Контрольная работа - Сложные проценты + 6 задач - файл n1.doc
Контрольная работа - Сложные проценты + 6 задачскачать (113.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc
Кафедра «Финансы и кредит»
«Финансовая математика»
Вариант №53
Калининград 2009
СОДЕРЖАНИЕ
Введение;
Сложные проценты: понятие и область применения;
Задачи;
Список использованных источников.
Введение
В любой развитой рыночной экономике процентная ставка в национальной валюте является одним из самых важных макроэкономических показателей, за которым пристально следят не только профессиональные финансисты, инвесторы и аналитики, но также предприниматели и простые граждане. Причина такого внимания ясна: процентная ставка - это самая главная цена в национальной экономике: она отражает цену денег во времени. Кроме того, двоюродная сестра процентной ставки - это уровень инфляции, измеряемый также в процентных пунктах и признаваемый в соответствии с монетаристской парадигмой одним из главных ориентиров и результатов состояния национальной экономики (чем меньше инфляция, тем лучше для экономики, и наоборот). Родственная связь здесь проста: уровень номинальной процентной ставки должен быть выше уровня инфляции, при этом оба показателя измеряются в процентах годовых. В современной экономической теории общий термин "процентная ставка" используется в единственном числе. Здесь она рассматривается в качестве инструмента, с помощью которого государство в лице монетарных властей воздействует на экономический цикл страны, сигнализируя об изменении кредитно-денежной политики и изменяя объем денежной массы в обращении. На частном уровне в повседневной практической жизни ссудный процент пронизывает всю экономическую жизнь страны, присутствуя в различных кредитных и долговых инструментах государства, банков, компаний, индивидуальных предпринимателей и частных лиц в виде разнообразных процентных ставок.
Сложные проценты: понятие и область применения.
В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга (депозита), применяются сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых, не остается постоянной - она увеличивается каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисленных процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга (депозита) происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления (running period). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют
капитализацией процентов.
Для нахождения формулы расчета наращенной суммы, при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты), применяется
сложная ставка наращения. Для записи формулы наращения применяются те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:
P – первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),
S – наращенная сумма на конец срока ссуды,
n – срок, число лет наращения,
i – уровень годовой ставки процентов, представленной десятичной дробью.
Основные формулы при определении начисленных процентов и наращенной суммы при использовании схемы сложных процентов:
S =
P * ( 1 +
i )
n (1)
I =
S –
P =
P * | ( 1 +
i )
n – 1 | (2)
Ip =
P * | ( 1 +
i )
n – ( 1 +
n * i ) | (3)
Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель – (1 +
i). Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графически иллюстрация по сложным процентам представлена на рис. 1.
Рис. 1.
Величину (1 +
i)
n называют
множителем наращения (
compound interest factor) по сложным процентам. Точностью расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, и т.д.).
Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ACT или 365/365.
Областью применения сложных процентов является сфера финансов и кредита, т.е. главным образом банковская, инвестиционная и страховая деятельность.
2. Задачи
2.1. Задача №1.
Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 150 000 в конце каждого года. Банк платит 10% годовых. Проценты начисляются раз в год по схеме сложных процентов. Определить сумму фонда к концу 4-х лет.
Формула:
S =
R * ((1 +
i)
n - 1) :
i где,
R – постоянная величина депозита;
i – постоянная годовая величина процентной ставки;
n – количество периодов внесения депозитов и начисления процентов, то
150 000 * ((1 + 0,1)
4 - 1) : 0,1 = 150 000 * 0,46 : 0,1 = 696 150
Ответ: таким образом, к концу четвертого года на счете будет 696 150 рублей, в том числе 600 000 рублей это собственные деньги вкладчика и 96 150 рублей начисленные проценты.
2.2. Задача №2.
Чистые денежные потоки по годам прогнозируются в следующих объемах: 1-й год – 50 000 рублей, 2-й год – 56 000 рублей, 3-й год – 75 000 рублей, 4-й год – 80 000 рублей. Стоимость капитала 20% (сложные проценты).
Определить: приведенную стоимость проекта.
Прежде всего, найдем множитель дисконтирования (
r) по формуле:
r = 1 / ( 1 +
i )
n Годы | Прогнозируемые денежные потоки | Множитель дисконтирования, r = 20% | Приведенная стоимость |
1 | 50 000 | 0.833 | 41 667 |
2 | 56 000 | 0.694 | 38 889 |
3 | 75 000 | 0.579 | 43 403 |
4 | 80 000 | 0.482 | 38 580 |
ИТОГО: | 261 000 | | 162 539 |
Таким образом, «сегодняшняя стоимость» проекта в течение четырех лет 261 000 с учетом коэффициента дисконтирования 20% составляет 162 539 (что меньше на 98 461 рублей)
2.3. Задача №3.
Вклад в размере 20 000 рублей помещен в банк 19.01. и востребован 27.03. под ставку процентов 15% годовых.
Определить сумму начисленных процентов и наращенную сумму при различных методах определения срока начисления.
S =
P +
I =
P * (1 +
n *
i ),
где,
n = t / k,
t – срок депозита,
k – временная база, 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или 365 (366) дней, т.е. полноценный календарный год.
Точные проценты с точным числом дней депозита (365/365):
20 000 * (1 + 67 / 365 * 0.15) = 20 550,69 рублей, сумма начисленных процентов составит550,69 рублей.
Обыкновенные проценты с точным числом дней депозита (360/365):
20 000 * (1 + 67 / 360 * 0.15) = 20 558,33 рублей, сумма начисленных процентов составит 558,33 рублей.
Обыкновенные проценты с приблизительным числом дней депозита (360/360):
20 000 * (1 + 68 / 360 * 0.15) = 20 566,67 рублей, сумма начисленных процентов составит 566,67 рублей.
Вывод: для вкладчика, более выгодным является 3-й метод расчета срока начисления процентов на вложенный депозит.
2.4. Задача №4.
Платеж в 60 000 рублей через 2 года, заменяется на платеж в 80 000 рублей через 4 года.
Найти критический уровни простой и сложной процентных ставок.
Как изменяться финансовые отношения сторон, если в расчетах будет использоваться 25%.
Н
айдем критическую ставку по простой процентной ставке по формуле:
где
S
1 = 60 000
S2 = 80 000
n1 = 2
n2 = 4
i0 = (1 - 60 000 / 80 000) / (60 000 / 80 000 * 2 - 4) = 0,25 / 1 = 0,25 или 25,0%
Проверим на основе равенства:
60 000 / (1 + 2 * 0,25) = 80 000 / (1 + 4 * 0,25)
40 000 = 40 000
Найдем критическую ставку по простой процентной ставке по формуле:
i0 = 4 – 2
КОРЕНЬ (80 000 / 60 000 - 1) = 0,1547 или 15,47%
Проверим на основе равенства:
60 000 * (1 + 0,1547)
-2 = 80 000 * (1 + 0,1547)
-4 45 000 = 45 000
Сравним условия кредита с использованием 25% годовых.
Найдем первоначальную сумму кредита исходя из простых процентов:
P1 = 60 000 / (1 + 2 * 0,25) = 40 000
P2 = 80 000 / (1 + 4 * 0,25) = 40 000
Н

айдем первоначальную сумму кредита исходя из сложных процентов:
P1 = 60 000 / (1 + 0,25)
2 = 38 400
P2 = 80 000 / (1 + 0,25)
4 = 32 768,1
Таким образом, при использовании 25% годовой ставке, первоначальная сумма кредита по простым процентам не измениться, т.е. останется 40 000 рублей при кредите 60 000 через 2 года и 80 000 через 4 года, а при использовании сложной процентной ставке, первоначальная сумма кредита в 80 000 через 4 года будет меньше кредита в 60 000 через 2 года, и соответственно сумма процентов за использование данного кредита выше.
2.5. Задача №5.
Сумма 36 млн.руб. и 200 млн.руб. помещены в банк на 2 года на депозит, причем первая по ставке 9% годовых, а вторая – 11% годовых. По какой ставке можно было бы положить эту сумму на указанный срок, чтобы получить тот же финансовый результат (простые и сложные проценты)?
Наращение по простым процентам:

S
1 = 36 * (1 + 2 * 0,09) = 42,27 млн. руб.
S
2 = 200 * (1 + 2 * 0,11) = 244,00 млн. руб.
Sпр = 42,27 + 244,00 = 286,27 млн. руб.
Наращение по сложным процентам:

S
1 = 36 * (1 + 0,09)
2 = 42,77 млн. руб.
S
2 = 200 * (1 + 0,11)
2 =246,42 млн. руб.
Sсл = 42,77 + 246,42 = 289,19 млн. руб.
П
роцентная ставка по простым процентам:
где,
i - процентная ставка
S = 286,27 млн.руб.
P = 236,0 млн.руб.
n = 2
i = (286,27 – 236) / (236 * 2) = 0,1065 или 10,65%
Проверим получившийся результат:
S = 236 * (1 + 0,1065*2) = 286,27
П
роцентная ставка по простым процентам:
Где,
i - процентная ставка
S = 289,19 млн.руб.
P = 236,0 млн.руб.
n = 2
i = 2
КОРЕНЬ (289,19 / 236) – 1= 0,10697 или 10,697%
Проверим получившийся результат:
i = 236 * (1 + 0,10697)
2 = 289,19
Таким образом можно сделать вывод, чтобы достичь аналогичного финансового результат, нужно сумму 236 млн.руб. положить на депозит на 2 года под 10,65% простых процентов и под 10,7% сложных
2.6. Задача №6.
Вам предлагают сдать в аренду участок на четыре года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды:
А) 40 тыс. рублей в конце каждого года;
Б) 105 тыс. рублей в конце четырехлетнего периода.
Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 11% годовых?
Используем следующую формулу:
Где,
R = 40 000
n = 4
i = 0,11 = 11%
S = 40 * ((1 + 0,11)
4 – 1) : 0,11= 189,1 тыс. рублей
Таким образом, более предпочтителен вариант А, т.е. 40 000 в конце каждого года на протяжении четырех лет.
Список использованных источников
Щегорцев В.А., Таран В.А. Деньги, кредит, банки: Учебник для вузов/М 2005;
Деньги, кредит, банки. /под ред. О.И. Лаврушина. - М.: 2005;
Общая теория денег и кредита: Учебник / Под ред. проф. Е.В. Жукова. - М.: 1995;
Смирнов Е.Е. «Денежно-кредитная политика в 2007 году: с учетом требований закона и рынка»// Управление в кредитной организации-2006-,№ 6// Консультант Плюс: 3000{Электрон. ресурс}/ «Консультант Плюс»-М-2007.
Федеральная служба государственной статистики/ {Электронный ресурс}/ Режим доступа:/http//gks/ru/wps/portal.
«Основные направления единой государственной денежно-кредитной политики на 2007 год»//»Расчеты и операционная работа в коммерческом банке», 2006- № 12//{Электронный ресурс}/ Консультант-Плюс.