Шпоры по эконометрике - файл n1.doc

приобрести
Шпоры по эконометрике
скачать (229 kb.)
Доступные файлы (1):

229kb.

23.08.2012 12:14

n1.doc

1.Простая линейная регрессия. Оценка параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.

Пусть заданы значения простых величин. Нанесем значения х и у на координатную плоск-ть в резул-те получим:

Проведем на плос-ти прямую линию, котор-я наимен-м образом уклоняется от полученных точек. Пусть это урав-е имеет вид: y=a+bx (1). Осклон-ие каждой (.) от прямой (1) можно описать величиной: (a+bx_i-y_i)=e_i. Общее отклоне-ие (.) от прямой можно описать величиной:

. Выберем коэф-ты a и b в ур-ии (1) таким образом, чтобы величина (2) принимала мин-ое знач-е. В резуль-те получим задачу о нахождении минимума след-ей фук-ии:

. Для нахождения мин-го знач-я L(a;b), получим след-ю систему:

Введем след-ие обознач-я: x_ср.=1/n?x_i; y_ср.= 1/n?y_i; xy_ср.= 1/n?x_iy_i; x²_ср.= 1/n?x_i². Тогда (3) и (4) можно переписать след-м образом:

.Решая систему (5) и (6) найдем коэф-ты a и b. Ур-ие (1) назыв-ся ур-ем простой линейной регрессии. После того как найдено ур-е регрессии проводится оценка значимости как ур-я в целом, так и отдельных его параметров. Оценка ур-я в целом дается с помощью F-критерия Фишера:

Далее сравнивается с табличным знач-м и признается значим-ть или незнач-ть ур-я. Для оценки параметров необх-мо опред-ть станд-е ошибки: m_b и m_a . Для m_b: …Далее опред-ют фактич-ое знач-ие t-крит. Стьюдента: t_b=b/ m_b, кот-е затем сравнив-ют с табличным и выявл-ся существ-ть или несущ-ть коэф-та регрессии. Далее опред-ся доверит-ый интервал для b (b+/- t*m_b), если 0 попадает в доверит-ый инт-ал, то это означает, что коэф-т явл-ся стат-ки незнач-м.
2.Связь между параметрами регрессии и их оценками. Оценки дисперсии ошибок и дисперсии параметров регрессии.

Оценка ошибки дисперсии для величины у:

-это не смещенная оценка;

Оценка ошибки для коэ-та регрессии:

Для коэф-ов a, b, r вычисляют t-стат-ку:

Вычисленные t-стат-ки используют для проверки гипотезы о стат-ой значимости соотв-их параметров. m_b ,m_a , m_r

m_y использ-т для определения доверит-ых интервалов для соотв-их параметров. (b+/- t*m_b), если 0 попадает в доверит-ый инт-ал, то это означает, что коэф-т явл-ся стат-ки незнач-м.

3.Коэффициенты корреляции и детерминации.

(1) , где R² коэф-т детерминации. Из (1) следует, что коэф-т детерм-ии принимает значения от 0 до1. Коэф-т детерм-ии показывает долю дисперсии значения у которая может быть объяснена при помощи ур-ия регрессии. Зависимость у от х характ-ся коэф-ом коррел-ии:

(2) Из рав-ва (2) следует, что коэф-т коррел-ии принимает значения от -1 до 1. Если коэф-т r=+1, то это означает, что с увеличением х происходит увеличение прогнозных значений у. Если коэф-т отрицат-ый, то с увеличением х происходит уменьш прогнозных значений. Если он близок к 1, то между х иу существует тесная связь. Если он близок к 0, то в этом случае говорят об отсутствии линейной коррел-ой связи между х и у.

Коэф-ты детерм-ии и коррел-ии связаны между собой след-м образом. Рассмотрим ур-е (1)

Вычтем из (1) (2), получим:

. Разделим лев-ю и пра-ю часть на ?:

. Введем след-ие величины:

;

, t_y , t_x –наз-ся стандартиз-ми переменными, они явл-ся безразмерными, тогда ур-е лин-ой регрессии можно записать сле-м образом:

(4) - ур-ие простой лин-ой регрессии, записанное в станд-ом виде. Выпол-ся след-е рав-во

(5), поэтому (4) можно переписать так:

(6).
4.Проверка гипотезы о значимости параметров регрессии. Предсказание и прогнозирование с помощью простой линейной регрессии.

Для оценки стат-ой знач-ти коэф-ов регрессии расчит-ся t-крит. Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Сначала вычисл-ся случ-ые ошибки параметров….Далее находится t_b , t_a , t_r. И срав-ся с табл-м знач-м. Если t_таб.< t_факт. , то признается знач-сть парам-ов. Для расчета доверительного интервала исполь-ют след-е формулы: (b+/- t*m_b)… если 0 попадает в доверит-ый инт-ал, то это означает, что коэф-т явл-ся стат-ки незнач-м.

Прогнозное значение опред-ся у_р путем подста-ки в ур-е регрессии y_х=a+bx соответ-го прогноз-го знач-я х_р, т.е. у_р=a+b х_р. Значение у_ропредел-ет точечный прогноз. Он дополняется интервальной оценкой прогнозного значения. Для построения доверит-го интер-ла вычисл-ся средняя станд-я ошибка прогноза m_yp:….И строится доверит-ый интервал прогноза:

8.Прогнозирование по модели множественной регрессии. Проверка гипотезы о значимости введения новых переменных.

Частный F-крит. осценивает стат-ую значимость присутствия каждого из факторов в ур-ии. Для

Фактич-ое знач-е срав-ся с табл-м. Если F_таб.< F_факт., то дополн-ое включ-ие фактора х_i в модель стат-ки значимо.

6.Множественная линейная регрессия: основные понятия. Оценка параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов.

Будем предполагать, что у зависит от x₁,..,x_m линейным образом, то

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+ b_mx_m (1) – ур-е линейной множ-ой регрессии. Коэф-ты b₀,b_m назыв-ся коэф-ми множ-ой регрессии. Для оценки параметров ур-я применяют МНК. Для линейных ур-й и нелиней-х ур-й, приводимых к линейным, строится след-я система нормальных ур-ий, решение кот-й позвол-ет получить оценки параметров регрессии:

Ее решение можно найти методом Крамера или методом обратной матрицы, где оперд-ль системы имеет след-ий вид:

Также ур-е регрессии можно представить в станд-ом виде:

, где

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной коррел-ии:

При линейной зависимости коэф-т множ-ой коррел-ии можно опред-ть через матрицу парных коэф-ов коррел-ии:

Частные коэф-ты коррел-ии, измеряющ-е влияние на у фактора х_i при неизменном уровне других факторов можно опред-ть по формуле:

Коэф-ты частной коррел-ии более высоких порядков можно определить по рекуррентной формуле:

….

Коэф-т детерм-ии расчит-ся как:

Скоррект-ый индекс множ-ой детер-ии

Значимость ур-я множ-ой регрессии в целом оценивается с помощью F-крит. Фишера:

Частные F-крит. Оценивают стат-ю значимость присутствия каждого и факторов в ур-ии. Опрел-ся как:

7.Корреляционная матрица. Проверка значимости параметров регрессии с помощью критерия Стьюдента. Коэффициент детерминации. Понятие о фиктивных переменных их использовании.

Будем предполагать, что у зависит от x₁,..,x_m линейным образом, то

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+ b_mx_m (1) – ур-е линейной множ-ой регрессии. Коэф-ты b₀,b_m назыв-ся коэф-ми множ-ой регрессии.

Также ур-е регрессии можно представить в станд-ом виде:

, где

Переменные t_yi_, t_xi – назыв-ся стандарт-ми переменными . все стандарт-е переменные явл безразмерными величинами и поэтому коэф-ты ? и t позволяют определить степень влияния соответ-го фактора xi на результативный признак. По исходным данным можно вычислить коэф-ты коррел-ии ryx_i , rx_ix_j. В результате можно построить коррел-ю матрицу:

R – наз-ся коррел-ой матрицой.

Оценку значимости параметров регрессии проводят при помощи t-критерия Стьюдента. Для этого необходимо вычислить:

, где m_bi – средняя квадратическая ошибка коэф-та регрессии bi, она может быть определена по формуле:

Коэф-т детерминации связан с элементами коррел-ой матрица след-м образом:

Коэф-т детерм-ии можно также посчитать как:

. Коэф-т детерм-ии показывает долю дисперсии у, объясненную с помощью уравнения множ-ой регрессии:

.

Ур-я множ-ой регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, образование и т.д.), чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т.е. качественные признаки преобразовать в количественные. Такого вида переменные принято называть фиктивными переменными.
Для ур-я (1) определитель матрицы коэф-ов парной коррел-ии имеет вид:

-опред-ль матрицы парных коэф-ов коррел-ии;

9.Проблема мультиколлинеарности. Проверка существования мультиколлинеарности.

При построе-ии ур-я множ-ой регрессии может возникнуть проблема мульт-ти факторов. Наличие явления мульт-ти приводит к стат-ой незначимости отдельных коэф-ов ур-я множ-ой регрессии, к большим доверительным интервалам для b_i. Поэтому при постр-ии ур-я множ-ой регрессии используют 2 основных способа для устранения мульт-ти.

1.y=f(x₁…x_m). Вычисляют частные F-стат. и из ур-я множ-ой регрессии последовательно убирают факторы с наименьшими значениями F-стат. этот процесс продолж-ся до тех пор пока устранение мультик-ых факторов не приводит к значительному изменению коэф-та детермин-ии.

2.y=f(x_i₀). В начале строится зависимость у от фактора имеющего наибольшее значение. На след-м шаге добавл-ся фактор х₁ , у кот-го коэф-т взаимной коррел-ии с у достаточно высокий, но коэф-т взаимной коррл-ии х₀ и х₁ явл-ся достаточно малым. Далее снова продолжается процесс.

Чем ближе к 0 опред-ль матрицы межфактр-ой коррл-ии, тем сильнее мульт-ть факторов и ненадежнее результаты множ-ой регрессии. И наооборот, чем ближе к 1, тем меньше мульт-ть факторов.
10.Системы эконометрических уравнений. Различные виды системы эконометрических уравнений. Определение параметров системы эконометрических уравнений.

Система эконом. урав. имеет след вид (1):

y₁=a₁₂y₂+a₁₃y₃+…+a_1my_m+b₁₁x₁+b₁₂x₂+…+ b_1px_p

y₂=a₂₁y₁+a₂₃y₃+…+a_2my_m+b₂₁x₁+b₂₂x₂+…+ b_2px_p

_…….

y₃=a_m1y₁+a_m2y₂+…+b_m1x₁+b_m2x₂+…+ b_mpx_p

x₁,x₂… - называются экзогенными переменными

y₁,y₂…. - называются эндогенными переменными

Систему (1) называют системой эконометрических уравнений, записанных в структурном виде. Систему (1) можно переписать (2):

Система (2) называется приведенной формой записи системы эконометрических уравнений. При построении СЭУ основной задачей явл. переход от (1) к (2) и определение значения коэф-ов в системе (1).

Различают несколько видов систем эконом. урав.:

-ситема независимых урав:

-ситема рекурсивных уравнений:

11.Эндогенные и экзогенные переменные. Идентификация эконометрических уравнений. Определение параметров системы экономических уравнений.

Система эконом. урав. имеет след вид (1):

y₁=a₁₂y₂+a₁₃y₃+…+a_1my_m+b₁₁x₁+b₁₂x₂+…+ b_1px_p

y₂=a₂₁y₁+a₂₃y₃+…+a_2my_m+b₂₁x₁+b₂₂x₂+…+ b_2px_p

_…….

y₃=a_m1y₁+a_m2y₂+…+b_m1x₁+b_m2x₂+…+ b_mpx_p

x₁,x₂… - назыв. экзогенными перем.

y₁,y₂…. – назыв. эндогенными перем.

Идент-ю ур-я можно определить по счетному правилу, кот-е явл-я необход-м условием:

Пусть Н-обоз-ет число эндог-х (у), через Д обоз-м экзог-е перем-е (х), которые содерж-ся в системе но не входят в данное ур-е. возможны случаи:

Д+1=Н (ур-е идент-мо), Д+1<Н (ур-е неидент-мо), Д+1>Н (ур-е сверхиден-мо).

Для опре-я идент-ти используют также достаточ-е условие, которое закл-ся в след-ем, ур-е идентиф-мо, если по отсутствие в нем перемен-х можно из коэф-ов при них в других урав-ях системы получить матрицу, ранг кот-ой не меньше числа эндоген-ых пермен-ых.

Определение коэф-ов

Используются след-е методы

1.МНК. Этот метод применяется в случае, когда все урав-я системы идент-мы. В начале определяют коэф-ты ур-я множ-ой регрессии. Затем по найденным значениям опред-ют коэф-ты структурной системы.

2.Двушаговый МНК. Этот метод применятся в случае, когда система ур-ий сверхид-ма. В этом случае вначале опред-т коэф-ты в ур-ии множ-ой регрессии, а затем на основе данных получают систему для опред-я структ-ых коэф-ов. Для опред-я значений структ-ых коэф-ов опять применяют МНК.
12.Анализ временных рядов. Выявление тренда и периодических составляющих.

Пусть заданы значения х, полученные через одинаковые промежутки времени, тогда говорят, что задан временной ряд. Значения временного ряда обоз-ют след-м образом: x₁,x₂,…,x_i. Основ-ой задачей анализа врем-ых рядов явл-ся построение модели врем-го ряда. Для этого, значения врем-го ряда наносят на координа-ю плоск-ть. По располож-ю точек опред-ют вид модели врем-го ряда. Выдел-ют модели времен-ых рядов след-их типов:

1.Аддитивные (означает, что сотавл-е врем-го ряда связаны между собой при помощи «+»)

2.Мультипликативные (означает, что сотавл-е врем-го ряда связаны между собой при помощи «*»)

Обычно, во врем-ом ряде выдел-ют след-е составл-е: Тренд (T_t), циклическая составл-я (S_t ), ошибки (E_t). Таким образом аддив-ая модель имеет вид:

X_t= T_t+ S_t+ E_t ;Мультипл-ая: X_t= T_t* S_t * E_t ;

Обычно анализ врем-го ряда начинают с выделения трендовой составл-й. Если модель врем-го ряда явл-ся аддив-ой, то трендовою составл-ю можно выделить произведя сглаживание исходных данных. Если сглаж-е производ-ся методом «скольз-ей средней», то кол-во (.) сглаживания должно совпадать с величиной периода циклич-ой сотав-ей.

По расположению сглаж-ых значений на коорд-ой плоско-ти можно определить вид тренда и построить урав-е тренд-ой состал-ей. Предположим, что ур-е тренд-ой сост-ей имеет вид X_t= T₍_t₎ , тогда вычитая из исходных значений трендовую составл-ю, получим временной ряд, кот-ый содержит циклич-ю составл-ю и составл-ю ошибок, обозначим этот ряд

. Для определения циклич-ой составл-ей сущест-ет несколько методов. Один из методов закл-ся в след-ем. По расположению значений врем-го ряда X_t определ-ся период циклич-ой составл-ей, затем значение X_t группируется в соответствии с величиной этого периода. В каждом столбце в получ-ой таблице вычисляется средняя величина и предполаг-ся, что эти вычисленные средние знач-я явл-ся знач-ми циклич-ой составл-ей.

В некоторых случ-ях, когда имеется дополнит-я информ-ия о связи значений циклич-ой составл-ей между собой, вводится некоторый поправочный коэф-т на величину которого изменяется значение циклич-ой составл-ей.

Вычислив, таким образом, значения циклич-ой составл-ей можно опред-ть значения составл-их ошибок:E_t =X_t - T_t+ S_t. Составл-я ошибок, в свою очередь явл-ся временным рядом и к этому временному ряду могут быть применены все описанные выше методы анализа временных рядов.

13.Проверка существования автокорреляции. Спектральный анализ временных рядов. Автокорреляционная функция.

Спектральный анализ временного ряда основан на дискретном преобразовании Фурье. Предположим, что задан временной ряд x(t), в котором отсутствует линия тренда. Т.о., временной ряд x(t) состоит из циклической составляющей и составляющей ошибок. Предположим, что x(t) описывается аддитивной моделью, т.е. x_t=S_t+E_t. Т.к. любая функция, заданная на конечном промежутке может быть сколь угодно апромексированна тригонометрическим многочленом, то можно циклическую составляющую представить следующимобразом: S_t=a₀+(a₁cosw_t+b₁sinw_t)+(a₂cos2w_t+b₂sin2w_t)+…+( a_ncosnw_t+b_nsinnw_t) (1)

T₁=2?/? T₂=2?/2? T_n=2?/n?

Обычно, в качестве ? берут значение ?=2?/N, где N-количество значений временного ряда.

Знач-я коэф-ов а₁ b₁ а₂b₂ можно опред-ть по знач-ю исходного врем-го ряда. Для каждой пары коэф-ов вычислим числа

, построим след-ю диаграмму.

Полученная диаграмма назыв-ся периодограммой. Она позволяет определить величину периода циклической сотавл-ей.

Наличие значения Р_i , кот-е значительно превосходит остальные Р_i , свидельст-ет о присутствии во временном ряде переодич-ой составл-ей с периодом T₀=2?/k₀?. Спектр-ый анализ врем-го ряда позволяет выявить наличие нескольких периодических составл-их. После того как во врем-ом ряде выявлена циклич-ая составл-я, можно вернуться к исходным значениям временнго ряда и уточнить трендовую составл-ю.

Коррел-ую зависимость между послед-ми уровнями врем-го ряда назыв-ют автокорреляцией уровней ряда. Коэф-т автокор-ии 1-го порядка наход-ся по формуле….. Число периодов, по кот-м расчит-ся коэф-т автокор-ии, назыв-ся лагом. Последоват-ть коэф-ов автокор-ии уровней 1-го, 2-го и т.д. порядков называют автокорр-ой функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага – коррелограммой. Обычно максим-ый лаг r_k должен быть не больше n/4.

14.Динамические эконометрические модели. Определение коэффициентов.

Пусть заданы 2 временных ряда x_t, y_t под моделью экономич-ой динамики понимается урав-ие, связыв-ие эти временные ряды и в неявном виде фактор времени. Эта зависимость может иметь след-ий вид:

Обычно, в качестве f выбирают линейную зависимость. Таким образом, модели эконом-й динамики могут иметь вид:

-назыв-ся уравнением с распределенным лагом;

-назыв-ся авторегрессионным ур-ем. В ур-ии (1) и (2) отсутст-ет независимость основных факторов присут-их в этих урав-ях, поэтому значения коэф-ов этих урав-ий, вычисленные с помощью метода регрессионного анализа будут стат-ки незначимыми. Рассмотрим ур-е (1), предп-м, что для простоты ур-е (1) имеет вид:

. Предпол-м, что в момент времени х_t изменилось на 1, тогда соотв-ие значение у_t изменится на у_t+b₁, b₁ – называют краткосроч-м мультипликатором.

, то у_t₊₁ изменится на у_t₊₁+b₂, общее изменение значения у будет =b₁+b₂, в данном случае назыв-ся долгоср-м мульт-м.

Для определения коэф-в исполь-ют несколько методов:

1)Метод главных компонент

2)Будем предполагать, чтоb₁,b₂… явл-ся функциями, зависящими от номера этих коэф-в. Обычно в качестве таких фун-ий выбирают линейные фун-ии или многочлены. Например, пусть

, тогда b₀= a₁.

.Подставим значения b₀, b₁, b₂… в ур-е (1). Получим,

Величины, стоя-ие в скобках явл-ся слабо взаимокоррел-ны, поэтому из ур-я (2) можно найти коэф-ты а₀, а₁, а₂… После этого можно вычислить b₀, b₁, b₂…

3)Метод Койка. Предпол-м, что ур-е (1) содержит в прав-ой части бесконечное число слагаемых

, предпол-м, что коэф-ты

, где ? некоторое число из промежутка от 0 до 1.Из ур-я (3) получим,

В ур-ии (4) все коэ-ты * на ? и вычтем из ур-я (5), получившееся рав-во (4). Получим:

,получим авторегрессионное ур-е (6). Если в ур-ии (6) определить коэф-ты, то тогда можно определить коэф-ты ур-я (5).