Труфанов В.А. Теория вероятностей для студентов всех специальностей - файл n1.doc

приобрести
Труфанов В.А. Теория вероятностей для студентов всех специальностей
скачать (524.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc525kb.22.08.2012 11:28скачать

n1.doc

  1   2   3   4


Министерство образования Российской Федерации
АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет математики и информатики
Кафедра математического анализа и моделирования
В.А. Труфанов


Методические указания

по типовому расчёту по курсу “Теория вероятностей”

для студентов всех специальностей.

Благовещенск

2002
ББК Печатается по решению

редакционно-издательского совета

факультета математики и информатики

Амурского государственного

университета

Труфанов В.А.
Методические указания по типовому расчёту по курсу “Теория веро-ятностей” для студентов всех специальностей. Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2002.
Методические указания предназначены для самостоятельных занятий по курсу теории вероятностей студентам всех специальностей. Содержа-ние занятий и расположение материала соответствует программам курса.

Рецензент: А.Н.Сёмочкин, канд. физ.- мат. наук, доцент кафедры Информатики БГПУ.
© Амурский государственный университет


СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. Случайные события и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Классическое вероятностное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Геометрические вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Вычисление вероятности события с использованием основных

свойств вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Условная вероятность, формула полной вероятности

и формулы Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7. Функция и плотность распределения случайной величины.

Числовые характеристики случайных величин, характеристическая

функция, распределение функции одной случайной величины . . . . 29

8. Распределение функций пары случайных величин . . . . . . . . . . . . . . 35

9. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей . 40

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ВВЕДЕНИЕ

Цель предлагаемого типового расчета - активизация самостоятельной работы студентов, способствующей усвоению курса теории вероятностей и приобретению навыков применения теории вероятностей к решению конкретных задач.

Типовой расчёт содержит теоретические вопросы, задачи и примеры. Теоретические вопросы охватывают часть теории вероятностей, общую для студентов всех специальностей, задачи для каждого студента – индивидуальные.

Для защиты типового расчёта студент обязан решить письменно задачи своего варианта (обычно номер варианта совпадает с порядковым номером студента в списке группы) и сдать преподавателю для проверки правильности их решения. Защита типового расчёта проводится устно. При этом студент должен ответить на заданные преподавателем теоретические вопросы и объяснить решение задач из типового расчёта.


I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ


  1. Случайные события и операции над ними.

  2. Классическое определение вероятности события. Геометрические вероятности. Статистическое определение вероятности события.

  3. Аксиоматическое определение вероятности события. Свойства вероятности.

  4. Условная вероятность. Независимые события. Формула полной вероятности и формулы Байеса.

  5. Схема Бернулли. Биномиальное распределение.

  6. Пуассоновское приближение биномиального распределения.

  7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и ее применения.

  8. Функция и плотность распределения случайной величины, и их свойства.

  9. Примеры распределений: равномерное, нормальное, показательное, Бернулли, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое.

  10. Функция и плотность распределения системы случайных величин. Их свойства.

  11. Распределения функций одной и нескольких случайных величин.

  12. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, корреляция.

  13. Неравенства Чебышёва. Закон больших чисел: теоремы Чебышёва, Бернулли.

  14. Характеристическая функция случайной величины и ее свойства.

  15. Центральная предельная теорема



II. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
1. Случайные события и действия над ними.

.

Пусть   непустое множество, элементы которого будем называть элементарными исходами. Для любых подмножеств A и B в  используются следующие обозначения: (или A+B)объединение (или сумма) A и B (или AB)пересечение (или произведение) A и BA \ Bразность A и Bобратное (дополнительное) множество, т.е. множество  \ A.

Для решения задач этого параграфа необходимо усвоить такие понятия как равносильность событий, объединение, пересечение, разность событий, противоположное событие, несовместные события.

Пример. Три стрелка производят по одному выстрелу по мишени. Собы-тие А – первый стрелок попал в мишень, событие В – только один стрелок по-пал в мишень, событие С – хотя бы один из стрелков попал в мишень. Опи-сать события: А?В; UС; В?С; .

Решение: Событие А?В заключается в том, что произошли оба события. Но так как событие А влечет за собой событие B, то А?В = А. Событие UС есть достоверное событие. Это следует, например, из цепочки равенств:

UС =U(АUС) = (АU)UС = ΩUС = Ω.

Событие В?С = В, так как событие В влечет за собой событие С. Событие означает, что или ни один из стрелков не попал в мишень, или хотя бы два стрелка попали в мишень.

Варианты заданий





  1. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражение для со-бытия, состоящего в том, что из А, В, С произошли по крайней мере два события; только одно событие.

  2. Бросаются два игральных кубика. Пусть А – событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная, В– событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события АUВ, А?В, ?В.

  3. На доске записано несколько натуральных чисел. Пусть событие А – все записанные числа – четные, событие В – среди них имеется одно нечетное. Описать события , , А \ , А?.

  4. Событие А – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракован-ный, В – все приборы доброкачественные. Что означают события А \ В, А?, АU?

  5. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие B – данное число оканчивается нулем, событие A – выбранное число делит-ся на 5. Что означают события А \ В, А?В ?

  6. Игральный кубик подбрасывается дважды. Описать пространство эле-ментарных событий. Описать события: А – хотя бы раз появится 6 оч-ков, В – сумма очков делится на три.

  7. Монета бросается три раза. Описать пространство элементарных собы-тий. Описать события: А – выпало не менее двух гербов; В – выпало два герба.

  8. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для со-бытий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошли А и В, но С не произошло; б) произошло не более двух событий; в) произошло хотя бы одно событие.

  9. Монета бросается два раза. Описать пространство элементарных собы-тий. Пусть А и В означают соответственно события: при первом броса-нии выпал герб и при втором бросании выпал герб. Описать события АUВ, А?В, А \ В.

  10. Из колоды карт случайным образом извлекается одна карта. Пусть со-бытие А – извлеченная карта пиковой масти, событие В – извлеченная карта туз пик, событие С – извлеченная карта – туз червей. Описать события АUВ, А?В, АUС, В?С.

  11. Из чисел 0,1,….,9 случайным образом выбирается одно число. Пусть событие А – выбранное число – нечетное, событие В – выбранное число – девять. Описать события: АUВ, А?В, А \ В.

  12. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго ти-па. Пусть события: Аi (i = 1,2) – исправен i-ый блок первого типа, Вj (j=1,2,3) – исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа ис-правны. Выразить событие С, означающее работу прибора, через собы-тия Аi и Вj.

  13. Бросаются две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпадет 6 очков; B – событие, состо-ящее в том, что сумма очков нечетна. Описать события АUB, А?B, АU.

  14. Получить пространство элементарных событий, соответствующих трем испытаниям, в которых может появиться У (успех) или Н (неуспех). Выразить через элементарные события: событие В – появилось ровно два успеха; событие С – появился хотя бы один успех.

  15. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для со-бытий, состоящих в том, что на А, В, С произошло одно и только одно событие; произошло не более двух событий.

  16. Событие А – «мужу больше 40 лет», событие В – «муж старше жены», событие С – «жене больше 40 лет». Что означает событие А?В, А?, А \ (В?С)?

  17. Игральный кубик подбрасывается дважды. Описать пространство эле-ментарных событий. Описать события: А – сумма очков, которые выпа-ли, равна 8; В – хотя бы один раз выпало 6 очков.

  18. Среди всех семей, имеющих двух детей, выбрана одна. Описать прост-ранство элементарных событий и события: А – в семье есть мальчик и девочка, В – в семье не более одной девочки. Доказать, что события А и В зависимы.

  19. Cреди всех семей, имеющих трех детей, выбрана одна. Описать прост-ранство элементарных событий и события: А – в семье есть мальчик и девочка, В – в семье не более одного мальчика. Доказать, что события А и В зависимы.

  20. Игральный кубик подбрасывается дважды. Описать пространство эле-ментарных событий. Пусть событие А – на одном из кубиков выпало 6 очков, событие В – сумма выпавших очков равна 10. Описать события: АUВ, А?В, А \ В.

  21. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для со-бытий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло по крайней мере одно из этих событий; б) произошло одно и только одно событие; в) произошло не более двух событий.

  22. Бросается игральная кость. Пусть событие А – выпадает четное число очков, событие В – выпадает число очков не большее трех. Описать события: АUВ, А?В, А \ В, ?В.

  23. Произведено три выстрела по мишени. Описать пространство элемен-тарных событий. Пусть событие А – мишень поражена хотя бы один раз, событие В – мишень поражена два раза. Описать события: АUВ, А?В, А \ В, UВ.

  24. Бросаются две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что на одной из костей выпала единица, В – сумма выпавших очков – четная. Описать события: А?В, А \ В, В \ А.

  25. В партии n деталей. Событие Аi заключается в том, что i-ая деталь де-фектна. Записать события, состоящие в том, что: а) хотя бы одна деталь дефектна; б) только одна деталь дефектна; в) ни одна деталь не имеет дефектов.



2. Классическое вероятностное пространство
Если рассматриваемый опыт имеет n несовместных равновозможных ис-ходов, которые образуют полную группу, то вероятность события А опреде-ляется по формуле:

Р(А)=,

где m – число исходов, которые приводят к наступлению события А (благоприятствуют событию А). Это определение вероятности называется классическим.

При решении задач на непосредственный подсчёт вероятности с использованием записанной формулы нет общих способов для нахождения чисел m и n. Часто для их нахождения используют комбинаторику (число размещений, перестановок, сочетаний).

Пример 1. Из ящика, в котором находятся n белых и m чёрных шаров, выбирается наугад l шаров. Какова вероятность того, что среди них будет k белых шаров (событие А).

Решение. Исходом опыта в этом примере будет появление любых l шаров из шаров, находящихся в ящике. Общее число исходов равно числу сочетаний из по l, т.е.. Благоприятствующими будут исходы, когда k шаров извлечены из n белых шаров, а остальные из m чёрных шаров. Число благоприятствующих исходов равно. Искомая вероятность, таким образом, будет равна:



Пример 2.В вагоне 10 пассажиров. Поезд останавливается на 15 станциях. Какова вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной и той же станции (событие А)?

Решение. Каждый пассажир может выйти на любой из 15 станций. Общее число исходов равно 1015. Число благоприятствующих исходов будет равно числу размещений из 15 по 10: =. ( Здесь следует учитывать порядок выхода пассажиров). Поэтому



Пример 3. 12 человек рассаживаются случайным образом в ряд. Какова вероятность того, что два определённых человека будут сидеть рядом (событие А)?

Решение. Общее число исходов данного опыта равно числу перестановок 12 человек, т.е. 12!. Благоприятствующими исходами будут те, когда два определённых человека сядут рядом. Это может произойти 10!·2! 11 способами (10 человек могут разместиться 10! способами, два человека могут сесть рядом 2! способами и, кроме того, имеется 11 возможностей размещений двух человек в ряд с десятью остальными). Искомая вероятность будет равна:

.

  1   2   3   4


Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации