Усачёв Г.К. Физика твёрдого деформируемого тела - файл n1.doc

приобрести
Усачёв Г.К. Физика твёрдого деформируемого тела
скачать (695.8 kb.)
Доступные файлы (3):
n1.doc1061kb.11.02.2007 11:05скачать
n2.mcd
n3.doc644kb.20.09.2007 08:37скачать

n1.doc

  1   2   3   4   5



Министерство образования РФ


Физика твердого деформируемого тела
(конспект лекций)
Северодвинск 2004

Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальности «Промышленное и гражданское строительство верфи» и родственным специальностям.


УДК (624:69):681.3(075.8)
Усачев Георгий Константинович

Физика твердого деформируемого тела

Конспект лекций

(по плану РИО Севмашвтуза 2004 г.)
Ответственный редактор профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство верфи» Г.М. Рижинашвили
ISBN 5-7723-0078-4 ­ Севмашвтуз, 2003


СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

1. Основы механики деформируемого твердого тела 4

1.1. Теория напряжений 6

1.1.1. Напряжения и нагрузки 6

1.1.2. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра 7

1.1.3. Тензоры 10

1.1.4. Главные напряжения 11

1.1.5. Наибольшие касательные напряжения.
Октаэдрические напряжения 13

2. Атомно-электронная структура твердых тел 14

2.1. Модели атома Томсона, Резерфорда, Бора 14

2.2. Начальные сведения о квантово-механической теории строения атомов и молекул 17

2.2.1. Основные положения квантовой механики 17

2.2.2. Строение электронной оболочки атома 19

2.2.3. Заполнение орбиталей электронами 25

2.2.4. Электронные конфигурации атомов 27

2.2.5. Потенциал ионизации и сродство к электрону 29

2.3. Строение твердых тел 30

2.3.1. Кристаллические и аморфные тела 30

2.3.2. Кристаллическая решетка 32

2.3.3. Анизотропия кристаллов 34

2.3.4. Обозначение плоскостей и направлений в кристалле 36

2.3.5. Классификация кристаллов по типам сил связи 39

2.3.6. Дефекты кристаллов 43

2.4. Деформация и разрушение металлов 46

2.4.1. Деформация и разрушение монокристалла 46

2.4.2. Деформация и разрушение поликристалла 49

Литература 50



Введение


Физика твердого деформируемого тела изучает атомно-электронную структуру твердых тел, устанавливает зависимости между свойствами тел (теплопроводность, электропроводность, прочность, деформативность и др.) и их структурой, а также включает в себя элементы механики сплошной среды.

1.Основы механики деформируемого твердого тела


Механика деформируемых тел изучает отклики тел на внешние воздействия: возникновение напряжений и деформаций от действия внешних сил, неравномерных перемещений точек, температурных и других полей.

Механика в современном состоянии представляет широкий комплекс научных дисциплин: теория упругости, теория пластичности, теория ползучести и сформировавшаяся в последние 40 лет механика разрушения. Для решения поставленных задач идеализируют свойства изучаемых объектов – создают их модели.

Одной из таких идеализаций твердого тела является приписываемое ему свойство идеальной упругости.

Идеальная упругость есть способность тела, получившего деформацию, восстанавливать свои размеры и форму после устранения внешних воздействий.

Все строительные материалы в известной степени обладают свойством упругости.

Теория упругости изучает действие сил на упругие тела и определяет возникающие при этом напряжения и деформации, как в состоянии покоя, так и состоянии движения.

Те же задачи стоят и в науке о сопротивлении материалов, но между ними имеется существенное и принципиальное различие, заключающееся в исходных предпосылках и методах решения задач.

Исходные предпосылки в теории сопротивления материалов оказываются справедливы лишь в том случае, когда тело имеет продолговатую форму – стержень (основной предпосылкой является гипотеза плоских сечений). Поэтому сопротивление материалов не может решать задачи на отыскание напряженного и деформированного состояния тела, у которого форма отлична от обычного стержня: пластины, оболочки, массивы.

Теория упругости ставит своей целью по возможности точное решение задачи. При этом используется следующие гипотезы.

1. Гипотеза о сплошности строения упругого тела.

Тело, непрерывное до деформации, остается непрерывным и после деформации.
В связи с этим деформации и перемещения точек тела считаются непрерывными функциями координат. Таким образом, в классической теории упругости не принимается во внимание дискретная, атомистическая структура вещества.

2. Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии тела.

Согласно этой гипотезе существующие до приложения поверхностных нагрузок начальные напряжения в теле полагаются равными нулю. Иначе говоря, определяемые в теории упругости напряжения не являются фактическими напряжениями в теле, а составляют лишь прирост напряжений в точках над начальными напряжениями (неизвестными) в тех же точках. Строгое решение этой задачи могла бы дать дискретная теория упругости, которая к настоящему времени не разработана.

3. Гипотеза об идеальной упругости, шаровой изотропии, совершенной однородности материала.

Шаровая изотропия понимается в том смысле, что физико-механические свойства одинаковы по всем направлениям, проведенным из данной точки материала.

4. Гипотеза о линейной зависимости между напряжениями и деформациями.

Теория пластичности устанавливает общие законы образования пластических деформаций и возникающих при этом напряжений.

При пластическом деформировании материала величина деформаций и напряжений зависит не только от величины внешних воздействий, но и от истории нагружения тела. Процесс нагружения считается простым, когда внешние силы от начала их приложения возрастают, сохраняют между собой постоянной отношение (возрастают пропорционально одному параметру).

В теориях упругости и пластичности предполагается, что если не меняется нагрузка, приложенная к телу, то не будут меняться напряжения и деформации. В действительности это не так: деформация, хотя и медленно, может нарастать во времени. Изменение во времени деформаций и напряжений нагруженного тела называется ползучестью. При этом изменение деформаций называется последействием, а изменение напряжений – релаксацией. Теория ползучести изучает законы, по которым происходят эти изменения.

Разрушению нагруженных тел предшествует образование трещин. Условия, необходимые для образования и развития трещин в хрупких и пластических материалах изучаются в теории разрушения.

1.1.Теория напряжений

1.1.1.Напряжения и нагрузки


Рассмотрим произвольное тело с наложенными на него связями, которое находится под действием поверхностных и объемных нагрузок (рис. 1 .1).
Объемными нагрузками могут быть, например, собственный вес, инерционные силы, силы электромагнитного происхождения и т.д. Сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты являются абстрактными объектами, в природе не существующими, их можно рассматривать как предельные случаи поверхностных нагрузок, распределенных на малой части поверхности тела. Погонная распределенная нагрузка также в природе не существует, так как она действует по полосе с шириной, равной нулю.



Рис. 1.1. Нагруженное тело

а) тело, нагруженное поверхностными и объемными нагрузками; б) напряжения в точке М по площадке, перпендикулярной оси х.
Вырежем из рассматриваемого тела элементарный параллелепипед с ребрами . На гранях этого параллелепипеда (рис. 1 .2) действуют напряжения, которые можно разложить на нормальную и касательную составляющие к грани (нормальное и касательное напряжения). В свою очередь касательное напряжение можно разложить на две составляющие, параллельные координатным осям.

В результате на каждой грани параллелепипеда действуют три напряжения, которое обозначим ,…. Первый индекс указывает на ось, параллельно которой направлена внешняя нормаль к площадке, а второй индекс – ось, параллельно которой направлено напряжение, т.е. первый индекс указывает площадку, на которой действует напряжение, а второй – его направление. Поскольку в обозначениях нормальных напряжений фигурируют два одинаковых индекса, обычно оставляют только один из них и пишут .





Рис. 1.2. Напряженное состояние в точке

Правило знаков для напряжений.

На площадке с положительной внешней нормалью напряжение считается положительным, если оно совпадает по направлению с параллельной ему осью.

Напряжение, как и поверхностная нагрузка, имеет размерность .

Каждые две параллельные грани в пределе сливаются и их можно считать двумя сторонами одного сечения. Следовательно, параллельные напряжения, действующие на них, должны быть равны и направлены в противоположные стороны.

1.1.2.Уравнения равновесия элементарного тетраэдра


Если известны напряжения на координатных площадках в некоторой точке (можно считать, в начале выбранной системы координат), то можно определить и напряжения, действующие на любой площадке в той же точке. Для их нахождения рассечем параллелепипед, показанный на Рис. 1 .2, такой плоскостью, в которой мы хотим определить напряжения. Полученная в результате трехгранная пирамида называется тетраэдром (рис. 1 .3) В пространстве любая плоскость может быть задана с помощью нормали к ней.

Пусть мы хотим определить напряжения по площадке, нормаль к которой имеет следующие направляющие косинусы: . Площадь наклонной грани равна , а площади других граней соответственно равны (индекс указывает направление нормали к площадке). Очевидно, что для этих площадей справедливы соотношения:

. (1.0)




Рис. 1.3. Элементарный тетраэдр

Условие равновесия треугольной пирамиды в проекции на ось имеет вид:
. (1.0)

Из этого равенства с учетом ( 1 .0) получим:
. (1.0)

Далее из уравнений равновесия в проекции на оси нетрудно получить аналогичные выражения для напряжений . Однако те же самые равенства можно записать, воспользовавшись так называемым правилом подстановки индексов, в соответствии с которым производится замена букв в последовательности, показанной на рис. 1 .4.


Рис. 1.4. Круговая подстановка индексов

В итоге приходим к системе уравнений:

(1.0)

В уравнения ( 1 .0) не вошли объемные силы, так как при записи уравнений удерживались только члены второго порядка малости (), а объемные силы являются малыми третьего порядка ().Уравнения ( 1 .0) показывают, что зная напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, можно определить составляющие полного напряжения, действующего по любой площадке, а следовательно, и полное напряжение по этой площадке:

. (1.0)

Обозначим координатную ось, совпадающую с нормалью через , и выберем на наклонной площадке две другие ортогональные оси . Теперь по составляющим можно получить значение нормального напряжения на той же площадке:

(1.0)

(с учетом: ).

Аналогично можно найти касательные напряжения . Рассматривая площадки, перпендикулярные осям , можно определить нормальные и касательные напряжения и на этих площадках.

Напряженным состоянием в точке нагруженного тела называется совокупность напряжений, действующих по всем площадкам, проведенным через эту точку. Однако, напряжения, действующие на различных площадках, не являются независимыми.

Следовательно, напряженное состояние в точке будет известным, если заданы напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проведенным через эту точку. Таким образом, напряженное состояние в любой точке можно описать с помощью девяти напряжений (из них с учетом закона парности касательных напряжений независимы шесть). Подобные физические объекты называются тензорами и записываются в виде матрицы.

Тензор напряжений может быть представлен в виде:

(1.0)

По-другому это утверждение можно сформулировать так: напряженное состояние в точке (при заданной внешней нагрузке) зависит от девяти составляющих. Напомним, что любая скалярная величина определяется одним числом (зависит от одной составляющей); вектор в трехмерном пространстве зависит от трех составляющих (проекций на координатные оси), а напряженное состояние в точке зависит от девяти составляющих.

1.1.3.Тензоры


Тензорным величинам нельзя дать такой наглядной геометрической интерпретации, как векторам, поэтому они определяются более формально (хотя и являются реальными физическими объектами, как скаляры и векторы): тензором называется физический или математический объект, составляющие которого преобразуются по линейному закону при линейном преобразовании системы координат.

Легко заметить, что этому определению удовлетворяют и скаляр, и вектор. То обстоятельство, что значение скаляра не меняется при изменении системы координат, не должно смущать. Смысл любого линейного преобразования состоит в том, что составляющие тензора в новой системе координат линейно выражаются через его составляющие в старой системе координат. Частным случаем линейного преобразования является тождественное преобразование, при котором составляющие в новой системе координат остаются такими же, как и в старой.

В зависимости от количества составляющих, от которых зависит объект, различают тензоры нулевого, первого, второго и более высоких рангов (или валентностей). Скалярная величина характеризуется одним значением , поэтому она является тензором нулевого ранга; вектор зависит уже от трех составляющих , поэтому он является тензором первого ранга, а напряженное состояние в точке зависит тот девяти составляющих , поэтому он является тензором второго ранга.

Примеров объектов, являющихся тензорами второго ранга, можно привести много: тензор деформации (см. ниже), тензор кривизны (в теории поверхностей), метрический тензор (используется для определения расстояний в криволинейных и косоугольных системах координат) и т. д. Закон Гука для анизотропного тела записывается с помощью тензора четвертого ранга, называемого тензором упругости. Тензорное исчисление возникло в средине XIX в. Его основная задача заключалась в том, чтобы избавиться от громоздких преобразований составляющих объектов при изменении системы координат. Вторым достоинством физических уравнений в тензорной форме явилось то, что они описывают лишь существенные свойства исследуемого объекта, не зависящие от координатных систем. Вместо громоздких формул, по которым преобразуются составляющие тензора при координатном способе его описания, появились очень компактные тензорные уравнения. Для этого пришлось ввести новую символику и правила записи математических выражений. Перечислим те из них, которые потребуются в дальнейшем.

1.1.4.Главные напряжения


В каждой точке нагруженного тела существуют три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а действуют только нормальные напряжения. Такие площадки называются главными площадками, а соответствующие нормальные напряжения – главными напряжениями.

Допустим, что направляющие косинусы нормали к главной площадке равны . Очевидно, они связаны между собой равенством:

. (1.0)

Главные напряжения на этой площадке обозначим . Проекции главного напряжения на координатные оси (рис. 1 .3,б) определяются равенствами:


С другой стороны, те же самые проекции могут быть выражены через напряжения на основании ( 1 .0):







(1.0)


Представим систему уравнений ( 1 .0) в виде:
(1.0)

Эта система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных является однородной. Решение ее может быть нулевым, что противоречит условию ( 1 .0), и отличным от нуля. В линейной алгебре доказывается, что система однородных уравнений имеет ненулевое решение только в том случае, если определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю:

(1.0)

Раскрывая определитель, получим кубичное уравнение относительно :
, (1.11а)

где:

(1.0)
Определитель третьего порядка вычисляется по алгоритму:



Уранение (1.11а) имеет три корня, причем в рассматриваемом случае все корни – действительные.

Пронумеруем главные напряжения в порядке убывания:

Для определения направляющих косинусов любой главной площадки нужно соответствующее главное напряжение подставить в любые два уравнения системы ( 1 .0) (третье уравнение на основании равенства (1.11а) является следствием двух других), а также в условие ( 1 .0).

Решая совместно составленные таким образом три системы уравнений относительно трех неизвестных в каждой, найдем значения направляющих косинусов главных площадок. Детальное исследование косинусов, полученных для каждой главной площадки, показывает, что главные площадки ортогональны друг другу.

Таким образом, через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют главные нормальные напряжения. Следовательно, значения главных напряжений должны быть одними и теми же независимо от выбора исходной системы координат, в которой были определены компоненты тензора напряжений. Это означает, что корни кубического уравнения (1.11а) не меняют своих значений при изменении системы координат. Отсюда следует, что коэффициенты являются инвариантами. В теории напряжений они носят название соответственно первого (), второго () м третьего () инвариантов тензора напряжений.

Особенно просто определяются значения инвариантов через главные напряжения:



Сам тензор напряжений в главных осях имеет вид:

.



Таким образом, напряженное состояние в точке вполне определяется главными напряжениями и ориентацией главных площадок.

1.1.5.Наибольшие касательные напряжения.
Октаэдрические напряжения


Примем в качестве исходных осей главные оси и из формулы ( 1 .0) найдем нормальное напряжение на произвольной наклонной площадке с направляющими косинусами :

.

Полное напряжение и его касательная составляющая на этой площадке равны (см. ф. ( 1 .0)):

(1.0)

Для отыскания площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, исследуем функцию (второе уравнение в ( 1 .0)) на экстремум.

Из условия


выразим один из косинусов, например

. (1.0)

Подставим ( 1 .0) во второе равенство ( 1 .0) и продифференцируем функцию один раз по и один раз по . Приравняв эти производные нулю, получим два уравнения, из которых можно найти значения косинусов, а далее из уравнения ( 1 .0) и экстремальные значения касательных напряжений.

Не останавливаясь подробно на выкладках, ограничимся формулировкой результатов. При объемном напряженном состоянии на трех площадках, расположенных под углом к главным площадкам, действуют экстремальные касательные напряжения (рис. 1 .5), модули которых равны:

(1.0)



Рис. 1.5. Экстремальные касательные напряжения

Если соблюдаются неравенства , то наибольшее касательное напряжение равно полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений и действует по площадке, которая делит угол между первой и третьей главными площадками пополам.

.
  1   2   3   4   5


Министерство образования РФ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации