Контрольная работа по эконометрике. Задачи с решением - файл n1.doc

Контрольная работа по эконометрике. Задачи с решением
скачать (490.5 kb.)
Доступные файлы (1):

491kb.

22.08.2012 16:58

n1.doc

Министерство образования и науки Российской Федерации

Псковский филиал

Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов

Контрольная работа

по эконометрике
Вариант 3

Выполнила:

_______________________

_______________________

Поверил:

_______________________

г. Псков

2005г.

Задание 1.

Линейная регрессионная модель

В таблице даны наблюдения xt и уt. Предполагается, что зависимую переменную у и независимую х связывает линейное регрессионное уравнение yt = a + b*xt + et, где a и b неизвестные параметры уравнения, et – случайные отклонения.

Необходимо:

Построить диаграмму рассеяния наблюдений и визуально проверить гипотезу о возможной линейной зависимости между х и у;
по методу наименьших квадратов (МНК) определить оценки параметров a и b линейной регрессионной модели;
на диаграмме рассеяния построить график прогнозных значений

ŷt = в + ?*xt, где в и ? – оценки параметров a и b соответственно;

Вычислить оценку дисперсии остатков. Оценить дисперсию в и ?;
с уровнем значимости ? = 0,05 проверить гипотезу а = 100 и гипотезу в = 0;
построить 95% доверительные интервалы для параметров а и b;
определить коэффициент детерминации R², качественно оценить тесноту связи между х и у;
Вычислить дисперсионное отношение F, с уровнем значимости 0,05 проверить гипотезу о наличии связи между х и у;
определить прогнозное значение ŷ11 для х11= N, где N – номер варианта. Построить 95% доверительный интервал для найденного прогнозного значения.
оценить с помощью эластичности силу влияния фактора на результат в точке x11.

Решение:

Решение:

Исходные данные:

t	Xt	Yt
1	13,0	25,0
2	9,0	22,0
3	15,0	25,0
4	15,0	25,0
5	18,0	27,0
6	6,0	18,0
7	11,0	24,0
8	14,0	25,0
9	18,0	27,0
10	8,0	21,0

Диаграмма рассеяния выглядит следующим образом:

По виду диаграммы рассеяния можно предположить, что между фактором Х и результатом У имеется линейная прямая обратная зависимость. Т.е. с ростом значения фактора Х значение результата У также возрастает.

Оценка параметров уравнения:

истема нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии по МНК выглядит так:

n * a + b * ?x = ?y

a * ?x + ?x² = ?xy

Для решения воспользуемся вспомогательной расчетной таблицей.

t	Xt	Yt	X²t	Xt*Yt
6	6,0	18,0	36,0	108,0
10	8,0	21,0	64,0	168,0
2	9,0	22,0	81,0	198,0
7	11,0	24,0	121,0	264,0
1	13,0	25,0	169,0	325,0
8	14,0	25,0	196,0	350,0
3	15,0	25,0	225,0	375,0
4	15,0	25,0	225,0	375,0
5	18,0	27,0	324,0	486,0
9	18,0	27,0	324,0	486,0
Итого	127,0	239,0	1765,0	3135,0

10*a+ 127,0 * b = 239,0

127,0 * a+ 1765,0 * b = 3135,0

a = 23,9 – 12,7 * b

127,0 * (23,9 – 12,7 * b) + 1765,0 * b = 3135,0

3035,3 – 1612,9 * b + 1765.0 * b = 3135.0

152.1 * b = 99.7

b = 99.7 / 152.1 = 0.65549 ? 0.655

a = 23.9 – 12.7 * 0.655 = 15.575279 ? 15.575

Теоретическое уравнение имеет вид:

yt = 15.575 + 0.655 * x

График прогнозных значений:

Подставляя заданные значения признака-фактора Х в полученное уравнение, можно составить таблицу теоретических значений признака-результата У, а затем отобразить их на графике.

t	Xt	Yt	yt = 15,575 + 0,655 xt*
6	6,0	18,0	19,508
10	8,0	21,0	20,819
2	9,0	22,0	21,475
7	11,0	24,0	22,786
1	13,0	25,0	24,097
8	14,0	25,0	24,752
3	15,0	25,0	25,408
4	15,0	25,0	25,408
5	18,0	27,0	27,374
9	18,0	27,0	27,374
Итого	127,000	239,000	239,000

В сравнении данных наблюдения и теоретических данных видим, что теоретические значения достаточно близки к эмпирическим, но имеются некоторые отклонения.

Определение остатков линейной регрессии

Дисперсия – мера неопределенности случайной величины

Вспомогательные таблицы:

t	Xt	Yt	yt = 15,575 + 0,655 * xt	e = Yt - Yрасч	e²	X²t	Y²t
6	6,0	18,0	19,508	-1,508	2,275	36,0	324,0
10	8,0	21,0	20,819	0,181	0,033	64,0	441,0
2	9,0	22,0	21,475	0,525	0,276	81,0	484,0
7	11,0	24,0	22,786	1,214	1,475	121,0	576,0
1	13,0	25,0	24,097	0,903	0,816	169,0	625,0
8	14,0	25,0	24,752	0,248	0,061	196,0	625,0
3	15,0	25,0	25,408	-0,408	0,166	225,0	625,0
4	15,0	25,0	25,408	-0,408	0,166	225,0	625,0
5	18,0	27,0	27,374	-0,374	0,140	324,0	729,0
9	18,0	27,0	27,374	-0,374	0,140	324,0	729,0
Итого	127,0	239,0	239,000	0,000	ESS = 5,548	1765,0	5783,0
Среднее	12,7	23,9	23,900			176,5	578,3

Ниже представлен расчет дисперсий и средних квадратических отклонений параметров a и b.

Проверка гипотез.

Гипотеза Но: а=100

Гипотеза Но: b=0

Доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии

Расчет проводим с уровнем значимости 0,05, для которого параметр t = 2,3 (по критерию Стьюдента с 10-2 = 8 степенями свободы).

определить коэффициент детерминации R², качественно оценить тесноту связи между х и у;

Коэффициент корреляции также можно найти и другим способом (при этом находим не только абсолютное значение показателя, но и его знак, который указывает на направление связи):

Разница в значениях r может объясняться погрешностью расчетов.
Т.о. можно сказать, что связь между фактором и результатом сильная, т.к. коэффициент детерминации больше, чем 0,6.

Линейный коэффициент корреляции подтверждает предположение, что связь прямая и близка к линейной (больше 0, близок к 1).

Вычислить дисперсионное отношение F, с уровнем значимости 0,05 проверить гипотезу о наличии связи между х и у:

определить прогнозное значение ŷ11 для х11 = 3. Построить 95% доверительный интервал для найденного прогнозного значения.

yt = 15,575 + 0,655 * 3 = 17,542

Доверительный интервал:

ỹ – ∆у ? ŷ ? ỹ + ∆у

17,542 – 2,3 * 1,0917 ? ŷ ? 17,542 + 2,3 * 1,0917

15,03109 ? ŷ ? 20,05291
Т.е при заданном уровне вероятности прогнозное значение результирующего показателя У может колебаться в пределах от 15,031 до 20,053

Оценить с помощью эластичности силу влияния фактора на результат в точке x11.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

Эх = b * Хср/Уср = 0,655 * 12,7 / 23,9 = 0,348

Коэффициент эластичности показывает, что с ростом фактора Х на 1% результат У возрастет на 0,0,348 %.

График Прогноз для Х = 3

Можно использовать встроенные функции табличного редактора Excel

На панели меню в «Сервисе» можно выбрать пункт «Анализ данных», в подменю – выбрать пункт «Регрессия».

На новом листе появятся все основные параметры, характеризующие линейную регрессию.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9601
R-квадрат	0,9218
Нормированный R-квадрат	0,9120
Стандартная ошибка	0,8327
Наблюдения	10,0000

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1,0000	65,3523	65,3523	94,2412	0,0000
Остаток	8,0000	5,5477	0,6935
Итого	9,0000	70,9000

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	15,5753	0,8971	17,3627	0,0000	13,5067	17,6439	13,5067	17,6439
Переменная X 1	0,6555	0,0675	9,7078	0,0000	0,4998	0,8112	0,4998	0,8112

Задание 2.

Нелинейная модель. Линеаризация.

Для тех же наблюдений х и у предполагается, что зависимую переменную у и независимую х связывает нелинейное регрессионное уравнение:

ln y_t = a + b * 1/ x_t + e_t

Необходимо:

провести линеаризацию модели, определить оценки параметров нелинейной модели.
оценить качество модели с помощью коэффициента детерминации и дисперсионного отношения F.
определить прогнозное значение ŷ11 для х11= N, где N – номер вашего варианта. Построить 95% доверительный интервал для найденного прогнозного значения.
оценить с помощью эластичности силу влияния фактора на результат в точке х11.
на диаграмме рассеяния построить график прогнозных значений. Определите сумму квадратов отклонений наблюдений от нелинейного прогноза

Решение:

Линеаризация модели, оценка параметров нелинейной модели.

Т.е. в целом можно сказать, что уравнение имеет линейный вид и найти параметры можно при помощи того же МНК, что и в задании 1.
С

истема нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии по МНК выглядит так:

n * + b * ? x = ? y

a * ? x + ?x² = ? x * y

Для решения воспользуемся вспомогательной расчетной таблицей.

t	Xt	X't = 1/Xt	Yt	Y't=lnYt	X'²t	X't*Y't	Y'²t
1	13,0	0,077	25,0	3,219	0,006	0,248	10,361
2	9,0	0,111	22,0	3,091	0,012	0,343	9,555
3	15,0	0,067	25,0	3,219	0,004	0,215	10,361
4	15,0	0,067	25,0	3,219	0,004	0,215	10,361
5	18,0	0,056	27,0	3,296	0,003	0,183	10,863
6	6,0	0,167	18,0	2,890	0,028	0,482	8,354
7	11,0	0,091	24,0	3,178	0,008	0,289	10,100
8	14,0	0,071	25,0	3,219	0,005	0,230	10,361
9	18,0	0,056	27,0	3,296	0,003	0,183	10,863
10	8,0	0,125	21,0	3,045	0,016	0,381	9,269
ИТОГО		0,886	239,0	31,7	0,090	2,768	100,448

0 * a + b * 0,886 = 31,7

a * 0,886 + b * 0,090 = 2,768

a = 3,17 – 0,0886 * b

0,886 * (3,17 – 0,0886 * b) + 0,090 * b = 2,768

0,0115004 * b = - 0,04062

b = - 0,04062 / 0,0115004 = - 3,532

a = 3,17 – 0,0886 * (- 3,532) = 3,483

Теоретическое уравнение имеет вид: ln yt = 3.483 – 3.532 / xt

или y_t = e (3.483 – 3.532/x_t)

t	Xt	Yt	ln yt=3.483–3.532/xt	y_t = e ^{(3.483 – 3.532/xt})
6	6,0	18,0	2,90	18,09
10	8,0	21,0	3,04	20,96
2	9,0	22,0	3,09	22,01
7	11,0	24,0	3,16	23,64
1	13,0	25,0	3,21	24,83
8	14,0	25,0	3,23	25,32
3	15,0	25,0	3,25	25,75
4	15,0	25,0	3,25	25,75
5	18,0	27,0	3,29	26,78
9	18,0	27,0	3,29	26,78
ИТОГО	127,0	239,0	31,7	239,9

Оценка качества модели

Коэффициент детерминации R²

Прогнозное значение ŷ11 для х11 = 3

y_t = e ^{(3.483 – 3.532/xt}) = e ^{(3.483 – 3.532 / 3}) = 10.04
Доверительный интервал при р = 0,95:

ỹ – ∆у ? ŷ ? ỹ + ∆у

∆у = t (p=0.95)*?_е11 = 2,3*?_е11

10.04 – 2.3 * 1.0917 ? ŷ ? 10.04 + 2.3 * 1.0917

7.52909 ? ŷ ? 12.55091

оценка силы влияния фактора на результат в точке х11.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

Т.е. при увеличении фактора Х на 1% результат растет на 1,18%.

диаграмма рассеяния – график прогнозных значений.

Расчет суммы квадратов отклонений наблюдений от нелинейного прогноза приведен в таблице:

t	Xt	Yt	y_t = e ^{(3.483 – 3.532/xt})	e = y_t-y_tрасч	e² = (y_t-y_tрасч)²
6	6,0	18,0	18,09	-0,09	0,01
10	8,0	21,0	20,96	0,04	0,00
2	9,0	22,0	22,01	-0,01	0,00
7	11,0	24,0	23,64	0,36	0,13
1	13,0	25,0	24,83	0,17	0,03
8	14,0	25,0	25,32	-0,32	0,10
3	15,0	25,0	25,75	-0,75	0,56
4	15,0	25,0	25,75	-0,75	0,56
5	18,0	27,0	26,78	0,22	0,05
9	18,0	27,0	26,78	0,22	0,05
ИТОГО	127,0	239,0	239,9	-0,9	1,5

Задание 3.

Множественная регрессия.

К тем же наблюдениям х и у добавляются значения z = ?х. Предполагается, что зависимую переменную у и независимые факторы x и z связывает уравнение множественной линейной регрессии yt = a + b*xt + c*zt + et.

определите с помощью МНК оценки параметров уравнения.
с уровнем значимости 0,05 проверьте гипотезу b = 0 (о влиянии х на результат) и с=0 (о влиянии z на результат).
определите коэффициент детерминации и скорректированный коэффициент детерминации.
по критерию Фишера F с уровнем значимости 0,05 оцените качество модели в целом.
составьте корреляционную таблицу наблюдений и вычислите частные коэффициенты корреляции.
сравните по качеству модель 3 с построенными ранее в заданиях 1 и 2.

Решение:

Система нормальных уравнений имеет вид:

* a + b * ?x + c* ?z = ? y

a * ?x +b* ?x²+ c * ?x*z = ?y*x

a * ?z +b* ?x*z+ c * ?z² = ?y*z

Вспомогательная таблица

t	Xt	Zt = sqrt(Xt)	Yt	X²t	Z²t	Xt*Zt	Yt*Xt	Yt*Zt
1	13,0	3,61	25,0	169,00	13,00	46,87	325,00	90,14
2	9,0	3,00	22,0	81,00	9,00	27,00	198,00	66,00
3	15,0	3,87	25,0	225,00	15,00	58,09	375,00	96,82
4	15,0	3,87	25,0	225,00	15,00	58,09	375,00	96,82
5	18,0	4,24	27,0	324,00	18,00	76,37	486,00	114,55
6	6,0	2,45	18,0	36,00	6,00	14,70	108,00	44,09
7	11,0	3,32	24,0	121,00	11,00	36,48	264,00	79,60
8	14,0	3,74	25,0	196,00	14,00	52,38	350,00	93,54
9	18,0	4,24	27,0	324,00	18,00	76,37	486,00	114,55
10	8,0	2,83	21,0	64,00	8,00	22,63	168,00	59,40
Итого	127	35,17	239	1765,00	127,00	468,99	3135,00	855,52
Среднее	12,70	3,52	23,90	176,50	12,70	46,90	313,50	85,55

0 * a + b * 127,0 + c * 35,173 = 239,0

a * 127,0 + b * 1765,0 + c *468,9872 = 3135,0

a * 35,173 + b * 468,9872 + c * 127,0 = 855,5188
Выразим а из 1-го уравнения:

a = 23,9 – 12,7 b – 3,5173 c

Подставим выражение для а во 2-ое уравнение:

127 * (23,9 – 12,7 b – 3,5173 c) + 1765 b + 468,9872 c = 3135

3035,3 – 1612,9 b – 446,6971 c + 1765 b + 468,9872 c = 3135

152,1 b + 22,2901 c = 99,7

Выразим b:

b = 0,6554898 – 0.14654898 c

Выразим а через с:

а=23,9–12,7(0,6554898–0,14654898с)–3,5173с=15,57527954–1,656127954с

Подставим выражения для a и b в 3-ье уравнение:

35,173 (15,57527954 – 1,656127954 с) + 468,9872 (0,6554898 – 0,14654898 с) + 127 с = 855,5188

547,82930726042 – 58,250988526042 с + 307,41632593056 – 68,729595793056 с + 127 с = 855,24563319098 + 0,019415680902 с = 855,5188

0,019415680902 с = 855,5188 – 855,24563319098 = 0,27316680902

с = 0,27316680902 / 0,019415680902 = 14,06939115

В результате получим:

а = 15,57527954 – 1,656127954 * 14,06939115 = -7,72543239

b = 0,6554898 – 0.14654898 * 14,06939115 = -1,406365122

c = 14,06939115

Теоретическое уравнение имеет вид:

yt = – 7,7 – 1,4*xt + 14,1*zt

Расчетная таблица:

t	Xt	Zt = sqrt(Xt)	Yt	X²t	Z²t	Xt*Zt	Yt*Xt	Yt*Zt	Ytрасч	e_t=Y_t-Y_tрасч	e²_t
1	13,0	3,61	25,0	169,00	13,00	46,87	325,00	90,14	24,72	0,28	0,08
2	9,0	3,00	22,0	81,00	9,00	27,00	198,00	66,00	21,83	0,17	0,03
3	15,0	3,87	25,0	225,00	15,00	58,09	375,00	96,82	25,67	-0,67	0,45
4	15,0	3,87	25,0	225,00	15,00	58,09	375,00	96,82	25,67	-0,67	0,45
5	18,0	4,24	27,0	324,00	18,00	76,37	486,00	114,55	26,65	0,35	0,12
6	6,0	2,45	18,0	36,00	6,00	14,70	108,00	44,09	18,30	-0,30	0,09
7	11,0	3,32	24,0	121,00	11,00	36,48	264,00	79,60	23,47	0,53	0,28
8	14,0	3,74	25,0	196,00	14,00	52,38	350,00	93,54	25,23	-0,23	0,05
9	18,0	4,24	27,0	324,00	18,00	76,37	486,00	114,55	26,65	0,35	0,12
10	8,0	2,83	21,0	64,00	8,00	22,63	168,00	59,40	20,82	0,18	0,03
Итого	127,000	35,1730	239,000	1765,000	127,000	468,9872	3135,000	855,5188	239,000	0,000	1,707
Среднее	12,70	3,52	23,90	176,50	12,70	46,90	313,50	85,55	23,90	0,00	0,17

Проверка гипотез:

Гипотеза Но: b = 0

коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации практически равен 1, он показывает, что модель достаточно качественно описывает явление.

Определение качества модели в целом по критерию Фишера:

Расчетное значение критерия Фишера выше табличного, значит гипотезу о незначимости модели (и об отсутствии многофакторной зависимости) можно отвергнуть, т.е. выбранная гипотеза о виде модели и найденные оценки параметров регрессионного уравнения достаточно достоверны.

Определение корреляционной таблицы и частных коэффициентов корреляции

Парные коэффициенты корреляции определяются по формулам^¹:

(yx)cp - ycp*xcp

ryx = -----------------------

?y ?x

(yz)cp - ycp*zcp

ryx = -----------------------

?y ?z

(xz)cp - xcp*zcp

ryx = -----------------------

?x ?z

Корреляционная таблица^²:

	Xt	Zt = sqrt(Xt)	Yt
Xt	1
Zt = sqrt(Xt)	0,9970	1
Yt	0,9601	0,9751	1

Данная таблица показывает, что параметр У с каждым из факторов X и Z связан прямой зависимостью, причем фактор z влияет на результат у сильнее, чем фактор х.

Так как значение z определяли как функциональную зависимость от х , то эти два признака связаны между собой прямой и сильной зависимостью, о чем говорит близкое к единице значение коэффициента корреляции.
Частные коэффициенты корреляции:

ryx – rxz * ryz 0,9601 – 0,9970 * 0,9751

ryx/z = ------------------------- = ------------------------------------------- = -0,71393

? (1-r²yz)*(1-r²xz) ? (1- 0,9751²)*(1- 0,9970²)
ryz – rxz * ryx 0,9751 – 0,9970 * 0,9601

ryz/x = ------------------------- = ------------------------------------------- = 0,832

? (1-r²yx)*(1-r²xz) ? (1- 0,9601²)*(1 - 0,9970²)

По приведенным расчетам видно, что при исключении влияния фактора z фактор х влияет на результат довольно сильно, но влияние носит обратный характер, т.е. с ростом Х снижается У (что также видно и из коэффициентов уравнения множественной регрессии), тогда как фактор z при исключении влияния фактора х оказывает более сильное прямое воздействие.

Оба фактора связаны с между собой прямой сильной связью.

Сравнение качества 3-х моделей

Для первой модели:

R² ? 0,922

Fp ? 94,09

Для второй модели:

R² ? 0,979

Fp ? 369,36

Для третьей модели:

R² ? 0,99997

Fp ? 61063,8
По приведенным показателям предпочтение можно отдать третьей модели, т.к. значение коэффициента детерминации в данном случае самое высокое, т.е. выбранная модель наилучшим образом описывает изучаемое явление.
Ниже приведены показатели регрессионного анализа, которые можно получить, используя пакет «Анализ данных»:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,988
R-квадрат	0,976
Нормированный R-квадрат	0,969
Стандартная ошибка	0,494
Наблюдения	10,000

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2,00	69,19	34,60	141,85	0,00000217
Остаток	7,00	1,71	0,24
Итого	9,00	70,90

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-7,707	5,891	-1,308	0,232	-21,638	6,224	-21,638	6,224
Xt	-1,405	0,521	-2,698	0,031	-2,636	-0,173	-2,636	-0,173
Zt = sqrt(Xt)	14,058	3,543	3,968	0,005	5,681	22,436	5,681	22,436

Задание 4.
Предлагается структурная система экономических уравнений, приведенная система уравнений и данные наблюдений.

Определите, к какому типу относится каждое из уравнений структурной системы.
опираясь на данные наблюдений и построенную на их основе приведенную систему экономических уравнений, проведите идентификацию параметров структурной системы.

Структурная система:

y t1 = b10 + b12yt2 + a12xt2 + a13xt3 + et1

y t2 = b20 + b21yt1++ b23yt3 + a21xt1 + et2

y t3 = b30 + b32yt2

Приведенная система:

ỹ t1 = 2 – 3 xt1 + xt2 + 4 xt3

ỹ t2 = -4 + 2 xt1 – xt2 + 2 xt3

ỹ t3 = -3 – 2 xt1 + 2 xt2 + 5 xt3
Данные наблюдений:

t	y t1	y t2	y t3	xt1	xt2	xt3
1	13	25	47	1	1	3
2	15	18	33	2	2	1
3	16	35	62	4	7	3
4	11	27	50	6	3	1
5	10	16	28	3	4	5

Решение:
Идентификация системы уравнений:

Структурная система:

y t1 = b10 + b12yt2 + a12xt2 + a13xt3 + et1

y t2 = b20 + b21yt1++ b23yt3 + a21xt1 + et2

y t3 = b30 + b32yt2
Всего в системе 3 экзогенных и 3 эндогенных переменных.

№ п/п	Уравнение	Д – число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных	Н – число эндогенных переменных в уравнении	Д+1 / Н	Идентифицируемость
1	y t1 = b10 + b12yt2 + a12xt2 + a13xt3 + et1	1	2	2 = 2	Идентифицировано
2	y t2 = b20 + b21yt1++ b23yt3 + a21xt1 + et2	2	3	3 = 3	Идентифицировано
3	y t3 = b30 + b32yt2	3	2	4 > 2	Сверхидентифицировано
Система в целом сверхидентифицирована

Приведенная система:

ỹ t1 = 2 – 3 xt1 + xt2 + 4 xt3

ỹ t2 = -4 + 2 xt1 – xt2 + 2 xt3

ỹ t3 = -3 – 2 xt1 + 2 xt2 + 5 xt3
Из второго уравнения выражаем xt1 :

ỹ t2 = -4 + 2 xt1 – xt2 + 2 xt3

2 xt1 = ỹ t2 + 4 + xt2 – 2 xt3

xt1 = Ѕ ỹ t2 + 2 + Ѕ xt2 – xt3
Подставляем полученное выражение в первое уравнение / Идентифицируем первое уравнение:

ỹ t1 = 2 – 3 (Ѕ ỹ t2 + 2 + Ѕ xt2 – xt3) + xt2 + 4 xt3 = -4 – 3/2 ỹ t2 - Ѕ xt2 + 7 xt3

Идентифицируем второе уравнение:

ỹ t2 = -4 + 2 xt1 – xt2 + 2 xt3
x

t2 + 4 xt3 = ỹ t1 – 2 + 3 xt1

2 xt2 + 5 xt3 = ỹ t3 + 3 + 2 xt1

Xt2 =	∆2	=	(ỹ t1 – 1 + 2 xt1) 4 (ỹ t2 + 2 – 2 xt1) 5	= -1/3 * (5*ỹ t1 –5+10xt1 – 4 ỹ t2 – 8 +8 xt1) = 13/3 – 5/3ỹ t1 – 4/3 ỹ t2 – 6 xt1
	∆		1 4 2 5
Xt3 =	∆3	=	(ỹ t1 – 1 + 2 xt1) 1 (ỹ t2 + 2 – 2 xt1) 2	= - 1/3 (2*ỹ t1 –2 +4 xt1 –2 ỹ t2 – 4 + 4 xt1) = 2 – 2/3ỹ t1 + 2/3 ỹ t2 – 8/3 xt1
	∆		1 4 2 5

ỹ t2 = -4 + 2 xt1 – (13/3 – 5/3ỹ t1 – 4/3 ỹ t2 – 6 xt1) + 2 (2 – 2/3ỹ t1 + 2/3 ỹ t2 – 8/3 xt1) = -4 + 2 xt1 – 13/3+ 5/3ỹ t1 + 4/3 ỹ t2 + 6 xt1 + 4 – 4/3ỹ t1 + 4/3 ỹ t2 – 16/3 xt1 =

= - 13/3 + 1/3 ỹ t1 + 8/3 ỹ t2 + 8/3 xt1

ỹ t2 = - 13/3 + 1/3 ỹ t1 + 8/3 ỹ t2 + 8/3 xt1

	Y_t2	Y_t3	Y_t2*Y_t3	Y_t3²
	3	-1	-3	1
	0	20	0	400
	-1	17	-17	289
	18	13	234	169
	20	38	760	1444
ИТОГО	40	87	974	2303
Среднее	8	17,4	194,8	460,6

y t3 = 1,871 + 0,352 yt2

Ответ:

ỹ t1 = -4 – 3/2 ỹ t2 - Ѕ xt2 + 7 xt3

ỹ t2 = - 13/3 + 1/3 ỹ t1 + 8/3 ỹ t2 + 8/3 xt1

y t3 = 1,871 + 0,352 yt2

1 Показатели для расчетов можно найти в расчетной таблице

2 Можно вычислить эти данные с помощью встроенного пакета «Анализ данных» в табличном редакторе

Министерство образования и науки Российской Федерации