Курсовая работа по курсу Математические основы теории систем - файл n1.doc

Курсовая работа по курсу Математические основы теории систем
скачать (605.5 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc606kb.11.06.2012 06:31скачать

n1.doc

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по курсу
"Математические основы теории систем"

Выполнил:
Принял: Ткаченко В.Н.


Донецк

2009 г.

Оглавление




Оглавление 3

ВВЕДЕНИЕ. 4

1.Постановка задачи. 5

2.Точка равновесия системы. 5

3.Линеаризация системы. 6

4.Численный расчет нелинейного, линейного уравнения. Графическое представление решения. 8

5.Фазовый портрет системы. 14

6.Исследование на устойчивость. 15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 17

ЛИТЕРАТУРА 18


ВВЕДЕНИЕ.




Основной целью автоматизации является исключение непосредственного участия человека в управлении производственными процессами и другими техническими объектами. В настоящее время автоматизация технологических процессов представляет собой одно из важнейших средств роста эффективности производства, интенсификации развития народного хозяйства.

В настоящее время значение теории автоматического управления переросло рамки только технических систем. Динамические управляемые процессы имеют место в живых организмах, экономических и организационных человеко-машинных системах, их влияние существенно и отказ от них приводит к крупным потерям.

Основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления является аппарат дифференциальных уравнений, это линейные объекты с сосредоточенными координатами. При этом различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени. Большинство объектов регулирования являются нестационарными объектами, однако, скорость изменения их свойств намного меньше скорости регулирования, поэтому такие объекты при расчете систем регулирования можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени, за который свойства объекта не успевают существенно измениться.


  1. Постановка задачи.



Задана нелинейная свободная система второго порядка, описываемая следующим обыкновенным дифференциальным уравнением :

.

1.Представить исходную систему в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка (в пространстве состояний).


  1. Точка равновесия системы.



2. Определить положения равновесия системы.
Состояние равновесия называется такое состояние , в котором система остается при условии, что Состояние равновесия можно определить (если оно существует) из соотношений



при любом t.


 - точка равновесия системы.
  1. Линеаризация системы.



3. Провести линеаризацию системы.
В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми.

Разложим функцию, стоящую в левой части уравнения, в ряд по степеням, рассматривая все производные как самостоятельные переменные.
. (1)
 (2)

Полагаем



Подставляем эти значения в формулу (2)

Перепишем уравнение в новых переменных



Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.




Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому ищем решение в виде тригонометрических функций.




Неоднородное дифференциальное уравнение решаем методом вариации постоянной

Для нахождения констант будем считать, что в момент времени 0 в начальной точке отклонений нет




Окончательно решение будет иметь вид


  1. Численный расчет нелинейного, линейного уравнения. Графическое представление решения.



4.Выполнить численный расчет исходного нелинейного уравнения и получить график y(t) для начальных условий .
Для выполнения численного расчета воспользуемся методом Эйлера.
Метод Эйлера.



y1=y0+h*f(x0,y0)

x1=x0+h

Расчетные формулы для 1-го шага

yi+1=yi+h*f(xi,yi)

xi+1=xi*h

Расчетные формулы для i-го шага

Применим метод Эйлера к системе уравнений.



Получим формулы для расчета




В качестве шага разностного уравнения h = 0,01

Расчет проведем в программе Microsoft Office Excel 2007.

5.Выполнить численный расчет линеаризованной системы уравнений и получить график y(t) для тех же начальных условий .

Перепишем начальные условия в терминах линеаризованного уравнения.






На рисунке 1 приведены 3 варианта решения дифференциального уравнения. В таблице 1 приведены данные решения уравнения.


Рисунок 1. Решение дифференциального уравнения.
Таблица 1. Решение дифференциального уравнения.

h

x2

x1

y

?

?

y

0,00

-1,00

0,40

0,40

0,00

-1,00

0,40

0,01

-1,01

0,39

0,39

1,34

-0,99

1,74

0,02

-1,01

0,38

0,38

1,63

-0,97

2,03

0,03

-1,02

0,37

0,37

1,67

-0,95

2,07

0,04

-1,03

0,36

0,36

1,65

-0,94

2,05

0,05

-1,04

0,35

0,35

1,61

-0,92

2,01

0,06

-1,04

0,34

0,34

1,57

-0,91

1,97

0,07

-1,05

0,33

0,33

1,53

-0,89

1,93

0,08

-1,05

0,32

0,32

1,49

-0,88

1,89

0,09

-1,06

0,31

0,31

1,45

-0,86

1,85

0,10

-1,07

0,30

0,30

1,41

-0,85

1,81

0,11

-1,07

0,29

0,29

1,37

-0,83

1,77

0,12

-1,08

0,27

0,28

1,33

-0,82

1,73

0,13

-1,08

0,26

0,27

1,30

-0,81

1,70

0,14

-1,09

0,25

0,25

1,26

-0,79

1,66

0,15

-1,09

0,24

0,24

1,23

-0,78

1,63

0,16

-1,09

0,23

0,23

1,20

-0,77

1,60

0,17

-1,10

0,22

0,22

1,17

-0,76

1,57

0,18

-1,10

0,21

0,21

1,14

-0,75

1,54

0,19

-1,11

0,20

0,20

1,11

-0,74

1,51

0,20

-1,11

0,19

0,19

1,08

-0,72

1,48

0,21

-1,11

0,18

0,18

1,05

-0,71

1,45

0,22

-1,12

0,16

0,17

1,02

-0,70

1,42

0,23

-1,12

0,15

0,15

0,99

-0,69

1,39

0,24

-1,12

0,14

0,14

0,97

-0,68

1,37

0,25

-1,12

0,13

0,13

0,94

-0,68

1,34

0,26

-1,13

0,12

0,12

0,92

-0,67

1,32

0,27

-1,13

0,11

0,11

0,89

-0,66

1,29

0,28

-1,13

0,10

0,10

0,87

-0,65

1,27

0,29

-1,13

0,09

0,09

0,84

-0,64

1,24

0,30

-1,13

0,07

0,07

0,82

-0,63

1,22

0,31

-1,13

0,06

0,06

0,80

-0,62

1,20

0,32

-1,13

0,05

0,05

0,78

-0,62

1,18

0,33

-1,13

0,04

0,04

0,76

-0,61

1,16

0,34

-1,13

0,03

0,03

0,74

-0,60

1,14

0,35

-1,13

0,02

0,02

0,72

-0,59

1,12

0,36

-1,13

0,01

0,00

0,70

-0,59

1,10

0,37

-1,13

0,00

-0,01

0,68

-0,58

1,08

0,38

-1,13

-0,02

-0,02

0,66

-0,57

1,06

0,39

-1,13

-0,03

-0,03

0,65

-0,57

1,05

0,40

-1,13

-0,04

-0,04

0,63

-0,56

1,03

0,41

-1,13

-0,05

-0,06

0,61

-0,55

1,01

0,42

-1,13

-0,06

-0,07

0,60

-0,55

1,00

0,43

-1,13

-0,07

-0,08

0,58

-0,54

0,98

0,44

-1,12

-0,08

-0,09

0,56

-0,54

0,96

0,45

-1,12

-0,09

-0,10

0,55

-0,53

0,95

0,46

-1,12

-0,11

-0,11

0,53

-0,53

0,93

0,47

-1,12

-0,12

-0,13

0,52

-0,52

0,92

0,48

-1,11

-0,13

-0,14

0,51

-0,52

0,91

0,49

-1,11

-0,14

-0,15

0,49

-0,51

0,89

0,50

-1,11

-0,15

-0,16

0,48

-0,51

0,88

0,51

-1,10

-0,16

-0,17

0,47

-0,50

0,87

0,52

-1,10

-0,17

-0,18

0,46

-0,50

0,86

0,53

-1,10

-0,18

-0,20

0,44

-0,49

0,84

0,54

-1,09

-0,19

-0,21

0,43

-0,49

0,83

0,55

-1,09

-0,21

-0,22

0,42

-0,48

0,82

0,56

-1,08

-0,22

-0,23

0,41

-0,48

0,81

0,57

-1,08

-0,23

-0,24

0,40

-0,48

0,80

0,58

-1,07

-0,24

-0,25

0,39

-0,47

0,79

0,59

-1,07

-0,25

-0,27

0,38

-0,47

0,78

0,60

-1,06

-0,26

-0,28

0,37

-0,46

0,77

0,61

-1,06

-0,27

-0,29

0,36

-0,46

0,76

0,62

-1,05

-0,28

-0,30

0,35

-0,46

0,75

0,63

-1,04

-0,29

-0,31

0,34

-0,45

0,74

0,64

-1,04

-0,30

-0,32

0,33

-0,45

0,73

0,65

-1,03

-0,31

-0,33

0,32

-0,45

0,72

0,66

-1,02

-0,32

-0,35

0,31

-0,44

0,71

0,67

-1,02

-0,33

-0,36

0,30

-0,44

0,70

0,68

-1,01

-0,34

-0,37

0,30

-0,44

0,70

0,69

-1,00

-0,35

-0,38

0,29

-0,44

0,69

0,70

-0,99

-0,36

-0,39

0,28

-0,43

0,68

0,71

-0,99

-0,37

-0,40

0,27

-0,43

0,67

0,72

-0,98

-0,38

-0,41

0,27

-0,43

0,67

0,73

-0,97

-0,39

-0,42

0,26

-0,42

0,66

0,74

-0,96

-0,40

-0,43

0,25

-0,42

0,65

0,75

-0,95

-0,41

-0,44

0,25

-0,42

0,65

0,76

-0,95

-0,42

-0,45

0,24

-0,42

0,64

0,77

-0,94

-0,43

-0,46

0,23

-0,42

0,63

0,78

-0,93

-0,44

-0,47

0,23

-0,41

0,63

0,79

-0,92

-0,45

-0,48

0,22

-0,41

0,62

0,80

-0,91

-0,46

-0,50

0,21

-0,41

0,61

0,81

-0,90

-0,47

-0,51

0,21

-0,41

0,61

0,82

-0,89

-0,47

-0,52

0,20

-0,40

0,60

0,83

-0,88

-0,48

-0,53

0,20

-0,40

0,60

0,84

-0,87

-0,49

-0,53

0,19

-0,40

0,59

0,85

-0,86

-0,50

-0,54

0,19

-0,40

0,59

0,86

-0,85

-0,51

-0,55

0,18

-0,40

0,58

0,87

-0,84

-0,52

-0,56

0,18

-0,40

0,58

0,88

-0,83

-0,53

-0,57

0,17

-0,39

0,57

0,89

-0,82

-0,53

-0,58

0,17

-0,39

0,57

0,90

-0,81

-0,54

-0,59

0,16

-0,39

0,56

0,91

-0,79

-0,55

-0,60

0,16

-0,39

0,56

0,92

-0,78

-0,56

-0,61

0,16

-0,39

0,56

0,93

-0,77

-0,57

-0,62

0,15

-0,39

0,55

0,94

-0,76

-0,57

-0,63

0,15

-0,38

0,55

0,95

-0,75

-0,58

-0,64

0,14

-0,38

0,54

0,96

-0,74

-0,59

-0,64

0,14

-0,38

0,54

0,97

-0,72

-0,59

-0,65

0,14

-0,38

0,54

0,98

-0,71

-0,60

-0,66

0,13

-0,38

0,53

0,99

-0,70

-0,61

-0,67

0,13

-0,38

0,53

1,00

-0,69

-0,62

-0,68

0,13

-0,38

0,53

1,01

-0,67

-0,62

-0,69

0,12

-0,37

0,52

1,02

-0,66

-0,63

-0,69

0,12

-0,37

0,52

1,03

-0,65

-0,64

-0,70

0,12

-0,37

0,52

1,04

-0,64

-0,64

-0,71

0,11

-0,37

0,51

1,05

-0,62

-0,65

-0,72

0,11

-0,37

0,51

1,06

-0,61

-0,65

-0,72

0,11

-0,37

0,51

1,07

-0,60

-0,66

-0,73

0,10

-0,37

0,50

1,08

-0,58

-0,67

-0,74

0,10

-0,37

0,50

1,09

-0,57

-0,67

-0,74

0,10

-0,37

0,50

1,10

-0,56

-0,68

-0,75

0,10

-0,37

0,50

1,11

-0,54

-0,68

-0,76

0,09

-0,36

0,49

1,12

-0,53

-0,69

-0,76

0,09

-0,36

0,49

1,13

-0,51

-0,69

-0,77

0,09

-0,36

0,49

1,14

-0,50

-0,70

-0,78

0,09

-0,36

0,49

1,15

-0,49

-0,70

-0,78

0,08

-0,36

0,48

1,16

-0,47

-0,71

-0,79

0,08

-0,36

0,48

1,17

-0,46

-0,71

-0,79

0,08

-0,36

0,48

1,18

-0,44

-0,72

-0,80

0,08

-0,36

0,48

1,19

-0,43

-0,72

-0,80

0,08

-0,36

0,48

1,20

-0,41

-0,73

-0,81

0,07

-0,36

0,47

1,21

-0,40

-0,73

-0,81

0,07

-0,36

0,47

1,22

-0,38

-0,73

-0,82

0,07

-0,36

0,47

1,23

-0,37

-0,74

-0,82

0,07

-0,35

0,47

1,24

-0,35

-0,74

-0,83

0,07

-0,35

0,47

1,25

-0,34

-0,74

-0,83

0,06

-0,35

0,46

1,26

-0,32

-0,75

-0,84

0,06

-0,35

0,46

1,27

-0,31

-0,75

-0,84

0,06

-0,35

0,46

1,28

-0,29

-0,75

-0,84

0,06

-0,35

0,46

1,29

-0,28

-0,76

-0,85

0,06

-0,35

0,46

1,30

-0,26

-0,76

-0,85

0,06

-0,35

0,46

1,31

-0,25

-0,76

-0,86

0,05

-0,35

0,45

1,32

-0,23

-0,76

-0,86

0,05

-0,35

0,45

1,33

-0,22

-0,77

-0,86

0,05

-0,35

0,45

1,34

-0,20

-0,77

-0,86

0,05

-0,35

0,45

1,35

-0,19

-0,77

-0,87

0,05

-0,35

0,45

1,36

-0,17

-0,77

-0,87

0,05

-0,35

0,45

1,37

-0,16

-0,77

-0,87

0,05

-0,35

0,45

1,38

-0,14

-0,77

-0,87

0,05

-0,35

0,45

1,39

-0,12

-0,77

-0,88

0,04

-0,35

0,44

1,40

-0,11

-0,78

-0,88

0,04

-0,35

0,44

1,41

-0,09

-0,78

-0,88

0,04

-0,35

0,44

1,42

-0,08

-0,78

-0,88

0,04

-0,34

0,44

1,43

-0,06

-0,78

-0,88

0,04

-0,34

0,44

1,44

-0,05

-0,78

-0,88

0,04

-0,34

0,44

1,45

-0,03

-0,78

-0,88

0,04

-0,34

0,44

1,46

-0,02

-0,78

-0,88

0,04

-0,34

0,44

1,47

0,00

-0,78

-0,88

0,04

-0,34

0,44

1,48

0,02

-0,78

-0,88

0,03

-0,34

0,43

1,49

0,03

-0,78

-0,88

0,03

-0,34

0,43

1,50

0,05

-0,78

-0,88

0,03

-0,34

0,43

1,51

0,06

-0,78

-0,88

0,03

-0,34

0,43

1,52

0,08

-0,78

-0,88

0,03

-0,34

0,43

1,53

0,09

-0,78

-0,88

0,03

-0,34

0,43



  1. Фазовый портрет системы.



6. Построить фазовый портрет системы

Матрица коэффициентов системы



Поскольку, определитель положителен detM=2, а след матрицы 0.24, и detM > , то особая точка является неустойчивым фокусом.


Рисунок 2. Неустойчивый фокус.
  1. Исследование на устойчивость.


7. Исследовать асимптотическую устойчивость состояния равновесия системы в соответствии с первым методом Ляпунова и сделать выводы по работе.
Теорема. Состояние равновесия системы асимптотически устойчиво, если состояние равновесия соответствующей свободной линейной стационарной системы , асимптотически устойчиво.

Существует также аналогичная теорема о неустойчивости.

Теорема. Состояние равновесия системы неустойчиво, если состояние равновесия соответствующей свободной линейной стационарной системы , неустойчиво.










Поскольку, вещественные значения характеристических чисел положительны имеем неустойчивую систему.
Теоремы Ляпунова.

Теорема 1 Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также устойчиво по Ляпунову.

Теорема 2 Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы также неустойчиво по Ляпунову.

Теорема 3 Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. В этом случае необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.

Эти теоремы позволяют судить по результатам исследования уравнений первого приближения об устойчивости в "малом" состояния равновесия исходной нелинейной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.


В работе была рассмотрена система заданная дифференциальным уравнением 2-го порядка. При работе с ОДУ 2 – го порядка уравнение сначала сводится к ОДУ 1 – го порядка, а затем линеаризируется. Поскольку, асу обычно изучаются устойчивые системы, слабо отклоняющиеся от положения равновесия их можно заменить линейными, или судить о их поведении по поведению линейных систем.

ЛИТЕРАТУРА



1. Иванов В.А. Математические основы теории регулирования. Учебное пособие для втузов. М., Высшая школа, 1971.

2. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем, изд - во «Мир», 1974.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М., Высшая школа, 1988.

4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, изд-во «Наука», М„ 1971.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы (Анализ, алгебра, обыкновенные диф­ференциальные уравнения), изд-во «Наука», М., 1973.

6. Бусленко Н. П., Калашников В. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории сложных систем, изд-во «Советское радио», М., 1973.

7 Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости, изд-во «Наука». М., 1967.

8 Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение, изд-во МГУ, 1957.

9. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем, изд-во «Мир», М., 1971.

10. Канторович М. И. Операционное исчисление и процессы в электрических полях, изд. 3-е, изд-во «Наука», М., 1964.

11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функциональ­ного анализа, изд. 3-е, изд-во «Наука», М., 1972.

12. Ройтенберг Я. Я. Автоматическое управление, изд-во «Наука», М., 1971.




МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации