Гельруд Я.Д. Лекции по финансовой математике - файл n1.doc

Гельруд Я.Д. Лекции по финансовой математике
скачать (726 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc726kb.23.08.2012 17:32скачать

n1.doc

  1   2   3   4

УДК 338.24


Г 325
Гельруд Я.Д.

Г 325 Финансовая математика.


Учебно-методический комплекс. – Челябинск:

Изд-во ЮурГУ, 2006. 80 с.
Финансовая математика используется для проведения количественного финансового анализа денежных потоков в различных отраслях экономики.

Теоретическая часть УМК содержит описание математических средств и методов, применяемых при расчете показателей любых финансовых инструментов, приносящих доход. Большое количество примеров способствует освоению материала и выполнению итоговых контрольных заданий.

Предназначено для слушателей факультета экономики и предпринимательства.
Одобрено учебно-методической комиссией факультета экономики и предпринимательства для специальностей 060800 – «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)» и 061100 – «Менеджмент организации».
Рецензенты:

В.Г.Мохов, д-р экон. наук, проф., заведующий кафедрой ЮУрГУ «Предпринимательство и менеджмент».


Гельруд Я.Д., 2006

Издательство ЮурГУ, 2006

Содержание

Введение…………………………………………………………………….. 4

1. Проценты, виды процентных ставок…………………………………… 10

2. Простые процентные ставки ..……………………………………………13

3. Сложные проценты………………………………………………………. 21

4. Постоянные финансовые ренты………………………………………… 36

5. Конверсии рент…………………………………………………………… 57

6. Применение формул финансовой математики для оценки

стоимости объекта, приносящего доход……………………………... 64

7. Вопросы к зачету………………………………………………………… 74

8. Контрольные задания……………………………………………………..78

Литература…………………………………………………………………79

Введение.

Курс содержит систематизированное изложение основных понятий и методов финансовых вычислений и количественного анализа финансовых операций. Содержание курса охватывает: базовые разделы финансовой математики; построение плана погашения кредита; финансовый анализ инвестиций; финансовые расчеты по ценным бумагам.

Необходимость выделения данного курса вызвана дублированием в ряде дисциплин (финансовый менеджмент, инвестиционный анализ, оценка бизнеса, рынок ценных бумаг и пр.) теоретических основ финансовых расчетов. Выделение курса "Финансовой математики" позволяет не только более глубоко и последовательно изучить теоретические основы финансовых расчетов и получить практические навыки по решению задач, излагаемых в смежных курсах, но и тем самым увеличивает долю времени на изучение конкретной экономической дисциплины.

Цель преподавания курса "Финансовая математика" подготовка специалистов, владеющих современной методологией статистической оценки и анализа рыночной экономики; формирование у будущих специалистов твердых теоретических знаний и практических навыков финансово-экономических расчетов, позволяющих эффективно осуществлять инвестиционную деятельность и управлять финансами.

В ходе изучения дисциплины ставятся следующие задачи:

овладение основами математического аппарата современных методов количественного финансового анализа, необходимого для осуществления широкого спектра разнообразных финансово-экономических расчетов;

применение методов моделирования и прогнозирования финансовых процессов для принятия обоснованных управленческих решений;

освоение финансово-экономических расчетов с использованием базовых моделей финансовых операций и выполнение прикладного количественного финансового анализа.

Принятые в настоящем учебном пособии состав и последовательность рассмотрения учебного материала позволяет получить целостное представление о финансово-экономических расчетах и практического применения этих методов при разработке и реализации финансовых решений.

Эффективное изучение дисциплины предполагает знание основ математики, экономической теории, статистики и финансов. Полученные студентами знания по финансовой математике являются основой для дальнейшего изучения ими дисциплин "Финансовый менеджмент", "Финансово-инвестиционный анализ", "Анализ рынка ценных бумаг", "Биржевое дело", "Страхование" и т.п.

В результате изучения дисциплины студенты должны

знать:

простые и сложные проценты как основу операций, связанных с наращением или дисконтированием платежей;

принцип эквивалентности ставок как основу многих методов количественного анализа;

методы расчета обобщающих характеристик потоков платежей применительно к различным видам финансовых рент;

уметь:

производить наращение по простым и сложным процентам;

осуществлять дисконтирование и учет по простым и сложным ставкам процентов;

оценивать последствия замены одного финансового обязательства другим и делать аргументированные выводы;

планировать и оценивать эффективность финансово-кредитных операций;

планировать погашение долгосрочной задолженности;

производить финансовые расчеты по ценным бумагам;

планировать и анализировать инвестиционные проекты;

исчислять показатели по лизинговым, факторинговым и форфейтинговым операциям;

производить актуарные расчеты по страхованию жизни.

Рамки финансовой математики достаточно широки – от элементарных начисле­ний процентов до относительно сложных расчетов, например оценки влияния различных факторов на эффективность выпус­ка облигаций или методов сокращения риска путем диверсифи­кации портфеля финансовых инвестиций и т.д. К основным за­дачам финансовой математики относятся:

– измерение конечных финансовых результатов операции
(сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;

– разработка планов выполнения финансовых операций, в
том числе планов погашения задолженности;

– измерение зависимости конечных результатов операции
от основных ее параметров;

– определение допустимых критических значений этих параметров и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий операции.

Разумеется, данный перечень не является исчерпывающим. Современная практика ставит новые задачи. К числу послед­них, например, относится оптимизация портфеля активов и, что более интересно, оптимизация по какому-либо критерию портфеля задолженности.

Свидетельством важности дальнейшего развития количест­венного финансового анализа служит тот факт, что несколько последних Нобелевских премий по экономике присуждены за работы именно в этой области знания.

Знание методов, применяемых в финансовой математике, необходимо при непо­средственной работе в любой сфере финансов и кредита, в том числе и на этапе разработки условий контрактов. Нельзя обой­тись без них при финансовом проектировании, а также при сравнении и выборе долгосрочных инвестиционных проектов. Финансовые вычисления являются необходимой составляющей расчетов в долгосрочном личном страховании, например проек­тировании и анализе состояния пенсионных фондов (расчет та­рифов, оценка способности фондов выполнить свои обязатель­ства перед пенсионерами и т.д.), долгосрочном медицинском страховании.

Область приложения методов количественного анализа фи­нансовых операций последовательно расширяется. Кратко про­следим этапы развития. Есть свидетельства того, что на заре ци­вилизации (Мессопотамия) уже применялось начисление про­центов в простых ссудных операциях. В прошлом веке и первой половине нынешнего столетия анализ в основном был нацелен на операции, предполагающие выплаты регулярных последова­тельностей платежей – финансовых рент. В наше время преоб­ладающим объектом являются потоки платежей. В последнее десятилетие большое внимание уделяется портфелям финансо­вых инвестиций и задолженности. Очевидно, что во всех случа­ях переход к новым объектам анализа связан с созданием адек­ватных методик.

Фактор времени. В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения обязательно связываются с конкретными периодами времени. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Неравноценность двух одинаковых по величине разновременных сумм связана, прежде всего, с тем, что имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы (вложены в бизнес), и принести доход в будущем. Влияние фактора времени многократно усиливается в период инфляции, деньги «обесцениваются».

Очевидным следствием принципа изменения ценности денег во времени является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии финансовых решений долгосрочного характера. Неправомерно также и непосредст­венное сравнение разновременных денежных величин. Их сравнение допустимо только при "приведении" таких сумм к одно­му моменту времени. Способы приведения обсуждаются ниже для разных вариантов производства платежей.

Ставка приведения. Какой бы метод оценки эф­фективности инвестиций ни был выбран, так или иначе он связан с приведением, как инвестиционных расходов, так и дохо­дов к одному моменту времени, т.е. с расчетом соответствую­щих современных стоимостей потоков платежей. Важным моментом здесь является выбор уровня процентной ставки для дисконтирования. Назовем эту величину ставкой приведения. Какую ставку следует принять в конкретной ситуации – дело экономического сужде­ния. Чем ставка выше, тем в большей мере отражается фактор времени, так как отдаленные платежи оказывают все меньшее влияние на современную стоимость потока.

Выбор уровня процентной ставки за редкими исключениями не является однозначным и зависит от ряда факторов. Обычно ориентируются на существующий или ожидаемый уровни ссудного процента. Практически для этого используют конкретные ориентиры – доходность ряда ценных бумаг, банковских операций и т.д. с учетом условий деятельно­сти инвестора.

В западной литературе ставку, принятую для дисконтирова­ния потоков платежей в инвестиционном проекте, рассматри­вают как минимально привлекательную ставку доходности (mini­mum attractive rate of return, MARK). В отечественной практике эту ставку, вероятно, следует рассматривать как норматив до­ходности, приемлемый для инвестора. Если финансовый анализ предполагает расчет внутренней нормы доходности, то этот норматив рассматривается как некоторое пороговое (минималь­но допустимое) значение данного параметра.

Разумеется, при выборе ставки приведения нельзя не учиты­вать финансовое положение инвестора, его способность учесть будущие условия и т.п. Важным моментом является учет риска. Риск в инвестиционной деятельности независимо от ее кон­кретных форм, в конечном счете, проявляется в виде возможно­го сокращения отдачи от вложенного капитала по сравнению с ожидаемой ее величиной. В качестве общей рекомендации по учету риска сокращения отдачи, инфляционного обесценения дохода, изменения конъюнктуры и других отрицательных фак­торов обычно предлагается вводить рисковую надбавку к уровню ставки приведения.

Заметим, что одна и та же компания может применять раз­личные ставки приведения для оценки инвестиционных проек­тов, имеющих разное назначение, сроки реализации и т.д. На­пример, вполне оправданным является использование более низких ставок при оценивании проекта расширения действующего производства, чем при создании нового предприятия.

1. Проценты, виды процентных ставок

1.1. Проценты.

Под процентными деньгами или, кратко, процента­ми (interest), понимают абсолютную величину дохода от предо­ставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, про­дажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облига­ции и т.д. Какой бы вид или происхождение ни имели процен­ты, это всегда конкретное проявление такой экономической ка­тегории, как ссудный процент.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере про­центной ставки. Под процентной ставкой (rate of interest) пони­мается относительная величина дохода за фиксированный отре­зок времени – отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Процентная ставка – один из важнейших элементов коммерческих, кредитных или инвестиционных контрактов. При выполнении расчетов про­центные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления (running period), его не следует путать со сроком начисления. В качестве такого перио­да принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты согласно договоренности между кредитором и за­емщиком выплачиваются по мере их начисления или присоеди­няются к основной сумме долга (капитализация процентов). Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присо­единением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы. Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении – от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьша­ется на величину соответствующего дисконта (скидки). Такой способ называют дисконтированием (сокращением).

Размер процентной ставки зависит от ряда как объективных, так и субъективных факторов, а именно: общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка; кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита; особенностей заемщика (его надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношений и т. д.

В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирования денежных средств и процесс их наращения. В старой русской финансовой литературе такую ставку называли ставка помещения.

1.2. Виды процентных ставок и способы начисления процентов.

Существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют разные виды процентных ставок. Можно выделить ряд признаков, по которым различаются процентные ставки.

Для начисления процентов применяют постоянную базу начисления и последовательно изменяющуюся (за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют простые, во втором – сложные процентные ставки, при применении которых проценты начисляются на проценты.

Важным является выбор принципа расчетов процентных денег. Существует два таких принципа: от настоящего к будущему и, наоборот, от будущего к настоящему. Соответственно применяют ставки наращения (interest base rate) и дисконтные или учетные, ставки (discount base rate). В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке – антисипативными. Далее декурсивные проценты в большинстве случаев будем называть просто процентами.

Процентные ставки могут быть фиксированными (в контракте указываются их размеры) или плавающими (floating). В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней – маржи. Классическим примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate). В России применяются базовые ставки по рублевым кредитам МИБОР. Размер маржи определяется рядом условий, в частности финансовым положением заемщика, сро­ком кредита и т.д. Он может быть постоянным на протяжении срока ссудной операции или переменным.

Важное место в системе процентных ставок занимает ставка рефинансирования Центрального Банка России – ставка, по которой ЦБ выдает кредит коммерческим банкам.

Добавим, что при последовательном погашении задолженно­сти возможны два способа начисления процентов. Согласно первому процентная ставка (простая или сложная) применяет­ся к фактической сумме долга. По второму способу простые проценты начисляются сразу на всю сумму долга без учета по­следовательного его погашения. Последний способ применяет­ся в потребительском кредите и в некоторых других (правда, редких) случаях.

В практических расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксирован­ные интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается как дискретная переменная. В некото­рых случаях – в доказательствах и аналитических финансовых расчетах, связанных с процессами, которые можно рассматри­вать как непрерывные, в общих теоретических разработках и значительно реже на практике возникает необходимость в применении непрерывных процентов (continuous interest), когда наращение или дисконтирование производится непрерывно, за бесконечно малые промежутки времени. В подобных ситуациях применяют специальные непрерывные процентные ставки.

2. Простые процентные ставки

2.1. Формула наращения

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают перво­начальную ее сумму с начисленными процентами к концу сро­ка начисления (date of maturity, due date). Наращенная сумма оп­ределяется умножением первоначальной суммы долга (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий на­ращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периоди­чески выплачиваются. Для записи формулы наращения про­стых процентов (simple interest) примем обозначения:

I – проценты за весь срок ссуды;

Р – первоначальная сумма долга;

S – наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i – ставка наращения процентов (десятичная дробь);

п – срок ссуды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начисленные за весь срок проценты составят

I= Pni.

Наращенная сумма, таким образом, находится как

S = P + I = P + Pni = Р(1 + ni). (2.1)

Выражение (2.1) называют формулой наращения по простым процентам или кратко – формулой простых процентов, а мно­житель (1 + ni)множителем наращения простых процентов.

ПРИМЕР 2.1. Определим проценты и сумму накопленного долга, еcли ссуда равна 700 тыс. руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых (i = 0,2):

I= 700 Ч 4 Ч 0,2 = 560 тыс. руб.;

S = 700 + 560 = 1260 тыс. руб.

Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом, естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в

(1 + 2 Ч 4 Ч 0,2) / (1+4 Ч 0.2) = 1.444 раза.

Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. Пос­кольку процентная ставка, как правило, устанавливается в рас­чете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо опреде­лить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления.

Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай – с годовыми периодами начисления. Очевидно, что срок ссуды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок п в видe дроби

п =t/K,

где t – число дней ссуды, К – число дней в году, или времен­ная база начисления процентов (time basis).

При расчете процентов применяют две временные базы:

К 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Если К – 360, то получают обыкновенные или коммерческие про­центы (ordinary interest), а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты (exact interest) .

Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается рав­ным 30 дням. В свою очередь точное число дней ссуды опреде­ляется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день.

Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов.

Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вари­ант, естественно, дает самые точные результаты. Данный спо­соб применяется центральными банками многих стран и круп­ными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или ACT/ACT.

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker's Rule), распро­странен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых – во Франции, Бельгии, Швейца­рии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой став­кой. Например, если t = 364, то п = 364/360 = 1,01111. Мно­житель наращения за год при условии, что i = 20% , составит 1.20222.

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швеции, Дании. Метод условно обозначается как 360/360.

Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не приме­няется.

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев, но, разумеется, не всегда, больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год число дней в месяце, кото­рое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным чис­лом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с приближен­ным.

ПРИМЕР 2.2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен за­платить должник в конце срока при начислении простых процен­тов? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное – 258, приближенное – 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

S = 1 000 000(1 + 0,18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360):

S = 1 000 000(1 + 0,18) = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу­ды (360/360):

S = 1 000 000(1 +0,18) = 1 127 500 руб.

Если общий срок ссуды захватывает два смежных календар­ных года и есть необходимость в делении суммы процентов ме­жду ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году:

I = I1 + I2 = Pn1i + Pn2i,

здесь п1 и п2 – части срока ссуды, приходящиеся на каждый ка­лендарный год.

Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

S=P(1+n1i1 +n2i2...+nm im) (2.2)

где it – ставка простых процентов в периоде t, nt – продолжи­тельность периода с постоянной ставкой it.

ПРИМЕР 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год – 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

1 + ntit= 1 + 1 Ч 0,16 + 0,5 Ч 0,17 + 0,5 Ч 0,18 + +0,5 Ч0,19= 1,43.

Наращение процентов в потребительском кредите

В потребительском кредите проценты, как правило, начис­ляются на всю сумму кредита и присоединяются к основ­ному долгу уже в момент открытия кредита (flat rate of interest, add-on interest). Условие, прямо скажем, весьма жесткое для должника.

Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Из сказанного следует, что наращенная сумма долга равна

S = Р(1 + ni),

а величина разового погасительного платежа составит

(2.3)

где п срок кредита в годах, т – число платежей в году.

В связи с тем, что проценты здесь начисляются на первона­чальную сумму долга, а его фактическая величина систематиче­ски уменьшается во времени, действительная стоимость креди­та заметно превышает договорную процентную ставку.

ПРИМЕР 2.4. Кредит для покупки товара на сумму 1млн руб. от­крыт на три года, процентная ставка 15% годовых, выплаты в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами

S = 1(1 + 3 Ч 0,15) = 1,45 млн. руб.

Ежемесячные платежи:

R=1450/(3Ч12)= 40,278 тыс. руб.

2.2. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, об­ратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время п, необходимо опреде­лить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возник­нуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом (discount) или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, напри­мер, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широ­ком смысле – как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостно­го показателя к некоторому, обычно начальному, моменту вре­мени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, назы­вают современной стоимостью, или современной величиной (pre­sent value), будущего платежа S, а иногда – текущей, или капи­тализированной, стоимостью. Современная величина суммы де­нег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учиты­вать такой фактор, как время. Как будет показано далее, боль­шинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором – учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дискон­тирование представляет собой решение задачи, обратной нара­щению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при ус­ловии, что на долг начисляются проценты по ставке г? Решив (2.1) относительно Р, находим (2.4)

Напомним, что п = t/K – срок ссуды в годах. Установленная таким путем величина Р является современ­ной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю состав­ляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

ПРИМЕР 2.5. Через 180 дней после подписания договора долж­ник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

Согласно (2.4) находим

Р =310000/(1+(180/365)0,16)= 287328,59 руб.

Разность S Р можно рассматривать не только как процен­ты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до на­ступления срока платежа (date of maturity) по векселю или ино­му платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. поку­пает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его уче­та имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объ­еме, однако, ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерче­ский, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уп­лате в конце срока (maturity value). При этом применяется учет­ная ставка d..

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен Snd; ес­ли d – годовая учетная ставка, то п измеряется в годах. Таким образом,

Р= S Snd= S(1 nd), (2.5)

где п – срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 – nd). Из формулы (2.5) вытекает, что при п > 1/d величина дисконтного множи­теля и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что ли­шено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляет­ся при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

ПРИМЕР 2.6. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.2006. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2006 по учетной ставке 20% (АСТ/360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сум­ма (без уплаты комиссионных) равна

P=1000000(1 – (55/360)0.2)=969444.4 руб.

Дисконт составит 30555,6 руб.

Дополним условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов i = 20,5% го­довых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: опре­делить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной фор­муле

Р" = Р(1 + ni)(1 n'd),

где п общий срок обязательства, п' срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120/360, тогда

Р" = 1 000 000(1 + (120/360)0,205)(1 – (55/360)0,2) = 1 035 690 руб.
3.Сложные проценты

3.1. Начисление сложных годовых процентов

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоян­ной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсо­лютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последователь­ное реинвестирование средств, вложенных под простые про­центы на один период начисления (running period). Присоедине­ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Для расчета наращенной суммы при усло­вии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году(годовые проценты), применяется сложная ставка наращения. Применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про­центам.

В конце первого года проценты равны вели­чине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р(1 + i). К кон­цу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 + i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна

S = Р(1 + i)n . (3.1)

Проценты за этот же срок в целом таковы:

I= S Р= Р[(1 + i)n – 1].

Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

Iр = Р[(1 + i)n – (1 + ni)]. (3.2)

Величину (1 + i)n называют множителем наращения (com­pound interest factor) по сложным процентам. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет­ся как ACT/ ACT.

ПРИМЕР 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? По формуле (3.1) находим

S = 1 000 000(1 + 0,155)5 = 2055464,22 руб.

Величина множителя наращения зависит от двух параметров – i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменян) за 24 долл. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд. долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,667  109 раз! Такой рост достигается при сложной ставке, равной всего 6,3 % годовых.

Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для короткого срока. В противном случае результат наращения окажется бессмысленным. Например, уже при i = 120% (а такая инфляционная ставка не столь уж давно наблюдалась в России) и п = 10 имеем чудовищный по размеру множитель наращения (1+1,2)10 = 2656.

Формула наращения по сложным процентам (3.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле­нии В этих случаях i означает ставку за один период начисле­нии (месяц, квартал и т.д.), а п – число таких периодов. На­пример, если i – ставка за полугодие, то n – число полугодий и т.д.

Формулы (3.1) – (3.2) предполагают, что проценты на проценты начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процентов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i и проценты на проценты – по ставке r i. В этом случае

S = Р + Pi[1 + (1 + r) + (1 + r)2 +...+ (1 + r)n-1].

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + r). В итоге имеем

S=Р(1 + i[(1 + r)n – 1]/r).

Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы­ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окон­чания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед­нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз­никает задача распределения начисленных процентов по пери­одам.

Общий срок ссуды делится на два периода n1 и п2. Соответственно,

I=I1+I2,

I1 = Р[(1 + i)n1 1]; I2 = Р(1+i)n1[(1+i)n2 – 1] = Р[(1 +i)n – (1 + i) n1].

ПРИМЕР 3.2. Ссуда была выдана на два года – с 1 мая 2006 г. по 1 мая 2008 г. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распре­делить начисленные проценты (ставка 14% ACT/ACT) по кален­дарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс. руб.):

за период с 1 мая до конца 2006 года (244 дня): 10 000(1,14244/365 1) = 915,4;

за 2007г.: 10 000  1,14244/365  0,14 = 1528,2;

наконец, с 1 января до 1 мая 2008 г. (121 день):

10 000  1,14(365+244)/365  (1,14121 – 1) = 552,4.

Итого за весь срок – 2996 тыс. руб. Та­кой же результат получим для всего срока в целом:

10 000  (1,142 1) =2996.

Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Не­устойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модерни­зировать "классическую" схему, например, с помощью приме­нения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело – расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда изменения размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

где – последовательные значения ставок; п1, п2,..., пkпериоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки.

ПРИМЕР 3.3. Срок ссуды 5 лет, договорная базовая процент­ная ставка 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит

q = (1 + 0,125)2 (1+ 0,1275)3 = 1,81407.

Начисление процентов при дробном числе лет.

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй, смешанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

S= Р(1 +i)a (1 + bi),

гдe п = а + b срок ссуды, а – целое число лет; b – дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц. При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно­житель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедливо соотношение 1 + ni > (1 + i)n. Наибольшая разница наблюдается при b = 1/2.

Наращение процентов m раз в году.

Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка. В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно восполь­зоваться формулой (3.1). Параметр п в этих условиях будет озна­чать число периодов начисления, а под ставкой i следует пони­мать ставку за соответствующий период. Например, при поквар­тальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5  4 = 20. Множитель наращения по квар­тальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,0820 = 4,6609. На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов. Например, "18% го­довых с поквартальным начислением" процентов.

Итак, пусть годовая ставка равна j, число периодов начисле­ния в году т. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной (nominal rate). Формулу на­ращения теперь можно представить следующим образом:

(3.3)

где mn общее количество периодов начисления.

ПРИМЕР 3.4. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не раз в году, а поквартально. В этом слу­чае mn = 20 и



Напомним, что при ежегодном начислении процентов мы по­лучили S = 2055464,22.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс), причем наибольшую "прибав­ку" в наращении дает переход от ежегодного начисления про­центов к полугодовому, наименьший эффект переход от еже­месячного к ежедневному.

Эффективная ставка. Введем теперь новое понятие дейст­вительная, или эффективная ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номиналь­ной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:



Из равенства множителей наращения следует

(3.4)

Эффективная ставка при т > 1 больше номинальной.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении j по заданным значениям i и m. Находим

j = m (3.5)

3.2. Дисконтирование по сложной ставке

При изучении простых процентов мы рассматривали математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. Первое заключалось в определении Р по значению S при заданной ставке процента, второе – при заданной учетной ставке. Применим первый метод и дисконтируем теперь сумму S по сложной ставке процентов. На основе (3.1) получим

P=S(1+i)-n=Svn. (3.6)

Величину vn называют дисконтным, учетным, или дисконтирующим, множителем (compound discount factor). Для случаев, когда проценты начисляются m раз в году, получим

P=S(1+j/m)-mn=Svmn. (3.7)

Напомним, что величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, текущей, стоимостью, или современ­ной величиной S. Современная стоимость может быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы S.

Разность S – Р, в случае, когда Р определено дисконтирова­нием, называют дисконтом. Обозначим последний через D:

D=S – P= S(1 – vn).

ПРИМЕР 3.5. Сумма в 5 млн. руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12% годовых. Дисконтный множитель для данных условий составит

v5 = 1,12-5=0,56743

т.е. первоначальная сумма сократилась почти на 44%. Совре­менная величина равна

Р = 5000  1,12-5 = 2837,1 тыс. руб.

Современная величина платежа – одна из важнейших характеристик, применяемых в финансо­вом анализе. Кратко остановимся на некоторых ее формальных свойствах. Прежде всего, отметим очевидное свойство, — чем выше ставка процента, тем сильнее дисконтирование при всех прочих равных условиях (см. рис. 3.1). Например, если в при­мере 3.5 увеличить ставку вдвое, то дисконтный множитель снизится с 0,56743 до 0,34111.

Значение дисконтного множителя уменьшается и с ростом величины m.

i

Рис. 3.1

Влияние срока платежа также очевидно с увеличением срока величина современной стоимости убывает. Отсюда следу­ет, что при очень больших сроках она крайне незначительна. Например, если взять ставку i = 12% , то для n = 10, 50 и 100 находим следующие значения дисконтных множителей:

0,32197; 0,00346 и 0,000012.

Высокие, и особенно инфляционные, ставки, примененные для дисконтирования, приводят к бессмысленным результатам даже при сравнительно небольших сроках: например, для ставки 200% и сроке 5 лет дисконтный множитель равен 0,004116, т.е. близок к нулю.

3.3. Операции со сложной учетной ставкой

Учет по сложной учетной ставке. В практике учетных опера­ций иногда применяют сложную учетную ставку (compound discount rate). В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

Р = S(1 –d)n, (3.8)

где d сложная годовая учетная ставка.

ПРИМЕР 3.6. Долговое обязательство на сумму 5 млн. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полу­ченной за долг суммы и величина дисконта (в тыс. руб.)? Имеем

Р = 5000(1 0,15)5 = 2218,5; D = 5000 2218,5 = 2781,5.

Если применить простую учетную ставку того же размера, то

Р = 5000 (1 5  0,15) = 1250; D = 5000 1250 = 3750.

Как следует из приведенного примера, дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем по про­стой учетной ставке.

Сказанное становится понятным при срав­нении формул для дисконтных множителей:

ws = (1 nds) и w = (1 d)n,

где ds, d простая и сложная учетные ставки соответственно.

Согласно первой из приведенных формул значение дисконт­ного множителя равномерно уменьшается по мере роста n и достигает нуля при n = 1/d. Согласно второй множитель экс­поненциально уменьшается и достигает нуля лишь в пределе, при n=. Величины дисконтных множителей при применении простой и сложной учетных ставок показаны на рис. 3.2



Рис. 3.2

Номинальная и эффективная учетные ставки. Дисконтирова­ние может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m . В этом случае

Р= S (1 – f/m)mn,

где f номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дис­контирования за год. Определим ее на основе равенства дис­контных множителей:

(1 d)n = (1 – f/m)mn, (3.9)

откуда

d = 1 – (1 – f/m)m. (3.10)

В свою очередь

(3.11)

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m > 1, меньше номинальной.

ПРИМЕР 3.7. По данным примера 3.6 определим сумму, полу­ченную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15%, и эффективную учетную ставку. Имеем f = 0,15; m = 4; mn = 20;

P = 5000 (1 – 0,15/4)20 = 2328,0 тыс. руб.

Эффективная учетная ставка составит

d = 1 – (1 0,15/4)4 = 0,14177, или 14,177%.

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из формул (3.8) и (3.9) следует:

S=Р(ld)-n (3.12)

S=Р(1 – f/m)-mn. (3.13)

Множитель наращения при использовании сложной ставки d равен (1 - d)-n.

3.4. Определение срока ссуды и размера процентной ставки

При разработке условий финансовых операций часто сталкиваются с необходимостью решения обратных задач расчетом продолжительности ссуды или уровня процентной ставки. Для простых процентов эти задачи рассмотрены в гл. 2. Обратимся к операциям со сложными ставками и решим уравнения, связывающие Р и S, относительно интересующих нас величин.

Срок ссуды. При наращении по сложной годовой ставке i и по номинальной ставке j на основе формул (3.1) и (3.7) имеем

(3.14)

(3.15)

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим

(3.16)

(3.17)

ПРИМЕР 3.8. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн. руб., достигнет 200 млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально? По формулам (3.14) и (3.15) получим следующие сроки:



= 6,6607 года.

Величина процентной ставки. Приведем формулы для расчета ставок i, j, d, f для различных условий наращения процентов и дисконтирования. Они получены при решении уравнений, свя­зывающих S и Р.

При наращении по сложной годовой ставке процентов i и по номинальной ставке j получим

(3.18)

(3.19)
  1   2   3   4


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации