Контрольная работа - Сложные проценты + 6 задач - файл n1.doc

Контрольная работа - Сложные проценты + 6 задач
скачать (113.5 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc

114kb.

22.08.2012 11:48

скачать

n1.doc

Кафедра «Финансы и кредит»

«Финансовая математика»

Вариант №53

Калининград 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Введение;

Сложные проценты: понятие и область применения;
Задачи;

Список использованных источников.

Введение

В любой развитой рыночной экономике процентная ставка в национальной валюте является одним из самых важных макроэкономических показателей, за которым пристально следят не только профессиональные финансисты, инвесторы и аналитики, но также предприниматели и простые граждане. Причина такого внимания ясна: процентная ставка - это самая главная цена в национальной экономике: она отражает цену денег во времени. Кроме того, двоюродная сестра процентной ставки - это уровень инфляции, измеряемый также в процентных пунктах и признаваемый в соответствии с монетаристской парадигмой одним из главных ориентиров и результатов состояния национальной экономики (чем меньше инфляция, тем лучше для экономики, и наоборот). Родственная связь здесь проста: уровень номинальной процентной ставки должен быть выше уровня инфляции, при этом оба показателя измеряются в процентах годовых. В современной экономической теории общий термин "процентная ставка" используется в единственном числе. Здесь она рассматривается в качестве инструмента, с помощью которого государство в лице монетарных властей воздействует на экономический цикл страны, сигнализируя об изменении кредитно-денежной политики и изменяя объем денежной массы в обращении. На частном уровне в повседневной практической жизни ссудный процент пронизывает всю экономическую жизнь страны, присутствуя в различных кредитных и долговых инструментах государства, банков, компаний, индивидуальных предпринимателей и частных лиц в виде разнообразных процентных ставок.

Сложные проценты: понятие и область применения.

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга (депозита), применяются сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых, не остается постоянной - она увеличивается каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисленных процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга (депозита) происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления (running period). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Для нахождения формулы расчета наращенной суммы, при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты), применяется сложная ставка наращения. Для записи формулы наращения применяются те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам:

P – первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S – наращенная сумма на конец срока ссуды,

n – срок, число лет наращения,

i – уровень годовой ставки процентов, представленной десятичной дробью.

Основные формулы при определении начисленных процентов и наращенной суммы при использовании схемы сложных процентов:

S = P * ( 1 + i )ⁿ (1)

I = S – P = P * | ( 1 + i )ⁿ– 1 | (2)

I_p = P * | ( 1 + i )ⁿ – ( 1 + n * i ) | (3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель – (1 + i). Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графически иллюстрация по сложным процентам представлена на рис. 1.

Рис. 1.

Величину (1 + i)ⁿ называют множителем наращения (compound interest factor) по сложным процентам. Точностью расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ACT или 365/365.

Областью применения сложных процентов является сфера финансов и кредита, т.е. главным образом банковская, инвестиционная и страховая деятельность.

2. Задачи

2.1. Задача №1.

Создается фонд денежных средств путем внесения на депозит по 150 000 в конце каждого года. Банк платит 10% годовых. Проценты начисляются раз в год по схеме сложных процентов. Определить сумму фонда к концу 4-х лет.

Формула:

S = R * ((1 + i)ⁿ - 1) : i

где,

R – постоянная величина депозита;

i – постоянная годовая величина процентной ставки;

n – количество периодов внесения депозитов и начисления процентов, то

150 000 * ((1 + 0,1)⁴ - 1) : 0,1 = 150 000 * 0,46 : 0,1 = 696 150

Ответ: таким образом, к концу четвертого года на счете будет 696 150 рублей, в том числе 600 000 рублей это собственные деньги вкладчика и 96 150 рублей начисленные проценты.

2.2. Задача №2.

Чистые денежные потоки по годам прогнозируются в следующих объемах: 1-й год – 50 000 рублей, 2-й год – 56 000 рублей, 3-й год – 75 000 рублей, 4-й год – 80 000 рублей. Стоимость капитала 20% (сложные проценты).

Определить: приведенную стоимость проекта.

Прежде всего, найдем множитель дисконтирования (r) по формуле:

r = 1 / ( 1 + i )ⁿ

Годы	Прогнозируемые денежные потоки	Множитель дисконтирования, r = 20%	Приведенная стоимость
1	50 000	0.833	41 667
2	56 000	0.694	38 889
3	75 000	0.579	43 403
4	80 000	0.482	38 580
ИТОГО:	261 000		162 539

Таким образом, «сегодняшняя стоимость» проекта в течение четырех лет 261 000 с учетом коэффициента дисконтирования 20% составляет 162 539 (что меньше на 98 461 рублей)

2.3. Задача №3.

Вклад в размере 20 000 рублей помещен в банк 19.01. и востребован 27.03. под ставку процентов 15% годовых.

Определить сумму начисленных процентов и наращенную сумму при различных методах определения срока начисления.

S = P + I = P * (1 + n * i ),

где,

n = t / k,

t – срок депозита,

k – временная база, 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или 365 (366) дней, т.е. полноценный календарный год.

Точные проценты с точным числом дней депозита (365/365):

20 000 * (1 + 67 / 365 * 0.15) = 20 550,69 рублей, сумма начисленных процентов составит550,69 рублей.

Обыкновенные проценты с точным числом дней депозита (360/365):

20 000 * (1 + 67 / 360 * 0.15) = 20 558,33 рублей, сумма начисленных процентов составит 558,33 рублей.

Обыкновенные проценты с приблизительным числом дней депозита (360/360):

20 000 * (1 + 68 / 360 * 0.15) = 20 566,67 рублей, сумма начисленных процентов составит 566,67 рублей.

Вывод: для вкладчика, более выгодным является 3-й метод расчета срока начисления процентов на вложенный депозит.

2.4. Задача №4.

Платеж в 60 000 рублей через 2 года, заменяется на платеж в 80 000 рублей через 4 года.

Найти критический уровни простой и сложной процентных ставок.

Как изменяться финансовые отношения сторон, если в расчетах будет использоваться 25%.

Найдем критическую ставку по простой процентной ставке по формуле:

где

S₁ = 60 000

S₂ = 80 000

n₁ = 2

n₂ = 4

i₀ = (1 - 60 000 / 80 000) / (60 000 / 80 000 * 2 - 4) = 0,25 / 1 = 0,25 или 25,0%

Проверим на основе равенства:

60 000 / (1 + 2 * 0,25) = 80 000 / (1 + 4 * 0,25)

40 000 = 40 000

Найдем критическую ставку по простой процентной ставке по формуле:

i₀ = 4 – 2 КОРЕНЬ (80 000 / 60 000 - 1) = 0,1547 или 15,47%

Проверим на основе равенства:

60 000 * (1 + 0,1547) ^-2 = 80 000 * (1 + 0,1547)^-4

45 000 = 45 000

Сравним условия кредита с использованием 25% годовых.

Найдем первоначальную сумму кредита исходя из простых процентов:

P₁ = 60 000 / (1 + 2 * 0,25) = 40 000

P₂ = 80 000 / (1 + 4 * 0,25) = 40 000

Н

айдем первоначальную сумму кредита исходя из сложных процентов:

P₁ = 60 000 / (1 + 0,25)² = 38 400

P₂ = 80 000 / (1 + 0,25)⁴ = 32 768,1

Таким образом, при использовании 25% годовой ставке, первоначальная сумма кредита по простым процентам не измениться, т.е. останется 40 000 рублей при кредите 60 000 через 2 года и 80 000 через 4 года, а при использовании сложной процентной ставке, первоначальная сумма кредита в 80 000 через 4 года будет меньше кредита в 60 000 через 2 года, и соответственно сумма процентов за использование данного кредита выше.

2.5. Задача №5.

Сумма 36 млн.руб. и 200 млн.руб. помещены в банк на 2 года на депозит, причем первая по ставке 9% годовых, а вторая – 11% годовых. По какой ставке можно было бы положить эту сумму на указанный срок, чтобы получить тот же финансовый результат (простые и сложные проценты)?

Наращение по простым процентам:

S₁ = 36 * (1 + 2 * 0,09) = 42,27 млн. руб.

S₂ = 200 * (1 + 2 * 0,11) = 244,00 млн. руб.

S_пр = 42,27 + 244,00 = 286,27 млн. руб.

Наращение по сложным процентам:

S₁ = 36 * (1 + 0,09)² = 42,77 млн. руб.

S₂ = 200 * (1 + 0,11)² =246,42 млн. руб.

S_сл = 42,77 + 246,42 = 289,19 млн. руб.

Процентная ставка по простым процентам:

где,

i - процентная ставка

S = 286,27 млн.руб.

P = 236,0 млн.руб.

n = 2

i = (286,27 – 236) / (236 * 2) = 0,1065 или 10,65%

Проверим получившийся результат:

S = 236 * (1 + 0,1065*2) = 286,27

Процентная ставка по простым процентам:

Где,

i - процентная ставка

S = 289,19 млн.руб.

P = 236,0 млн.руб.

n = 2

i = 2 КОРЕНЬ (289,19 / 236) – 1= 0,10697 или 10,697%

Проверим получившийся результат:

i = 236 * (1 + 0,10697)² = 289,19

Таким образом можно сделать вывод, чтобы достичь аналогичного финансового результат, нужно сумму 236 млн.руб. положить на депозит на 2 года под 10,65% простых процентов и под 10,7% сложных

2.6. Задача №6.

Вам предлагают сдать в аренду участок на четыре года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды:

А) 40 тыс. рублей в конце каждого года;

Б) 105 тыс. рублей в конце четырехлетнего периода.

Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 11% годовых?

Используем следующую формулу:

Где,

R = 40 000

n = 4

i = 0,11 = 11%

S = 40 * ((1 + 0,11)⁴– 1) : 0,11= 189,1 тыс. рублей

Таким образом, более предпочтителен вариант А, т.е. 40 000 в конце каждого года на протяжении четырех лет.

Список использованных источников

Щегорцев В.А., Таран В.А. Деньги, кредит, банки: Учебник для вузов/М 2005;
Деньги, кредит, банки. /под ред. О.И. Лаврушина. - М.: 2005;
Общая теория денег и кредита: Учебник / Под ред. проф. Е.В. Жукова. - М.: 1995;
Смирнов Е.Е. «Денежно-кредитная политика в 2007 году: с учетом требований закона и рынка»// Управление в кредитной организации-2006-,№ 6// Консультант Плюс: 3000{Электрон. ресурс}/ «Консультант Плюс»-М-2007.
Федеральная служба государственной статистики/ {Электронный ресурс}/ Режим доступа:/http//gks/ru/wps/portal.
«Основные направления единой государственной денежно-кредитной политики на 2007 год»//»Расчеты и операционная работа в коммерческом банке», 2006- № 12//{Электронный ресурс}/ Консультант-Плюс.