Реферат - Тензоры - файл n1.doc

Реферат - Тензоры
скачать (1147.4 kb.)
Доступные файлы (1):

1371kb.

06.01.2010 18:32

n1.doc

Содержание

1. Тензор напряжений. Главные напряжения. Инварианты

тензора напряжений. Поверхность напряжений Ламе (эллипсоид Ламе)…..2

1.1 Тензор напряжений…………………………………………………..2

1.2 Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений……..4

1.3Поверхность напряжений Ламе (эллипсоид Ламе)………………6

2. Ассоциированный закон течения. Теория течения………………….7

2.1 Ассоциированный закон течения……………………………….....7

2.2 Теория течения………………………………………………………..9

Библиография………………………………………………………………13
1. Тензор напряжений. Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений. Поверхность напряжений Ламе (эллипсоид Ламе)

1.1 Тензор напряжений.

Согласно закону парности касательных напряжений на двух взаимно ортогональных площадках, проходящих через данную точку, выполняются следующие равенства: в декартовой системе координат

в цилиндрической

в сферической

Из приведенных равенств вытекает, что независимыми являются только шесть компонент напряжений, характеризующих напряженное состояние в точке твердого деформируемого тела: в декартовой системе координат

в цилиндрической

в сферической

Компоненты напряжений в точке образуют тензор напряжений:

1.1

Рисунок 1.1

Рисунок 1.1 - продолжение
Выражения для тензоров напряжений в цилиндрической и сферической системах координат имеют вид

1.2

В третьей системе обозначений компонент напряжений (см. табл. 1) тензор напряжений записывается так:

1.3

Общий случай напряженного состояния в точке твердого деформируемого тела (рис. 1.1, а) может быть представлен в виде суммы двух напряженных состояний (рис. 1.1, б, в). Первое состояние (рис. 1.1, б) характеризуется шаровым тензором напряжений:

1.4

где

— среднее напряжение,

1.5

второе (рис. 1.1, в) — тензором напряжений сдвига, который называется девиатором напряжений:

1.6

При этом компоненты девиатора напряжений можно выразить через компоненты тензора напряжений и шарового тензора:

1.7

Компоненты девиатора напряжений

- можно представить через компоненты тензора напряжений

- в сокращенной записи:

1.8

Такое представление напряженного состояния равносильно разложению тензора напряжений

на шаровой тензор

и девиатор

напряжения:

1.9
1.2 Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений.

В каждой точке твердого деформируемого тела всегда существуют такие три взаимно ортогональные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Они называются главными. Направления нормалей к главным площадкам образуют главные оси тензора напряжений, не зависящие от исходной системы координат. Напряжения, действующие на главных площадках, называются главными. Главные оси нумеруем так, чтобы выполнялись неравенства

1.10

Главные напряжения являются действительными корнями кубического уравнения:

1.11

или в развернутой форме

1.12

Коэффициенты этого уравнения,

1.13

не зависят от выбора системы координат и называются первым (линейным), вторым (квадратичным) и третьим (кубическим) инвариантами тензора напряжения. Выражения для инвариантов в главных напряжениях имеют вид

1.14

Инварианты тензора напряжений (1.13) и (1.14) являются основными характеристиками напряженного состояния в точке твердого деформируемого тела.

Аналогично записываются выражения для инвариантов шарового тензора и девиатора напряжения:

1.15

1.16

С учетом зависимостей (1.7) выражение (1.16) преобразуется к виду

1.17

Инварианты девиатора напряжения можно выразить через главные компоненты девиатора напряжений:

1.18

где

В сокращенной тензорной записи инварианты тензора и девиатора напряжений записываются так:

1.19

1.20

1.3Поверхность напряжений Ламе (эллипсоид Ламе)

Формулы (1.21) дают возможность получить геометрическое представление об изменении величины напряжения Т на элементарной площадке d2, когда она поворачивается около и точки О. Координаты точки, лежащей на конце вектора Т, согласно формулам (1.21), суть:

1.21

1.22

при условии:

1.23

Определяя

из (1.22) и внося в (1.23), мы получим:

1.24

это есть уравнение эллипсоида с полуосями

Так как одна из полуосей эллипсоида представляет наибольший радиус-вектор, а другая — наименьший, то, следовательно, одно из главных напряжений представляет наибольшее напряжение в данной точке, а другое — наименьшее. Если два главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений делается эллипсоидом вращения. Если равные по величине главные напряжения одинакового знака, то напряжения по всем элементарным площадкам, проходящим через ось вращения, будут одинаковы и нормальны к этим площадкам. Если все три главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений превращается в шар, и всякие три взаимно перпендикулярных направления могут быть приняты за главные. Если одно из главных напряжений обращается в нуль, то одна из осей эллипсоида обращается в нуль, вследствие чего поверхность эллипсоида превращается в площадь эллипса. В этом случае напряжения на всех элементарных площадках, проведённых через рассматриваемую точку, будут лежать в одной плоскости. Такое напряжённое состояние называют плоским напряжённым состоянием. Если два главных напряжения обращаются в нуль, то эллипсоид превращается в отрезок прямой, и мы будем иметь линейное напряжённое состояние. Таков случай растяжения и сжатия призматических брусков осевыми силами.
2. Ассоциированный закон течения. Теория течения.

2.1 Ассоциированный закон течения.

Математически ассоциированный закон течения в сокращенной форме записывается так:

2.1

Здесь

— множитель Лагранжа;

— пластический потенциал. Зависимости (2.1) называют ассоциированным законом пластического течения, так как последнее связывается (ассоциируется) с условием текучести. Ассоциированный закон позволяет обобщать уравнения пластичности путем рассмотрения поверхностей текучести. Если пластическое течение рассматривается в пространстве главных напряжений, то соотношения (2.1) имеют вид

2.1а

Уравнение (2.1) получено из условия относительного максимума функции приращения пластической работы

которое записывается с помощью множителей Лагранжа:

2.2

Поскольку

из ассоциированного закона течения (2.1) следует нормальность вектора

к поверхности пластичности

(нагружения) (рис. 2.2, а), так как угол

между векторами

острый. Геометрически это можно представить следующим образом. Пусть поверхность

выпукла, т. е. лежит по одну сторону касательной плоскости (рис. 2.2, а), тогда условие

выполняется, если вектор

перпендикулярен поверхности пластичности (нагружения). В противном случае всегда найдется вектор

составляющий с вектором

тупой угол

(штриховая линия на рис. 2.2, а).

Если бы поверхность пластичности (нагружения) была невыпуклой, то независимо от направления вектора

всегда можно было бы подобрать точку А так, чтобы векторы

составляли тупой угол (рис, 2.2, б). Следовательно, условие

выполняется в том случае, когда поверхность пластичности (нагружения) выпуклая, а вектор

перпендикулярен данной поверхности. Подставляя (2.1) в выражение для интенсивности приращений пластических деформаций, получаем формулу для

Рисунок 2.2.

определения параметра Лагранжа:

2.3

Из данного соотношения следует, что

, Согласно

и (2.1) при нагружении

2.4

при разгрузке

2.5

Переходя из пластического состояния в упругое, вектор

ппроходит через нейтральную плоскость (касательную плоскость к поверхности пластичности); при этом выполняются равенства

2.6

Конец вектора напряжений движется по поверхности пластичности. Такой процесс нагружения называют нейтральным; в этом случае законы упругости и пластичности совпадают, что является условием непрерывности. Для идеально пластического материала поверхность пластичности (нагружения) совпадает с поверхностью начала пластичности. В этом случае нейтральное нагружение является основным типом нагружения, которое сопровождается приращением пластических деформаций. При нагружении

2.7

при разгрузке

2.8

Полученные законы справедливы для гладкой (регулярной) поверхности пластичности, а для сингулярной поверхности пластичности, т. е. поверхности, имеющей ребра или вершины (рис.2.2, в), данные законы не выполняются. В этом случае соотношение (2.1) необходимо дополнить так, чтобы определить пластическое течение на стыках. Если ребро образовалось пересечением двух поверхностей пластичности (см. рис. 2.2, в), уравнения которых имеют вид

2.9

то для точек ребра условие относительного максимума функции приращения пластической работы

записывается следующим образом:

2.10

Откуда, следуя Прагеру и Койтеру, течение на ребре является линейной комбинацией течений слева и справа от ребра (см. рис. 2.2, в):

2.11

Приращение пластических деформаций развивается по направлению, лежащему внутри угла, образованного нормалями к двум смежным граням (см. рис. 2.2, в).

2.2 Теория течения.

Теория пластического течения устанавливает физические уравнения связи между компонентами напряжений и компонентами скоростей пластических деформаций. Физические уравнения по этой теории для плоской задачи впервые были получены Сен-Венаном, а для пространственной задачи — М. К. Леви и позже Мизесом.

Теория пластического течения основана на следующих допущениях.

1. Деформируемое тело является изотропным.

2. Относительное изменение объема является упругой деформацией, пропорциональной среднему напряжению,

2.12

Коэффициент пропорциональности К тот же, что и в пределах упругости:

Из соотношения

заключаем, что

2.13

Используя ассоциированный закон течения (2.1), представим компоненты приращения пластической деформации в виде

2.14

Умножая обе части равенства (2.14) на

находим

2.15

Таким образом, при пластических деформациях объем не изменяется. Следовательно, тензор приращения пластических деформаций представляет собой девиатор. Тогда

2.16

3. Предполагается, что для данного материала интенсивность напряжений является функцией интеграла от интенсивности приращений пластических деформаций:

2.17

Функция F определяется по диаграмме растяжения материала. Для этого необходимо предварительно преобразовать функцию

в функцию

(рис. 2.3). Действительно, для одноосного растяжения имеем

Рисунок 2.3

2.18

Кривая

выражает зависимость между интенсивностью напряжений и параметром Одквиста, т. е.

. Приведенные законы пластического деформирования позволяют получить уравнения пластического состояния материала.

2.19

Тогда, согласно ассоциированному закону получаем

2.20

Уравнения (2.20) показывают, что компоненты приращения пластических деформаций пропорциональны компонентам девиатора напряжений. Добавляя к компонентам пластических деформаций, определяемых (2.21), компоненты упругих деформаций, находим формулы для определения компонент приращений полных деформаций:

2.21

Уравнения (2.21) являются основными уравнениями теории пластического течения и называются уравнениями Прандтля — Рейсса. При этом зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью приращения деформаций принимается в виде (2.17). Уравнения (2.21) можно представить в сокращенной форме:

2.21а
В тех случаях, когда приращениями упругих деформаций пренебрегают по сравнению с приращениями пластических деформаций, имеем

2.22

или в сокращенной форме

2.22а

Разделив обе части уравнений (2.22) на

, с учетом

(2.22a) получим физические уравнения связи между скоростями деформаций и компонентами девиатора напряжений:

2.23

или в сокращенной форме

2.23а

где

— интенсивность скоростей деформаций. Компоненты тензора напряжений можно выразить через компоненты скоростей деформаций с помощью уравнений Сен-Венана — Леви — Мизеса:

2.24
Библиография

Г.С. Писаренко, Н.С. Можаровский. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучисти 1981 г.

Л. С. Лейбензон Курс теории упругости. Издание 2.

Содержание