Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике - файл n1.doc

приобрести
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике
скачать (55517 kb.)
Доступные файлы (1):
n1.doc55517kb.11.06.2012 06:27скачать

n1.doc

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   30

2.6. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями



В четвертой модификации рассматривается метод определения векторов приоритетов альтернатив для иерархий с различным числом и различающимся составом альтернатив под критериями.

В практике принятия решений нередко встречается задача, ког­да ранжируемые по множеству критериев альтернативы оценива­ются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относитель­но одной или нескольких альтернатив. Таким образом, в рассмат­риваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью. На рис. 2.7 приведены примеры иерархий, в которых каждый критерий Ej из множества {Е1, E2, ... , Еp} имеет разное количество альтернатив из множе­ства {А12, ... ,Аr}.

Альтернативы А1 и Аr; А1, А2 Аr; А2 и Аr оцениваются соответ­ственно относительно элементов (критериев) Е1, Е2, Ер (рис. 2.7а).



Рис. 2.7. Примеры иерархий с разным числом альтернатив под критериями а синтез; б — декомпозиция

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтер­натив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом (рис. 2.7 б) с учетом значимости критери­ев, и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методи­ка предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерар­хии, устанавливающей взаимосвязь между множеством сравнива­емых альтернатив {А1, A2,... , Аr}и множеством критериев {E1, Е2, ... , Еp}.

Процедура 2. На основе иерархической структуры определяет­ся бинарная матрица [В], устанавливающая соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы bij = {0,1}. При этом если альтернатива Аi оценивается по крите­рию Ej, то bij = 1, в противном случае bij = 0.

Процедура 3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям. Для этой цели используются метод попарного сравнения, метод сравнения относительно стан­дартов или метод копирования. На основе экспертных оценок с учетом матрицы [В] строится матрица [А] следующего вида:



В матрице [А] экспертные оценки {aij} представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Ej. При этом если альтернатива Аi не оценивается по критерию Еj, то в матрице [А] соответствующее значение aij = 0. Векторы в указанной матрице имеют различное число значений aij и могут быть нормированны­ми или ненормированными в зависимости от используемого мето­да сравнения альтернатив.

Процедура 4. В результате обработки матрицы попарных срав­нений критериев Еj определяется нормированный вектор приори­тетов критериев .

Процедура 5. Формируются структурные критерии S и L, ото­бражаемые соответствующими диагональными матрицами [S] и [L].

Рассмотрим состав упомянутых матриц.

Матрица [S] имеет следующий вид:


где aij значения векторов приоритетов из матрицы [А].

С помощью матрицы [S] обеспечивается нормирование векто­ров приоритетов альтернатив, образующих матрицу [А], если пос­ледняя заполнена методом сравнения относительно стандартов или копирования без предварительного нормирования.

Матрица [L] имеет следующий вид:


где Rj число альтернатив Аi, находящихся под критерием Еj,

— суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями.
Здесь следует отметить, что число N в матрице [L] может при­ниматься равным числу рассматриваемых альтернатив r, т.е. N= r. При этом на конечный результат способ определения N не оказы­вает влияния.

Использование структурного критерия L позволяет эксперту или ЛПР изменять при необходимости вес альтернатив, связанных с соответствующими критериями пропорционально отношению Rj / N. Этим обеспечивается повышение приоритета альтернатив, обра­зующих большие группы, и снижение приоритета альтернатив в группах с их относительно небольшим числом. Здесь имеется в виду, что группу определяют альтернативы, являющиеся "потом­ками" по отношению к критерию Ej. Необходимость в приведен­ной вычислительной процедуре обусловлена тем, что у критери­ев-"родителей" с высоким приоритетом в иерархии может нахо­диться большое число альтернатив-"потомков", а у критериев-ро­дителей" с низким приоритетом — значительно меньшее число альтернатив-"потомков", чем в первом случае. Поэтому в этой ситуации желательно повышение приоритетов альтернатив в боль­шой группе, поскольку, если альтернатив много, каждая из них получит меньший составной приоритет, чем каждая альтернатива, входящая в меньшую группу с низким приоритетом критерия.

На практике возможны также ситуации, прямо противополож­ные выше охарактеризованной, когда требуется повысить приори­тет так называемых редких альтернатив-"потомков", образующих относительно критериев-"родителей" маленькие группы. В этом случае структурная матрица [L] принимает следующий вид:

Процедура 6. Определяется вектор приоритетов альтернатив W относительно критериев. Данная процедура реализуется последо­вательным перемножением слева направо следующих матриц и векторов:

а) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] ненорми­рованы:

W=[A] [S][L] [B]; (2.7)

б) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] норми­рованы:

W=[A] [L] [B]. (2.8)

В выражениях (2.7) и (2.8) диагональная матрица [В] предназ­начена для окончательного нормирования значений вектора при­оритетов альтернатив. Эта матрица имеет следующий вид:


где хi значение ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полу­ченное после последовательного перемножения слева направо мат­риц [A], [S], [L] и вектора ;

r — число альтернатив.

Рассмотрим пример вычисления вектора приоритета альтер­натив.

Допустим, имеется иерархическая система (рис. 2.8), включа­ющая корневую вершину — фокус (Ф), два критерия К1 и К2 и пять альтернатив A1, ... 5. При этом по критерию К1 оцениваются все пять альтернатив, а по критерию К2 две альтернативы: А4 и А5.

Предположим, что при попарном сравнении альтернатив и критериев получены матрицы, отображающие равную предпочтительность сравни­ваемых объектов.

Матрицы предпочтений альтерна­тив относительно критериев K1 и K2 соответственно примут вид:


Построим матрицу предпочтений критериев относительно фо­куса (Ф):

Правые собственные векторы для приведенных матриц имеют следующий вид:

= {0,2 0,2 0,2 0,2 0,2}T — приоритет альтернатив по критерию K1;

= {0,5 0,5}T приоритет альтернатив по критерию К2;

= {0,5 0,5}T— приоритет критериев относительно фокуса Ф.

Поскольку векторы приоритетов альтернатив относительно критериев K1 и К2 нормированы, результирующий вектор рассчи­тывается по формуле (2.8).

При этом матрицы [А] и [L] и вектор с учетом ранее выпол­ненных расчетов имеют следующий вид:

Производя последовательные перемножения матриц и вектора слева направо, получим следующие результаты:

Следует отметить, что при неучете структурного критерия L результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следую­щий вид:

W'=[A] = {0,1 0,1 0,1 0,35 0,35}T.
Из сравнительного анализа двух результирующих векторов W и W' видно, что в первом случае каждая из альтернатив A4, и A5, (значение 0,286 в векторе) в два раза весомее любой из альтерна­тив А1, A2 или А3, (значение 0,143 в векторе), а во втором случае различие между теми же альтернативами большее и равно 3,5 (зна­чение 0,35 против 0,1) для альтернатив в векторе приоритетов W'.

Существуют иерархии (рис. 2.9), у которых, в отличие от ранее рассмотренных (приведенной, например, на рис. 2.8), альтернати­вы сгруппированы в подмножества {А1, А2, ..., Аm}, {А'1, А'2, ..., А's}, {А"1, А"2, ... , A"l}, а элементы каждого из таких подмно­жеств связаны, в свою очередь, с определенными группами крите­риев {K11, K12,...,K1m}, {K21, K22,...,K2n}, {Kn1, Kn2,…,Knp}.

В этом случае перевернутое иерархическое дерево состоит из ряда самостоятельных иерархических ветвей.

Рассмотрим особенности алгоритма для определения векторов приоритетов альтернатив на иерархиях, состоящих из нескольких ветвей. Для лучшего понимания сущности алгоритма проиллюст­рируем его на примере конкретной иерархии (см. рис. 2.9).

Алгоритм для иерархии с несколькими ветвями
Шаг 1. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив отно­сительно критериев Кij:

Шаг 2. Строятся r матриц [Аi], у которых наименованиями строк являются альтернативы, а наименованиями столбцов — кри­терии Кij . При этом если альтернатива Аi не связана с критерием Kij , то в матрице [Аi] на пересечении соответствующих строки и столбца проставляется нуль.

Шаг 3. Вычисляются r векторов приоритетов альтернатив WAi (i = ­1,r) относительно критериев Кi по выражениям:

где [Si] — матрица для нормирования матрицы [Аi];

[Li] структурная матрица для изменения веса альтернатив пропорциональ­но отношению R/N (R число альтернатив, находящихся под критерием Кij , N — суммарное число альтернатив);

— вектор приоритетов критериев Кij относительно критериев Кi;

[Bi] — диагональная матрица для получения нормированного вектора WAi, определяемая по выражению (2.9).

Ш а г 4. Вычисляется вектор приоритетов критериев отно­сительно фокуса иерархии К0.

Шаг 5. Строится результирующая матрица [A0], у которой наи­менованиями строк являются все рассматриваемые альтернативы ({Аi}, i = 1,т, {А'i}, i = 1,s, {А"i}, i = 1,t), а наименованиями столбцов — критерии Кi. При этом результирующая матрица [Ао] имеет следующий вид:

Шаг 6. Определяется результирующий нормированный вектор приоритетов W0A всех рассматриваемых альтернатив относи­тельно фокуса иерархии К0 на основании известного выражения:

W0A= [А0] [S0] [L0] [В0] .

Конец алгоритма.

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   30


2.6. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями
Учебный материал
© nashaucheba.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации