Холод Е.Г., Швачич Г.Г. (сост.) Высшая и прикладная математика. Краткий конспект лекций для студентов ИЗДО. Часть 1 - файл n4.doc

Холод Е.Г., Швачич Г.Г. (сост.) Высшая и прикладная математика. Краткий конспект лекций для студентов ИЗДО. Часть 1
скачать (599.4 kb.)
Доступные файлы (7):
n1.doc35kb.05.11.2005 12:24скачать
n2.docскачать
n3.doc707kb.03.11.2005 23:02скачать
n4.doc2196kb.03.11.2005 23:28скачать
n5.docскачать
n6.doc509kb.01.12.2004 16:54скачать
n7.doc33kb.03.11.2005 20:10скачать

n4.doc

Тема 2.4. Прямая линия на плоскости


Д
ве взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из ко­то­рых указано положительное направление и масштаб, образуют прямоугольную декартову систему координат на плоскости (рис. 2.6).

Рис. 2.6.
Точка называется началом координат, ось - осью абсцисс, ось - осью ординат. Положение на плоскости любой точки определяется двумя числами , называемыми координатами точки (рис.2.6).

Теорема 2.9. Расстояние между точками и (рис.2.7) измеряется по формуле




Рис. 2.7.

Теорема 2.10. Если точка делит отрезок в отношении ( называется коэффициентом пропорциональности), то ее координаты находят так;



Следствие. В частном случае, когда отрезок делится пополам, , получим так называемые формулы половинного деления:



Теорема 2.11. Площадь треугольника с известными вершинами равна;



В декартовом базисе прямая линия описывается уравнением первой степени с двумя переменными и .

Рассмотрим виды уравнений прямой линии на плоскости.

Теорема 2.12. В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени, называемым общим уравнением прямой

,

где - постоянные коэффициенты, причем .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:




З
десь параметры и имеют определенный геометрический смысл (рис 2.8).

Рис. 2.8.
и называется угловым коэффициентом.

- угол, образованный прямой с положительным направ­ле­нием . В качестве положительного направления изме­ре­ния угла ? принято направление против хода часовой стрелки (рис. 2.8).

– отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат.

Выполнив несложные алгебраические преобразования, можно от общего уравнения прямой перейти к уравнению пря­мой с угловым коэффициентом. При этом

, .

Уравнение прямой в отрезка на осях выглядит так:

.

Здесь и - отрезки, отсекаемые прямой на осях абсцисс и ординат соответственно. Их связь с коэффициентами общего уравнения такова

.


В этой форме можно представить уравнение прямой, не проходящей через начало координат, т.е. если .

Нормальное уравнение прямой:

.

Геометрический смысл коэффициентов этого уравнения:
- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую; - угол, образованный этим перпендикуляром с

Рис. 2.9.

положительным направлением оси (рис. 2.9.).

Для того, чтобы от общего уравнения прямой перейти к уравнению той же прямой, записанному в нормальном виде, необходимо все члены общего уравнения умножить на нормирующий множитель

.

Знак выбирается таким образом, чтобы

.

Уравнение пучка прямых описывает множество прямых, проходящих через точку , называемую центром пучка:

.

Уравнение прямой, проходящей через две известные точки и имеет вид:

.

Угол между прямыми в зависимости от формы задания уравнений прямых может быть найден по формулам:



З
десь угол измеряется от прямой с угловым коэффициентом до прямой с угловым коэффициентом (рис. 2.10.).

Рис. 2.10.
Из этих формул легко выводятся аналитические условия параллельности

или

(если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны)

и перпендикулярности прямых:

или

(если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку)
Координаты точки пересечения двух прямых опреде­ляют­ся как решение системы, составленной из уравнений этих прямых.

Теорема 2.13. Расстояние от точки до прямой (или ) определяется по формулам:

или .
Задача 2.5. Дано общее уравнение прямой .

Привести это уравнение к виду с угловым коэффициентом, к уравнению в отрезках и к нормальному виду.
Решение

а) Оставим слагаемое с слева от знака равенства, а остальные перенесем в правую часть уравнения. Затем разделим обе части на коэффициент при , т.е. на (-3). В результате получим уравнение с угловым коэффициентом



б) Исходное уравнение разрешается относительно свободного члена, а затем его левая и правая части делятся на величину свободно члена.

.

в) На первом этапе определяется нормирующий множитель

.
Далее левая и правая части исходного уравнения умножаются на нормирующий множитель и получается нормальное уравнение

.
Задача 2.6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3 (кв. ед.).
Решение

Очевидно, что таких прямых будет две, а треугольники обра­зо­ваны во второй и четвертой четвертях (рис. 2.11.).




Рис. 2.11.

Запишем уравнение пучка прямых с центром в точке :



Преобразуем последнее уравнение к уравнению в отрезках:

.

Таким образом,

Так как и имеют разные знаки, то площадь указанных в условии задачи треугольников может быть найдена по формуле

.

Отсюда или



Решив квадратное уравнение, найдем



Тогда уравнения прямых будут иметь вид:


Задача 2.7. Дан треугольник с вершинами в точках и . Написать уравнения сторон треугольника, медианы , высоты . Найти длины медианы и высоты , внутренний угол треугольника при вершине .

Решение

П
остроим треугольник с указанными вершинами и отметим все перечисленные элементы (рис. 2.12.).
Рис. 2.12
Уравнения сторон треугольника получим, используя уравнение прямой, проходящей через две известные точки.







Уравнение можно было бы записать и без таких выкладок, учитывая, что обе точки лежат на оси .

Для нахождения уравнения медианы предварительно определим координаты точки как середины отрезка :



Тогда уравнение медианы будет иметь вид



Длину определим как расстояние между точками и :

(лин. ед.).

Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через вершину :



Так как высота перпендикулярна стороне треугольника , то их угловые коэффициенты связаны соотношением:



Из уравнения легко найти . Тогда и уравнение высоты будет

или

.

Длину высоты определим как расстояние от точки до стороны :

(лин. ед.)

Так как мы установили общие уравнения прямых и , то воспользуемся соответствующей формулой для определения угла при вершине треугольника :



Площадь треугольника равна

(кв. ед.)

Задача 2.8. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника, вершины которого и .

Решение

Строим треугольник, указываем точки пересечения его медиан (E) и высот (F) (рис. 2.13.).




Е


Рис.2.13.

Определим координаты точки как координаты середины отрезка , воспользовавшись формулами половинного деления



Для определения координат точки пересечения медиан воспользуемся свойством этой точки, согласно которому она делит медиану в отношении , считая от вершины, т.е. . Тогда для точки



Треугольник является равнобедренным, так как длины сторон и равны:

(лин. ед.)

(лин. ед.)

Следовательно, медиана будет и высотой. Поэтому уравнение высоты определим как уравнение прямой, проходящей через точки :



Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид

.

Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через известные точки и :



отсюда

Так как высота перпендикулярна , то ее угловой коэффициент и уравнение будет

или

Координаты точки пересечения высот и определим из решения системы, составленной из уравнений высот:



Решая систему, находим . Таким образом, точка пересечения высот .





Тема 2.4. Прямая линия на плоскости
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации