?; см. формулу (2.7)).
Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l:

nr = r cos ?= l.

З
(3.3)
аменим в (3.2) l через nr:

 = a cos ( t ? knr +  )

В
(3.4)
ектор

k = kn,

р
(3.5)
авный по модулю волновому числу k = 2?/? и имеющий направ­ление нормали к волновой поверхности, называется волно­вым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде

 ( r, t ) = a cos ( t ? kr +  )

Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ром k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­житель e?l = e? nr.

Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором r в момент времени l (r оп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное про­изведение kr через компоненты векторов по координатным осям:

kr = kxx + kyy + kzz.

Т
(3.6)

(3.7)
огда уравнение плоской волны примет вид

 (x, y, z, t ) = a cos ( t ? kxx kyykzz +  )

З
2?

cos ?,

?

ky =


2?

cos ?,

?

kz =


2?

cos ?.
десь

Ф
?

kx =

ункция (3.6) дает отклонение точки с координатами х, у, z в мо­мент времени t. В случае, когда n совпадает с ex, kx = k, ky = kz = 0 (и уравнение (3.6) переходит в (2.8). Очень удобна запись урав­нения плоской волны в виде

 = Re aei (?t-kr+?)

З
(3.9)

(3.8)

(3.10)
нак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число

в = aei?,

которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде

 = вei (?t-kr)

Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем.
Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим
С



ложение производных по координатам дает


(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k2/?2 через 1/?2 (см. (2.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде


?


где ? – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида


f(x, y, z, t)=f(t ? kxx kyykzz + )

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ?, имеем

Аналогично


Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить ?=?/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид


?

Скорость упругих волн в твердой среде

П
Рис. 5.2
усть в направлении оси х распространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой ?x (рис. 5.1). Смещения ? частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ? в функции от x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение ?, то смещение основания с координатой x+?x будет ?+??. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, что ? меняется с изменением х не по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформацию ? в сечении х, нужно устремить ?x к нулю. Таким образом,


(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)


(символ частной производной взят потому, что зависит не только от x, но и от t).

Наличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения ?, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома



(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция , а следовательно, и напряжение ? в фиксированный мо­мент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как уже отмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.

Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая ?x очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра рав­на ?S?x, где ? – плотность недеформированной среды. Проек­ция на ось x силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напря­жений в сечениях (x+?x+?+??) и (x+?):




Значение производной в сечении x+? можно для малых ? представить с большой точностью в виде






где под подразумевается значение второй частной произ­водной ? по х в сечении х.

Ввиду малосги величин ?x, ? и ?? произведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):


(5.5)


(
<

< ?x
относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому ?? , так что слагаемым ?? в сумме ?x+??, можно пренебречь).

Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим


Наконец, сократив на S?x, придем к уравнению


(5.6)

которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ? не зависит от у и z. Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что


? =

(5.7)



Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению


? =

(5.8)

(6.1)

где G – модуль сдвига.

Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна

 = a cos ( t ? kx +  )

Выделим в среде элементарный объем ?V, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и .

Выделенный нами объем обладает кинетической энергией


(6.2)





(??V – масса объема, его скорость).

Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации




(? = – относительное удлинение цилиндра, Е модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ??2 (? – плотность среды, ? – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ?V примет вид


(6.3)

(6.4)



Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию



Разделив эту энергию на объем ?V, в котором она содержится, получим плотность энергии


w

Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x дает


Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2?2 = ?2, получим


(6.5)




В случае поперечной волны для плотности энергии получается та­кое же выражение.

И
(6.6)
з (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квад­рата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соот­ветственно среднее по времени значение плотности энергии в каж­дой точке среды равно

Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорцио­нальны плотности среды ?, квадрату частоты ? и квадрату ампли­туды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плос­кой затухающей, сферической и т. д.).

И
(6.7)
так, среда, в которой распространяется волна, обладает до­полнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от ис­точника колебаний в различные точки среды самой волной; следо­вательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу вре­мени, называется потоком энергии через эту поверх­ность. Если через данную поверхность переносится за время dt энергия dW, то поток энергии ? равен

Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. сов­падает с размерностью мощности. В соответствии с этим ? измеря­ется в ваттах, эрг/с и т. п.

Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором пере­носится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время ?t энергия ?W. Тогда плотность потока энергии равна


(6.8)





(см. (6.7)). Через площадку (рис. 6.1) будет перенесена за время ?t энергия ?W, заключенная в объеме цилиндра с основа­нием и высотой ??t (? – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости и ?t) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ?W можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра, равный ??t:


Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плот­ности потока энергии:


(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)


Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распростране­ния волны (и переноса энергии), можно написать

j = wv

М


Рис.6.1

Рис.6.2
ы получили выражение для вектора плотности потока энер­гии. Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w, различен в разных точках про-
странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно
(см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.).

Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плот­ности потока энергии, переносимой волной.

Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разо­бьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равен dV = ? dt dS cos? . В нем содержится энергия dW = w dV = w ? dtdS cos ? (w мгновенное значение плотности энергии в том месте, где рас­положена площадка dS). Приняв во внимание, что

w ? dS cos ? = j dS cos ? = j dS

(dS = n dS; см. рис. 6.2), можно написать: dW = j dS dt. Отсюда для потока энергии d? через площадку dS получается формула



(
(6.13)
ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (6.12):
В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S.

З
(6.14)
аменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение ?:
Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каж­дой точке этой поверхности векторы j и dS совпадают по направле­нию. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности оди­наков. Следовательно,



(r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11) . Таким образом,



(ar – амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии че­рез сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие



Отсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. формулу (5.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с рас­стоянием по закону a = = a0 e-?x (см. (2.9)). Соответственно средняя плотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по


(6.15)

Здесь  = 2? – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная , равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз.
Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна­ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при нало­жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

1 = a cos ( t ? kx + 1 ), 2 = a cos ( t + kx + 2 ).
С
(7.1)

(7.2)
ложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность ?1 – ?2 стала равной нулю, а начало отсчета t так, чтобы оказалась равной нулю сумма ?1 – ?2. Кроме того, заменим волновое число k его значением 2?/?. Тогда уравнение (7.1) примет вид



Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем ампли­туда зависит от х:


В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2?x/? =  n? (n  N) – (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:


(7.4)

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x, определяемые формулой (7.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию


амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения


(7.5)

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плос­кость, точки которой имеют значения координаты х, определяе­мые формулой (7.5).

И
2acos(2x/)
з формул (7.4) и (7.5) следует, что расстояние между сосед­ними пучностями, так же как и расстояние между соседними узла­ми, равно /2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на . Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, ко­леблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя со­седними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (7.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для дефор­мации среды :


(7.6)


(7.7)





Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации.

Н
Рис.7.2

Рис.7.1
а рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще­ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4. Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч­ностями смещения; узлы же и п учно­сти деформации совпадают соответ­ственно с пучностями и узлами сме­щения. В то время как  и ? достигают максимальных значений, обраща­ется в нуль, и наоборот. Соответст­венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль­ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо­дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со­средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации